Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạ[r]
Trang 1BÀI TOÁN VẬN DỤNG CAO VỀ NGUYÊN HÀM
1 Định nghĩa
Cho hàm số y f x xác định trên tập K (khoảng, nửa khoảng, đoạn của R) Nếu Ta có hàm số F x xác định trên K sao cho F x' f x thì F x được gọi là nguyên hàm của hàm số f x trên K
Định lí 1 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số
G x F x C cũng là một nguyên hàm của hàm số f x trên K
Định lí 2 Nếu F x là một nguyên hàm của hàm số f x trên K thì mọi nguyên hàm của f x trên K đều có dạng G x F x C với C là hằng số
Định lí 3 Mọi hàm số f x liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K
2 Tính chất của nguyên hàm:
'
với k là hằng số khác 0
Bảng nguyên hàm
Chú ý: công thức tính vi phân của f x là d f x f ' x dx
Với u là một hàm số
0dxC
dx x C
1
1
1 1
1 1
1
ln
ln
ln
x
a
ln
u
a
Trang 2cosxdxsinx C
sinxdx cosx C
2
1
tan
2
1
tan
2
1
cot sin x dx xC
cot
Chúng ta sẽ cùng tìm hiểu một số bài toán Nguyên Hàm ở mức độ vận dụng sau đây:
3 Bài tập vận dụng
5
a
A a6 B a12 C a7 D a14
Giải:
Đặt 2 2 5
f x x x xdx, Ta có:
2 2
6
2 cos 2 sin 2
Đặt t cos 2xdt 2sin 2xdx
F x t dt C C
Chọn C
Bài 2: Biết sin cos
A a1 B a2 C a3 D a4
Giải:
Nguyên hàm của: sin cos
là: ln sinxcosx C Chọn A
Trang 3Bài 3: Tìm một nguyên hàm của:
2
2 2
tan 2
1 4
2
x x
biết nguyên hàm này bằng 3 khi
4
x
A 12
3
3
sin x C tanx2 D cotx2
Giải:
2 2
2 2
2
cos
1 tan
2 2
x
Nguyên hàm của F x tanx C
F C C F x x
Chọn C
Bài 4: F x x ln 2sinxcosx là nguyên hàm của:
A sin cos
C sin cos
Giải:
Ta chỉ cần đạo hàm của F(x), rồi sau đó quan sát kết quả đúng
Ta có: 2sin cos ' 2sin cos 3sin cos
F x
F x
là một nguyên hàm của 3sin cos
Chọn D
Bài 5: Biết
A a4 B a100 C a5 D a25
Giải:
Chú ý nếu chúng ta biến đổi:
Trang 4
4 2
3 2
3 2
1
4
4
Trở lại bài, ta sẽ biến đổi biểu thức 2 3
25x 20x4 về dạng n
ax b như sau:
6
2
5
5
x
x
x
Chọn D
Bài 6: Biết 21
, với a, b là cá số nguyên Tính S = a + b?
A S 4 B S 2 C S 3 D S 5
Giải:
Ta quan sát mẫu cso thể phân tích được thành nhân tử, sử dụng MTCT bấm giải phương trình bậc 2:
2
2x 5x 7 0 thấy có hai nghiệm là: 7
1, 2
1 2
ax bx c a xx xx với x x1, 2 là hai nghiệm ta có:
2
2x 5x 7 x1 2x7
Do đó:
2
Chọn C
sin 2x cos 2x dx x acos 4x C
b
A S 4 B S 2 C S 3 D S 5
Giải:
Nếu áp dụng ngay:
1
1
n
n t
n
Trang 5 2 sin 2 cos 2 3
sin 2 cos 2
3
Ta phải khai triển 2
sin 2xcos 2x để xem thử
4
Chọn D
Bài 8: Biết 1
1 cos
x
, với a, b là cá số nguyên Tính S = a + b?
A S 4 B S 2 C S 3 D S 5
Giải:
Chưa áp dụng ngay được công thwucs nguyên hàm cơ bản, ta quan sát mẫu và thấy rằng có thể biến đổi
2
2
x x
dựa trên công thức hạ bậc: 2 1 cos 2
cos
2
Do đó:
2
tan
2
x
x
Ta thấy rằng a1,b2 do đó S=3
Chọn C
Bài 9: Biết 1
tan
a
, với a, b là cá số nguyên Tính S = a + b?
A S 4 B S 2 C S 3 D S 5
Giải:
2
1 sin 2
x
Ta thấy a=1,b=2 suy ra S=3
Chọn C
Bài 10: Cho 2
8sin
12
Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 0 8 là:
A 4x2sin 2 x 9
Trang 6C 4 2sin 2 7
6
Giải:
Ta cần phải tính 2
8sin
12
Đầu tiên sử dụng công thức hạ bậc để đổi f x như sau:
1 cos 2
6
x
6
Chọn B
Bài 11: Cho f x 1 x Một nguyên hàm F x của f x thỏa F 1 1 là:
2
2 2
1 khi 0
khi 0 2
x
x
C
2
1 2 2
khi 0 2
khi 0 2
x
x
2
1 2 2
khi 0
khi 0 2
x
Giải:
Ta có: 1 khi 0
f x
2 1 2 2
khi 0 2
khi 0 2
x
F x
x
Theo đề 1
1
2
F C do đó:
2
2 2
1
khi 0 2
x
x
Trang 7
Bài 12: Biết F x( ) là nguyên hàm của
2
2 2
1
dx
với 0 x 1 và 1
26 2
F
Giá trị nhỏ nhất của F x( ) là:
A 24 B 20 C 25 D 26
Giải:
Ta có:
2 2 2
2
2 2
1 1
1 1
x
Vì 1
26 2
F
nên
1
Lúc này 4 9
1
F x
với 0 x 1 Sử dụng MTCT bấm Mode 7 chọn start 0 end 1 Step 0.1:
Quan sát bảng giá trị ta thấy giá trị nhỏ nhất của F(x) là 25 xảy ra khi x =0,4
Chọn C
Bài 13: Khi tính nguyên hàm
3
1
dx
người ta đặt tg x (một hàm biểu diễn theo biến x) thì nguyên hàm trở thành 2dt Biết 3
4
5
g , giá trị của g 0 g 1 là:
A 3 6
2
B 1 6
2
2
2
Giải:
Đối với bài này HS cần pahir nắm được kĩ thuật biến đổi khi tính nguyên hàm Hs cần phải dự đoán phép đặt ẩn phụ, đầu tiên ta thấy nguyên hàm có thể biến đổi thành:
2
1
x
x
Do đó ta đặt:
Trang 8 2 2
2
Vì vậy suy ra
3
1
2
Tuy nhiên đây là lời giải sai, ta có thể thấy khi đặt
2
Với C là hằng số, kết quả không thay đổi Vì vậy chính xác ở đây là:
1
x
x
4
5
g n33n suy ra C=0
Cuối cùng ta được 2 1
1
x
g x
x
vì vậy 2 6
2
Chọn C
Chú ý: Bài toán này hoàn toàn có thể dùng MTCT để chọn kết quả, Ta có:
3
2
2
Do đó g x là nguyên hàm của
3
2 2x1 x1 Suy ra:
0
3 4
0
3 4
Và:
Trang 9
1
3 4
1
3 4
Sử dụng MTCT bấm:
Là kết quả C
Trang 10Website HOC247 cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm kinh nghiệm, giỏi
về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ các trường Đại học và các trường chuyên danh
tiếng
I Luyện Thi Online
- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ các Trường ĐH và THPT danh tiếng xây dựng các khóa luyện thi THPTQG các môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và
Sinh Học
- Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán : Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An và các trường Chuyên khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn
II Khoá Học Nâng Cao và HSG
- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Toán Nâng Cao, Toán Chuyên dành cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9 yêu thích môn Toán phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập ở trường và đạt điểm tốt ở các kỳ thi HSG
- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp
dành cho học sinh các khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc
Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia
III Kênh học tập miễn phí
- HOC247 NET: Website hoc miễn phí các bài học theo chương trình SGK từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả
các môn học với nội dung bài giảng chi tiết, sửa bài tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú và cộng đồng hỏi đáp sôi động nhất
- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp các Video bài giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa bài tập, sửa đề thi
miễn phí từ lớp 1 đến lớp 12 tất cả các môn Toán- Lý - Hoá, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học và Tiếng Anh
Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
Học Toán Online cùng Chuyên Gia
HOC247 NET cộng đồng học tập miễn phí HOC247 TV kênh Video bài giảng miễn phí