(SKKN mới NHẤT) SKKN ứng dụng của đạo hàm trong việc phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1 PHẦN MỞ ĐẦU 1.1 Lý chọn đề tài: Trong chương trình tốn trường TPTH, ý nghĩa hình học đạo hàm phần chương trình Đại số giải tích 11 Ứng dụng đạo hàm để viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm phần thiếu việc giải toán liên quan đến vấn để khảo sát hàm số chương trình lớp 12, ôn thi đại học Qua thực tế giảng dạy tơi nhận thấy, việc viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm đồ thị có cơng thức cụ thể, học sinh việc thuộc công thức vận dụng Nhưng bên cạnh cịn số tốn viết phương trình tiếp tuyến đồ thị chưa biết tiếp điểm, ta phải tìm tiếp điểm học sinh cịn gặp số rắc rối Để đáp ứng tình hình nghiên cứu đề tài: “Ứng dụng đạo hàm việc viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” 1.2 Mục đích nghiên cứu: Thực đề tài muốn lấy làm phần tài liệu phục vụ trực tiếp cho trình giảng dạy thân, đồng thời làm tài liệu tham khảo cho bạn đồng nghiệp Trong đề tài đưa phương pháp “Ứng dụng đạo hàm việc viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số” Để đưa phương pháp viết phương trình tiếp tuyến đồ thị cho toán cụ thể Qua cho học sinh thấy sáng tạo linh hoạt giải tốn Từ đem đến cho học sinh say mê yêu thích học toán, đem lại kết cao học tập 1.3 Đối tượng nghiên cứu: - Về chương trình gồm tốn viết phương trình tiếp tuyến Bài tốn1: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số điểm thuộc đồ thị Bài tốn2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số biết hệ số góc Bài tốn3: Viết phương trình tiếp tuyến qua điểm cho trước Bài tốn 4: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): tạo với đường thẳng d: góc  , biết  Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): , biết  cắt hai trục toạ độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước Bài tốn 6: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): download by : skknchat@gmail.com Bài tốn 7: Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): tiếp tuyến vng góc với - Chỉ cách giải tốn cụ thể - Đưa số ví dụ minh họa cụ thể cho toán 1.4 Phương pháp nghiên cứu: 1.4.1 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Từ thực trạng sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải, tìm giải pháp rút kinh nghiệm 1.4.2 Phương pháp phân tích tổng hợp: Phân tích nguyên nhân, rút hướng khắc phục download by : skknchat@gmail.com 2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu 2.1.1 Tiếp tuyến đường cong phẳng: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường cong (C): y = f(x) M 0(x0;y0) thuộc (C), M(x;y) điểm di chuyển (C) Đường thẳng M 0M cát tuyến (C) Nhận xét: Khi xx0 M di chuyển (C) tới M0 ngược lại Giả sử M0M có vị trí giới hạn, kí hiệu M 0T M0T gọi tiếp tuyến (C) M0 Điểm M0 gọi tiếp điểm Sau ta không xét trường hợp tiếp tuyến song song trùng với Oy 2.1.2 Định lí: Định lí 1: Cho hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Phương trình tiếp tuyến M(x0;y0) thuộc (C) có dạng y = f’(x0).(x - x0) + y0 Trong đó: f’(x0) hệ số góc tiếp tuyến y0 = f(x0) Định lí 2: Cho đồ thị (C)có phương trình: y = f(x) đường thẳng (d) có phương trình: y = kx +b Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình có nghiệm nghiệm hệ phương trình hồnh độ tiếp điểm 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Sở GD ĐT Thanh Hố hàng năm có mở nhiều lớp tập huấn chun môn, bồi dưỡng hướng dẫn phương pháp dạy học Nhờ mà giáo viên chúng tơi có điều kiện vận dụng vào thực tiễn giảng dạy Sự đạo sát download by : skknchat@gmail.com Sở giáo dục, đôn đốc tạo điều kiện ban giám đốc nhà trường tổ môn với nhiệt tình thầy giáo động lực để đổi phương pháp dạy học có hiệu Phong trào thao giảng dự rút kinh nghiệm diễn sôi nổi, đặc biệt phong trào thi giáo viên giỏi cấp trường hàng năm thi giáo viên giỏi cấp tỉnh theo định kỳ Qua tơi đồng nghiệp rút nhiều điều bổ ích chun mơn Đời sống giáo viên ngày nâng cao, Đảng, nhà nước quan tâm đãi ngộ, chế độ lương đảm bảo cho sống Bên cạnh thuận lợi nói cơng tác giảng dạy học tập mơn tốn học sinh trường cịn vấp phải khó khăn đáng kể Đầu vào kiến thức em học sinh yếu, tư tưởng xác định mục tiêu học tập nhiều em học sinh phụ huynh nhiều lệch lạc Tình hình đạo đức học sinh có biểu xuống cấp (ở số học sinh) học sinh học yếu Với thực trạng em thường có tâm lý “sợ” phải học mơn tốn Khi chưa thực theo giải pháp mới, học sinh chưa có kỹ tốt để phân biệt làm tốn viết phương trình tiếp tuyến đường cong, dẫn tới học uể oải, chất lượng khơng cao Vì kết kiểm tra đánh giá chưa mong muốn, tỉ lệ học sinh yếu cao, cụ thể là: Qua khảo sát chất lượng lớp 12E-Trung tâm GDTX-DN Hà Trung (năm học 2012-2013) sau:  Kết kiểm tra: Lớp Sĩ số 12E 35 Yếu TB Khá Giỏi SL % SL % SL % SL % 12 34 18 51,4 8,6 Qua thực tế kết khảo sát nhận thấy rằng: Kết kiểm tra cịn mức độ yếu cao, số lượng học sinh đạt điểm giỏi hạn chế download by : skknchat@gmail.com 2.3 Nội dung vấn đề nghiên cứu 2.3.1 Bài toán 1: Cho đồ thị hàm số y = f(x) có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị thuộc đồ thị (C) Cách giải: +) Tính y’ = f’(x) tính f’(x0) +) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) : Nhận xét: Bài tốn có phương trình tiếp tuyến Chú ý: Nếu toán cho biết thành phần tọa độ tiếp điểm ta tìm thành phần tọa độ tiếp điểm Từ suy tọa độ tiếp điểm +) Biết  Bài tốn có phương trình tiếp tuyến +) Biết  Số nghiệm phương trình y0= f(x0) số phương trình tiếp tuyến tốn Ví dụ 1: Cho hàm số (C), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) M(3;2) Lời giải: Ta có y’= Nên y’(3) = -1 Phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) M(3;2) y = -1(x-3)+2 hay y=-x+5 Ví dụ 2: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C):y= 2x+ điểm có hồnh độ x=2 Lời giải: Vì x = nên y = Tọa độ tiếp điểm M(2;7) Ta có y’= + y’(2) = Phương trình tiếp tuyến M(2;7): y = y’(2)(x- 2) +7 download by : skknchat@gmail.com Vậy tiếp tuyến cần tìm là: Ví dụ 3: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C):y = điểm có tung độ y0 = Lời giải: Vì y0 = nên =2 Có hai tiếp điểm M1(1;2) M2(-1;2) Ta có y’ = y’(1) = 8, y’(-1) = -8 Phương trình tiếp tuyến M1(1;2): y = y’(1)(x- 1) +2 hay y = 8(x-1) + y = 8x - Phương trình tiếp tuyến M2(-1;2): y = y’(-1)(x+ 1) +2 hay y = -8(x+1) + y = -8x - Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm là: (1): y = 8x – (2): y = -8x – 2.3.2 Bài toán 2: Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết hệ số góc tiếp tuyến k Cách giải: +) Tính y’ = f’(x) +) Gọi tọa độ tiếp điểm Khi f’(x0) = k (*) +) Giải phương trình (*), tìm x0 Từ suy tọa độ tiếp điểm y0 = f(x0) +) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k: Nhận xét: Số nghiệm phương trình (*) số tiếp tuyến có hệ số góc k Chú ý: +) Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc f’(x0) = a +) Tiếp tuyến vng góc với đường thẳng y = ax + b có hệ số góc f’(x0) = download by : skknchat@gmail.com +) Tiếp tuyến tạo với chiều dương trục Ox góc  có hệ số góc f’(x0) = tan Ví dụ 4: Viết PTTT đường cong (C) , biết hệ số góc tiếp tuyến k = Lời giải: Ta có y’ = Gọi y’(x0) =3 tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Khi =3 +) Với x0 = -1, ta có y0 = trình tiếp tuyến M(-1; -3 = Tọa độ tiếp điểm M(-1; ) là: y = 3(x+1) ) Phương hay y = 3x + +) Với x0 = 3, ta có y0 = Tọa độ tiếp điểm N(3;0) Phương trình tiếp tuyến N(3;0) y = 3(x-3) + hay y = 3x - Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = 3x + y = 3x – Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = ,biết tiếp tuyến song song với (d):y= –2x Lời giải: Ta có y’ = Gọi tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Vì tiếp tuyến song song với (d):y= –2x nên y’(x0) = -2 +) Với , ta có y0 = -1 Tọa độ tiếp điểm M(0;-1) Phương trình tiếp tuyến M(0;-1) là: y = -2(x - 0) - hay y = -2x - download by : skknchat@gmail.com +) Với , ta có y0 = Tọa độ tiếp điểm N(2;3) Phương trình tiếp tuyến N(2;3) là: y = -2(x - 2) + hay y = -2x + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = -2x - y = -2x + Ví dụ 6: Cho hàm số có đồ thị (C) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tạo với chiều dương Ox góc 450 Lời giải: Ta có y’ = x2 -4x+1 Gọi tọa độ tiếp điểm tiếp tuyến cần tìm Vì tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 450 nên y’(x0) = tan450 +) Với x0=0, ta có y0 = -4 Tọa độ tiếp điểm M(0;-4) Phương trình tiếp tuyến M(0;-4) là: y = tan450(x-0)-4 hay y = x – +) Với x0=4, ta có y0 = trình tiếp tuyến N(4; Tọa độ tiếp điểm N(4; ) là: y = tan450(x-4)-( ) Phương ) hay y = x + Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = x – y = x + 2.3.3 Bài toán 3: Cho đồ thị (C): y = f(x) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua điểm A Cách giải: +) Tính y’=f’(x) +) Gọi đường thẳng (d) qua A dạng: y = k(x-xA) + yA có hệ số góc k, phương trình có +) Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình: có nghiệm +) Thay (2) (1) tìm x =? Thay vào (2) tìm k =? +) Kết luận download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 7: Cho hàm số có đồ thị (C), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến qua A(-1;3) Lời giải: Ta có Gọi (d) đường thẳng qua A(-1;3) có hệ số góc k, (d) có phương trình: y= k(x+1) +3 Đường thẳng (d) tiếp xúc với (C) hệ phương trình : có nghiệm Thay (2) vào (1) ta được: Với x = -3, thay vào (2) ta k= Vậy phương trình tiếp tuyến qua A(-1;3) : 2.3.4 Bài toán 4: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): , biết  tạo với đường thẳng d: góc  Cách giải:  Gọi tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc   tạo với d góc   Giải phương trình tìm  Phương trình tiếp tuyến  M: download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 8: Cho hàm số (1) (m tham số) Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: góc , biết Lời giải: Gọi k hệ số góc tiếp tuyến Đường thẳng d có VTPT tiếp tuyến có VTPT Ta có YCBT thoả mãn  hai phương trình sau có nghiệm:      Ví dụ 9: Cho hàm số , (Cm) Tìm giá trị m cho đồ thị (C m) tồn điểm có hồnh độ âm mà tiếp tuyến vng góc với đường thẳng (d): Lời giải: (d) có hệ số góc  tiếp tuyến có hệ số góc k=2 Gọi x hồnh độ tiếp điểm thì: (1) YCBT  (1) có nghiệm âm 10 download by : skknchat@gmail.com + Nếu m=0 (1) + Nếu (loại) dễ thấy phương trình (1) có nghiệm Do để (1) có nghiệm âm Vậy 2.3.5 Bài tốn 5: Viết phương trình tiếp tuyến  (C): , biết  cắt hai trục toạ độ A B cho tam giác OAB vng cân có diện tích S cho trước Cách giải:  Gọi tiếp điểm Tiếp tuyến có hệ số góc  OAB vng cân   tạo với Ox góc   Giải (a) (b) tìm Ví dụ 10: Cho hàm số O   (a) (b) Từ viết phương trình tiếp tuyến  (1) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến cắt trục hồnh, trục tung hai điểm phân biệt A, B tam giác OAB cân gốc tọa độ O Lời giải: toạ độ tiếp điểm  Gọi OAB cân O nên tiếp tuyến  song song với đường thẳng (vì tiếp tuyến có hệ số góc âm) Nghĩa là:  + Với  : + Với  : Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: (loại) (nhận) 11 download by : skknchat@gmail.com Ví dụ 11: Cho hàm số Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết tiếp tuyến cắt trục Ox, Oy A B cho Lời giải: Gọi PTTT M: nên OAB vuông cân O Tam giác vng OAB có Do d vng góc với hai đường phân giác khơng qua O + Nếu  + Nếu  vơ nghiệm Vậy PTTT cần tìm là: 2.3.6 Bài tốn 6: Tìm điểm đường thẳng d mà từ vẽ 1, 2, 3, tiếp tuyến với đồ thị (C): Cách giải: Giả sử  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k:   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  Thế k từ (2) vào (1) ta được: (3)  Số tiếp tuyến (C) vẽ từ M = Số nghiệm x (3) Ví dụ 12: Cho hàm số (C) Tìm đường thẳng điểm từ kẻ tiếp tuyến tới (C) Lời giải: 12 download by : skknchat@gmail.com PT đường thẳng  qua M có dạng: Gọi PT hồnh độ giao điểm  (C):  (*)  tiếp xuc với (C)  (*) có nghiệm kép   Qua kẻ tiếp tuyến đến (C)  có nghiệm   Ví dụ 13: Cho hàm số (C) Tìm đường thẳng (d): y = điểm mà từ kẻ tiếp tuyến phân biệt với đồ thị (C) Lời giải: Gọi PT đường thẳng  qua điểm M có dạng :  tiếp tuyến (C)  hệ PT sau có nghiệm (*) Thay (2) (1) ta được:  Từ M kẻ tiếp tuyến đến đồ thị (C) biệt hệ (*) có nghiệm x phân 13 download by : skknchat@gmail.com (3) có hai nghiệm phân biệt khác Vậy từ điểm M(m; 2)  (d) với kẻ tiếp tuyến với (C) 2.3.7 Bài tốn 7: Tìm điểm mà từ vẽ tiếp tuyến với đồ thị (C): tiếp tuyến vng góc với Cách giải: Gọi  Phương trình đường thẳng  qua M có hệ số góc k:   tiếp xúc với (C) hệ sau có nghiệm:  Thế k từ (2) vào (1) ta được: (3)  Qua M vẽ tiếp tuyến với (C)  (3) có nghiệm phân biệt  Hai tiếp tuyến vng góc với  Từ tìm M Chú ý: Qua M vẽ tiếp tuyến với (C) cho tiếp điểm nằm hai phía với trục hồnh Ví dụ 14: Cho hàm số: (C) Cho điểm Tìm a để từ A kẻ tiếp tuyến tới đồ thị (C) cho tiếp điểm tương ứng nằm phía trục hồnh Lời giải: Phương trình đường thẳng d qua có hệ số góc k: 14 download by : skknchat@gmail.com d tiếp tuyến (C)  Hệ PT  PT: có nghiệm (1) có nghiệm Để qua A có tiếp tuyến (1) phải có nghiệm phân biệt  Khi (*) ta có: Để tiếp điểm nằm phía trục hồnh     Kết hợp với điều kiện (*) ta được: 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường Qua trình rèn luyện cho học sinh khắc sâu nhuần nhuyễn dạng toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, tơi nhận thấy tiết tập phần thay đổi cách rõ rệt: - Giờ học sinh động lôi , kích thích tính khám phá học tập học sinh - Học sinh khơng cịn ngủ gật uể oải toán thường gặp mà thấy thời gian trôi thật nhanh - Cách làm học sinh có lơgic bước theo trình tự rõ ràng 15 download by : skknchat@gmail.com - Trong q trình dự thăm lớp cơng tác giảng dạy mẫu thầy cô nhà trường đánh giá cao độ tiếp cận kiến thức linh hoạt học sinh - Bản thân thấy hăng say q trình tìm tịi, nghiên cứu giảng dạy - Chất lượng môn học: Tại Trung tâm GDTX-DN Hà Trung: + Qua khảo sát lớp 12B ( năm học 2015 -2016 ), tổng số 23 HS , kết sau : Lớp Sĩ số 12B 23 Yếu TB Khá Giỏi SL % SL % SL % SL % 04 17,4 30,4 30,4 21,8 + Qua khảo sát lớp 12C ( năm học 2015 -2016 ), tổng số 25 HS kết sau : Lớp Sĩ số 12C 25 Yếu TB Khá Giỏi SL % SL % SL % SL % 04 16 36 36 04 16  KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận: Xã hội ngày phát triển giáo viên phải đóng vai trị quan trọng Việc đổi phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng việc làm thường xuyên liên tục người giáo viên nói chung giáo viên mơn 16 download by : skknchat@gmail.com tốn nói riêng Sử dụng nhuần nhuyễn sáng tạo phương pháp dạy học giúp học sinh tiếp thu kiến thức tốt Sự tiếp thu không ghi nhớ máy móc kiến thức tốn học mà phải nâng cao khả tư suy nghĩ học sinh Tạo cho em có thái độ, động học tập đắn có vốn kiến thức, kĩ thiết yếu q trình học mơn tốn Phương pháp dạy học kiến thức cách viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số phần chương trình tốn THPT, nhiên giữ vai trò tương đối quan trọng Để khắc sâu tạo hứng thú cho học sinh khám phá kiến thức liên quan đến toán viết phương trình tiếp tuyến đồ thị hàm số cách vận dụng chúng đòi hỏi người giáo viên phải chuẩn bị chu đáo có sáng tạo cho phù hợp với đối tượng học sinh Đó then chốt để kích thích nâng cao tinh thần học tập học sinh để nâng cao chất lượng dạy hướng tới giáo dục toàn diện cho học sinh 3.2 Ý kiến đề xuất -Nhà trường cần tham mưu với cấp ngành, mua sắm thêm đồ dùng trang thiết bị mơ hình thực tiễn mơn tốn -Tổ chức nhiều dạy mẫu theo chuyên đề để nâng cao phương pháp dạy học cho giáo viên mà mục đích cuối nâng cao chất lượng học tập học sinh Trên kinh nghiệm nhỏ mang tính chủ quan cá nhân Mong nhận động viên góp ý cấp lãnh đạo đồng nghiệp Xin chân thành cảm ơn ! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 10 tháng 05 năm 2016 Tơi xin cam đoan SKKN viết, không chép nội dung người khác 17 download by : skknchat@gmail.com Phạm Thị Quế 18 download by : skknchat@gmail.com Mục lục: Trang 1-PHẦN MỞ ĐẦU……… 1.1 Lý chọn đề tài 1.2 Mục đích nghiên cứu: ………… 1.3 Đối tượng nghiên cứu…… 1.4 Phương pháp nghiên cứu .2 NỘI DUNG …… 2.1 Cơ sở lý luận vấn đề nghiên cứu .3 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm .3 2.3 Nội dung vấn đề nghiên cứu .5 2.3.1 Bài toán 1…… 2.3.2 Bài toán 2.3.3 Bài toán 3…………………………………………………………… 2.3.4 Bài toán 4…………………………………………………………… 2.3.5 Bài toán 11 2.3.6 Bài toán 6…………………………… …………………………… 12 2.3.7 Bài toán 7……………………………………………………………14 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường 15 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ………… .…………………… 17 3.1 Kết luận……………………………… ……………17 3.2 Ý kiến đề xuất .17 * TÀI LIỆU THAM KHẢO 19 download by : skknchat@gmail.com *Tài liệu tham khảo 1, Sách giáo khoa giải tích nâng cao lớp 11 12 2, Các giảng luyện thi – NXBGD năm 2005 3, Hướng dẫn ôn tập kỳ thi THPT quốc gia- NXBGD năm 2015, 2016 20 download by : skknchat@gmail.com 21 download by : skknchat@gmail.com 22 download by : skknchat@gmail.com ... Biết  Bài tốn có phương trình tiếp tuyến +) Biết  Số nghiệm phương trình y0= f(x0) số phương trình tiếp tuyến tốn Ví dụ 1: Cho hàm số (C), viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) M(3;2) Lời... Phương trình tiếp tuyến N(3;0) y = 3(x-3) + hay y = 3x - Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: y = 3x + y = 3x – Ví dụ 5: Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C): y = ,biết tiếp tuyến. .. độ tiếp điểm Khi f’(x0) = k (*) +) Giải phương trình (*), tìm x0 Từ suy tọa độ tiếp điểm y0 = f(x0) +) Phương trình tiếp tuyến đồ thị (C) có hệ số góc k: Nhận xét: Số nghiệm phương trình (*) số