Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống
1
/ 23 trang
THÔNG TIN TÀI LIỆU
Thông tin cơ bản
Định dạng
Số trang
23
Dung lượng
293,98 KB
Nội dung
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ TRƯỜNG THPT HẬU LỘC SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM MỘT SỐ KỸ NĂNG CƠ BẢN TÌM CƠNG THỨC TỔNG QT CỦA DÃY SỐ TRONG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN LỚP 11- THPT Người thực hiện: Phạm Công Dũng Chức vụ: Tổ trưởng chun mơn SKKN thuộc lĩnh vực (mơn): Tốn THANH HOÁ NĂM 2019 download by : skknchat@gmail.com download by : skknchat@gmail.com MỤC LỤC Mục lục 1.Mở đầu ……………………………………………………………… 1.1 Lý chọn đề tài …………………………………………………………… ………… 1.2 Mục đích nghiên cứu ………………………………………………………….……… 1.3 Đối tượng nghiên cứu ………………………….………………………….…… …… 1.4 Phương pháp nghiên cứu ………… …………………………………….…… …… Nội dung sáng kiến kinh nghiệm ………………………………………… ……… … 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm ……….………… ………… …… 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm …… … 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề ………………………… … 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy ……………… …………… 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ ……………………………………… ………… 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp ………………………………………………….… 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác …………………… …………… 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường ………………………………………… … Kết luận, kiến nghị ……………………………………………………………………….… 3.1 Kết luận ………………………………………………………………………………… 3.2 Kiến nghị ………………………………………………………………………………… Tài liệu tham khảo ……………………………………………………………………………… Danh mục đề tài sáng kiến kinh nghiệm hội đồng đánh giá xếp loại cấp phòng GD & ĐT, cấp Sở GD & ĐT cấp cao xếp loại từ C trở lên ………………………………………………………………………………………… Trang 2 2 2 3 14 16 19 20 20 20 21 21 download by : skknchat@gmail.com 1.Mở đầu 1.1 Lý chọn đề tài Ông cha ta đúc kết: “Hiền tài nguyên khí quốc gia” Bồi dưỡng học sinh giỏi bước để đào tạo nhân tài cho đất nước, nhiệm vụ quan trọng nhà trường Do năm nhà trường có đội ngũ thầy giáo tham gia làm công tác bồi dưỡng học sinh giỏi, chất lượng mũi nhọn nhà trường tiêu chí quan trọng cơng tác thi đua trường THPT địa bàn tỉnh Thanh Hóa Đối học sinh giỏi nói chung học sinh giỏi mơn tốn nói riêng cần người học sinh phải có tố chất, tư lơgic sáng tạo, có kỹ cần thiết để xử lý vấn đề tốn học Hiện cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi nhà trường quan tâm Trong trình bồi dưỡng học sinh giỏi trường, gặp khơng khó khăn, chất lượng đầu vào thấp, tỷ lệ học sinh đạt giải mơn tốn cấp hai khơng có Trong kỳ thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa tỉnh khác có xuất tốn dãy số với tốn tìm số hạng tổng quát dãy số, khiến cho học sinh lúng túng, chưa có kỹ giải tốn Mặt khác chun đề dãy số trình bày hạn chế sách giáo khoa, với thời lượng ít, gây khó khăn cho học sinh tiếp cận vấn đề Mặt khác tài liệu tham khảo dãy số hạn chế, trọng mặt phương pháp, chưa rõ chất thật vấn đề, chưa trọng rèn luyện kỹ để tìm cơng thức tổng qt dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm cơng thức tổng qt dãy số bồi dưỡng học sinh giỏi môn tốn lớp 11 - THPT” 1.2 Mục đích nghiên cứu : Mục đích nghiên cứu đề tài để nâng cao chất lượng giảng dạy, chất lượng học sinh giỏi Giúp em học sinh làm tốt tốn tìm số hạng tổng qt dãy số kỳ thi học sinh giỏi cấp, kỳ thi THPT quốc gia sau Góp phần làm cho em thấy hay, đẹp mơn tốn, tạo động lực giúp em học tốt 1.3 Đối tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số toán dãy số, từ trang bị cho em học sinh giỏi lớp 11 số kỹ giải tìm cơng thức tổng qt dãy số chương trình mơn tốn bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu lý thuyết - Phương pháp điều tra tham dò khả làm tập học sinh - Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin - Thống kê, tổng hợp, phân tích dạng tốn Nội dung sáng kiến kinh nghiệm 2.1 Cơ sở lí luận sáng kiến kinh nghiệm Để thực đề tài tác giả dựa sở lý thuyết sau : a) Phương pháp quy nạp toán học download by : skknchat@gmail.com b) Cấp số cộng - Dãy số un cấp số cộng un1 un d với n * , d số khơng đổi gọi cơng sai cấp số cộng - Nếu dãy số un cấp số cộng un u1 n 1 d n - Nếu dãy số un cấp số cộng tổng Sn u1 u2 un u1 un c) Cấp số nhân - Dãy số un cấp số nhân un1 un q với n * , q số khơng đổi gọi cơng bội cấp số nhân - Nếu dãy số un cấp số nhân un u1.q n1 - Nếu dãy số un cấp số nhân với q tổng qn Sn u1 u2 un u1 1 q d) Các công thức lượng giác đẳng thức lượng giác 2.2 Thực trạng vấn đề trước áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Trường THPT Hậu Lộc đóng địa bàn xã vùng đồi phía tây bắc có huyện Hậu Lộc có điều kinh tế khó khăn trình độ dân trí cịn thấp, chất lượng đầu vào thấp huyện, tỷ lệ học sinh giỏi Thực trạng năm học 2017- 2018 bắt đầu thi học sinh giỏi khối 11 đề thi thử THPT quốc gia xuất số toán dãy số, khiến em học lúng túng phải xử lý Nhất dãy số cho công thức truy hồi, khơng thể tìm số hạng tổng quát được, trí máy tính cầm tay khó giải Trong cơng tác bồi dưỡng học sinh giỏi thấy phần mà em sợ nhất, mà lại xuất đề thi học sinh giỏi tỉnh Thanh Hóa nói riêng kỳ thi học sinh giỏi cấp lớp 11 nói chung Hầu qua kiểm tra liên quan đến tìm số hạng tổng quát dãy em bỏ trống, làm Những đòi hỏi tư kỹ em khơng xử lý Do cần tìm biện pháp để giúp đỡ em học sinh thoát khỏi nỗi sợ hải dãy số, làm tròn trách nhiệm người thầy cô giáo Giúp em tự tin giải toán, làm cho em đam mê học tập đạt hiệu cao 2.3 Các giải pháp sử dụng để giải vấn đề Trong trình giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 11 chuyên đề dãy số, tác giả tổng hợp kỹ để giải tốn tìm số hạng tổng qt dãy số 2.3.1 Kỹ cộng dồn vế số hạng dãy u1 u Ví dụ Cho dãy số n xác định * un1 un n, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng download by : skknchat@gmail.com Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un un1 nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un Lời giải Từ giả thiết un1 un n với n * nên ta có u2 u1 u3 u2 un un1 n Cộng vế với vế ta n(n 1) Vậy n(n 1) un u1 (1 n 1) un 2 Nhận xét Nhờ cộng dồn vế mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng u1 u Ví dụ Cho dãy số n xác định n * u u n 1, n n n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Ta thấy hệ số số hạng un un1 nên ta liên tưởng đến việc cộng dồn vế để triệt tiêu u1 un Lời giải Từ giả thiết un1 un 3n 4n với n * nên ta có u2 u1 4.1 u3 u2 32 4.2 un un1 3n1 4(n 1) Cộng vế với vế ta un u1 (3 32 33 3n1 ) 4(1 n 1) n (3 32 33 3n1 ) 4(1 n 1) n 3n1 n(n 1) 3n 4 n 1 ( n 1)(2n 1) 1 2 3n Vậy un (n 1)(2n 1) u1 u Ví dụ Cho dãy số n xác định n n * n n un1 un 3.2 2.3 , n Tìm u2018 [3] Định hướng Ta thấy hệ số số hạng un , un1 vai trị chưa ta cần phải đưa vai trị bình đẳng un , un1 nên ta mũ n 1 download by : skknchat@gmail.com dùng kỹ cộng dồn vế tốn giải Lời giải Ta có un1 n unn 3.2n 2.3n unn1 unn 3.2n 2.3n u22 u1 3.21 2.31 u33 u22 3.22 2.32 unn unn11 3.2n1 2.3n1 Suy ra: unn u1 3.(21 22 2n1 ) 2.(31 32 3n1 ) 2n1 3n1 2.3 3.2n 3n Vậy u2018 2018 3.22018 32018 1 1 2.3.2 Kỹ sử dụng dãy số phụ Lựa chọn dãy số phụ cho dãy cấp số cộng cấp số nhân Để thực điều tác giả trang bị cho học sinh số kỹ để xây dựng dãy số phụ sau : - Đồng hệ số - Nâng lên lũy thừa, chia vế… u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định * un1 3un 4, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Ta thấy hệ số số hạng un un1 khác nên dùng kỹ cộng dồn vế khơng thể triệt tiêu số hạng dãy Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Vậy để thiết kế dãy số phụ ? Từ hệ thức truy hồi un1 3un ta cần tìm số a cho un1 a 3(un a ) Thật un1 a 3(un a ) un1 3un 2a , đồng ta có 2a a Vậy ta có un1 3(un 2) nên cần đặt un , suy vn1 3vn Ta có cấp số nhân Bài toán giải Lời giải Ta có un1 3un un1 3(un 2) (1) Đặt un (1) trở thành vn1 3vn Nên cấp số nhân với công bội q số hạng đầu v1 Ta có số hạng tổng quát 3.3n1 3n Do un 3n Vậy un 3n với n * Nhận xét Nhờ thiết kế dãy số phụ mà toán giải nhanh chóng, cho lời giải đẹp Ta tổng quát hóa dãy số un xác định u1 a (2.1) un1 bun c 3.2 download by : skknchat@gmail.com u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định * un1 un 2n 1, n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây dãy số cấp số cộng cấp số nhân thông thường Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số cộng Từ hệ thức truy hồi un1 un 2n un1 a( n 1) b(n 1) un an bn Ta cần tìm số a, b cho un1 a(n 1) b(n 1) un an bn Thật un1 a (n 1) b(n 1) u n an bn un1 u n 2an a b 2a a 1 Đồng hệ số ta có a b 1 b Ta có un1 (n 1)2 2(n 1) un n 2n nên cần đặt un n 2n , suy vn1 Ta có cấp số cộng Bài toán giải Lời giải Ta có un1 un 2n un1 (n 1) 2(n 1) un n 2n (1) Đặt un n 2n (1) trở thành vn1 Nên cấp số cộng với công sai d số hạng đầu v1 u1 12 2.1 Ta có số hạng tổng quát Do un n 2n n 2n Vậy un n 2n với n * Nhận xét Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số un có dạng tổng quát u1 a xác định (2.2) un1 un f (n) Trong f (n) đa thức bậc k theo n cách đặt un g (n) , với g (n) đa thức bậc k theo n có hệ số tự u1 u Ví dụ Cho dãy số n xác định * Tìm số hạng un1 3un 6n 1, n tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un1 khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi un1 3un 6n Ta cần tìm số a, b cho un1 a (n 1) b 3(un an b) Thật un1 a(n 1) b 3(un an b ) un1 un 2an a 2b 2a a Đồng hệ số ta có a 2b b Ta có un1 3(n 1) 3(un 3n 2) nên cần đặt un 3n , suy vn1 3vn Ta có cấp số nhân Bài toán giải download by : skknchat@gmail.com Lời giải Ta có un1 3un 6n un1 3(n 1) 3(un 3n 2) (1) Đặt un 3n (1) trở thành vn1 3vn Nên cấp số nhân với công bội q số hạng đầu v1 3.1 Ta có số hạng tổng quát 6.3n1 2.3n Do un 3n 2.3n 3n Vậy un 2.3n 3n với n * Nhận xét Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số un có dạng tổng quát u1 a xác định (2.3) Trong b f (n) đa thức bậc k un1 bun f ( n) theo n cách đặt un g (n) , với g (n) đa thức bậc k theo n u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định n * un1 2un , n Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Hệ số số hạng un un1 khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Từ hệ thức truy hồi un1 2un 3n Ta cần tìm số a, b cho un1 a.3n1 2(un a.3n ) Thật un1 a.3n1 2(un a.3n ) un1 2un a.3n Đồng hệ số ta có a 1 Ta có un 1 3n1 2(un 3n ) nên cần đặt un 3n , suy vn1 2vn Ta có cấp số nhân Bài toán giải Lời giải Ta có un1 2un 3n un 1 3n 1 2(un 3n ) (1) Đặt un 3n (1) trở thành vn1 2vn Nên cấp số nhân với công bội q số hạng đầu v1 u1 Ta có số hạng tổng quát 5.2n1 Do un 3n 5.2n1 3n Vậy un 5.2n1 3n với n * Nhận xét Bằng cách làm hoàn toàn tương tự ta giải nhanh tốn Ta tìm số hạng tổng quát un dãy số un có dạng tổng quát u1 a d b (2.4) xác định n , với un1 bun c.d u1 u Ví dụ Cho dãy số n xác định Tìm số hạng n * un1 4un 3.4 , n 2n 3n u lim tổng quát n tính giới hạn [2] un Định hướng download by : skknchat@gmail.com Đây đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2018-2019 Nếu làm ví dụ : Thật un1 a.4n1 4(un a.4n ) un1 4un ( vô lý ) nên khơng tìm giá trị a Điều khiến học sinh lúng túng, theo nhận xét trường hợp d b nên khơng thể áp dụng cách làm giống ví dụ Sử u u dụng kỹ chia hai vế từ hệ thức truy hồi cho 4n1 ta nn11 nn 4 u Ta có nn , suy vn1 Ta có cấp số cộng Bài 4 toán giải u u Lời giải Ta có un1 4un 3.4n nn11 nn (1) 4 3 Đặt vn1 (1) trở thành vn1 Nên cấp số cộng 4 u 1 3n với công sai d số hạng đầu v1 Ta có (n 1) 4 2 4 3n n 4n1 (3n 1) Vậy un 4n1 (3n 1) với n * Do un 4n.vn 2 2n 3n 2n 3n n n n lim lim Ta có lim n 1 un (3n 1)4 4n 3 n n n2 4n 4n n Vì lim Ta có với n n n 2 (1 3) C 9( n 1) n 3 n 4n suy lim n Mà lim 9( n 1) 2n 3n n 1 * 0 Vậy un (3n 1) với n lim un Nhận xét Từ hệ thức truy hồi động tác chia hai vế 4n1 ta đưa tốn khó tốn giải Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát xác định u1 a n 1 n (2.5), cách chia cho b u bu c b n n1 u1 un Ví dụ Cho dãy số un xác định * u , n n un download by : skknchat@gmail.com Tìm số hạng tổng quát un [1] Định hướng Đây hệ thức truy hồi dạng phân số nên để đưa tốn ta chọn dãy số , un nghịch đảo Lời giải 1 Ta có un un 1 u v v n n vn1 3vn Khi un1 n un vn1 1 3vn vn 1 vn1 3(vn ) (1) 2 Đặt y n1 (1) trở thành yn1 yn Nên yn cấp số nhân với 1 công bội q số hạng đầu y1 v1 u1 Ta có số hạng tổng quát yn 3n1 Do 1 2.3n1 n 1 u yn un Vậy với n * n 2.3n1 2 2.3n1 Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát u1 a bun (2.6), cách đặt xác định un un1 cu d n u1 4un Ví dụ Cho dãy số un xác định * un1 6u , n n Tìm số hạng tổng quát un [3] Định hướng Để giải toán ta cần định hướng để học sinh đưa dãy số có dạng (2.6) Đặt un m thay vào hệ thức truy hồi ta 4(vn m) 6m 5m (6 m 4)vn vn1 m 1 6(vn m) 6(vn m) Để đưa dạng (2.6) ta cần chọn m cho 6m 5m , chẳng hạn chọn m Bài toán giải tương tự download by : skknchat@gmail.com Lời giải Đặt un m thay vào hệ thức truy hồi ta 4(vn m) 6m 5m (6 m 4)vn vn1 m 1 6(vn m) 6(vn m) Ta chọn m cho 6m 5m v1 Khi đặt un ta dãy số un xác định vn1 , n * 6un 1 Ta có yn yn yn 1 yn1 yn Khi vn1 6vn yn1 yn1 yn yn1 2( yn 6) (1) Đặt w n yn (1) trở thành w n1 2w n Nên w n cấp số nhân 1 w1 y1 68 q với công bội số hạng đầu v1 u1 n 1 n Ta có số hạng tổng quát w n 8.2 1 n un n Do yn w n n2 6 6 1 với n * Vậy un n2 6 Nhận xét Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát u1 a b cun (2.7) xác định un1 d eu n Bằng cách đặt un m , chọn m đưa dạng (2.6) u1 2; u2 Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định sau * u u u , n n 1 n n 10 download by : skknchat@gmail.com u Tính lim nn [2 ] 3 Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do đo cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử un a.un1 b(un1 a.un ) , đồng hệ số ta tìm a, b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử un a.un1 b(un1 a.un ) un2 (b a )un1 abun b a a 3 a 2 Đồng hệ số ta có ab 6 b b a 2 Trường hợp Với ta có b un 2un1 3(un1 2un ), n Suy dãy vn1 un 1 2un cấp số nhân có công bội q vn1 3n1 v2 3n 1 (5 2.2) 3n 1 (1) a 3 Trường hợp Với ta có b un 3un1 2(un1 3un ), n Suy dãy wn1 un1 3un cấp số nhân có cơng bội q wn1 2n1 w2 2n 1 (5 3.2) 2n1 (2) n 1 un1 2un un 3n1 2n1 Từ (1) (2) ta có hệ n 1 un1 3un 2 1 n 3n1 2n1 un Suy lim n lim lim 3n 3 3 3 Nhận xét Nhờ đồng hệ số mà ta giải tốt tốn đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa năm học 2017-2018 Ta tìm số hạng tổng qt un dãy số un có dạng tổng quát xác định u1 a ; u2 b ( 2.8) * un cun 1 dun (n ) Bằng cách đồng hệ số, chọn dãy số phụ u1 1, u2 * un 4un 1 4un , n Ví dụ Cho dãy số (un ) xác định sau Tìm số hạng tổng quát un [2] 11 download by : skknchat@gmail.com Định hướng Đây dãy số mà hệ thức truy hồi số hạng có hệ số khác Do cần lựa chọn dãy số phụ để đưa cấp số nhân Giả sử un a.un1 b(un1 a.un ) , đồng hệ số ta tìm a, b Bài toán đến giải Lời giải Giả sử un a.un1 b(un 1 a.un ) un (b a )un1 abun b a a 2 Đồng hệ số ta có ab b un 2un1 2(un1 2un ), n Suy dãy vn1 un1 2un cấp số nhân có cơng bội q vn1 2n1 v2 2n 1 (3 2.1) 2n 1 Do un1 2un 2n1 (1) Nên yn cấp số cộng với u công sai d số hạng đầu y1 2 1 n 1 Ta có số hạng tổng quát yn (n 1) 4 n 1 n 2n2 (n 1) Vậy un 2n2 (n 1) với n * Do un 2n yn Đặt yn un 2n un1 un 2n1 2n (1) trở thành yn1 yn u1 16 Ví dụ 10 Cho dãy số (un ) xác định bởi: 15(n.un 1) ,(n * ) un1 14 n 1 Tìm số hạng tổng quát un [2] Định hướng Ta thấy có xuất un1 tương ứng với n un tương ứng với n nên tìm cách đưa chúng lại gần nhau, làm xuất dãy số phụ Lời giải Ta có: un1 14 15( n.un 1) (un1 14)(n 1) 15(n.un 1) n 1 (n 1)un1 15n.un 14n (1) Đặt nun v1 16 (1) trở thành: vn1 15vn 14n vn1 n 1 15 n (2) Đặt w n n w1 15 (2) trở thành: wn1 15wn w n cấp số nhân có w1 15, q 15 w n 15n Từ ta có un 15n n n 12 download by : skknchat@gmail.com ìï u1 = ï Ví dụ 11 Cho dãy số un xác định í ïï 9un+1 = un + + + 2un , ( " n ẻ Ơ * ) ỵ Tìm cơng thức số hạng tổng qt un dãy số tính lim un [2] Định hướng Để dấu bậc hai công thức truy hồi ta đặt dãy số phụ xn với xn 2un Bài toán chuyển dạng giải Lời giải Đặt xn 2un , n * x1 xn2 2 Thay vào giả thiết, ta được: xn21 xn2 xn 3xn1 xn Ta có xn2 =1 + 2un , " n ẻ Ơ * hay un * Suy ra: 3xn+1 = xn + " n Ỵ ¥ ( Do xn , n * ) Hay 3( xn1 2) xn n * Đặt yn xn , n * Ta có: ( yn ) cấp số nhân với công bội q ; y1 1 Từ yn y1 n1 n1 , n * Suy ra: xn n1 , n * 3 1 * Do un n1 n2 , n , lim un 2 3 ìï ïï u1 = Ví dụ 12 Cho dãy số un xác định sau í ïï * ïỵ un+1un = un - 2un+1 ,( " n Ỵ ) Tìm số hạng tổng quát un [2] Định hướng Từ công thức truy hồi thực phép chia vế cho un1; un un1un un 2un1 un1 (2 un ) un ( Do un 0, n * ) Đây un1 un dạng dãy số ( Do Lời giải Ta có un1un un 2un1 un 1 (2 un ) un un1 un 1 2( 1) un 0, n * ) (1) un1 un Đặt (1) trở thành vn1 2vn Nên cấp số nhân với un 13 download by : skknchat@gmail.com Ta có số hạng tổng quát u1 1 6.2n1 3.2n Do un Vậy un với n * n n 3.2 3.2 Nhận xét Chỉ cần động tác chia hai vế công thức truy hồi cho un1 ta thiết kế dãy số phụ cách nhanh chóng 2.3.3 Kỹ sử dụng Quy nạp Tính vài số hạng đầu, phán đốn cơng thức tổng quát, chứng minh quy nạp u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định u ,(n * ) n un Tìm số hạng tổng quát un [1 ] Định hướng Việc thiết kế dãy số phụ để tạo thành dãy cấp số cộng hay cấp số nhân việc làm khó khăn Do ta cần chuyển hướng sang việc tính tốn vài số hạng đầu Chẳng hạn u1 ; u2 ; u3 3 2 Đến phát quy luật dãy số Bài toán giải n 1 Lời giải Ta có u1 ; u2 ; u3 ;…… ……, un 3 n 2 n 1 Ta chứng minh un , n * (1) n Với n u1 ( đúng) k 1 Giả sử (1) với n k tức uk k k2 Ta cần chứng minh (1) với n k tức uk 1 k 1 k k 2 n 1 Thật uk 1 Vậy un với n * uk k 1 k 1 n Nhận xét Nhờ sử dụng quy nạp mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng u1 11 u2019 [1 ] Ví dụ Cho dãy số un xác định * Tính un1 10un 9n,(n ) Định hướng Bài tốn sử dụng dãy số phụ để giải,nhưng chứng ta tính vài số hạng đầu xem có điều xảy không? công bội q số hạng đầu v1 14 download by : skknchat@gmail.com Lời giải Cách ( Sử dụng quy nạp) Phân tích: u1 11 10 u2 10u1 10.11 102 10 u3 10u2 18 10.102 17 1003 103 Ta dự doán un 10n n , n * (1) Với n u1 11 ( đúng) Giả sử (1) với n k tức uk 10k k Ta cần chứng minh (1) với n k tức uk 1 10k 1 k Thật uk 1 10uk 9k 10(10k k ) 9k 10 k 1 k ( điều phải chứng minh ) Vậy un 10n n với n * Do u2019 102019 2019 Cách ( sử dụng dãy số phụ ) un1 10un 9n un 1 (n 1) 10(un n) (2) Đặt un n (2) trở thành vn1 10vn Nên cấp số nhân với công bội q 10 số hạng đầu v1 u1 10 Ta có số hạng tổng quát 10.10n1 10n Do un n 10n n Vậy un 10n n với n * Do u2019 102019 2019 un 1 10un 9n un 1 n 1 10 un n Nhận xét Cả hai cách làm điều có hay riêng nó, giáo viên cần trang bị cho em kỹ cần thiết này, phát triển tư linh hoạt sáng tạo u1 1, u2 Tìm số * un 4un1 4un , n Ví dụ Cho dãy số un xác định sau hạng tổng quát un [2 ] Định hướng Bài toán giải cách sử dụng dãy số phụ Tuy nhiên nghĩ đến sử dụng quy nạp Lời giải Ta có u1 (1 1).21 ; u2 (2 1).20 u3 4u2 4u1 4.3 4.1 (3 1).21 u4 4u3 4u2 4.8 4.3 20 (4 1).2 Ta dự doán un (n 1)2 n2 , n * (1) Ta chứng minh phương pháp quy nạp Với n u1 ( đúng) Giả sử (1) với n k tức uk (k 1).2k 2 Ta cần chứng minh (1) với n k tức uk 1 (k 2).2k 1 15 download by : skknchat@gmail.com Thật uk 1 4uk 4uk 1 4( k 1).2 k 2 4k k 3 ( k 1).2k k 2k 1 2k 1 (2k k ) 2k 1 ( k 2) Vậy un (n 1)2n2 , n * Nhận xét Ta thấy sử dụng quy nạp ngắn lại khó khăn cách phán đốn cơng thức tổng qt, chí khơng tìm ra.Cịn sử dụng dãy số phụ dài thực cách trôi chảy 2.3.4 Kỹ sử dụng phép lượng giác Những dãy số có cơng thức truy hồi có dạng giống gần giống với công thức lượng giác ta liên tưởng đến kỹ sử dụng phép lượng giác để tìm số hạng tổng quát dãy số u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số hạng tổng u 2u 1,(n * ) n n1 quát un [1 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân đơi hàm số côsin cos 2a 2cos a , ta liên hệ đến phép lượng giác Lời giải Từ giả thiết ta có 2 2 2 cos cos ; u3 2cos cos u1 cos ; u2 2cos 6 3 2n Ta dự đoán chứng minh quy nạp un cos , n * (1) Với n u1 cos ( đúng) 2k 2 n k Giả sử (1) với tức uk cos 2k 1 Ta cần chứng minh (1) với n k tức uk 1 cos 2k 2 2k 1 2n 2 cos Thật uk 1 2uk2 2cos Vậy un cos ,n * 3 Nhận xét Nhờ phép lượng giác mà ta xác định số hạng tổng quát dãy số cách nhanh chóng, cho lời giải đẹp Bài tốn khơng dùng phép lượng giác khó khăn, chí khơng giải u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số hạng u 3u 4u ,(n * ) n n n1 tổng quát un [1 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy giống cơng thức nhân ba hàm số sin sin 3a 3sin a 4sin a , ta liên hệ đến phép lượng giác 16 download by : skknchat@gmail.com 3 3 sin ; sin ; u2 3sin 4sin 4 4 3 32 3n1 3 ….Ta dự đoán un sin , n * (1) u3 3sin 4sin sin 4 4 Sử dụng quy nạp chứng minh Với n u1 sin ( đúng) 3k 1 Giả sử (1) với n k tức uk sin 3k n k Ta cần chứng minh (1) với tức uk 1 sin k 1 3k 1 3k 3 Thật uk 1 3uk 4uk 3sin 4sin sin 4 3n1 Vậy un sin , n * u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số un2 ,(n * ) un1 Lời giải Ta có u1 hạng tổng quát un [3 ] Định hướng Từ công thức truy hồi ta thấy xuất biểu thức un2 ta nghĩ đến công thức sin cos a , ta liên hệ đến phép lượng giác 2 sin 2(1 cos ) Lời giải u1 sin ; 6 u2 sin 2 2.6 Ta dự đoán un sin n1 , n * Chứng minh quy nạp ta un sin n1 , n * Hay un sin n , n * Vậy un sin n , n * 3 u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định Tìm số hạng tổng * u u ,( n ) n n1 quát un [1 ] Định hướng 17 download by : skknchat@gmail.com cơng thức truy hồi đặt 2cos a un 2cos a 2cos Bài toán đến giải Xuất phát từ u1 un 2cos a 2cos 2cos 2 u2 2cos 2(1 cos ) 2cos 2 Ta dự đoán un 2cos n1 , n * Chứng minh quy nạp ta un 2cos n1 , n * Vậy un 2cos n1 , n * Nhận xét Nhờ sử dụng lượng giác mà ta giải tốt tốn, cho lời giải ngắn gọn súc tích u1 Ví dụ Cho dãy số un xác định un * u ,( n ) n1 (1 2)un Tính u2003 [4 ] Định hướng Nhìn vào cơng thức truy hồi ta thấy giống công thức cộng tang tan a tan b tan( a b) ta có tan Bài toán đến xuất tan a.tan b hướng giải un tan Lời giải Ta có tan nên un1 tan un tan tan tan( ) u1 tan ; u2 tan tan Ta dự đoán un tan n 1 , n * 8 3 Bằng quy nạp ta chứng minh un tan n 1 , n * 8 3 Lời giải Ta có u1 18 download by : skknchat@gmail.com 2002 * Vậy u2003 tan tan ( 2) , n 3 3 4 2.4 Hiệu sáng kiến kinh nghiệm hoạt động giáo dục, với thân, đồng nghiệp nhà trường a) Đối với hoạt động giảng dạy thân đồng nghiệp Đề tài thân áp dụng thành công lớp 11C1, đặc biệt học sinh giỏi tham gia đội tuyển mơn tốn 2017-2018 2018-2019, đồng nghiệp đánh giá có ứng dụng thực tiễn cao công tác giảng dạy bồi dưỡng học sinh giỏi mơn tốn bậc THPT Vận dụng đề tài vào giảng dạy góp phần nâng cao chất lượng dạy, tăng cường tính hứng thú cho người học Đáp ứng yêu cầu đổi phương pháp dạy học, hội nhập quốc tế Đề tài giáo viên tổ tốn- tin, giáo viên ơn đội tuyển học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia, phần vận dụng cao dãy số áp dụng giảng dạy lớp phụ trách đem lại kết tương đối khách quan Qua phong trào đúc rút kinh nghiệp giúp thân đồng nghiệp trao dồi kiến thức kỹ năng, học tập kinh nghiệm lẫn để tiến Từ ngày nâng cao chất lượng giáo dục giảng dạy nhà trường, góp phần nhỏ tạo nên chất lượng giáo dục toàn ngành b) Đối với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh giỏi học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho em kỹ để tìm số hạng tổng quát dãy số Các em khơng cịn sợ tốn dãy số, hình thành cho em niềm đam mê học tập, chủ động tiếp thu hình thành hướng tư giải tốn dãy số nói riêng tốn học nói chung Áp dụng đề tài vào thực tiễn thu kết hoàn toàn khả quan Kết kiểm tra đội tuyển toán lớp 11C1 năm học 2018-2019 +Chưa áp dụng đề tài Số học sinh Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ Lần kiểm tra số 01 14.3% 02 28.6% 01 16.7% +Áp dụng đề tài Số học sinh Số học sinh làm câu dãy Tỉ lệ Lần kiểm tra số 04 57.1% 05 71.4% 04 80 % 05 100 % Đề thi HSG 05 100 % thức 19 download by : skknchat@gmail.com Kết luận, kiến nghị 3.1 Kết luận : Đề tài tổng hợp tổng hợp kỹ để tìm cơng thức tổng quát dãy số, đưa cách giải dạng dãy tổng qt thơng qua ví dụ phong phú đa dạng, định hướng, phân tích so sánh cách giải Đề tài cịn áp dụng rộng rãi cho học sinh giỏi ôn thi THPT quốc gia Đề tài nghiên cứu bổ sung tiếp để trở thành tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh đồng nghiệp 3.2 Kiến nghị : i) Đối với Sở giáo dục : Kính mong Sở giáo dục đào tạo tiếp tục đạo công tác nghiên cứu khoa học, triển khai sáng kiến có chất lượng tồn tỉnh đến trường THPT để học hỏi rút kinh nghiệm trình giảng dạy ii) Đối với nhà trường : Cần tăng cường cơng tác sinh hoạt Tổ nhóm chun mơn để trao đổi chuyên môn, xây dựng chuyến đề bồi dưỡng học sinh giỏi để bồi dưỡng lực toán cho em học sinh Đề tài chắn khơng tránh khỏi thiếu xót để hồn thiện tác giả mong bổ sung góp ý chân thành đồng nghiệp./ XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG Thanh Hóa, ngày 28 tháng năm 2019 ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác Tác giả Phạm Công Dũng 20 download by : skknchat@gmail.com TÀI LIỆU THAM KHẢO : [1] : Tác giả sáng tác [2] : Đề thi học sinh giỏi lớp 11 tỉnh Thanh Hóa trường THPT tỉnh Thanh Hóa [3] : Nguồn mạng internet [4] : Đề thi 30-4 lớp 11 DANH MỤC CÁC ĐỀ TÀI SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM ĐÃ ĐƯỢC HỘI ĐỒNG ĐÁNH GIÁ XẾP LOẠI CẤP PHÒNG GD&ĐT, CẤP SỞ GD&ĐT VÀ CÁC CẤP CAO HƠN XẾP LOẠI TỪ C TRỞ LÊN Họ tên tác giả: Phạm Công Dũng Chức vụ đơn vị cơng tác: Chủ tịch Cơng đồn, Tổ trưởng chuyên môn Trường THPT Hậu Lộc Kết Cấp đánh giá đánh giá Năm học xếp loại TT Tên đề tài SKKN xếp loại đánh giá (Phòng, Sở, (A, B, xếp loại Tỉnh ) C) Lượng giác hóa số tốn phương trình, bất đẳng thức Cấp Sở C 2006-2007 tích phân Một số phương pháp điển hình tìm tâm bán kính mặt cầu Cấp Sở C 2008-2009 ngoại tiếp hình chóp- Hình học 12 Nâng cao hiệu giải hệ phương trình đại số thơng qua số kỹ Cấp Sở C 2011-2012 Nâng cao hiệu giải tốn tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng – Hình học 11 Cấp Sở B 2013-2014 nâng cao thông qua số kỹ Hướng dẫn học sinh yếu giải số toán trắc nghiệm khách Cấp Sở C 2016-2017 quan giải tích lớp 12 - THPT 21 download by : skknchat@gmail.com ... luyện kỹ để tìm cơng thức tổng quát dãy số Do dẫn đến học sinh khơng nắm vũng kỹ đó, dẫn đến khơng giải tốn Xuất phát từ thực trạng tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số kỹ tìm cơng thức tổng quát. .. với học sinh : Đề tài có tính hiệu thực tiễn cao công tác dạy học học sinh giỏi học sinh ôn thi THPT quốc gia Trang bị cho em kỹ để tìm số hạng tổng quát dãy số Các em khơng cịn sợ tốn dãy số, ... tượng nghiên cứu Đề tài nghiên cứu số toán dãy số, từ trang bị cho em học sinh giỏi lớp 11 số kỹ giải tìm cơng thức tổng qt dãy số chương trình mơn tốn bậc THPT 1.4 Phương pháp nghiên cứu - Phương