MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 PhÇn thø Cơ sở lý luận Toán học môn học chiếm vị trí quan trọng nhà trờng phổ thông nói chung, bậc THCS nói riêng Dạy Toán dạy cho học sinh phơng pháp suy luận khoa học - lô gíc Học Toán tức rèn khả t ứng dụng nhằm trang bị vốn kiến thức hoàn chỉnh Chính việc giải toán phơng tiện tốt giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kỹ kỹ xảo Thực tiễn giảng dạy nhà trờng phổ thông có nhiều dạng Toán khác nhau, giành cho đối tợng học sinh Khá giỏi Nhng dạng Toán Giáo viên đa mà học sinh nắm bắt kiến thức vận dụng đợc Nhất đối víi häc sinh líp 6, 7, møc ®é tiÕp thu nhiều hạn chế Vì vậy, ngời thầy cần cho em đợc tiếp cận nhiều toán dạng, hình thức giảng dạy theo chuyên đề Từ em dần đợc trang bị hoàn chỉnh mặt kỹ năng, kỹ xảo việc giải toán Qua nhiều năm học tập nh giảng dạy, nhận thấy có mảng kiến thức tơng đối quan trọng là: "DÃy số", tập đa đợc trải rộng từ khối đến khối lớp cao hơn, hầu nh cha bị dừng lại vị trí Mặt khác, trình giảng dạy thấy em thờng ngại "nhìn" thấy "một dÃy" số có đến "n phần tử", gặp toán phức tạp lại không Do tính đa dạng muôn màu muôn vẻ toán học, thật khó lòng đúc kết đợc nguyên tắc, dựa vào mà tìm đợc "chìa khóa" để giải đợc vấn đề nêu Dẫu ý tởng để hình thành cho em biết hình thành khai thác tối đa kiến thức mới, khã cña sè häc, MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 vận dụng kĩ cần thiết để giải đợc tập điều thành công em Thiết nghĩ dạng toán đợc khai thác triệt để phạm vi ảnh hởng nh tác dụng lớn Chính mạnh dạn su tầm tập để trình bày chuyên đề số tập "Giá trị dÃy số" để đồng nhiệp tham khảo đóng góp ý kiến, Trong khuôn khổ cho phép xin trình bày phạm vi khối lớp - Vì sở quan trọng việc hình thành sáng tạo cho học sinh đợc học tiếp lớp cao hơn, bậc học cao Phần thứ hai Cơ sở thực tiễn Xuất phát từ Toán sách giáo khoa nh sau: TÝnh: A = + + + + 98 + 99 + 100 Ta thÊy tổng A có100 số hạng, ta chia thành 50 nhóm, nhóm có tổng 101 nh sau: A = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + + (50 + 51) = 101 + 101 + + 101 = 50.101 = 5050 Đây Toán mà lúc lên tuổi nhà Toán học Gauxơ đà tính nhanh tổng số Tự nhiên từ đến 100 trớc ngạc nhiên thầy giáo bạn bè lớp Nh toán sở để tìm hiểu khai thác thêm nhiều tập tơng tự, đợc đa nhiều dạng khác nhau, đợc áp dụng nhiều thể loại toán khác nhng chủ yếu là: tính toán, tìm số, so sánh, chứng minh Để giải đợc dạng toán cần phải nắm đợc quy luật dÃy số, tìm đợc số hạng tổng quát, cần phải kết hợp công cụ giải toán khác Các toán đợc trình bày chuyên đề đợc phân hai dạng chính, lµ: MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 - Dạng thứ nhất: DÃy số với số hạng số nguyên, phân số (hoặc số thập phân) cách - Dạng thứ hai: DÃy số với số hạng không cách Sau số tập đợc phân thành thể loại, đà phân thành hai dạng trên: Phần thứ ba Nội dung I thể loại toán số nguyên Dạng 1: DÃy số mà số hạng cách Bài 1: Tính B = + + + + 98 + 99 NhËn xÐt: NÕu häc sinh nµo cã sù sáng tạo thấy tổng: + + + + 98 + 99 cã thÓ tÝnh hoàn toàn tơng tự nh 1, cặp số 51 50, (vì tổng thiÕu sè 100) vËy ta viÕt tæng B nh sau: B = + (2 + + + + 98 + 99) Ta thÊy tỉng ngc gồm 98 số hạng, chia thành cặp ta có 49 cặp nên tổng là: (2 + 99) + (3 + 98) + + (51 + 50) = 49.101 = 4949, ®ã B = + 4949 = 4950 Lêi b×nh: Tỉng B gåm 99 sè hạng, ta chia số hạng thành cặp (mỗi cặp có số hạng đợc 49 cặp d số hạng, cặp thứ 49 gồm số hạng nào? Số hạng d bao nhiêu?), đến học sinh bị vớng mắc Ta có thĨ tÝnh tỉng B theo c¸ch kh¸c nh sau: C¸ch 2: B = + + + + 97 + 98 + 99 + B = 99 + 98 + + + + 2B = 100 + 100 + + 100 + MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 100 + 100 2B = 100.99 ⇒ B = 50.99 = 4950 Bµi 2: TÝnh C = + + + + 997 + 999 Lời giải: Cách 1: Từ đến 1000 có 500 số chẵn 500 số lẻ nên tổng có 500 số lẻ áp dụng ta có C = (1 + 999) + (3 + 997) + + (499 + 501) = 1000.250 = 250.000 (Tổng có 250 cặp sè) C¸ch 2: Ta thÊy: =2.1 - =2.2 - =2.3 - 99 = 2.50- Quan sát vế phải, thừa số thø theo thø tù tõ trªn xng díi ta xác định đợc số số hạng dÃy số C 500 số hạng áp dụng cách ta có: C = + + + 997 + 999 + C = 999 + 997 + + + 2C = 1000 + 1000 + + 1000 + 1000 2C = 1000.500 ⇒ C = 1000.250 = 250.000 Bµi TÝnh D = 10 + 12 + 14 + + 994 + 996 + 998 NhËn xÐt: C¸c số hạng tổng D số chẵn, áp dụng cách làm tập để tìm số số hạng tổng D nh sau: Ta thÊy: 10 =2.4 +2 12 =2.5 +2 14 =2.6 +2 MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 99 = 2.49 +2 8 Tơng tự trên: từ đến 498 có 495 số nên ta có số số hạng D 495, mặt khác ta l¹i thÊy: 495 = 998 − 10 + hay số số hạng = (số hạng đầu - số hạng cuối) : khoảng cách cộng thêm Khi ®ã ta cã: D = 10 + 12 + + 996 + 998 + D = 998 + 996 + + 12 + 10 2D = 1008 + 1008 + + 1008 + 1008 2D = 1008.495 ⇒ D = 504.495 = 249480 Thùc chÊt D = (998 + 10)495 Qua ví dụ , ta rót mét c¸ch tỉng qu¸t nh sau: Cho dÃy số cách u 1, u2, u3, un (*), khoảng cách hai số hạng liên tiếp dÃy d, Khi số số hạng cđa d·y (*) lµ: n = un − u1 + (1) d Sn = n(u1 + un ) (2) Tổng số hạng dÃy (*) Đặc biệt từ công thức (1) ta tính đợc số hạng thứ n dÃy (*) là: un = u1 + (n - 1)d Hc u1 = d = th× S1 = + + + + n = n(n + 1) Bµi TÝnh E = 10,11 + 11,12 + 12,13 + + 98,99 + 99,10 Lời giải Ta đa số hạng tổng dạng số tự nhiên cách nhân hai vế với 100, ®ã ta cã: MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 100E = 1011 + 1112 + 1213 + + 9899 + 9910 = (1011 + 1112 + 1213 + + 9899) + 9910 = (1011 + 9899).98 + 9910 = 485495 + 9910 = 495405 ⇒ E = 4954,05 (Ghi chú: Vì số số hạng cđa d·y lµ (9899 − 1011) + = 98 ) 101 Bài Phân tích số 8030028 thành tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp Lời giải Gọi a số tự nhiên chẵn, ta có tổng 2004 số tự nhiên chẵn liên tiếp là: S = a + (a + 2) + + (a + 4006) = a + ( a + 4006) 2004 = ( a + 2003).2004 Khi ®ã ta cã: (a + 2003).2004 = 8030028 ⇔ a = 2004 VËy ta cã: 8030028 = 2004 + 2006 + 2008 + + 6010 NhËn xÐt: Sau giải toán dạng ta không thấy có vớng mắc lớn, toàn toán mà học sinh không gặp khó khăn tiếp thu Tuy nhiên sở để từ tiếp tục nghiên cứu dạng toán mức độ cao hơn, phức tạp chút Dạng 2: DÃy số mà số hạng không cách Bài Tính A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) Lời giải Ta thấy số hạng tổng tích hai số tự nhên liên tiÕp, ®ã: Gäi a1 = 1.2 ⇒ 3a1 = 1.2.3 ⇒ 3a1= 1.2.3 - 0.1.2 MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 a2 = 2.3 ⇒ 3a2 = 2.3.3 ⇒ 3a2= 2.3.4 - 1.2.3 a3 = 3.4 ⇒ 3a3 = 3.3.4 ⇒ 3a3 = 3.4.5 - 2.3.4 ………………… an-1 = (n - 1)n ⇒ 3an-1 =3(n - 1)n ⇒ 3an-1 = (n - 1)n(n + 1) - (n - 2)(n - 1)n an = n(n + 1) ⇒ 3an = 3n(n + 1) ⇒ 3an = n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) Céng vế đẳng thức ta có: 3(a1 + a2 + … + an) = n(n + 1)(n + 2) [ 1.2 + 2.3 + + n(n + 1)] = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = n(n + 1)(n + 2) C¸ch 2: Ta cã 3A = 1.2.3 + 2.3.3 + … + n(n + 1).3 = 1.2.(3 - 0) + 2.3.(3 - 1) + … + n(n + 1)[(n - 2) - (n - 1)] = 1.2.3 - 1.2.0 + 2.3.3 - 1.2.3 + … + n(n + 1)(n + 2) - (n - 1)n(n + 1) = n(n + 1)(n + 2) ⇒ A = n( n + 1)( n + 2) * Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = 3k(k + 1) Trong ®ã k = 1; 2; 3; Ta dễ dàng chứng minh công thức nh sau: k(k + 1)(k + 2) - (k - 1)k(k + 1) = k(k + 1)[(k + 2) - (k - 1)] = 3k(k + 1) Bµi TÝnh B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) Lời giải áp dụng tính kế thừa bµi ta cã: 4B = 1.2.3.4 + 2.3.4.4 + … + (n - 1)n(n + 1).4 = 1.2.3.4 - 0.1.2.3 + 2.3.4.5 - 1.2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1)(n + 2) [(n - 2)(n - 1)n(n + 1)] = (n - 1)n(n + 1)(n + 2) - 0.1.2.3 = (n 1)n(n + 1)(n + 2) MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 ⇒ B= (n − 1)n(n + 1)(n + 2) Bµi TÝnh C = 1.4 + 2.5 + 3.6 + 4.7 + … + n(n + 3) Lêi gi¶i Ta thÊy: 1.4 = 1.(1 + 3) 2.5 = 2.(2 + 3) 3.6 = 3.(3 + 3) 4.7 = 4.(4 + 3) …… n(n + 3) = n(n + 1) + 2n VËy C = 1.2 + 2.1 + 2.3 + 2.2 + 3.4 + 2.3 + … + n(n + 1) +2n = 1.2 + +2.3 + + 3.4 + + … + n(n + 1) + 2n = [1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + (2 + + + … + 2n) 3C = 3.[1.2 +2.3 +3.4 + … + n(n + 1)] + 3.(2 + + + … + 2n) = = 1.2.3 + 2.3.3 + 3.4.3 + … + n(n + 1).3 + 3.(2 + + + … + 2n) = = n(n + 1)(n + 2) + 3(2n + 2)n n( n + 1)( n + 2) 3(2n + 2) n ⇒ C= + = n(n + 1)(n + 5) Bµi TÝnh D = 12 + 22 + 32 + … + n2 Nhận xét: Các số hạng tích hai số tự nhiên liên tiếp, tích hai số tự nhiên giống Do ta chuyển dạng tập 1: Ta cã: A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + … + n.(n + 1) = 1.(1 + 1) + (1 + 2) + … + MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 + n.(1 + n) = 12 + 1.1 + 22 + 2.1 + 32 + 3.1 + … + n2 + n.1 = (12 + 22 + 32 + … + n2 ) + (1 + + + … + n) MỈt khác theo tập ta có: A= n(n + 1)(n + 2) n(n + 1) ⇒ 12 + 2 + + vµ + + + … + n = … + n2 = = n( n + 1)( n + 2) n(n + 1) n(n + 1)(2n + 1) = Bµi TÝnh E = 13 + 23 + 33 + + n3 Lời giải Tơng tự toán trên, xuất phát từ toán 2, ta ®a tỉng B vỊ tỉng E: Ta cã: B = 1.2.3 + 2.3.4 + … + (n - 1)n(n + 1) = (2 - 1).2.(2 + 1) + (3 - 1).3.(3 + 1) + … + (n - 1)n(n + 1) = (23 - 2) + (33 - 3) + … + (n3 - n) = = (23 + 33 + … + n3) - (2 + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) - (1 + + + … + n) = (13 + 23 + 33 + … + n3) (13 + 23 + 33 + … + n3) = B + n(n + 1) ⇒ n(n + 1) Mà ta đà biết B = (n − 1)n(n + 1)(n + 2) ⇒ E = + 23 + 3 + … + n = = (n − 1)n(n + 1)(n + 2) n( n + 1) n( n + 1) + = C¸ch 2: Ta cã: A1 = = A2 = 13 + 23 = = (1 + 2)2 A3 = 13 + 23 + 33 = 36 = (1 + + 3)2 Gi¶ sư cã: Ak = 13 + 23 + 33 + … + k3 = (1 + + + … + k)2 (1) Ta chøng minh: MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 (2) ThËt vËy, ta ®· biÕt: + + + … + k = Ak = [ k (k + 1) ] k (k + 1) ⇒ (1') Céng vµo hai vÕ cđa (1') víi (k + 1) ta cã: Ak + (k + 1)3 = [ k (k + 1) k (k + 1) ] + (k + 1)3 ⇔ Ak+1 = [ ] + (k 2 + 1)3 (k + 1)( k + 2) = 2 Vậy tổng với A k+1, tức ta lu«n cã: Ak+1 = 13 + 23 + 33 + … + (k + 1)3 = [1 + + + … + (k + 1)]2 = (k + 1)( k + 2) = VËy ®ã ta cã: n(n + 1) E = + + + … + n = (1 + + + … + n) = 3 3 2 Lời bình: - Với tập ta áp dụng kiến thức quy nạp Toán học - Bài tập dạng tập tổng số hạng cấp số nhân (lớp 11) nhng giải đợc phạm vi cấp THCS Bài (Trang 23 SGK To¸n tËp 1) BiÕt r»ng 12 + 22 + 32 ++ 102 = 385, đố em tính nhanh đợc tæng S = 22 + 42 + 62 + … + 202 Lêi gi¶i Ta cã: S = 22 + 42 + 62 + … + 202 = (2.1)2 + (2.2)2 + … + (2.10)2 = MUA TRỰC TIẾP LIÊN H T, ZALO: 0946.734.736 Bài Tính giá trị biÓu thøc S = +3 + + 33 + + 32000 (1) Lời giải: Cách 1: ¸p dơng c¸ch lµm cđa bµi 1: Ta cã: 3S = + + 33 + … + 32001 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta ®ỵc: 3S - 2S = (3 + 32 + 33 + … + 32001) - (1 +3 + 32 + 33 + … + 32000) 32001 − 2S = 32001 - ⇒ S = Hay: C¸ch 2: Tơng tự nh cách trên: Ta có: S = + 3(1 +3 + + 33 + … + 31999) = + 3(S - 32000) = + 3S - 32001 ⇒ 2S = 32001 - ⇒ S = 32001 − *) Tỉng qu¸t ho¸ ta cã: S n = + q + q + q3 + … + q n (1) qSn = q + q2 + q3 + + qn+1 (2) Khi ta có: Cách 1: Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: (q - 1)S = q n+1 - ⇒ S = q n +1 − q −1 C¸ch 2: S n = + q(1 + q + q + q3 + … + qn-1) = + q(Sn - qn) = + qSn - qn+1 ⇒ qSn - Sn = qn+1 - hay: Sn(q - 1) = qn+1 - ⇒ S= q n +1 − q −1 Bµi Cho A = + + 22 + 23 + … + 29; B = 5.28 HÃy so sánh A B MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 C¸ch 1: Ta thÊy: B = 5.28 = (23 + 22 + + + + + + + 1).26 = + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 = 29 + 28 + 27 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 26 + 25 + 25 (V× 26 = 2.25) VËy rõ ràng ta thấy B > A Cách 2: áp dụng cách làm tập ta thấy đơn giản hơn, thật vậy: A = + + 2 + 23 + … + (1) 2A = + 22 + 23 + … + 29 + 210 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta cã: 2A - A = (2 + 22 + 23 + … + 29 + 210) - (1 + + 22 + 23 + … + 29) = 210 - hay A = 210 - Cßn: B = 5.28 = (22 + 1).28 = 210 + 28 Vậy B > A Lời bình: Đối với cách làm thứ phù hợp với tập với số số hạng Do vậy, gặp tập dạng nhng có nhiều số hạng ta nên áp dụng cách làm thứ hai Tuy nhiên giáo viên cần gợi ý cho học sinh thấy đợc: ta tìm đợc giá trị cđa biĨu thøc A, tõ ®ã häc sinh cã thĨ so sánh đợc A với B mà không gặp khó khăn Bài Tính giá trị biểu thức S = + 2.6 + 3.6 + 4.63 + … + 100.699 (1) Ta cã: 6S = + 2.6 + 3.63 + … + 99.699 + 100.6100 (2) Trõ tõng vÕ cña (2) cho (1) ta ®ỵc: MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 5S = - 2.6 + (2.62 - 3.62) + (3.63 - 4.63) + … + (99.699 100.699) + + 100.6100 - = 100.6100 - - (6 + 62 + 63 + + 699) (*) Đặt S' = + 62 + 63 + … + 699 ⇒ 6S' = 62 + 63 + … + 699 + 6100 ⇒ ⇒ S' = 6100 − 6100 − thay vµo (*) ta cã: 5S = 100.6 100 - = 5 499.6100 + ⇒ S= 499.6100 + 25 Bµi Ngêi ta viÕt d·y sè: 1; 2; 3; Hái ch÷ sè thø 673 chữ số nào? Lời giải Ta thấy: Từ đến 99 có: + 2.90 = 189 chữ số, theo đầu ta thiếu số chữ số dÃy là: 673 - 189 = 484 chữ số, nh chữ số thứ 673 phải nằm dÃy số có chữ số Vậy ta xét tiếp: Từ 100 đến 260 có: 3.161 = 483 chữ sè Nh vËy tõ ®Õn 260 ®· cã: 189 + 483 = 672 chữ số, theo đầu chữ số thứ 673 chữ số số 261 Một số tập tự giải: Tính: A = 1.2.3.4 + 2.3.4.5 + … + (n - 2) … (n + 1) TÝnh: B = 1.2.4 + 2.3.5 + … + n(n + 1)(n + 3) TÝnh: C = 22 + 52 + 82 + + (3n - 1)2 TÝnh: D = 14 + 24 + 34 + + n4 TÝnh: E = + 74 + 77 + 710 + … + 73001 TÝnh: F = + 83 + 85 + … + 8801 TÝnh: G = + 99 + 999 + … + 99 … (ch÷ sè cuèi gåm 190 ch÷ sè 9) MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 TÝnh: H = 1.1! + 2.2! + … + n.n! Cho d·y sè: 1; 2; 3; … Hái ch÷ sè thø 2007 chữ số nào? II thể loại toán phân số: 1 1 Bài Tính giá trÞ cđa biĨu thøc A = 1.2 + 2.3 + 3.4 + + (n − 1).n Lêi gi¶i 1 1 1 − ÷sau bá dÊu ngc ta Ta cã: A = − ÷+ − ÷+ + 1 n −1 n cã: n A = 1− = n −1 n Nhận xét: Ta thấy giá trị tử không thay đổi chúng hiệu hai thừa số mẫu Mỗi số hạng m 1 cã d¹ng: b(b + m) = b − b + m (HiƯu hai thõa sè ë mÉu lu«n b»ng giá trị tử phân số viết đợc dới dạng hiệu hai phân số khác với mẫu tơng ứng) Nên ta có tổng với đặc điểm: số hạng liên tiếp đối (sè trõ cđa nhãm tríc b»ng sè bÞ trõ nhóm sau liên tiếp), nh số hạng tổng đợc khử liên tiếp, đến tổng số hạng đầu số hạng cuối, lúc ta thực phép tính đơn giản Bài Tính giá trị biểu thức B = 4 4 4 + + + + 3.7 7.11 11.15 95.99 + + + B = + ÷ vận dụng cách làm 95.99 3.7 7.11 11.15 phÇn nhËn xÐt, ta cã: - = (đúng tử) nên ta có: 1 1 1 1 1 32 B = − + − + − + + − ÷= − = 95 99 99 99 7 11 11 15 MUA TRỰC TIẾP LIấN H T, ZALO: 0946.734.736 Bài Tính giá trị cđa biĨu thøc C = 72 72 72 72 + + + + 2.9 9.16 16.23 65.72 NhËn xÐt: Ta thÊy: - = ≠ 72 ë tử nên ta áp dụng cách làm (ở tử chứa 2), giữ nguyên phân số ta tách đợc thành hiệu phân số khác để rút gọn tổng đợc Mặt khác ta thấy: 1 = , để giải đợc vấn đề ta phải đặt làm 2.9 thừa số chung dấu ngoặc, thực bên ngoặc đơn giản Vậy ta có thĨ biÕn ®ỉi: 7 + + + + ÷ 65.72 2.9 9.16 16.23 C = = 1 1 1 1 − + − + − + + − ÷= 65 72 9 16 16 23 = − ÷ = = 72 72 72 1 35 29 Bµi Tính giá trị biểu thức D = 3 3 + + + + 1.3 3.5 5.7 49.51 Lời giải Ta lại thấy: - = tử phân số tổng nên cách ta đa đa vào thay Ta có: D = = 2 3 3 3 2 2 + + + + + + + + ÷= ÷ 1.3 3.5 5.7 49.51 1.3 3.5 5.7 49.51 1 1 1 1 1 1 50 25 − + − + − + + − ÷= − ÷ = g = 1 3 5 49 51 51 51 17 Bài Tính giá trị cđa biĨu thøc E = 1 1 1 + + + + + 91 247 475 775 1147 Lêi gi¶i Ta thÊy: = 1.7 ; 91 = 13.7 ; 247 = 13.19 ; 475 = 19.25 775 = 25.31 ; 1147 = 31.37 MUA TRỰC TIP LIấN H T, ZALO: 0946.734.736 Tơng tự tập trªn ta cã: E= 1 6 6 6 + + + + + ÷= 1.7 7.13 13.19 19.25 25.31 31.37 1 1 1 1 1 1 1 36 = − + − + − + − + − + ữ= ì1 ữ = ì = 7 13 13 19 19 25 25 31 31 37 37 37 37 Bài (Đề thi chọn HSG Toán - TX Hà Đông - Hà Tây - Năm học 2002 - 2003) 2 2 + + + + 60.63 63.66 117.120 2003 So sánh: A = B= 5 5 + + + + 40.44 44.48 76.80 2003 Lời giải Lại áp dụng cách làm 1 ta có: A= 2 3 + + + = ÷+ 60.63 63.66 117.120 2003 1 − = − + − + + = ÷+ 60 63 63 66 117 200 2003 2 1 2 = × + = − ÷+ 60 120 2003 120 2003 = + 180 2003 Tơng tự cách làm ta có: B= 1 5 5 = × + = + − ÷+ 40 80 2003 80 2003 64 2003 4 + + = + Ta l¹i cã: 2A = Từ ta thấy ữ= 180 2003 180 2003 90 2003 B > 2A hiển nhiên B > A Bài (Đề thi chọn HSG Toán năm học 1985 - 1986) So sánh hai biĨu thøc A vµ B: + + + + A = 124 ÷ 16.2000 1.1985 2.1986 3.1987 1 1 MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 B= 1 1 + + + + 1.17 2.18 3.19 1984.2000 Lêi gi¶i Ta cã: A = = 1 1 1 + + + ÷− + + + ÷ 16 16 1985 1986 2000 Cßn B = = 124 1 1 1 1 − + − + − + + − ÷= 1984 1985 1986 1987 16 2000 1 1 1 − + − + + − ÷ = 16 17 18 1984 2000 1 1 1 1 + + + ÷− + + + ÷ = 16 1984 17 18 2000 = 1 1 1 1 1 1 + + + ÷+ + + + − − − − + + ÷− ÷ 16 16 17 18 1984 17 18 1984 1985 2000 = 1 1 + + + 1 + + + ÷− ÷ 16 16 1985 1986 2000 VËy A = B 1 1 Bµi Chøng tá r»ng: + 13 + 25 + + n2 + n + < víi n N ( ) Lời giải Ta áp dụng cách làm tập trên, mà ta thấy: 2 2 < ; < ; < ta ph¶i so s¸nh: 2 víi: n + (n + 1) 2n(2n + 1) 2.4 13 4.6 25 6.8 1 vËy: n2 + (n + 1)2 = n2 + (n + 1)2 = 2n2 + 2n + ThËt 1 = = 2n(2n + 2) n(2n + 2) 2n + 2n nªn hiĨn nhiªn n2 + (n + 1)2 < 2n(2n + 1) ∀n ∈ N 1 1 2 2 VËy ta cã: + 13 + 25 + + n2 + n + < 2.4 + 4.6 + 6.8 + + 2n(2n + 2) ( ) cßn MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 1 1 1 1 Mµ: 2.4 = − ; 4.6 = − ; 6.8 = − 2n(2n + 2) = 2n − 2n + nªn: 2 2 1 1 1 1 1 + + + + = − + − + − + − − < = 2.4 4.6 6.8 2n(2n + 2) 4 6 n n + 2 2n + 2 lµ hiĨn nhiªn víi mäi sè tù nhiªn n 1 1 1 1 1 1 VËy: + 13 + 25 + + n2 + (n + 1) < − + − + − + 2n − 2n + hay 1 1 + + + + < 13 25 n + (n + 1) 2n + Bài Tính giá trị biểu thức M = (1.2)2 + (2.3) + + n(n + 1) [ ] Lêi gi¶i 1 1 1 1 Ta cã ngay: M = 12 − 22 + 22 − 32 + + (n − 1)2 − n + n2 − ( n + 1)2 = 1− (n + 1) − = (n + 1) (n + 1) = (n + 1)(n + 1) − n + 2n + − n + 2n n( n + 2) = = = (n + 1) (n + 1) (n + 1) ( n + 1) Bài 10 Tính giá trị biÓu thøc N = 1 1 + + + + 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n( n + 1)(n + 2) Lêi gi¶i 1 2 2 + + + + ÷ 1.2.3 2.3.4 3.4.5 n.(n + 1)(n + 2) Ta cã: N = = 1 1 1 1 1 − + − + − + + − ÷ 1.2 2.3 2.3 3.4 3.4 4.5 n.( n + 1) ( n + 1)( n + 2) = 11 − ÷ (n + 1)(n + 2) Bài 11 Tính giá trị biểu thức: H = 1 + + + 1.2.3.4 2.3.4.5 (n − 1).n(n + 1)( n + 2) Lêi gi¶i Ta cã: H = = 3 × + + + ÷ 1.2.3.4 2.3.4.5 ( n − 1).n.( n + 1).(n + 2) 1 1 1 1 − + − + + − ÷ 1.2.3 2.3.4 2.3.4 3.4.5 ( n − 1).n.( n + 1) n.( n + 1).( n + 2) MUA TRỰC TIẾP LIÊN HỆ ĐT, ZALO: 0946.734.736 11 − ÷ n(n + 1)(n + 2) = Bµi 12 Chøng minh r»ng P = 12 12 12 12 + + + + < 1.4.7 4.7.10 7.10.12 54.57.60 Lêi gi¶i + + + + Ta cã: P = ÷ 54.57.60 1.4.7 4.7.10 7.10.13 6 6 − + − + + − = − + ÷= 54.57 57.60 1.4 4.7 4.7 7.10 7.10 10.13 1 1 1 1 = < = Vậy P < = ữ= ì 3420 855 854 2 57.60 1 854 427 427 Bµi 13 Chøng minh r»ng S = + 1 1 1 + + + +