PHỊNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN Năm học: 2016 - 2017 Môn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (khơng kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/11/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC MA TRẬN ĐỀ KIỂM TRA Mức độ Mạch Kiến thức Nhận biết Thông hiểu Vận dụng Cấp độ thấp Cấp độ cao Cộng Biểu thức đại số 1.a 1.b,c 2.c 1,0 Bất đẳng thức 5,0 đ 2,0 2,0 2.b 2,0 đ 2,0 Phương trình vơ 3.a tỷ Chia hết nghiệm ngun 3.b 2.a 2,0 2,0 Chứng minh mối liên quan đại lượng hình học Tổng cộng 6,0 đ 2,0 4.a,b 3,0 4ý 4ý 3,0 1ý 6,0 Bài 1: (3,0 điểm) a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị nhỏ A Bài 2: (6,0 điểm) a) Giải phương trình b) Chứng minh bất đẳng thức c) Tính giá trị biểu thức có điều kiện ThuVienDeThi.com 4,0 4ý 3,0 8,0 7,0 đ 20,0đ Bài 3: (4,0 điểm) a) Chứng minh chia hết b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn cho trước Bài 4: (4,0 điểm) a) Chứng minh diện tích b) Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: (3,0 điểm) Tính diện tích hình học PHỊNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com Năm học: 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 03/11/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Bài 1:(3 điểm) Cho biểu thức A x2 x 1 ( ) x3 x x a) Tìm điều kiện x để biểu thức A có nghĩa b)Rút gọn biểu thức A c)Tìm giá trị nhỏ A Bài 2:(6 điểm) a)Giải phương trình: x 2015 x 2014 2017 x 2016 b)Chứng minh : 1 2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y 1 1 c)Cho x, y, z thỏa mãn : x y z x y z Tính giá trị biểu thức B x 21 y 21 y11 z11 z 2017 x 2017 Bài 3:(4 điểm) a)Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: (20n + 16n – 3n – 1) 323 b)Tìm số nguyên x,y thỏa mãn : ( y 2) x 2017 y y Bài 4:(4 điểm) Cho tam giác ABC ( có ba góc nhọn) nội tiếp đường trịn (O; R) Các đường cao AD, BE, CF cắt H Kéo dài AO cắt đường tròn K Gọi G trọng tâm tam giác ABC a) Chứng minh SAHG = 2SAGO b) Chứng minh HD HE HF + + =1 AD BE CF Bài 5:(3 điểm) Cho nửa đường trịn (O; R) đường kính AB C D hai điểm nằm nửa đường trịn cho góc CAB = 450 , góc DAB = 300 AC cắt BD M Tính diện tích tam giác ABM theo R HẾT ThuVienDeThi.com PHỊNG GD&ĐT TƯ NGHĨA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TOÁN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10/2016 ĐỀ CHÍNH THỨC Nội dung Bài 1a (1đ) x x 2 a) Điều kiện x để biểu thức A có nghĩa : x3 x 1 x Điểm 1,0đ b) Rút gọn biểu thức A A 1b (1đ) 1 x2 2x x( x 2) ) ( ( x 1)( x x 1) ( x 2) x 1 1 x 1 x x( x 2) x( x 2) ( x x 1) ( x 1)( x x 1) x ( x 1)( x x 1) ( x 1) 1 2 ( x 1)( x x 1) x x 1,0đ c) Tìm giá trị nhỏ A 1 1 x x ( x )2 Ta có A nhỏ ( x ) đạt giá trị nhỏ 4 1 Vậy: Giá trị nhỏ A x = x 2 Ta có A 1c (1đ) 2a (2đ) a) Giải phương trình: x 2015 x 2014 2017 x 2016 2016 Điều kiện x 2017 Phương trình cho tương đương với x x 2017 x 2016 2017 x 2016 x 1 2017 x 2016 1 x 2017 x 2016 ThuVienDeThi.com 1,0đ 1,0đ x 2017 x 2016 x (thỏa mãn điều kiện) Vậy x nghiệm phương trình cho b) Chứng minh: 1,0đ 1 2 biết x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = x.y > x y Ta có: x3 + y3 + 3(x2+y2) + 4(x+ y) + = (x + y)( x2 – xy + y2) + 2(x2 – xy + y2) + (x2 + 2xy + y2) + 4(x+y) + = ( x2 xy + y2)( x + y + 2) + ( x + y + 2)2 = ( x + y + 2)( x2 xy + y2 + x + y + 2) = 2b (2đ) ( x + y + 2)( 2x2 2xy + 2y2 + 2x + 2y + 4) = ( x + y + 2) ( x y ) ( x 1) ( y 1) = x+y+2=0 x + y = -2 mà x.y > nên x< 0, y < ( x ) ( y ) ( x y ) 1 2 2 1 x y 2 Do xy suy hay -2 Mà M xy xy x y xy xy 1 Vậy M 2 (đpcm) x y Áp dụng BĐT CauChy ta có ( x)( y ) 1 c) Cho x, y, z thỏa mãn x 1 : y z x y z Tính giá trị biểu thức B x 21 y 21 y11 z11 z 2017 x 2017 2c (2đ) 1,0đ 1 1 1 1 Ta có: : x y z x y z x y z x y z (yz + xz + xy)(x + y + z) = xyz xyz + zy2 + yz2 + zx2 + xyz + xz2 + yx2 + xy2 + xyz = xyz (xyz + zx2 + xy2+ yx2)+ (zy2 + yz2 + xz2 + xyz) = x(yz + zx + y2+ yx)+ z(y2 + yz + xz + xy) = x y (yz + zx + y + yx)( x+ z) = ( x y )( y z )( x z ) y z z x Thay vào B tính B = ThuVienDeThi.com 1,0đ 1,0đ 1,0đ a) Với n chẵn (n N) chứng minh rằng: 20n + 16n – 3n – 323 Ta có: 323=17.19 20n + 16n – 3n – 1= (20n – 1) + (16n – 3n) 20n – 19 3a 16n – 3n 19 (n chẵn) (2đ) Do 20n + 16n – 3n – 19 (1) n n n n n n 20 + 16 – – 1= (20 – ) + (16 –1) n 20 – 3n 17 16n –1n 17 ( n chẵn) Do 20n + 16n – 3n – 17 (2) n Mà (17;19) = nên từ (1) (2) suy 20 + 16n – 3n – 323 1,0đ 1,0đ b) Tìm số nguyên x,y thỏa mãn : ( y 2) x 2017 y y Nếu y+2=0 y 2 lúc phương trình có dạng x 2017 (vô nghiệm ) Nếu y 2 ta có x 2017 3b (2đ) Vì x,y nguyên nên 1,0đ y2 y 1 y y2 y2 nguyên y Ư(1) 1;1 y2 Với y 1 y 3 x 2017 4 (loại ) 1,0đ Với y y 1 x 2017 x Vậy số nguyên x,y thỏa mãn đề : x=0,y=-1 a) Chứng minh SAHG = 2SAGO Tam giác ACK nội tiếp đường trịn (O) đường kính AK Nên KC vng góc với AC Mà BE vng góc với AC (gt) Suy KC // BE hay KC // BH Chứng minh tương tự ta có KB // CH Nên tứ giác BHCK hình bình hành A 1,0đ E F H G B O D M C K ThuVienDeThi.com 1,0đ (4đ) Gọi M giao điểm BC HK nên M trung điểm BC mà G trọng tâm tam giác ABC nên AG = AM M trung điểm HK nên AM đường trung tuyến tam giác AHK Mà G thuộc đoạn AM AG = AM nên G trọng tâm tam giác AHK Ta có O trung điểm AK nên HO đường trung tuyến tam giác AHK Nên HO qua G HG = 2GO Tam giác AHG tam giác AGO có chung đường cao kẻ từ A đến HO HG = 2GO Do SAHG = 2SAGO 2,0đ HD HE HF + + =1 AD BE CF 1 HD.BC HE.AC HF.AB HD HE HF 2 + + = + + Ta có: AD BE CF AD.BC BE.A C CF.AB 2 S S S +S +S S S HAC HAB = ABC = = HBC + HAC + HAB = HBC S S S S S ABC ABC ABC ABC ABC b) Chứng minh Tính diện tích tam giác ABM theo R M C D N (3đ) A B O H Gọi N giao điểm AD BC; H giao điểm MN AB Chứng minh góc AHM = 900 ; mà góc CAB = 450 (gt) nên tam giác AHM vuông cân MH = AH MH + HB = AH + HB = 2R (1) ThuVienDeThi.com 1,0đ * Tam giác MHB vuông H HB=MB.cos MBH MB = HB HB = = 2HB cos MBH cos 600 MH= MB.sinMBH MH = MB.sin 600 = MH = 3.MH Từ (1) (2) ta có MH + Vậy: S = MB = HB HB= (2) 3.MH 6R = 2R Þ MH = = (3 3+ AB.MH = 2R.(3 2 3) R = (3 - 3).R 3) R Chú ý: -Học sinh giải theo cách khác, cho điểm tối đa -Khơng có điểm vẽ hình -Chứng minh mà khơng có hình vẽ hình vẽ sai khơng có điểm Duyệt đề: Nghĩa Thắng, ngày 01 tháng 11 năm 2016 Giáo viên đề Trương Quang An ThuVienDeThi.com 2,0đ ... ThuVienDeThi.com PHÒNG GD&ĐT TƯ NGHĨA HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN Đề thi học sinh giỏi lớp cấp trường Năm học: 2016 - 2017 Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi: 22/10 /2016 ĐỀ CHÍNH... Chứng minh đẳng thức hình học Bài 5: (3,0 điểm) Tính diện tích hình học PHỊNG GD&ĐT TƯ NGHĨA KÌ THI HỌC SINH GIỎI LỚP CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com Năm học: 2016 - 2017 Mơn thi: Tốn Thời gian: 150... 2014 2017 x 2016 2016 Điều kiện x 2017 Phương trình cho tương đương với x x 2017 x 2016 2017 x 2016 x 1 2017 x 2016 1 x 2017 x 2016