Đề thi chọn HSG toán lớp 9 huyện Tam Dương vòng 1 năm học: 20112012 môn: Toán30232

KÌ THI CHỌN HSG TỐN LỚP VỊNG Năm học: 2011-2012 Mơn: Tốn Thời gian làm bài: 150 phút Đề thi gồm 01 trang UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Lưu ý: Học sinh khơng sử dụng máy tính cầm tay Câu 1: (2,5 điểm) a) Tính giá trị biểu thức: A  x3  y  3( x  y )  2011 Biết rằng: x  3  2  3  2 ; y  17  12  17  12 b) Rút gọn biểu thức: S 1 1   + + 2 2 33 2012 2011  2011 2012 Câu 2: (2 điểm) a) Giải phương trình: x  x   x  b) Giải phương trình nghiệm nguyên: x  3x   y 4 Câu 3: (2 điểm) a) Cho a, b, c số hữu tỉ khác thoả mãn: 1 1    a b c abc Chứng minh rằng: P  (1  a )(1  b )(1  c ) số hữu tỉ b) Cho a, b, c > thoả mãn: a  b  c  abc  Chứng minh biểu thức: B  a (1  b)(1  c)  b(1  c)(1  a )  c(1  a)(1  b)  abc  2011 số Câu 4: (2,5 điểm) Đường tròn tâm O nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA, AB điểm D, E, F Đường trịn tâm O’ bàng tiếp góc A tam giác ABC tiếp xúc với cạnh BC P phần kéo dài cạnh AB, AC tương ứng điểm M, N BC  CA  AB BP = CD b) Trên đường thẳng MN ta lấy điểm I K cho CK // AB, BI // AC Chứng minh rằng: BICE hình bình hành c) Gọi (S) đường trịn qua điểm I, K, P Chứng minh rằng: (S) tiếp xúc với đường thẳng BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Cho a, b, c số thực không âm abc = Chứng minh rằng: a) Chứng minh rằng: BP  1 1    2 a  2b  b  2c  c  2a  2 HẾT Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh SBD: ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG Năm học: 2011-2012 UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,5 điểm) Câu a) (1,5đ) Nội dung trình bày Điểm Ta có x3   3 2  3 2    2   2  3  2 3  2  3 2  3 2  0,5   3x y3   17  12  17  12  0,5  17  12  17  12  17  12  3 17  12 17  12  17  12  0,5  34  y Khi A = + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2011 = 2051 b) (1đ) b) Ta có:  (n  1) n  n n   n(n  1)  n(n  1)  n n 1  n n  n 1  n 1  n n 1    n 1  n 1   n(n  1) n n 1 0,5 Do đó: 1 1 1       + 2 3 S  1 2012 S Câu 2: (2 điểm) Câu 0,25 1  2011 2012 0,25 Nội dung trình bày a)(1đ) §iỊu kiƯn: x  3 Phương trình tương đương với 0,25 x x   x   x    x  1  x 1  x   x 1  x      x    x   x    x x 1  Điểm  x3 2  1 2   x  1    x 1 Ta cã 1   x x    x x        ThuVienDeThi.com 0,25 (tho¶ m·n) 0,25 3  x  x   x  (tho¶ m·n) 2       x   3  x  x  7x 0,25 Vậy phương trình đà cho cã mét nghiÖm x = b)(1đ) - Nếu x = y = 1, -1 - Nếu x ≠ 0, ta có 0,25 x  2x   x  3x   y  x  4x  Hay (x  1)  x  3x   ( y )  (x  2) (loại) 2 2 2 Vậy PT có nghiệm nguyên (x, y) (0; 1), (0; -1) Câu 3: (2 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) Từ đề suy ab + bc + ca = Ta có + a2 = ab + bc + ca + a2 = (a + b)(a + c) + b2 = ab + bc + ca + b2 = (b + c)(a + b) + c2 = ab + bc + ca + c2 = (c + a)(b + c) Do P  (a  b)(b  c)(c  a)  (a  b)(b  c)(c  a ) Vì a, b, c số hữu tỉ nên P số hữu tỉ b)(1đ) Theo ta có a  b  c  abc   a  abc   b  a Do 0,5 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 a (1  b)(1  c)  a (1  b  c  bc)  a (a  abc  bc)  (a  abc )  a  abc Tương tự b(1  c)(1  a )  b  abc 0,5 0,25 c(1  a )(1  b)  c  abc Khi B  a  b  c  abc  abc  2011  a  b  c  abc  2011  2012 Câu 4: (2,5 điểm) Câu Nội dung trình bày a)(1đ) A F O D B E C P M I O’ K N Ta có 2BP = 2BM = 2AM – 2AB = AM + AN – 2AB = AB + BM +AC + CN – 2AB ThuVienDeThi.com Điểm = AB + BP + CP + AC – 2AB = BC + CA – AB Tương tự 2CD = CD + CE = CB – DB + CA – EA = CB + CA – FB – FA = CB + CA – AB Vậy BP = CD b)(0,75đ) c)(0,75đ) ฀ Vì BI // AN (gt)  BIM  ฀ANM  ฀AMN   BIM cân B  BM = BI = BP Mà BP = CE ( = CD)  BI = CE mà BI // CE Vậy BICE hình bình hành Theo chứng minh ta có BI = BP; CP = CK;  BIP; CPK cân đỉnh B; C Gọi BI  CK = Q, phân giác góc IBP cắt phân giác góc PCK S  S tâm đường trịn nội tiếp  BCQ Vì BIP cân B  BS trung trực PI CPK cân C  CS trung trực PK  S tâm đường tròn ngoại tiếp PIK  Đường tròn (S) ngoại tiếp PIK tiếp xúc với BC, BI, CK Câu 5: (1 điểm) Câu Nội dung trình bày Ta có a  b  2ab; b   2b  a  2b   2(ab  b  1) 1   a  2b  2(ab  b  1) 1 1 Tương tự  ;  2 b  2c  2(bc  c  1) c  2a  2(ac  a  1) Khi đó: 1 1 1         2 2 a  2b  b  2c  c  2a   ab  b  bc  c  ac  a   1 ab b    =  ( abc = 1)  =  ab  b  b   ab  ab  b  0,5 0,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Điểm 0,25 0,25 0,25 0,25 Lưu ý: - HDC cách giải HS giải theo cách khác, giám khảo vào làm cụ thể HS điểm - Điểm phần, câu khơng làm trịn Điểm tồn làm trịn đến 0,25 - Bài hình khơng vẽ hình vẽ hình sai khơng chấm ThuVienDeThi.com ... 3x y3   17  12  17  12  0,5  17  12  17  12  17  12  3 17  12 17  12  17  12  0,5  34  y Khi A = + 3x + 34 + 3y – 3(x + y) + 2 011 = 20 51 b) (1? ?) b) Ta có:  (n  1) n  n... n(n  1)  n(n  1)  n n ? ?1  n n  n ? ?1  n ? ?1  n n ? ?1    n ? ?1  n 1   n(n  1) n n ? ?1 0,5 Do đó: 1 1 1       + 2 3 S  1? ?? 2 012 S Câu 2: (2 điểm) Câu 0,25 1  2 011 2 012 0,25...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN KÌ THI CHỌN HSG LỚP VÒNG Năm học: 2 011 -2 012 UBND HUYỆN TAM DƯƠNG PHỊNG GD&ĐT ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (2,5 điểm) Câu a) (1, 5đ) Nội dung trình bày Điểm Ta có x3