đề thi học sinh giỏi TP Hà Nội Năm học: 2009-2010 Câu1(4 điểm): Tính GT biểu thức A =(x31+x3-x2010 )2009 x = (Sưu tầm: Thái Tuấn) 17 38 14 Câu 2(4 điểm): 1) Giải phương trình : x4+3x3-2x2-6x+4=0 (1) xy x y a 2) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm : 2 x y xy a Câu3(4 điểm): x4 x3 x 0 x x3 2x x 1 1 2) Tìm GTLN P = 3 3 3 , với x,y,z >0 thoả mãn xyz=1 x y 1 y z 1 z x 1 1) Giải bất phương trình : Câu4(6 điểm): Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp đường tròn (O;R) D điểm cung nhỏ AC( D khác A C) Gọi M,N chân đường vng góc kẻ từ M xuống AB,AC Gọi P giao điểm MN BC a) Chứng minh DP BC vng góc với b) Đường trịn (I;r) nội tiếp tam giác ABC Tính IO với R = 5cm,r =1,6cm Câu 5(2 điểm): Tìm số nguyên dương x,y để C số nguyên dương C = x3 x xy Gợi ý lời giải- kết GV: Thái Tuấn (THCS Thạch Đà-Mê Linh-Hà Nội) Câu1: Tính x = 17 38 3 17 38 17 38 17 38 A Câu2: a) x =0 không nghiệm phương trình Xét x 1 x 3 x t 3t x x ThuVienDeThi.com t 1 t 2 x x x x Giải hệ thống phương trình thu nghiệm PT(1) sau:{1;-2; -1 3;1 b) Dễ thấy (x;y) nghiệm (y;x) nghiệm hệ Để hệ có nghiệm 1 x =y Từ hệ suy a 2;2; a 2; thoả mãn(sau thử lại) 4 4 Câu3: a) BPT cho tương đương với: x 12 x x 1 ( x 1) x 1 x 1 x2 x 1 b) áp dụng BĐT quen thuộc: với a,b dương ,ln có: a3+b3 aba b (Dấu = a=b>0) Kết PMax =1 x=y=z =1 Câu4:(các bạn tự vẽ hình) a) Nhiều cách làm Xin giới thiệu cách dễ nghĩ đến Kẻ DP, vng góc với BC Suy P, ,M,N thẳng hàng(Đường thẳng Sim son).Dẫn tới P P, trùng ( MN BC có giao điểm nhất) b) Dễ chứng minh được: OI2 = R2-2Rr (Hệ thức Ơ-le) Từ suy kết Câu 5: C thuộc Z y2C = x2y+x+y + x y Z x y 1 xy x 1y 1 xy * x=1 y =3 * x>1 Thì y y y 1;2;3 Thay GT vào(*) để tìm GT x nguyên lớn ThuVienDeThi.com ... =1 x=y=z =1 Câu4:(các bạn tự vẽ hình) a) Nhiều cách làm Xin giới thi? ??u cách dễ nghĩ đến Kẻ DP, vng góc với BC Suy P, ,M,N thẳng hàng(Đường thẳng Sim son).Dẫn tới P P, trùng ( MN BC có giao điểm... * x=1 y =3 * x>1 Thì y y y 1;2;3 Thay GT vào(*) để tìm GT x nguyên lớn ThuVienDeThi.com