Toán 9 Tổng hợp các bài toán bất đẳng thức30164

TỔNG HỢP CÁC BÀI TOÁN BĐT – CỰC TRỊ HAY Câu 1: Cho a, b, c cac số dương thoả mãn điều kiện: a + b + c = 2013 Tìm giá trị lớn biểu thức: Q = Trước hết ta chứng minh BĐT: 5b3  a 5c3  b3 5a  c3   ab  3b bc  3c ca  3a 5b3  a  2b  a (1) ab  3b 5b3  a  2b  a (1)  5b3  a  (2b  a )(ab  3b ) ab  3b Thật vậy:  5b3  a  2a b  a 2b  6b3  3ab  a  b3  a 2b  ab   (a  b)(a  b)  Đúng với mội số dương a, b Dấu “=” xảy a = b Chứng minh tương tự ta có: 5c  b3  2c  b(2) Dấu “=” xảy c = b cb  3c 5a  c3  2a  c(3) Dấu “=” xảy a = c.Cộng vế với vế ba BĐT (1), (2), (3) ta được: ca  3a Q  (2b  a )  (2c  b)  (2a  c)  a  b  c Dấu “=” xảy a = b= c.Vậy maxQ = 2013  a  b  c  671 Câu 2:Cho số dương a, b, c thoả mãn điều kiện: a + b + c = 2013 27 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a3 b3 c3 P   a  ab  b b  bc  c c  ac  a Do a  b3 b3  c c3  a3    (a  b)  (b  c)  (c  a ) a  ab  b b  bc  c c  ac  c a3 b3 c3 b3 c3 a3       a  ab  c b  bc  c c  ac  c a  ab  b b  bc  c c  ac  c Ta c/m BĐT sau: a  ab  b  (1) Thật a  ab  b (1)  2(a  b)   (a  b) hay a  ab  b  ( a  b) a  ab  b a  b3  (a  b)(2) 2 a  ab  b Dấu (2) xảy  có dấu (1)  a = b ThuVienDeThi.com Lý luận tương tự ta có b3  c c3  a3 Dầu “ =” xảy b= c  ( b  c )(3)  (c  a )(4) Dấu “ =” 2 2 b  bc  c c  ac  a xảy a = c a  b3 b3  c c3  a3 2(a  b  c)     Cộng vế với vế ba BĐT ta được: 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ac  c P= a3 b3 c3 a  b  c 2013 27      2013 2 2 2 a  ab  b b  bc  c c  ac  a 3 Vậy minP = 2013  a  b  c  2013 Câu 3: Cho ba số dương x, y, z thoả m·n: xyz = Chøng minh r»ng:  x3  y  y3  z3  z  x3   3 xy yz zx áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho sè d­¬ng, ta cã: + x3 + y3  33 1.x y  xy T­¬ng tù: 1 y3  z3  yz 1 x3  y  xy (1) xy 1 z  x3  zx (2) yz 3 (3) zx 1 x3  y3 1 y3  z3 1 z  x3    Tõ (1), (2) & (3), suy ra: xy yz zx Mặt khác: xy  Tõ (*) & (**) suy ra: yz  zx  33 xy yz zx xy 3  yz  zx (**) 1 x3  y3 1 y3  z3 1 z  x3   3 xy yz zx DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: x = y = z = Câu 4: Cho ba số dương x, y, z Chứng minh r»ng: y x z 1    2 2 2 x y y z z x x y z áp dụng bất đẳng thức Cô - si cho sè d­¬ng, ta cã: x3 + y2  x y  xy x => x x   x y xy x xy ThuVienDeThi.com (*) (*) MỈt kh¸c: 1 1  1 1     =>   2  2 x y x y xy xy  x y  Tõ (*)&(**) suy ra: (**) x 1 1      x y 2 x y  (1)T­¬ng tù, ta cã: z 1 1    2 z x 2 z x  (3) y 1 1     2 y y z z  (2) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: y x z 1 1 1 1 1              2 2 x y y z z x 2 x y z x y z  x y z DÊu “=” x¶y vµ chØ khi: x = y = z = Câu 5:Với x, y số thực dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Q x3  x3  8y3 4y3 y  x  y  x3 x2 Ta chứng minh hai bất đẳng thức:  x3  8y3 x2  y Thật BĐT (1)  BĐT (2)  x3 x4  x3  8y3 x2  2y2  y3 y  x  y  3  x  y4  2y y3 (1) y  x  y  y2  x  2y2 (2)  x  y  xy (đúng với x, y)  2   x2  y2   x 2    y  y x  y   12 x  y  yx  y   yx  y  Ta có: x  y  x  y  y  y x  y .Nên x  y x  y  Suy BĐT (2) đúng.Từ (1) (2) ta Q  Dấu “=” xảy x = y.Vậy P = x = y C©u 6: Cho số x, y, z thoả mÃn điều kiện: x2 + y2 + z2 = Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: Q = xy  yz  zx   2 2 x y  z   y z  x   z x  y   Ta cã: (a - b)2(1 -  )  Víi mäi a, b vµ mäi   0,1  a2 + b2  2ab +  (a - b)2 (*) áp dụng bất đẳng thức (*) cho x, y z 0,1, ta được: x2 + y2  2xy + z2(x - y)2 ThuVienDeThi.com (1) T­¬ng tù, ta cã: y2 + z2  2yz + x2(y - z)2 (2) z2 + x2  2zx + y2(z - x)2 (3) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: x2 + y2 + z2  xy  yz  zx   2 2 x y  z   y z  x   z x  y  Suy ra: Q  1.VËy max Q = x = y = z =   Câu 7: Cho x, y số thực dương thỏa mãn xy = 1.Chứng minh rằng: (x + y + 1)(x2 + y2) + Ta có : (x + y + 1)(x2 + y2) + 4 = (x + y + 1)(x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + x y x y = ( x + y )( x2 + y2 ) + (x2 + y2) - ( x + y) + ( x + y ) + = ( x + y ) (x2 + y2 – 1) + (x2 + y2) + ( x + y ) + x y Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương : x + y  xy = ( xy = ) Dấu “ = “ xảy  x = y = Dấu “ = “ xảy  x = y = x2 + y2  2xy = (x+y)+ x y  Dấu “ = “ xảy  (x + y)2 =  x = y = Do : (x + y + 1)(x2 + y2) + x y  2.(2 – 1) + + = Dấu “ = “ xảy  x = y = Cõu 7: Cho số dương a, b c thoả mÃn a+b+c=abc.Tìm giá trị lớn biÓu thøc S Tacã a bc(1  a )  b ca(1  b )  c ab(1  c ) bc(1  a )  bc  a bc  bc  a(a  b  c)  bc  a  ab  ac  (a  b)(a  c) ba (1  c )  (a  c)(b  c) ; ca(1  b )  (a  b)(b  c) a b c S  (a  b)(a  c) (a  b)(b  c) (a  c)(b  c) T­¬ngtù   x y a a b b c c   ab ac bc bc cb ac ThuVienDeThi.com x y ¸p dơng B§T Ta cã S  AB  A B (víi A,B >0) ; DÊu “=” x¶y A=B 1 a a b b c c         2 ab ac bc ab ac bc  1 ab bc ca      2 ab bc ca  Câu 8:Cho số thực abc Max( S )  1 x, y, z thoả mãn: x  , y  , z     3x  2 y  z Tìm giá trị lớn biểu thức A  (3 x  1)(2 y  1)( z  1) Đặt x   a, y   b, z   c ; ta có: a, b, c số dương A  abc Khi đó:  3 b c   a   2      3   2 3x  2 y  z a  b  c 1  a  b  c 1  b c bc a b c b c a    hay (1)    Suy ra:   1 a  b  c 1 a  b  c 1 b  c 1 a3 (b  2)(c  1) Tương tự: 2 ca  (2); b2 (c  1)(a  3) ab  (3) c 1 (a  3)(b  2) Nhân vế tương ứng (1), (2) (3), ta được: A  Dấu “=” xảy ra, khi: Vậy, max A  a b c     a  , b  1, c   x  , y  1, z  2 a  b  c 1 x  , y  1, z  Câu 9: Cho ba số thực không âm x, y, z thỏa mãn điều kiện x  y  z  Tính giá trị nhỏ biểu thức: P  x3  y3  z Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si, ta có: x3   2   2   3  33 x  x3  Chứng minh tương tự với y, ta có: y  1  2   2   2   3 2   2   y x  2   2   (2) ThuVienDeThi.com (1) x 3 3               33 z    z z   2  2   2  2  2         Mặt khác, ta có: 2 (3)  z3  z 2 2   Từ (1), (2) & (3) suy ra: P  2   Dấu “=” xảy x  y  Vậy P  2   x  y  z  2 ,z    42    2 2 2 3 x y z    2 2 y z z x x y  Mµ x  x   2 => x  x x x2 x x    y2  z2 x 1 x2 y2  z2 1 x2      2x   x   x  2     3     274   => x  x (*) (áp dụng BĐT Cô - si) (**) 3 Tõ (*)&(**) suy ra: x 3 x  y2  z2 T­¬ng tù, ta cã: 3 y y  z2  x2 (2) z 3 z  x2  y2 (3) Tõ (1), (2) & (3), suy ra: (1)   x y z 3 3    x  y2  z2  2 2 y z z x x y 2 (Thỏa mãn ĐK x  y  z  ) C©u 10:Cho ba số dương x, y, z thoả mÃn: x2 + y2 + z2 = Chøng minh r»ng:  2   2   2   2       x; y; z    ; ;     2 2   Do x  y  z  nªn  ThuVienDeThi.com 2 x   x  2 DÊu “=” x¶y  2 y   y  x  y  z  2 z   z  Câu 11:Cho số thực x, y, z thoả mãn điều kiện: x  y  z  3 y2 x2 z2    Chứng minh rằng: 1 x4 1 y4 1 z Đặt a = x2, b= y2, c = z2Khi a, b, c khơng âm a + b + c  Ta cần chứng minh : Tương tự a a a b c   Dấu ‘=’ xẩy a =    Thật : 2 2 2a 1 a 1 a 1 b 1 c b b 1 c c   Dấu ‘=’ xẩy b =   Dấu ‘=’ xẩy c = 2 2b 2c 1 b 1 c Cộng vế bất đẳng thức ta có ĐPCM Câu 12:Cho số thực dương thoả mãn điều kiện: x  y  z  2008 4 4 4 Chứng minh rằng: x  y  y  z  z  x  2008 x y y z z x Ta có: ( x  y )( x  y )   x  y  xy  yx  2( x  y )  ( yx  x )  ( xy  y )  2( x  y )  ( x  y )( x  y )  x4  y4 x  y  x3  y3 Tương tự y4  z4 y  z  y3  z3 (1) Cộng (2), (2), (3) ta có: x4  y4 y4  z4 z4  x4 x  y x  y x  y      2 x3  y3 y3  z z  x3  2( x  y  z )  x  y  z  2008 Cõu 14: Cho a, b, c số dương có tổng Chứng minh rằng: 19b  a 19c  b 19a  c    ba  5b cb  5c ac  5a ThuVienDeThi.com (2) z4  x4 z  x  z  x3 (3) a  b  ab  ab Ta cã: Suy  (a  b)(a  b  ab)  ab(a  b)  a  b  ab(a  b) a  20b  19b  ab(a  b)  20b  ab(a  b)  19b  a  b(20b  ab  a )  19b  a  b(20b  5ab  4ab  a )  19b  a  b5b(4b  a )  a (4b  a ) 19b  a  b4b  a )(5b  a   19b  a    4b  a )(5b  ab  19b  a  19b  a  4b  a (1) 5b  ab 3 19c  b  4c  b (2) 5c  cb T­¬ng tù 19a  c  4a  c (3) 5a  ac 19b  a 19c  b 19a  c  3(a  b  c)    Céng vÕ víi vế (1)(2)(3) ta ab 5b cb  5c ac  5a Bài 15Cho a, b, c số dương có tích Tìm giá trị nhỏ biểu thức: B= Vì a.b.c = nên đặt a = 5bc 5ac 5ab   2 a b  a c b c  b a c a  c 2b 1 1 1 ; b = ; c = Khi đó:    suy x, y, z số dương x.y.z = y x y z x z 1 1 1 5   5  y z x y z x Biểu thức A trở thành: A = + + 1 1 1 1 1 1   2      2 2 x y x z z2 x z2 y y z y x 5 5  x2 y2 z2  yz xy zx    = + + =  1 1 y  z z  x x  y   1 1 1           y2  z x  x  y z  z  x y  Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương x2 y  z x2 yz x2 y  z ;  2   x (1) ta có: yz yz 4 yz z2 x y y2 zx   z (3) Tương tự:   y (2) ; x y zx Cộng vế bất đẳng thức (1); (2); (3) ta được: ThuVienDeThi.com x2 yz z2 x y y2 zx   +  +  x+y+z 4 yz x y zx  x2 y2 z2    x  y  z        yz zx x y  x2 y2 z2    x  y  z    5  y z z x x y Mặt khác x + y + z  3 xyz mà xyz = nên x + y + z  Do đó: A  15 3 = 2 Dấu xảy khi: x = y = z  a = b = c = Câu 16:Cho ba số dương a, b, c thoả mãn: Chứng minh rằng: a  b  b  c  c  a  2011 a2 b2 c2 2011    bc ca ab 2 Vậy GTNN biểu thức B 15 , đạt a = b = c = Ta có 2(a  b )  (a  b) a2 b2 c2 a2 b2 c2      Suy bc ca ab b  c  c  a  c  a  Đặt x  b  c , y  c  a , z  a  b , suy VT   y  z  x2 z  x2  y x2  y  z   2x 2y 2z   ( z  x)   ( x  y)2   ( y  z ) x y     z      2  x   2y   2z    ( z  x)   ( x  y)2   ( y  z )   x  3x     y  3y     z  3z    2  x   2y   2z   2 2( y  z )  x   2( z  x)  y   2( x  y  z  Suy VT  2 ( x  y  z)  2011 2 Câu 17:Với  x, y, z  Tìm tất nghiệm phương trình: x y z     y  zx  z  xy  x  yz x  y  z ThuVienDeThi.com x y z (1)     y  zx  z  xy  x  yz x  y  z Giả thiết  x, y, z  kết hợp với điều kiện xác định (1), suy ra: x  y  z  (*) Khi đó, ta có: (1  z )(1  x)  x x   zx  z  x    y  zx x  y  z z z y y Tương tự, ta có:    x  yz x  y  z  z  xy x  y  z x y z    1 Suy ra: x  y  z  y  zx  z  xy  x  yz hay x  y  z  (1) Mặt khác, từ  x, y, z  , suy ra: x  y  z  (2) Từ (1) (2) ta suy ra: x  y  z  , kết hợp với điều kiện  x, y, z  suy x  y  z  Vậy, phương trình cho có nghiệm ( x; y; z )  (1;1;1) Câu 18 : Cho x, y số thực dương thoả mãn x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức B   x  y3 xy  2xy     (x  y)  3xy(x  y) xy  3xy xy xy(1  3xy)  2xy (x  y)  Gọi Bo giá trị B, đó, x, y để: Bo  Theo Côsi: xy   xy(1  3xy) 4 Ta có: B   Bo    3Bo(xy)2 – (2 + Bo)xy + = (1)Để tồn x, y (1) phải có nghiệm xy   = Bo2 – 8Bo +     Bo   Để ý với giả thiết tốn B > Do ta có: Bo   Với Bo    xy   x2  x   Bo    x(1  x)    6Bo 2   2   3   x  2   1 Vậy, Bmin   , đạt x  3 1 1 1 3 ,x  2 1 3 3 1 1 1 1 1 1 1 3 3 , y x  , y 2 2 b  a b  a    c     Tìm giá trị nhỏ a  b a b Câu 19:Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn  biểu thức P  4ab bc ca   a (2b  c) b(2a  c) c(a  b) c(a  b)(a  ab  b ) 2(a  b ) a b  a b     c       a  a 2b ab b a b Từ:  ThuVienDeThi.com ta có: a  b  2ab   2 c(a  b)(a  ab  b ) 2(a  b ) c(a  b) c ( a  b)   40  2 ab ab ab ab (bc) (ac) (bc  ac) bc ac c(a  b)  Lại có      a(2b  c) b(2a  c) abc(2b  c) abc(2a  c) 2abc(a  b  c) 2abc(a  b  c) (ab  bc  ca ) abc( a  b  c)  ab.bc  bc.ca  ab.ca   c ( a  b)   bc ac  c ( a  b)  3 ab        c ( a  b)   1 a (2b  c) b(2a  c)  ab  bc  ca   ab   2 Đặt t  Có c ( a  b) 3t P  (với  t  ) ab 2(1  t ) t 3t  3t  7t  8t  32t  24         2(1  t ) t  2(1  t ) t  6t (1  t ) (t  2)(7t  22t  12)   6t (1  t ) (t  2)(7t  22t  12) (t  2)(7t  22t  12) 8   t  (0; 2]    t  (0; 2] mà 6t (1  t ) 6t (1  t ) 3 Dấu "=" xảy t = hay a  b  c Vậy giá trị nhỏ P a  b  c Câu 20: Cho số a, b, c, d thuộc đoạn 0;1 Tìm giá trị lớn biểu thức: P  abcd  1  a 1  b 1  c 1  d  Áp dụng BĐT Cô - si cho hai số dương, ta có a  b  c  d  ab  cd  44 abcd abcd  Từ đó, suy abcd    Do với a, b, c, d thuộc đoạn 0;1, ta có    a  b  c  d  4;   a  b  c  d  Suy  a  b  c  d 3 a  b  c  d abcd     4   (1) ThuVienDeThi.com  1  a   1  b   1  c   1  d   a  b  c  d  Lại có 1  a 1  b 1  c 1  d       (2) Từ (1)&(2) suy P  Vậy max P = a  b  c  d  a  b  c  d  Câu 21 : Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: ab  2c bc  2a ca  2b     ab  bc  ca  ab  c  bc  a  ca  b ab  2c ab  2c ab  2c    Do a  b  c  nên ta có:  ab  c a  b  c  ab  c a  b  ab 2 xy  Áp dụng bất đẳng thức ab  2c ab  2c a 2  b  ab  x y ,  x, y   2 2 2c  a  b  2ab a  b  c   ab  2c a  b  ab     a  b2  c2 2 2 ab  2c    ab  c Tương tự ab  2c ab  2c   ab  2c 1 2 2 ab  2c a  b  ab  a  b  c bc  2a  bc  2a 2   bc  a ca  2b  ca  2b 3  ca  b Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp a  b  c  ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=’’ abc x2 Câu 22: Cho số dương x, y, z thỏa mãn x  y  z  Chứng minh: x2 y2 1 y Câu 24:Với y2 1 y2  z2 1 z2  x3    2x x 1 x 1 x2 x 1 x2 Hướng dẫn:Ta có: Tương tự: 1 x2  x3  2y3; x, y , z z2 1 z  z Suy ra: x2 1 x  số thực dương thỏa mãn đẳng thức trị nhỏ biểu thức: P    3x  y  z   y2 1 y z2  1 z  xy  yz  zx  Tìm giá  x2   y2   z2  ThuVienDeThi.com    x  y  z  Vì  xy  yz  zx  nên ta có:    x   y   z   6x  y x  z   6y  z y  x   z  x z  y   3x  y   2x  z  3x  y   2y  z  z  x   z  y  (Áp dụng BĐT Cô-si)   2  9x  y  6z  3x  y  z .Suy ra: P  Dấu “=” xảy x  y  1; z  2 Câu 24: Cho số a, b, c thỏa mãn  a  b  c   1  +   a+1 b+1 c+1  Tìm giá trị lớn biểu thức B  (a+b+c+3)  + Đặt x=1+c, y=1+b, z=1+a  a  b  c  = >1  z  y  x  x Khi A= (x+y+z)(  x x y y z z 1  )=3+       y z x z x y y z  x  y  x y x y x y x     1 1  1        y z y.z y z z  y  z   z  y  z y z y 0 1  1        y x y.x  y  x  x y z y x z x x y       2    y z y x z x y z x Đặt z y z   1 y x x y z z x    2  z x y z z 2 x x z t  2t  5t  (2t  1)(t  2) x     = t =>  t    t   z x t t 2t 2t z Do  t   (2t  1)(t  2) x z 0    2t z x  A     10 Ta thấy a=b=0 c=1 A=10 nên giá trị lớn A 10 Câu 25 Cho số thực dương x, y thoả mãn điều kiện xy ( x  y )  x  y Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P = x+y Do x, y > xy ( x  y )  x  y ta suy x > y > xy(x-y)2 = (x+y)2 (1) Đặt a = x+ y; b = xy (a, b > ; a2  4b) 2 2 Ta có: (1)  b(a  4b)  a  a (b  1)  4b ThuVienDeThi.com 4b b2 1 a   b 1  (b  1)    (b  1) 24 Suy ra: b-1 > Lại có: b 1 b 1 b 1 b 1 b 1 (theo bđt cô si) Mà a > nên a   x  y  Do đó: a  16 2 Dấu “=” xảy b   b   (b  1)   b  Khi đó:  x   x  y    (Vì x > y)  y    xy  Vậy Min (x+y)=4 x   ; y   1    a1  b  b1  c  c1  a   abc 1  abc  abc  abc a) Ta có:        (do  abc  ) a1  b  b1  c  c1  a   abc a1  b  b1  c  c1  a  Câu 26 Chứng minh với a, b, c dương ta ln có: Ta có:  abc  abc  a1  b   a  ab1  c  1 a b1  c   1  1   1 a1  b  a1  b  a1  b  a1  b   b Tương tự với số hạng lại, suy BĐT cho tương đương với:  1 a b1  c     b c1  a     c a1  b    a1  b    b  1   b1  c    c  1   c1  a    a  1         1 a a1  b    b b1  c    c c1  a        6    a1  b   a   b1  c   b   c1  a   c  Hoàn toàn chứng minh BĐT cuối áp dụng BĐT Cô-si cho số dương Dấu “=” xảy a  b  c  Câu 27:Cho ba số dương a, b c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   A  14 a  b  c  Ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)  ab  bc  ca a b  b 2c  c 2a  a  b  c   ab  bc  ca Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy a = b = c suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a) ThuVienDeThi.com 2 ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca suy ra:     a b  b2c  c a a  b2  c a b  b2c  c a a  b2  c2 a  b  c  Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta có : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 =  t ≥ Ta : A = 14t   3t 28t 3t 27t t        2t 2t 2t 2t 2 Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si : Mặt khác : 1 , dấu “=” xảy a = b = c = 3 27t 27t  2  dấu “=” xảy : t = 2t 2t 23 t 3 4 1 dấu “=” xảy : a2 + b2 + c2 = a = b       : t   Suy ra: A    3 2 3 3 = c suy ra: a = b = c = 23 Vậy A đạt giá trị nhỏ , a= b = c = 3 Câu 28:Cho số thực dương a, b, c thỏa mãn a  b  c  Chứng minh: ab  2c bc  2a ca  2b     ab  bc  ca  ab  c  bc  a  ca  b c) Do a  b  c  nên ta có ab  2c ab  2c ab  2c     ab  c a  b  c  ab  c a  b  ab xy  Áp dụng bất đẳng thức ab  2c ab  2c a 2  b  ab  x y ,  x, y   2 2 2c  a  b  2ab a  b  c   ab  2c a  b  ab     a  b2  c2 2  ab  2c   ab  c Tương tự 2 ab  2c ab  2c a 2  b  ab  bc  2a  bc  2a 2   bc  a  ab  2c  ab  2c 1 a  b2  c2 ca  2b  ca  2b 3  ca  b Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp a  b  c  ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=’’ abc ThuVienDeThi.com ... 19b  a    4b  a )(5b  ab  19b  a  19b  a  4b  a (1) 5b  ab 3 19c  b  4c  b (2) 5c  cb T­¬ng tù 19a  c  4a  c (3) 5a  ac 19b  a 19c  b 19a  c  3(a  b  c)    Céng vÕ...  20b  19b  ab(a  b)  20b  ab(a  b)  19b  a  b(20b  ab  a )  19b  a  b(20b  5ab  4ab  a )  19b  a  b5b(4b  a )  a (4b  a ) 19b  a  b4b  a )(5b  a   19b  a ...  2a 2   bc  a ca  2b  ca  2b 3  ca  b Cộng vế theo vế bất đẳng thức (1), (2), (3) kết hợp a  b  c  ta có bất đẳng thức cần chứng minh Dấu “=’’ abc x2 Câu 22: Cho số dương x,