Đề kiểm tra đội tuyển 9 lần 2 năm học 2015 2016 đề thi môn Toán30150

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề C©u (4 im) a) Tìm số số nguyên n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh phương ? b) Tìm số có hai chữ số cho số cộng với tích hai chữ số bình phương tổng hai chữ số cđa nã C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: xy  y  yz  z  zx  x Chøng minh r»ng: x = y = z hc xyz = C©u (4 điểm) a) Giải phương trình 13 x  x  x  x 16 b) Giải hệ phương trình x  y     x  x y   x  y  52  xy Câu (7 im) Cho đường tròn (O; R) dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động cung lớn AB Gọi AE BF hai đường cao tam giác ABC, chúng cắt H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB P Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ qua điểm cố định Câu (2 im) Cho số dương a, b, c thoả mÃn điều kiện: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P a  b  b  c  c  a  2015 a2 b2 c2   bc ca ab Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com II Đáp án biểu điểm Câu (4 im) a) Tìm số số nguyên n cho B = n2 – n + 13 lµ số phương ? b) Tìm số có hai chữ số cho số cộng với tích hai chữ số bình phương tổng hai ch÷ sè cđa nã ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a)Ta thÊy B số phương 4B số phương Đặt 4B = k2 (k N) 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2  (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có hệ  2n   k   2n   k   2n   k  51  2n   k  17 (1)  (2)  (3)  (4)  2n   k  51 2n   k  17 2n   k  1 2n   k  3 0,5 điểm 0,5 im Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm ®­ỵc n = -12, n =-3, n =13, n =4 Vậy số nguyên cần tìm n 12; 3; 4;13 0,5 im b)Gọi số phải tìm có dạng ab ( (a, b  N ;0  a  10;0  b  10) 0,5 điểm Theo gi¶ thiÕt ta cã 10a  b  ab  (a  b)  b  b(a  1)  a(10  a) 0,5 điểm 0,5 điểm  a  10  a  Ta cã a(10  a)     25 nªn b  Thay b từ đến ta cã ab  13;63;91 C©u (2 im) - a) Giải phương trình Bỡnh phng v ta : x (13  x   x )  256 - Áp dụng bđt bunhia : - (13  x   x )  ( 13 13  13 x  3  x )  40(16  10 x )  VT  x 40(16  10 x ) Áp dụng cosi VT  VP Nghiệm x   hoăc x  ThuVienDeThi.com 1,0 điểm dim - b) Giải hệ phương trình x  y     x  x y   x  y  52  xy  x  y     x  x y   x  y  52  xy  x  y     x( x  y  1)  13 x  y  52   x  y    x  y     13 x  x  y  52  13 x  x  y  52   x  y    x  y      x  y  13   y    y x  y 1    y   y  11 y  24     x   y 1  y    y  x   y3     y  C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: xy  y  yz  z zx  x  Chøng minh r»ng: x = y = z hc xyz = Đáp án biểu điểm Điều kiện x; y; z d­¬ng Ta cã xy  y  yz  z  zx  1  x  x y y 1  z z x ThuVienDeThi.com 1,0 điểm  y z (1)  x y  yz   x y  (2) (*)   z x xy    y  z  z  x (3)  xz 1,0điểm Nếu x = y = z hệ (*) 0,5 im Nếu x; y; z đôi khác nhau, nh©n vÕ víi vÕ cđa (1); (2); (3) ta cã xyz = VËy x = y = z hc xyz = 0,5 điểm C©u (4 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động cung lớn AB Gọi AE BF hai đường cao tam giác ABC, chúng cắt H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB P Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ qua điểm cố định BIU IM ĐÁP ÁN C x D E F O H Q A K B P I a) Kẻ đường kÝnh BD ta có CH  AB; DA  AB  AD//HC (1) Mặt khác DC CB; HA CB DC / / HA(2) Từ (1) & (2) suy ADCH hình bình hành nên CH = AD ThuVienDeThi.com 1,0 điểm Gọi K trung điểm AB xét tam giác ADB có OK đường trung bình nên AD = 2.OK ( không đổi) VËy CH = 2.OK không đổi Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta có xCA  CBA Mà tứ giác AFEB nội tiếp nên CFE  CBA nên xCA  CFE suy Cx//EF Mà Cx  OC  OC  EF c) Gäi đường thẳng kẻ từ H vng góc PQ cắt OK I Vì HE CQ CE  EQ; HF  CP  CF  FP; Vậy EF // PQ, mà HI  PQ // EF HI // OC Mặt khác CH//OI nờn t giỏc OCHI hình bình hành suy OI = CH (khơng ®ổi) nên I cố định 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm C©u (2 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mÃn điều kiÖn: a  b  b  c  c  a  2015 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 P bc ca ab Đáp án biĨu ®iĨm Đặt x  b  c ; y  c  a ; z  b  a  x  y  z  2010 0,5 điểm Ta cã x  b  c , y  c  a , z  a  b nªn x  y  z  2(a  b  c )  a  y  z  x2 x2  z  y 2 y  x2  z ;b  ;c  (1) 2 Mặt khác 2(a  b )  (a  b)  z  a  b; 0,5 điểm Tương tự y  a  c; x  b  c; (2) Từ (1) & (2) ta có  y2  z2  x2 x2  z2  y2 y2  x2  z2      x y z 2     1 2 1   x  y  z      2( x  y  z ) (3) 2 x y z  2 2 Ta có 3( x  y  z )  ( x  y  z ) nªn tõ (3) suy P  P 2  1 1 1  x y z 1  2015     2      2 3  x y z  x  y  z  x  y  z  3 2015 2015 Giá trị nhỏ P  x = y = z suy a = b = c = Hết ThuVienDeThi.com 0,5 điểm 0,5 điểm ... c; x  b  c; (2) Từ (1) & (2) ta có  y2  z2  x2 x2  z2  y2 y2  x2  z2      x y z 2     1 2 1   x  y  z      2( x  y  z ) (3) 2? ?? x y z  2 2 Ta có 3( x  y... = 4n2 – 4n + 52 = k2  (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 V× 2n-1+k 2n-1-k nên ta có hệ 2n  k   2n   k   2n   k  51  2n   k  17 (1)  (2)  (3)  (4)  2n   k  51 2n   k  17 2n... suy P  P 2  1 1 1  x y z 1  20 15     2? ??      2 3  x y z  x  y  z  x  y  z  3 20 15 20 15 Giá trị nhỏ P  x = y = z suy a = b = c = Hết ThuVienDeThi.com 0,5