PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÂM THAO ĐỀ KIỂM TRA ĐỘI TUYỂN LẦN NĂM HỌC 2015 - 2016 ĐỀ THI MƠN TỐN Thời gian làm bài: 150 phút, khơng kể thời gian giao đề C©u (4 im) a) Tìm số số nguyên n cho B = n2 – n + 13 lµ sè chÝnh phương ? b) Tìm số có hai chữ số cho số cộng với tích hai chữ số bình phương tổng hai chữ số cđa nã C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: xy y yz z zx x Chøng minh r»ng: x = y = z hc xyz = C©u (4 điểm) a) Giải phương trình 13 x x x x 16 b) Giải hệ phương trình x y x x y x y 52 xy Câu (7 im) Cho đường tròn (O; R) dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động cung lớn AB Gọi AE BF hai đường cao tam giác ABC, chúng cắt H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB P Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ qua điểm cố định Câu (2 im) Cho số dương a, b, c thoả mÃn điều kiện: Tìm giá trÞ nhá nhÊt cđa biĨu thøc: P a b b c c a 2015 a2 b2 c2 bc ca ab Họ tên thí sinh SBD ThuVienDeThi.com II Đáp án biểu điểm Câu (4 im) a) Tìm số số nguyên n cho B = n2 – n + 13 lµ số phương ? b) Tìm số có hai chữ số cho số cộng với tích hai chữ số bình phương tổng hai ch÷ sè cđa nã ĐÁP ÁN BIỂU ĐIỂM a)Ta thÊy B số phương 4B số phương Đặt 4B = k2 (k N) 4B = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 Vì 2n-1+k 2n-1-k nên ta có hệ 2n k 2n k 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n k 1 2n k 3 0,5 điểm 0,5 im Giải hệ (1), (2), (3), (4) ta tìm ®ỵc n = -12, n =-3, n =13, n =4 Vậy số nguyên cần tìm n 12; 3; 4;13 0,5 im b)Gọi số phải tìm có dạng ab ( (a, b N ;0 a 10;0 b 10) 0,5 điểm Theo gi¶ thiÕt ta cã 10a b ab (a b) b b(a 1) a(10 a) 0,5 điểm 0,5 điểm a 10 a Ta cã a(10 a) 25 nªn b Thay b từ đến ta cã ab 13;63;91 C©u (2 im) - a) Giải phương trình Bỡnh phng v ta : x (13 x x ) 256 - Áp dụng bđt bunhia : - (13 x x ) ( 13 13 13 x 3 x ) 40(16 10 x ) VT x 40(16 10 x ) Áp dụng cosi VT VP Nghiệm x hoăc x ThuVienDeThi.com 1,0 điểm dim - b) Giải hệ phương trình x y x x y x y 52 xy x y x x y x y 52 xy x y x( x y 1) 13 x y 52 x y x y 13 x x y 52 13 x x y 52 x y x y x y 13 y y x y 1 y y 11 y 24 x y 1 y y x y3 y C©u (3 điểm) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n: xy y yz z zx x Chøng minh r»ng: x = y = z hc xyz = Đáp án biểu điểm Điều kiện x; y; z d¬ng Ta cã xy y yz z zx 1 x x y y 1 z z x ThuVienDeThi.com 1,0 điểm y z (1) x y yz x y (2) (*) z x xy y z z x (3) xz 1,0điểm Nếu x = y = z hệ (*) 0,5 im Nếu x; y; z đôi khác nhau, nh©n vÕ víi vÕ cđa (1); (2); (3) ta cã xyz = VËy x = y = z hc xyz = 0,5 điểm C©u (4 điểm) Cho đường tròn (O; R) dây cung AB cố định (AB < 2R) Điểm C di động cung lớn AB Gọi AE BF hai đường cao tam giác ABC, chúng cắt H Đường tròn tâm H bán kính HC cắt CA, CB P Q Chứng minh C thay đổi a) CH có giá trị không đổi b) CO EF c) Đường thẳng qua H vuông góc với PQ qua điểm cố định BIU IM ĐÁP ÁN C x D E F O H Q A K B P I a) Kẻ đường kÝnh BD ta có CH AB; DA AB AD//HC (1) Mặt khác DC CB; HA CB DC / / HA(2) Từ (1) & (2) suy ADCH hình bình hành nên CH = AD ThuVienDeThi.com 1,0 điểm Gọi K trung điểm AB xét tam giác ADB có OK đường trung bình nên AD = 2.OK ( không đổi) VËy CH = 2.OK không đổi Qua C kẻ tiếp tuyến Cx với (O) ta có xCA CBA Mà tứ giác AFEB nội tiếp nên CFE CBA nên xCA CFE suy Cx//EF Mà Cx OC OC EF c) Gäi đường thẳng kẻ từ H vng góc PQ cắt OK I Vì HE CQ CE EQ; HF CP CF FP; Vậy EF // PQ, mà HI PQ // EF HI // OC Mặt khác CH//OI nờn t giỏc OCHI hình bình hành suy OI = CH (khơng ®ổi) nên I cố định 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm 1,0 điểm C©u (2 điểm) Cho số dương a, b, c thoả mÃn điều kiÖn: a b b c c a 2015 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: a2 b2 c2 P bc ca ab Đáp án biĨu ®iĨm Đặt x b c ; y c a ; z b a x y z 2010 0,5 điểm Ta cã x b c , y c a , z a b nªn x y z 2(a b c ) a y z x2 x2 z y 2 y x2 z ;b ;c (1) 2 Mặt khác 2(a b ) (a b) z a b; 0,5 điểm Tương tự y a c; x b c; (2) Từ (1) & (2) ta có y2 z2 x2 x2 z2 y2 y2 x2 z2 x y z 2 1 2 1 x y z 2( x y z ) (3) 2 x y z 2 2 Ta có 3( x y z ) ( x y z ) nªn tõ (3) suy P P 2 1 1 1 x y z 1 2015 2 2 3 x y z x y z x y z 3 2015 2015 Giá trị nhỏ P x = y = z suy a = b = c = Hết ThuVienDeThi.com 0,5 điểm 0,5 điểm ... c; x b c; (2) Từ (1) & (2) ta có y2 z2 x2 x2 z2 y2 y2 x2 z2 x y z 2 1 2 1 x y z 2( x y z ) (3) 2? ?? x y z 2 2 Ta có 3( x y... = 4n2 – 4n + 52 = k2 (2n-1-k)(2n-1+k) =-51 V× 2n-1+k 2n-1-k nên ta có hệ 2n k 2n k 2n k 51 2n k 17 (1) (2) (3) (4) 2n k 51 2n k 17 2n... suy P P 2 1 1 1 x y z 1 20 15 2? ?? 2 3 x y z x y z x y z 3 20 15 20 15 Giá trị nhỏ P x = y = z suy a = b = c = Hết ThuVienDeThi.com 0,5