Đề thi tuyển sinh lớp 10 năm 2015 2016 môn thi: Toán (chuyên) Trường phổ thông Năng Khiếu29596

ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút Bài 1: (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2x    2x2  x  x2 b) Cho caùc số a b thỏa mãn điều kiện a  b  b Chứng minh rằng: 1  a  Bài 2: (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên a, b, c cho a  b  c  vaø ab  bc  ca   b) Cho m số nguyên Chứng minh tồn số nguyên a, b, c khác cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  4m  tồn số nguyên a/ ,b/ ,c/ khác cho a/  b/  c/  vaø a/ b/  b/ c/  c/ a/  m  c) Với k số nguyên dương, chứng minh không tồn số nguyên a, b, c khaùc cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  k  Bài 3: (1,0 điểm) Giả sử phương trình 2x2  2ax   b  có nghiệm nguyên (a, b tham số) Chứng minh a2  b2   số nguyên không chia hết cho Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M trung điểm cạnh BC, E điểm cung nhỏ BC, F điểm đối xứng E qua M a) Chứng minh EB2  EF.EO b) Gọi D giao điểm AE BC Chứng minh điểm A, D, O, F thuộc đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC P điểm thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cho P, O, F không thẳng hàng Chứng minh tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác POF qua điểm cố định Bài 5: (2,0 điểm) Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải bốn lần b) Có học sinh trao giải tất đợt thi  HẾT TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 1/ ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2015-2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút GV TH NG LONG H NG D N GI I Baøi 1: (2,0 điểm) a) Giải phương trình 2x    2x2  x  x2 (1) Caùch 1:  x  2x     1  Điều kieän: 1  2x   x   x 2 x  x    x 1  x     1  2x    2x   2x    2x   2x  1  2x  x  x     2x    2x  2x    2x  1  x   nhaän 2   x  x 1    1  x   loaïi    1   Vậy tập nghiệm phương trình là: S      Cách 2:   Ta chứng minh được: a  b  a2  b2 , dấu ‘’=’’ xảy a = b Áp dụng bất đẳng trên, ta coù:  2x    2x2  2x    2x   2x    2x2  x  x2 Dấu ‘’=’’ xảy 2x    2x  x  So với điều kiện 1   1   1  x , ta nhaän x  Vaäy S    2   b) Cho số a b thỏa mãn điều kiện a  b  b Chứng minh rằng: 1  a  Cách 1: TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 2/ 1 Đặt u  b  ;v  b;t  a  u3  b  ; v3  b; t3  a  u3  v3   4 Ta coù :  t v  u u v  t a  b  b Ta coù u3  v3    u3  v3   u3  v3  u  v  u  v  maø u  v  t neân t   a   a  Mặt khác, ta coù:  u  v   u  v   u3  v3   u  v   3uv  u  v   t3  3t.uv  t3  3t  4 t  u  v  3t   t2  t3  3t  u  v  2  1  t  3t  u  v  maø t  a neân   a  3t  u  v   a   3t  u  v    t    a  1 3 Caùch 2: 1  b  b   b Do đó: 4 Ta coù: b  a  b  b  b b  0a 2   1 1 1 Mặt khác:  b     b   b    b    b  3 b2  3 b  2 4 2   3   b 1 Do đó: 3  b 1 a  b  b  b   b  1  a  1 Vậy 1  a  Cách 3:   Ta coù: x3  y3   x  y  x2  xy  y vaø x2  xy  y  neân x  y  x3  y3 Đặt: x  a;y  b Ta coù: x  y  y  Giả sử: x  1 , ta coù: y3  1 Suy ra: x  y   y  4 1  y  x  y   y   y  3y  3y  4  1  y  y     y     vô lý 2  Do đó: x  1  a  1 Vậy 1  a  Bài 2: (2,0 điểm) a) Tìm số nguyên a, b, c cho a  b  c  vaø ab  bc  ca   Cách 1: Ta có: a2  b2  c2   a  b  c   ab  bc  ca   a2  mà a số nguyên nên a 2; 1;0;1;2 TH1: a = -2 Thế vào a  b  c  vaø ab  bc  ca   , ta có: TS LỚP 10, CHUYÊN TOAÙN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 3/ c   b   2  b  c  b   c   b       2b  bc  2c    c   b  2b   2b  b   b      b     TH2: a = -1 Thế vào a  b  c  vaø ab  bc  ca   , ta coù: c   b  c   b  1  b  c  c  c  1   hay       b  bc  c      b  1 b   b  b   b  1    b  1    b  1  b  TH3: a = Thế vào a  b  c  ab  bc  ca   , ta coù: c   b  b  c  c   b      b    bc      b    loại b  Z TH4: a = Thế vào a  b  c  ab  bc  ca   , ta coù:   1  b  c  c  2 c  c   b  c   b  hay       b  b    b  bc  c    b  b  2   b  b   b  1    b  1   TH5: a = Thế vào a  b  c  vaø ab  bc  ca   , ta coù:   2  b  c  c  1 c   b  c   b       b  2b   2b  bc  2c    b  1  2b  b  b     b       Vaäy  a;b;c   2;1;1 ,  1; 1;2  ,  1;2; 1 , 1;1; 2  , 1; 2;1 ,  2; 1; 1 Cách 2: Ta có: a  b  c  vaø ab  bc  ca  3 Do đó: a2  b2  c2   a  b  c   ab  bc  ca  Do a, b, c có vai trò nên ta giả sử: a  b  c Khi đó:  a  Suy ra: a   a  2;a  2    b  c  2  Với a = thì:  2  b  c  1   a, b,c   2; 1; 1 hoán vị  b  c  b  c   Với a  2 thì:  2  b  c    a, b,c   2;1;1 hoán vị  b  c  b) Cho m số nguyên Chứng minh tồn số nguyên a, b, c khác cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  4m  tồn số nguyên a/ ,b/ ,c/ khaùc cho a/  b/  c/  vaø a/ b/  b/ c/  c/ a/  m  Cách 1: Ta có: a2  b2  c2   a  b  c   ab  bc  ca  8m  a2  b2   a  b  8m  a2  ab  b2  4m Do 4m số chẵn nên a2  ab  b2 số chẵn  a, b chẵn Ta đặt a  2a/ ;b  2b/ Khi ñoù, ta coù:  2a    2a  2b    2b   4m  a  a b  b  m  a  b   a b  m  a  b .a  b   a b  m Choïn c    a  b  , ta có a  b  c   a  b  c  a b  m  a b  b c  c a  m  / / / / / / / / / / / / /2 / / /2 / / / / / / / / / / / / / / / / / / / Cách 2: Ta có: a  b  c  số chẵn Xét trường hợp: TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 4/ TH1: Trong số a, b, c có hai số lẻ số chẵn Không tính tổng quát, giả sử a, b lẻ c chẵn Ta có: ab lẻ, bc chẵn, ca chẵn Do đó: ab  bc  ca  4m số lẻ Điều trái với giả thiết (vì ab  bc  ca  4m  : số chẵn) Vậy không xảy trường hợp TH2: Cả ba số a, b, c chẵn Đặt a  2a';b  b';c  c' (a’, b’, c’ laø số nguyên khác 0) Từ a  b  c  Ta coù: 2a' 2b' 2c'   a' b' c'  Vì ab  bc  ca  4m  Ta coù: 4a'b' 4b'c' 4c'a' 4m   a'b' b'c' c'a' m  c) Với k số nguyên dương, chứng minh không tồn số nguyên a, b, c khaùc cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  k  Cách 1: Giả sử tồn số nguyên a, b, c khác cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  k  Áp dụng câu b) ta có: a1 , b1 ,c1 số nguyên khác cho: a1  b1  c1  0;a1 b1  b1c1  c1a1  k2  Tiếp tục áp dụng câu b) trình tiếp tục mãi, ta đến có số nguyên a’, b’, c’ khác thỏa mãn: a' b' c'  a' b' c'  hoaëc   a'b' b'c' c'a'  a'b' b'c' c'a'  Do đó: a'2  b'2  c'2  1 hoaëc a'2  b'2  c'2    Vì a’, b’, c’ khác nên (1), (2) không xảy Vậy không tồn số nguyên a, b, c khác cho a  b  c  vaø ab  bc  ca  2k  Caùch 2:  Với k  ta có: a  b  c  0;ab bc ac  1 a2  b2  c2   3 Khoâng có ba số nguyên a,b,c  thỏa (3)  Với k  a  b  c  0;ab  bc  ca  2 ñoù: a2  b2  c2    Giả sử a nhỏ đó:  a2  (không có a thỏa) Không tồn a, b, c nguyên khác thỏa (4)  Với k >  Nếu k chẵn, đặt k = 2n ta coù: a  b  c  0;ab  bc  ca  4n  , theo câu a) tồn a1 , b1 ,c1 nguyên thoûa: a1  b1  c1  0;a1b1  b1c1  c1a1  4n1  Tương tự được: an , bn ,cn nguyên thỏa an  bn  cn  0;an bn  bncn  ancn  1 vô nghiệm  Nếu k lẻ đặt k  2n  ta coù: a  b  c  0;ab  bc  ca  2.4n  , làm tương tự ta được: an  bn  cn  0;an bn  bncn  ancn  1 vô nghiệm Vậy không tồn số a, b, c khác thỏa đề Bài 3: (1,0 điểm) Giả sử phương trình 2x2  2ax   b  có nghiệm nguyên (a, b tham số) Chứng minh a2  b2   số nguyên không chia hết cho  '  a2  1  b  Gọi x1 ,x hai nghiệm nguyên phương trình cho Theo hệ thức Vi-ét, ta có: TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 5/ x1  x  a 2  2   b Do ñoù: a  b    x1  x2   1  2x1x2   laø số nguyên x1 ,x số nguyên x1 x   Ta coù: m2  m  Z chia cho dư (*)    3k  r   3k Thật vậy, đặt m  3k  r k  Z,r0;1; 1 Do đó: m2    2kr  r2 chia cho dư     Ta coù: a2  b2    x1  x2   1  2x1x2    x12  x 2  x1x 2   x1x  x12 x 2 (**)  Neáu x1 x a  x     x2  x12 x2 M theo *  ** chia dư Do đó:  b2  không chia hết cho Nếu x1 x không chia hết cho x1 không chia hết cho x M x       x2  x12 x2 chia cho dö (theo (*))  ** chia dư Do đó: a2  b2  không chia hết cho Nếu x1 không chia hết cho x không chia hết cho x12  x2  x1x2 chia cho   dö (theo (*))  ** chia cho dư Do đó: a2  b2  không chia hết cho   Vậy a2  b2  số nguyên không chia hết cho 3. Bài 4: (3,0 điểm) Cho tam giác ABC (AB < AC) có góc nhọn, nội tiếp đường tròn tâm O Gọi M trung điểm cạnh BC, E điểm cung nhỏ BC, F điểm đối xứng E qua M Q A I O F D M B C x E P TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 6/ a) Chứng minh EB2  EF.EO V EQ đường kính (O) Ta có: O,M,E thẳng hàng(OE  BC;OM  BC)   Q,O,F,M,E thẳng hàng E,M,F thẳng hàng(gt) Q,O,E (đk (O))  Ta có: EB2  EM.EQ EBQ vuông B có đường cao BM  EB2  EF 2.OF  EB2  EF.EO b) Goïi D giao điểm AE BC Chứng minh điểm A, D, O, F thuộc đường tròn Ta có: OAD  OED  ODE cân O    OAD  DFM  OED DFM tính chấ t đố i xứ n g củ a E vaø F qua BC       Tứ giác ADFO nội tiếp (…)  A,D,F,O thuộc đường tròn c) Gọi I tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC P điểm thay đổi đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cho P, O, F không thẳng hàng Chứng minh tiếp tuyến P đường tròn ngoại tiếp tam giác POE qua điểm cố định Vẽ Px tiếp tuyến (OEP) P    xPF  POF gnt góc tâm chắn PF (POF) (1) Ta có: EIB  IAB  IBA  góc ABI   EBC  IBC  IBE   EIB cân E  EI  EB  EC  I,B,C  E  E tâm (BIC)  EP  EB P,B   E    EP2  EF.EO EB2  EF.EO  EPF  EOP  c  g  c  EPF  POF (2) Từ (1) vaø (2)  FPE  EPx  Px  PE  Px qua E cố định (do E tâm (BIC) cố định B, I, C cố định)  tiếp tuyến Px (OFP) qua điểm E cố định Bài 5: (2,0 điểm) Để khuyến khích phong trào học tập, trường THCS tổ chức đợt thi cho học sinh Ở đợt thi, có học sinh chọn để trao giải Sau tổ chức xong đợt thi, người ta nhận thấy với hai đợt thi có học sinh trao giải hai đợt thi Chứng minh rằng: a) Có học sinh trao giải bốn lần Cách 1: Xét đợt thi thứ Theo đầu có học sinh trao giải hai đợt thi bất kì, đợt thi lại, ba học sinh trao giải đợt thi thứ có học sinh trao giải lần (vì :3  (dư 1)) Vậy có học sinh trao giải bốn lần Cách 2: Giả sử A1 tập bạn đạt giải đợt thi thứ Tương tự với A2 , ,A8 Ta có: A1  a,b,c Vì A1  Ai ,i  2,8 có học sinh nên học sinh a, b, c xuất tập A2 , ,A8 hai bạn xuất tập Do theo nguyên lý TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 7/ Dirichlet có học sinh thuộc tập tập A2 , ,A8 Khi học sinh có xuất tập, hay nhận thưởng lần b) Có học sinh trao giải tất đợt thi Cách 1: Từ câu a) giả sử a học sinh trao giải bốn đợt thi Xét đợt thi bốn đợt thi lại Vì có học sinh trao giải hai đợt thi Do đợt thi này, bốn đợt thi đọt có học sinh trao giải Như học sinh phải a (nếu a đợt có đến học sinh trao giải) Vì xét đợt thi nên a trao giải bốn đợt thi lại a trao giải tất đợt thi Vậy có học sinh trao giải tất đợt thi Cách 2: Theo câu a), có học sinh a nhận thưởng lần, giả sử từ lần đến lần Hay a thuộc A1 ,A2 ,A3 ,A4 Khi a không nhận thưởng lần, tức có lần a không nhận thưởng Giả sử lần 8, tức a không thuộc A8 Khi : A1  A8 học sinh nên có học sinh b  a thuộc A8 , tương tự có học sinh c, d, e thuộc A2 ,A3 ,A4 thuộc A8 Hơn b, c, d, e phải phân biệt Do A8 chứa phần tử (vô lý) Vậy có học sinh thuộc tập hợp, hay nhận thưởng lần Và hai học sinh nhận thưởng hai lần nên có học sinh thỏa  HẾT TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015-2016) ThuVienDeThi.com Trang 8/ ...ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2015- 2016 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút GV TH NG LONG H NG D N GI... đợt thi Cách 1: Từ câu a) giả sử a học sinh trao giải bốn đợt thi Xét đợt thi bốn đợt thi lại Vì có học sinh trao giải hai đợt thi Do đợt thi này, bốn đợt thi đọt có học sinh trao giải Như học sinh. .. nguyên lý TS LỚP 10, CHUYÊN TOÁN, PTNK –TP.HCM (2015- 2016) ThuVienDeThi.com Trang 7/ Dirichlet có học sinh thuộc tập tập A2 , ,A8 Khi học sinh có xuất tập, hay nhận thưởng lần b) Có học sinh trao