ĐAI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG PHỔ THÔNG NĂNG KHIẾU ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 NĂM 2013 MÔN THI: TOÁN (Chuyên) Thời gian: 150 phút 2 Câu I: Cho phương trình: x 4mx m 2m 0(1) với m tham số a) Tìm m cho phương trình (1) có hai nghiệm x1; x phân biệt Chứng minh rằng: x1; x tái dấu b) Tìm m cho: x1 x 3x 2y 2z x Câu II: Giải hệ phương trình: 3y 2z 2x y 3z 2x 2y z Caâu III: Cho x, y hai số không âm thỏa mãn x3 y3 x y a) Chứng minh rằng: y x b) Chứng minh rằng: x3 y3 x y Caâu IV: Cho M a2 3a với a số nguyên dương a) Chứng minh ước M số lẻ b) Tìm a cho M chia hết cho Với giá trị a M lũy thừa 5? 600 Đường tròn (I) nội tiếp tam giác (với tâm I) tiếp xúc với cạnh BC, Câu V: Cho ABC có A CA, AB D, E, F Đường thẳng ID cắt EF K, đường thẳng qua K song song với BC cắt AB, AC theo thứ tự M, N a) Chứng minh rằng: tứ giác IFMK IMAN nội tiếp b) Gọi J trung điểm cạnh BC Chứng minh ba điểm A, K, J thẳng hàng c) Gọi r bán kính đường tròn (I) S diện tích tứ giác IEAF Tính S theo r chứng minh S SIMN ( SIMN diện tích IMN ) Câu VI: Trong kỳ thi, 60 thí sinh phải giải toán Khi kết thúc kỳ thi, người ta nhận thấy rằng: với hai thí sinh có toán mà hai thí sinh giải Chứng minh rằng: a) Nếu có toán mà thí sinh không giải phải có toán khác mà thí sinh giải b) Có toán mà có 40 thí sinh giải ĐÁP ÁN Câu I: a) Phương trình có hai nghiệm phân bieät x1 ,x ' 4m m 2m 3m m 3m m 3m 1 3m 1 3m 1 m 1 m vaø m > -1 3m vaø m m m < vaø m < -1 3m vaø m m 1 Khi đó: x1 x m 2m m 1 Do x1; x trái dấu b) Phương trình có hai nghiệm không âm x1; x DeThiMau.vn m m 1 (áp dụng caâu a) ' m S x1 x 4m P x x m 1 Ta coù: x1 x x1 x x1x 4m m 1 1 4m 4m m m 4m 1 m 0 4m 4m 2m 4m m m (thích hợp) m 2 2m 4m 1 4m m m 2 Vậy m giá trị cần tìm Câu II: Ta có: 3x 2y 3y 2z 3z 2x 2z x 2x y 2y z 3x 2y 3y 2z 3z 2x 2zx 4z 2xy 4x 2yz 4y x 2xy y x 2zx z y 2yz z x 2x y 2y z 2z x y x z y z x 1 y 1 z 1 2 2 2 x y x z y z x 1 y 1 z 1 2 2 2 x y; x z; y z; x 1; y 1;z x y z Thử lại, ta có: x; y;z 1;1;1 nghiệm hệ phương trình cho Câu III: a) Ta có: x 0; y vaø x3 y3 x y Do : x y x3 y3 Neân x y x y Ta có : x3 y3 x3 y3 x y x xy y Neân x y x y x xy y Nếu x = y x3 y3 Ta coù : x = y = Nên y x Nếu x y từ x y x y x xy y ta coù : x xy y Maø x xy y x Nên x Mà x Nên x Vậy y x 2 2 b) y x neân y3 y ; x3 x Do : x3 y3 x y Vì x xy y vaø x xy y x y Do đó: x y Vaäy x3 y3 x y Caâu IV: a) M a2 3a a2 a 2a a a 1 2a số lẻ (Vì a, a + hai số nguyên dương liên tiếp nên a a 1 ) Do ước M số lẻ DeThiMau.vn b) M a2 3a a2 2a 5a a 1 5a Ta coù: M 5; 5a Do đó: a 1 Nên a 1 Ta coù : a chia cho dư 1, tức a 5k 1 k N Đặt a2 3a 5n n N* ( n N* a nên a2 3a ) Ta coù : 5n theo ta có : a 5k 1 k N Ta coù : 5k 1 5k 1 5n 25k 10k 15k 5n 25k k 1 5n * Nếu n ta có : 5n 52 , maø 25k k 1 52 ; không chia hết cho 52 : vô lí Vậy n = Ta coù : 25k k 1 0; k N Do : k = Nên a = Câu V : A M K E N F I B D J C a) Ta coù : MN // BC (gt), ID BC ((I) tiếp xúc với BC D) 900 ID MN IK MN IKM IKN IKM IFM 900 900 1800 Tứ giác IFMK nội tiếp IEN 900 Tứ giác IKEN nội tiếp Mặt khác : IKN IKF ANI Ta có : IMF (Tứ giác IFMK nội tiếp) ; IKF (Tứ giác IKEN nội tiếp) IMF ANI Tứ giác IMAN nội tiếp b) Ta có : IMK IFK Tứ giác IFMK nội tiếp IN K IEK Tứ giác IKEN nội tiếp Mặt khác : IE = IF (= r) IEF cân I IMN cân I có IK đường cao IK đường trung tuyến IMN K trung điểm MN MN 2.MK Maø BC = 2.BJ (J laø trung điểm BC) DeThiMau.vn MN 2.MK MK BC 2.BJ BJ Mặt khác: ABC có MN // BC AM MN (Hệ định lý Thales) AB BC AM MK MN Ta coù: AB BJ BC Do đó: Xét AMK ABJ , ta có: AMK ABJ hai góc đồng vị MN // BC AM MK BJ AB AMK ABJ c g c MAK BAJ Hai tia AK, AJ trùng Vậy ba điểm A, K, J thẳng hàng c) AE, AF tiếp tuyến đường tròn (I) AE = AF, AI tia phân giác EAF 600 (gt) AEF cân A có EAF AEF EF = AE = AF AEF có AI đường phân giác AI đường cao AEF AI EF S AI.EF IAE vuông E AE = IE.cotIAE; IE = AI.sin.IAE r AE r.cot 300 3.r; AI 2r sin 300 Vaäy EF = AE = 3.r 1 Vaäy S AI.EF 2r 3.r 3.r (đvdt) 2 Gọi H giao điểm AI EF 600 Ta có: IH EF, H trung điểm EF HIF IHF vuông H IH IF.cos HIF r.cos 600 r 3.r Do đó: SIEF IH EF (đvdt) Xét IMN IEF , ta có: INM IMN IFE; IEF Do đó: IMN IEF g g S IM IM 1 IMN Maø IF FM IM IF IF SIEF IF S Do đó: IMN SIMN SIEF SIEF Ta coù: S 3.r ;SIEF 3.r ;SIMN SIEF DeThiMau.vn S Câu VI: Gọi ba toán A, B, C a) Không tính tổng quát, giả sử thí sinh không giải toán A Nếu thí sinh không giải toán B từ giả thiết ta có thí sinh giải toán C Nếu thí sinh giải toán B toán C ta có thí sinh giải toán B; toán C Nếu có thí sinh giải toán, giả sử giải toán B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thiết, có thí sinh giải toán B Vậy có toán mà thí sinh không giải phải có toán khác mà thí sinh giải b) Theo giả thiết ta có thí sinh giải toán Nếu có thí sinh giải toán Xét học sinh với tất học sinh lại, ta có thí sinh giải toán Ta xét trường hợp mà thí sinh giải hai toán Gọi số thí sinh giải A, B mà không giải C x, số thí sinh giải B, C mà không giải A y, số thí sinh giải A, C mà không giải B z, số thí sinh giải A, B, C t (x, y, z, t N ) Ta có: x y z t 60 (1) Vậy SIMN Cách 1: Giả sử có điều trái với kết luận toán Ta có: x + z + t < 40; x + y + t < 40; y + z + t < 40 Do ñoù : x + z + t + x + y + t + y + z + t < 40 + 40 + 40 x y z t t 120 Kết hợp (1) ta có : t < Điều vô lí Điều giả sử sai Vậy có toán mà có 40 thí sinh giải Cách : Ta có : số học sinh không giải A y, không giải B z, không giải C x Nếu x > 20 ; y > 20 ; z > 20 x + y + z > 60 Mâu thuẫn (1) Do : ba số x, y, z phải có số không vượt 20 Như có toán mà có nhiều 20 thí sinh không giải Do toán có 40 thí sinh giải Vậy có toán mà có 40 thí sinh giải DeThiMau.vn ... toán B toán C ta có thí sinh giải toán B; toán C Nếu có thí sinh giải toán, giả sử giải toán B Xét học sinh với tất học sinh lại Theo giả thi? ??t, có thí sinh giải toán B Vậy có toán mà thí sinh. .. phải có toán khác mà thí sinh giải b) Theo giả thi? ??t ta có thí sinh giải toán Nếu có thí sinh giải toán Xét học sinh với tất học sinh lại, ta có thí sinh giải toán Ta xét trường hợp mà thí sinh. .. SIEF DeThiMau.vn S Câu VI: Gọi ba toán A, B, C a) Không tính tổng quát, giả sử thí sinh không giải toán A Nếu thí sinh không giải toán B từ giả thi? ??t ta có thí sinh giải toán C Nếu thí sinh