Đề thi học sinh giỏi vòng tỉnh môn Toán 1029174

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH Thời gian làm : 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu 1: (4 điểm) Cho x, y  Z; x  1;y  , cho Chứng minh rằng: x  y3   Z y 1 x 1 x 2016  Z y 1 Câu 2: (4 điểm) Cho hàm số y  x  (2m  1) x  m  có đồ thị (Pm) Tìm m để (Pm) cắt trục hoành x1 x   2 hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x thỏa: x2  x1  Câu 3: 1/Giải bất phương trình: x x  2( x  x  1) 1  xy  x3 y  yx  y  x  2/ Giải hệ PT:  2 3 x y  y  xy  1 Câu 4: 1/ Cho tam giác ABC có c mb Chứng minh cot A  cot C  cot B  b mc 2/ Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho tam giác ABC Hai điểm M(4;-1), N(0;-5) thuộc AB, AC phương trình đường phân giác góc A : x  y   ,  5 trọng tâm tam giác G   ;   Tìm tọa độ đỉnh tam giác ABC  3 Câu 5: Cho số dương a, b, c : ab  bc  ca  1 1    Chứng minh rằng: 2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) abc ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI HSG LỚP 10 - Điểm tồn khơng làm trịn - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Nội dung Đặt: x  a y3  c  ;  (a,b,c,d  Z, (a,b)=1; (a;c)=1 y 1 b x 1 d Ta có: a c ad  bc   Z b d bd Nên: ad  bc  bd  ad  bc  b  ad  b  d  b (1) a c  (x  x  1)(y  y  1)  Z  ac  bd  a  d (2) b d x3  Từ (1) (2) suy ra: a  b   mZ y 1 Mặt khác: Mà x 2016   (x )672  1 x  nên x 2016  1 y  Vậy : x 2016   Z đpcm y 1 Phương trình hồnh độ giao điểm (Pm) với Ox : x  (2m  1) x  m   Để (Pm) cắt trục hồnh hai điểm phân biệt có hồnh độ x1 ; x    4m  8m   0, m x1 x Theo giả thuyết :   2 x2  x1  ( x  x2 )  x1 x2  x1  x2   2 x1  x2  x1 x2  Hay: Câu 4: c mb c mb2 Theo ra:    b mc b mc áp dụng cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ta có : a  c  2mb2  2 b c a  b  2mc2  2 ThuVienDeThi.com b2 c Nên:  b c2 a2  b2  2 a2  c2  Điểm     1  a c  b c  c  a b  b c  b  a c  b  c b  2       1    c2  b2  a2  c2  b2    a2  c2  b2  2   2 2  2a  b  c  2a  a  2bc cos A  a  2bc cos A  2R sin A   2R sin B  2R sin C  cos A  sin A  sin B sin C cos A sin B  C  cos A sin A sin B cos C  sin C cos B    cot A  sin A sin B sin C sin B sin C sin B sin C  cos C cos B       cot A  cot C  cot B  sin C sin B   Câu 5: Áp dụng BĐT Cauchy cho số dương ta cú:  ab  bc  ca  3 (abc)  abc  1 Suy ra:  a (b  c)  abc  a (b  c)  a (ab  bc  ca )  3a   (1)  a (b  c) 3a 1 1 Tương tự ta cú:  (2),  (3) 2  b (c  a ) 3b  c (a  b) 3c Cộng (1), (2) (3) theo vế với vế ta cú: 1 1 1 ab  bc  ca    (   )  2  a (b  c)  b (c  a )  c (a  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc  1, ab  bc  ca   a  b  c  1, (a, b, c  0) ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM MƠN TỐN THI HSG LỚP 10 - Điểm tồn khơng làm trịn - Học sinh làm cách khác cho điểm tối đa Câu Nội dung Đặt: x  a y3  c  ; ... cơng thức tính độ dài đường trung tuyến ta có : a  c  2mb2  2 b c a  b  2mc2  2 ThuVienDeThi.com b2 c Nên:  b c2 a2  b2  2 a2  c2  Điểm     1  a c  b c  c  a b  b c  b ...  b) c b c 3abc abc Dấu “=” xảy abc  1, ab  bc  ca   a  b  c  1, (a, b, c  0) ThuVienDeThi.com