Đề thi chọn học sinh giỏi cấp trường năm học 2016 – 2017 môn thi: Toán Khối 1028552

SỞ GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT HẬU LỘC *** KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG Năm học 2016 – 2017 Mơn thi: Tốn - Khối 10 ( Thời gian làm bài: 120 phút) Câu (5.0 điểm) Cho phương trình: m  3 x  m  1 x  m  Tìm m để phương trình có nghiệm Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , tìm a để biểu thức F  x1  a x2  a  không phụ thuộc vào m Câu (8.0 điểm) Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình sau: x  x  13 4 x2 4 x x  1 x2  x2  x2     x2 y 1 x y   x  y  xy  x  y    Câu (2.0 điểm) Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi S diện tích tam giác ABC, chứng minh : S  c2 cot A  cot B  Câu (2.0 điểm) Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, E đoạn AB, BC, CA cho AM      1 AB, BN  BC , CE  CA Chứng minh rằng: AN  BE  CM  3 3  Câu (2.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A  ;3  ; B 6;0  Viết phương trình 2  đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M đoạn OA; N đoạn AB; E, F đoạn OB cho tứ giác MNEF hình vng Câu (1.0 điểm) Biết a, b, c ba số thực dương thỏa mãn abc  Chứng minh rằng: a3 b3 c3    b c  1 c a  1 a b  1 …………………Hết………………… Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Giám thị xem thi không giải thích thêm Họ tên thí sinh ;Số báo danh… ThuVienDeThi.com ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 Năm học 2016- 2017 Đáp án Điểm Câu Cho phương trình: m  3 x  m  1 x  m  (5đ) Tìm m để phương trình có nghiệm TH1 Nếu m    m  3 , pt trở thành: x    x   m  3 thỏa mãn TH2 Nếu m    m  3 nghiệm 3.0 1.0 Ta có  '  m  1  m m  3   m Pt cho có nghiệm   '    m   m  kết hợp TH ta m cần tìm m  1.0 F  x1  a x2  a  không phụ thuộc vào m 2.0 1.0 Khi phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , tìm a để biểu thức m  3 phương trình có hai nghiệm x1 ; x2 , theo định lí m  Với  2(m  1)  x  x   m3 vi-et ta có:  , ta có: m x x   m  1.0 F  x1  a x2  a   x1 x2  a( x1  x2 )  a = m  2a(m  1)  a 2 (8đ) m3 m3 m  2am  2a m   a ( m  3)  a  4a    a2   a   2a  a  m3 m3 m3 F không phụ thuộc vào m  4a    a  x  x  13 4 x2 4 x 4  x  Đk :   2  x  x   1.0 3.0 0.5 pt  x  x  13  4  x x    x  x  13   x  x  đặt t   x  x  ( đk t  ) Ta có phương trình: 0.5  t  13  4t  t  4t  21  t  7  kết hợp với điều kiện ta t = t  1.0 với t =3   x  x     x  x    x  1   x  (TM) 2 x  1 x2  x2  x2 1.0 3.0 ThuVienDeThi.com Đk x > bpt  x  1  x    x  1   x 7  x  7  x    kết hợp với đk ta có bpt   x   x    x  14 x  51  2  2 x  1 7  x  x    x  2 x3 17  x   1.0 1.0 1.0 Vậy tập nghiệm bpt cho là: S  2;3   x   y 1  x  y   x  y  xy  x  y    2.0  x  2 Đk:  y  x  y    x y x y  x y  2 x y   2 x2 y 1   y 1 hpt   x   2   x    y   2 2( x  y )  ( x  2)   y  1  x  y    x  y        x y a  a  b  x2   đặt  (ĐK a, b > 0) , ta có hệ:  1  a + b =2 b  x  y  y 1  a  b  a  b     4 2 4  a  b  2a b (a  b)  2ab   2a b  2a b a  b  a  b     4 2 2 4 a b  a b  8ab  4  2ab   2a b  2a b a  b  a  b   2 2  2 (ab  1)  a b (ab  1)  8  a b a b  1 ab  1  a  b  a  ( a, b > 0)    ab  b  ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5   a   với   b     (2đ) x y 1 x2 x y 1 y 1 x  y  x   x  1 (thỏa mãn)   x  y  y 1 y  0.5 Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c Gọi S diện tích tam giác c2 ABC, chứng minh : S  cot A  cot B  a  b2  c2  a sin  A  cosA 2R 2bc Ta có :   cot A   2 a sin A cosA  b  c  a 2R  2bc 0.5 (b  c  a ) R b  c  a b  c  a   abc abc 4S 4R a  c2  b2 tương tự ta có:  cot B  , 4S b2  c2  a a  c2  b2 c2  cot A  cot B    4S 4S 2S  0.5 0.5 c2 cot A  cot B  Cho tam giác ABC, lấy điểm M, N, E đoạn AB, BC, CA cho  S (2đ) 2.0     1 AB, BN  BC , CE  CA Chứng minh rằng: AN  BE  CM  3      Từ gt ta có: BN  BC  AN  AB  BC 3      CE  CA  BE  BC  CA 3      AM  AB  CM  CA  AB 3 AM  0.5 2.0 1.0 cộng theo vế đẳng thức ta được:          AN  BE  CM  ( AB  BC  CA)  ( BC  CA  AB)          0.5  mà AB  BC  CA  AA  BC  CA  AB  BB  ,     0.5 3  Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm A  ;3  ; B 6;0  Viết 2  phương trình đường thẳng AB Tìm tọa độ điểm M đoạn OA; N đoạn AB; E, F đoạn OB cho MNEF hình vng 2.0 nên AN  BE  CM  (2đ) *) Viết pt đường thẳng AB:   ta có AB có vtcp AB  ( ; 3)  3; 2   AB có vtpt : n  2;3 ThuVienDeThi.com 0.5  pt AB: 2(x - 6) + 3(y - 0) =  pt AB: 2x + 3y -12 = 0.5 *) Tìm tọa độ điểm M đoạn OA; N đoạn AB; E, F đoạn OB cho MNEF hình vng Gọi H hình chiếu A Ox, MNEF hình vng nên ta có: MF //AH // NE MF OM OA  AM AM MN MF    1  1  1 AH OA OA OA OB OB y A M 0.5 N B O F  E MF MF  1  MF   yM   xM  yN   xN  3 đoa M(1 ; 2) , F(1; 0), N( 3; 2), E(3; 0) (1đ) x 0.5 Biết a, b, c ba số thực dương, thỏa mãn abc  chứng minh rằng: a3 b3 c3    b c  1 c a  1 a b  1 1.0 a, b, c ba số thực dương nên áp dụng bđt TBC- TBN ta có: a3 b c 1 a3 b c  3a    3  ; tương tự ta có: b(c  1) b(c  1) b3 c a  3b    c(a  1) 0.5 c3 a b  3c    a (b  1) cộng theo vế bđt ta được: a  b  c a  b  c  3(a  b  c) 3    VT  (a  b  c)  4 3 mà a  b  c  3 abc  nên VT     đpcm 4 VT + ThuVienDeThi.com 0.5 ...ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI MƠN TỐN CẤP TRƯỜNG KHỐI 10 Năm học 2016- 2017 Đáp án Điểm Câu Cho phương trình: m  3 x  m  1 x  m... =3   x  x     x  x    x  1   x  (TM) 2 x  1 x2  x2  x2 1.0 3.0 ThuVienDeThi.com Đk x > bpt  x  1  x    x  1   x 7  x  7  x    kết hợp với đk ta có... (ab  1)  8  a b a b  1 ab  1  a  b  a  ( a, b > 0)    ab  b  ThuVienDeThi.com 0.5 0.5 0.5   a   với   b     (2đ) x y 1 x2 x y 1 y 1 x  y  x  