(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên(Luận văn thạc sĩ file word) Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI BÁ TÍCH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Danh mục ký hi u viet tat ii LỜi mƠ đau Chương M t so kien th c chuan bị 1.1 Các khái ni m 1.1.1 Không gian xác suat 1.1.2 Bien ngȁu nhiên m t so dạng h i tụ dãy bien ngȁu nhiên 1.2 Toán tử ngȁu nhiên 12 1.3 Điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên 16 Chương Điem bat đ ng cua tốn t hồn tồn ngȁu nhiên 22 2.1 Tốn tử hoàn toàn ngȁu nhiên 22 2.2 Điem bat đ ng toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên .27 Ket lu n 45 Tài li u tham khao 46 Danh mục ký hi u viet tat N T p hop so tụ nhiên R T p hop so thục R+ T p hop so thục dương C[a; b] Không gian hàm so liên tục [a; b] L(X) Khơng gian tốn tử tuyen tính liên tục từ X vào X0LX(Ω) Không gian bien ngȁu nhiên X-giá trị LXp(Ω) Không gian bien ngȁu nhiên X-giá trị khả tích cap p A, F B(X) F σ-đại so σ-đại so Borel X σ-đại so tích σ-đại so A F 2X Ho t p hop khác rőng X C(X) Ho t p hop đóng khác rőng X H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai t p hop đóng A, B Graph(T) Đo thị tốn tử ngȁu nhiên TP Đ đo xác suat p-lim Giói hạn sụ h i tụ theo xác suat h.c.c Hau chac chan [x] Phan nguyên so thục x ǁ.ǁ Chuan LỜi mƠ đau Trong năm đau the kỉ 20, nguyên lý điem bat đ ng noi tieng lan lưot địi phải ke đen là: nguyên lý điem bat đ ng Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) định lý điem bat đ ng Schauder (1930) Các ket đưoc mỏ r ng đoi vói lóp ánh xạ khác nhau, không gian khác đưoc ứng dụng nhieu lĩnh vục toán hoc Ta có the thay ứng dụng vi c giải quyet van đe ton lịi giải phương trình (tốn tử, vi phân, tích phân, ), tốn xap xỉ nghi m, Tiep theo ket trưịng hop khơng ngȁu nhiên, rat nhieu van đe ve điem bat đ ng ngȁu nhiên đưoc nghiên cứu Vào th p niên 1950, O Hans A Spacek ỏ trưòng Đại hoc Tong hop Prague khỏi xưóng nghiên cứu đau tiên ve điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên van đe liên quan1 Các tác giả đưa đieu ki n đủ ban đau đe toán tử ngȁu nhiên có điem bat đ ng ngȁu nhiên Sau cơng trình O Hans A Spacek, m t so dạng tương tụ định lý điem bat đ ng tat định noi tieng khác cho trưòng hop ngȁu nhiên đưoc chứng minh Cùng vói vi c nghiên cứu van đe ve điem bat đ ng ngȁu nhiên, van đe ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên đưoc quan tâm đen Các nghiên cứu ve phương trình tốn tử ngȁu nhiên sụ mỏ r ng, ngȁu nhiên hóa lý thuyet phương trình tốn tử tat định Tuy nhiên, phan lón ket đạt đưoc lý thuyet phương trình tốn tử ngȁu nhiên t p trung vào vi c đưa ve toán điem bat đ ng ngȁu nhiên đe sụ ton nhat nghi m ngȁu nhiên Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 M t cách tong quát, có the xem toán tử ngȁu nhiên m t ánh xạ bien mői phan tử không gian metric thành m t bien ngȁu nhiên Bên cạnh đó, ta coi mői phan tử không gian metric m t bien ngȁu nhiên suy bien nh n giá trị phan tử vói xác suat Vói cách quan ni m v y, ta có the đong nhat khơng gian metric X t p (gom bien ngȁu nhiên X suy bien) không gian L (Ω) bien ngȁu nhiên X-giá trị Từ đó, vói mői toán tử ngȁu nhiên liên tục f từ X vào Y ta xây dụng đưoc m t ánh xạ Φ từ LX(Ω)0 vào LY(Ω) mà hạn che Φ X trùng vói f Ngồi moi liên h sụ ton điem bat đ ng ngȁu nhiên f Φ đưoc thiet l p Vói mục đích mỏ r ng mien xác định toán tử ngȁu nhiên, [3] tác giả đưa khái ni m tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên, ánh xạ bien mői bien ngȁu nhiên nh n giá trị không gian metric thành bien ngȁu nhiên nh n giá trị không gian metric Sử dụng tính tốn thuan túy xác suat, tác giả chứng minh đưoc m t so ket ban đau tương tụ O Hadzic E Pap ve điem bat đ ng toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên Trong phạm vi lu n văn thạc sĩ Toán hoc, tác giả t p trung trình bày lại ket nghiên cứu ve điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên N i dung lu n văn bao gom định lý ve sụ thác trien toán tử ngȁu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên, sỏ đe xét đen toán ve điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Cau trúc lu n văn gom chương Chương Tác giả trình bày m t so khái ni m ve không gian xác suat: bien ngȁu nhiên sụ h i tụ dãy bien ngȁu nhiên; toán tử ngȁu nhiên điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên Các ket chương đưoc trích dȁn bỏ qua chứng minh chi tiet Chương Tác giả trình bày khái ni m tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên, định lý thác trien tốn tử ngȁu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên, tính liên tục theo xác suat tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Tiep theo, chương trình bày ket nghiên cứu ve điem bat đ ng m t so dạng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Đe hoàn thành đưoc lu n văn m t cách hoàn chỉnh, sụ nő lục hoc hỏi thân, em ln nh n đưoc sụ hưóng dȁn giúp đõ nhi t tình TS Tran Xuân Quý TS Đő Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòng biet ơn sâu sac đen thay xin gửi lịi tri ân nhat em đoi vói đieu thay dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thay giảng dạy lóp Cao hoc Tốn K13 (2019 - 2021) Trưòng Đại hoc Khoa hoc - Đại hoc Thái Nguyên t n tình truyen đạt kien thức quý báu tạo đieu ki n cho em hồn thành khóa hoc Tơi xin cảm ơn Ban Giám hi u Trưòng THPT Hải Đảo, Huy n Vân Đon, Quảng Ninh tạo đieu ki n cho suot q trình hoc t p Tơi xin gửi lịi cảm ơn chân thành nhat tói gia đình, bạn bè đong nghi p, ngưòi đ ng viên, hő tro tạo đieu ki n cho suot trình hoc t p thục hi n lu n văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021 Hoc viên Bùi Bá Tích Chương M t so kien th c chuan bị Trong chương này, nhac lại khái ni m trình bày m t cách tong quan ket ve điem bat đ ng toán tử tat định, điem bat đ ng ngȁu nhiên tốn tử ngȁu nhiên mà chúng tơi sử dụng làm tien đe đe xây dụng ket phan sau lu n văn Các ket đưoc trích dȁn khơng đưoc chứng minh chi tiet 1.1 Các khái ni m ban Cho Ω t p khác ∅, đưoc goi không gian mȁu Ho F t p Ω đưoc goi m t σ-đại so neu thỏa mãn tính chat ∅ ∈ F , Ω \ A ∈ F vói moi A ∈ F ∪∞n=1 An ∈ F vói moi An ∈ F , n = 1, 2, Mői phan tử σ-đại so F đưoc goi m t t p đo C p (Ω, F ) goi m t không gian đo 1.1.1 Không gian xác suat Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω t p khác rőng M t σ− đại so F Ω ho t p hop Ω thỏa mãn (a) T p ∅ ∈ F ; (b) Neu A ∈ F phan bù A ∈ F ; (c) Neu A1, A2, dãy đem đưoc t p hop F hop chúng A1 ∪ A2 ∪ · · · thu c F VÍ DỤ 1.1.2 R đưoc định nghĩa t p hop so thục Ho t p Borel F = B(R) σ− đại so R B(R) σ− đại so chứa tat đoạn R Định nghĩa 1.1.3 (Không gian xác suat) Cho F m t σ− đại so Ω Đ đo xác suat P ánh xạ P : F −→ [0, 1] thỏa mãn (i) P(Ω) = 1; (ii) Neu A1, A2, t p rịi đơi m t (nghĩa Ai ∩ A j = ∅ vói i ≠ j) ⊂ F P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1) + P(A2) + · · · (Ω, F , P) đưoc goi không gian xác suat T p hop thu c F đưoc goi bien co Bien co A xảy hau chac chan P(A) = σ-đại so F goi đay đủ vói đ đo xác suat P neu moi t p t p có xác suat t p đo đưoc B ba (Ω, F , P) goi không gian xác suat Cho (Ω, A) không gian đo đưoc X không gian metric Ánh xạ ξ : Ω → X goi A-đo neu ξ−1(B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A vói moi B ∈ B(X) Neu (Ω, A, P) không gian xác suat, ξ : Ω → X ánh xạ A-đo đưoc ξ đưoc goi m t bien ngȁu nhiên nh n giá trị X hay bien ngȁu nhiên X-giá trị T p hop bien ngȁu nhiên X-giá trị đưoc0 ký hi u LX(Ω) M t không gian xác suat goi đay đủ neu F σ-đại so đay đủ Không gian metric khả ly đay đủ đưoc goi khơng gian Polish VÍ DỤ 1.1.4 Chúng ta đưa khoảng cách có đ dài bang m t đơn vị Ω = [0, 1] vói σ− đại so F = B([0, 1]) t p hop t p Borel B ⊂ [0, 1] đ đo Lebesgue P = Leb [0, 1] Khi (Ω, F , P) m t không gian xác suat Nhac lại rang Leb đ đo nhat đưoc định nghĩa t p Borel cho vói bat kì [a, b] Leb[a, b] = b − a Định lý 1.1.5 Neu A1, A2, dãy tăng bien co, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An) n→∞ Tương tụ, neu A1, A2, dãy giảm bien co, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(An) n→∞ Bo đe 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A1, A2, dãy bien co cho P(A1) + P(A2) + · · · < ∞ đ t Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 1.1.2 Bien ngȁu nhiên m t so dạng h i tụ cua dãy bien ngȁu nhiên Định nghĩa 1.1.7 (Bien ngȁu nhiên) Neu F σ− đại so Ω hàm ξ : Ω −→ R đưoc goi F − đo đưoc neu {ξ ∈ B} ∈ F vói mői t p Borel B ∈ B(R) Neu (Ω, F , P) khơng gian xác suat hàm ξ đưoc goi bien ngȁu nhiên CHÚ Ý 1.1.8 Đe cho ngan gon, ta ký hi u {ξ ∈ B} thay viet {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Định nghĩa 1.1.9 (a) σ− đại so σ(ξ) sinh bỏi bien ngȁu nhiên ξ : Ω −→ R đưoc định nghĩa lóp tat t p có dạng {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, B t p Borel R (b) σ− đại so σ({ξi : i ∈ I}) sinh bỏi ho bien ngȁu nhiên {ξi : i ∈ I} đưoc định nghĩa σ− đại so nhỏ nhat chứa tat bien co có dạng {ω ∈ Ω : ξi(ω) ∈ B} B t p Borel R i ∈ I N H N XÉT 1.1.10 Ta goi f : R −→ R hàm Borel neu nghịch ảnh f −1 (B) vói moi t p Borel B R t p Borel Neu f hàm Borel ξ bien ngȁu nhiên f (ξ) σ(ξ)− đo đưoc Th t v y, neu B t p Borel R f : R −→ R hàm Borel f −1(B) t p Borel Do { f (ξ) ∈ B} = {ξ ∈ f −1(B)} thu c σ− đại so σ(ξ) sinh bỏi ξ V y f (ξ) σ(ξ)− đo đưoc Bo đe 1.1.11 (Doob - Dynkin) Cho ξ bien ngȁu nhiên Khi mői bien ngȁu nhiên σ(ξ)− đo η có the viet η = f (ξ) với f : R −→ R hàm Borel Định nghĩa 1.1.12 Giả sử ξ : Ω −→ R bien ngȁu nhiên, xác định đ đo xác suat sau Pξ(B) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Trên R xác định σ− đại so t p Borel B ∈ B(R) Ta định nghĩa Fξ hàm phân phoi ξ, ký hi u Fξ : R −→ [0, 1] xác định bỏi Fξ(x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) “ x} Nh n xét dưói cho ta biet đưoc m t so tính chat hàm phân phoi bien ngȁu nhiên N H N XÉT 1.1.13 Hàm phân phoi Fξ không giảm, liên tục phải thỏa mãn lim Fξ(x) = 0, lim Fξ(x) = x→−∞ x→+∞ Định nghĩa 1.1.14 Neu hàm Borel fξ : R −→ ∫ R cho vói bat kỳ t p Borel B∈ P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} fξ(x)dx R = B ξ đưoc goi bien ngȁu nhiên vói hàm phân phoi liên tục t đoi fξ đưoc goi hàm m t đ ξ Neu dãy hữu hạn ho c vô hạn so thục phân bi t x1, x2, cho vói bat kỳ t p Borel B ⊂ R P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} = X P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi} {ω∈Ω:ξ(ω)∈B} ξ đưoc goi có phân phoi rịi rạc vói giá trị x1, x2, P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi} đưoc goi hàm “khoi lưong” xác suat ξ xi Mr p (2.24) p < n) p p [(r − 1)t] [1 − (qr) ] (q tien tói n → ∞ Đieu dȁn đen (un) dãy Cauchy LX(Ω) Vì v y ton ξ ∈ LX(Ω) cho p-limn un = ξ Cho n → ∞ (2.20), Φ liên tục theo0xác suat ta nh n đưoc ξ = Φξ h.c.c Giả sử η điem bat đ ng khác Φ Khi vói mői t > P(ǁξ − ηǁ > t) = P(ǁΦξ − Φηǁ > t) “ P(ǁξ − ηǁ > t/q) “ ··· “ P(ǁξ − ηǁ > t/qn) vói moi n > Cho n → ∞ ta có P(ǁξ − ηǁ > t) = vói mői t > 0, tức ξ = η h.c.c Vì v y Φ có nhat điem bat đ ng (qp)n r p (2) Từ (2.24) cho m → ∞ t) “ M ( ) P(ǁu − ǁ n ξ> p p (qtp)n r − x1 1− 1(qr) p = M x− 1− t vói mői x x∈ (q; 1) Goi f (x) hàmp xác định (q; 1) bỏi công thức q xp p f (x) = Bang tính tốn trục tiep ta nh n đưoc x − − xp q f (x) = (q;1) p (qp)n ) +p (1 − Vì v y q1+p P( Mp ǁun − ξǁ > (1 − q1+p ) p t 1+p t) “ □ VÍ DỤ 2.2.6 Xét tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Φ : L0X(Ω) → LX0(Ω) xác định bỏi công thức Φu = ku, < k < Khi Φ tốn tử ngȁu nhiên co xác suat, Φ có nhat điem bat đ ng u(ω) = h.c.c X VÍ DỤ 2.2.7 Cho λ(ω) ∈ L (Ω) bien ngȁu nhiên nh n giá trị khoảng (0; q), < q < Giả sử Φ : LX(Ω) → LX(Ω) vói X = R tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên xác định bỏi cơng thức Φu (ω) = λ (ω) u (ω) Khi (2.25) P (ǁΦu − Φvǁ > t) = P (λ(ω) ǁu − vǁ > t) “ P (q ǁu − vǁ > t) Do Φ tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên co xác suat, Φ có nhat điem bat đ ng u(ω) = h.c.c VÍ DỤ 2.2.8 Giả sử Φ : LX(Ω) → LX(Ω) vói X = R tốn tử hồn tồn ngȁu 0 nhiên xác định bỏi công thức Φu (ω) = λ (ω) u (ω) , (2.26) λ bien ngȁu nhiên có phân bo đeu đoạn [a; b], < a < b < Khi Φ tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên co xác suat VÍ DỤ 2.2.9 Cho Ω = [0; 1] X = R Giả sử Φ toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên L0R xác định bỏi Φu (ω) = ω2 − λ (ω) u (ω) (2.27) vói λ (ω) bien ngȁu nhiên nh n giá trị (0; q), < q < Khi Φ tốn hồn tồn ngȁu nhiên co xác suat, có nhat điem bat đ ng u(ω) = ω λ(ω) + Trong phan này, xét đen m t dạng mỏ r ng khác định lý điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên co xác suat, định lý điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên ( f , q)-co xác suat Định nghĩa 2.2.10 Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng thỏa mãn f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ q so thục dương (a) Tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Φ : LX(Ω) → LX(Ω) đưoc goi ( f , q)0 Lipschitz xác suat neu vói mői c p u, v ∈ L0 (Ω) X P (ǁΦu(ω) − Φv(ω)ǁ > f (t)) “ P (ǁu(ω) − v(ω)ǁ > f (t/q)) (b) (2.28) Tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Φ : 0LX(Ω) → 0LX(Ω) đưoc goi ( f , q)co xác suat neu Φ ( f , q)-Lipschitz xác suat vói q < N H N XÉT 2.2.11 Neu Φ q-Lipschitz xác suat Φ ( f , q)-Lipschitz xác suat vói f (t) = t Đ c bi t, neu Φ q-co xác suat Φ ( f , q)-co xác suat vói f (t) = t M nh đe 2.2.12 Neu Φ : LX(Ω) → LY(Ω) ( f , q)-Lipschitz xác suat Φ 0 liên tnc theo xác suat Chŕng minh Cho trưóc t > 0, goi g = f −1 hàm ngưoc f Đ t s = g(t), vói mői u, v ∈ LX(Ω) P(ǁΦu − Φvǁ > t) = P(ǁΦu − Φvǁ > f (s)) “ P(ǁu − vǁ > f (s/q)) (2.29) (2.30) = P(g(ǁu − vǁ) > s/q) (2.31) Goi r > đủ nhỏ cho s/r > q Khi ta có đánh giá P(g(ǁu − vǁ) > s/q) “ P(g(ǁu − vǁ) > r) (2.32) = P(ǁu − vǁ > f (r)) Từ ưóc lưong (2.29) (2.32) suy P(ǁΦu − Φvǁ > t) “ P(ǁu − vǁ > f (r)) Giả sử (un) dãy LX0(Ω) cho p-limn un = u Vì P(ǁΦun − Φuǁ > t) “ P(ǁun − uǁ > f (r)), nên ta có lim P(ǁΦun − Φuǁ > t) = n Do Φ liên tục theo xác suat □ Định lý 2.2.13 Cho Φ : LX(Ω) → LX(Ω) tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên 0 ( f , q)-co xác suat (1) Neu Φ có điem bat đ ng có nhat điem bat đ ng Hơn nra, ton bien ngȁu nhiên u00 ∈ LX(Ω) p > cho M = sup t p P (ǁΦu0 − u0ǁ > f (t)) < +∞ (2.33) t> (2) Giá sr ton c ∈ (q; 1) cho ∞ X n=1 f (cn ) < + ∞ (2.34) Khi (2.33) đieu ki n đủ đe Φ có nhat điem bat đ ng (3) Giá sr với mői t, s > f (t + s) “ f (t) + f (s) Khi (2.33) đieu ki n đủ đe Φ có nhat điem bat đ ng (2.35) Chŕng minh Goi g = f −1 hàm ngưoc f Khi g : [0; +∞) → [0; +∞) hàm tăng, g(0) = 0, limt→+∞ g(t) = +∞ Đieu ki n (2.28) tương đương vói P (g (ǁΦu − Φvǁ) > t) “ P (g(ǁu − vǁ) > t/q) (2.36) Giả sử u0 ∈ L0X(Ω) cho (2.33) Xác định dãy (un) thu c L0 X(Ω) bỏi un+1 = Φun, n = 0, 1, (2.37) Từ bat đȁng thức (2.36) ta có P (g (ǁun+1 − unǁ) > t) = P (g (ǁΦun − Φun−1ǁ) > t) “ P (g(ǁun − un−1ǁ) > t/q) Bang phương pháp quy nạp ta nh n đưoc vói mői n P (g (ǁun+1 − unǁ) > t) “ P (g(ǁu1 − u0ǁ) > t/qn) (2.38) (1) Goi ξ, η hai điem bat đ ng Φ Vói mői t > P (ǁξ − ηǁ > f (t)) = P (ǁΦξ − Φηǁ > f (t)) “ P (ǁξ − ηǁ > f (t/q)) Bang phương pháp quy nạp ta suy P (ǁξ − ηǁ > f (t)) “ P (ǁξ − ηǁ > f (t/qn)) , ∀n Vì limn f (t/qn) = +∞ ta nh n đưoc P (ǁξ − ηǁ > f (t)) = vói mői t > Do g(ǁξ −ηǁ) = h.c.c bang lý lu n phan ta nh n đưoc ξ = η h.c.c Giả sử rang Φ có điem bat đ ng ξ Chon u0 = ξ ta nh n đưoc M = (2) Từ (2.33) P (g(ǁu1 − u0ǁ) > s) “ s p Từ (2.38) (2.39) ta nh n đưoc P (g (ǁun+1 – unǁ) > t) “ M Mq (2.39) (2.40) np t p Chon t = cn, từ (2.40) ta nh n đưoc tức P (ǁun+1 Vì cn) “ M – unǁ) > P (g (ǁun+1 ∞ np (2.41) cnp f (cn)) “ M – unǁ > q ∞ c q np (2.42) np np < +∞, n c n= n= p 1 theo Bo đe Borel-Cantelli, ton t p D vói xác suat cho vói mői XP (ǁun − unǁ > f (cn)) “ M X q 1+ ω ∈ D, ton N(ω) ǁun+1(ω) − un(ω)ǁ “ f (cn), ∀n > N(ω) ∞ n+1 n = ta ket lu n rang ( ) ( )Từ (2.34) u ω ton ∈ D TừDđóvàǁ dãy (un) h i tụ hau chac chanǁntói − utại limω < ∞moi vóiωmoi ω∈ n un(ω) vói X ∈ L (Ω) Vì Φ liên tục theo xác suat, từ (2.37) cho n → ∞ ta nh n đưoc ξ ξ = Φξ h.c.c (3) De dàng thay vói moi t, s > g(s + t) “ g(t) + g(s) Từ vói a = m i= si    m Xi= P (g(ǁun+m − unǁ) > a) “ ǁun+i − un+i−1ǁ > a m  P g   X “ m g(ǁun+i − P  un+i−1ǁ) > a i= “ Từ (2.40) XP (g(ǁun+i − un+i−1ǁ) > si) i= P (g ( ) ) ǁun+i − un+i−1ǁ > “ si Đtr= x Mq(n+i−1)p p si (2.43) vói q < x < si = s(r − 1)/ri Lý lu n tương tụ q chứng minh Định lý 2.2.5 ta nh n đưoc lim P(g(ǁun+m − unǁ) > s) = 0, ∀s > n lim n P(ǁun+m − unǁ > f (s)) = 0, ∀s > từ lim P(ǁun+m − unǁ > t) = 0, ∀t > Vì v y n Do dãy (un) h i tụ theo xác suat tói ξ ∈ L0 X(Ω) Vì Φ liên tục theo xác suat, cho n → ∞ (2.37) ta nh n đưoc ξ = Φξ h.c.c □ N H N XÉT 2.2.14 Ta de dàng nh n thay hàm f : [0; +∞) → [0; +∞) xác định bỏi công thức f (x) = ex − thỏa mãn đieu ki n (2.35) Hai dạng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên f (t)-co yeu xác suat ( f , q)-co xác suat đeu mỏ r ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên co xác suat Tuy nhiên hai định nghĩa khơng có định nghĩa mỏ r ng định nghĩa cịn lại Sau ta xét ví dụ minh hoa sụ ton điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên ( f , q)-co yeu xác suat VÍ DỤ 2.2.15 Cho tốn tử hồn toàn ngȁu nhiên Φ : LX(Ω) → LY(Ω) xác định 0 bỏi công thức Φu (ω) = λ (ω) (u (ω) − ξ(ω)) (2.44) ξ(ω) bien ngȁu nhiên nh n giá trị thục, λ(ω) bien ngȁu nhiên nh n giá trị (0; q2), < q < hàm f : [0; +∞) → [0; +∞) xác định bỏi công thức f (t) = t2 De thay f (x + y) ≥ f (x) + f (y) vói moi x, y ≥ P (ǁΦu − Φvǁ > f (t)) = P λ (ω) ǁu − !vǁ > t2 = P ǁu − vǁ > t2 λ(ω ) t ! “ P ǁu − vǁ > q2 = P (ǁu − vǁ > f (t/q)) Từ ta thay Φ tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên ( f , q)-co xác suat De dàng nh n thay u(ω) = (ξ(ω)λ(ω))/(λ(ω) − 1) điem bat đ ng nhat Φ Ngoài vi c xét đen đieu ki n phía bên bieu thức xác suat, phan đieu ki n ve hàm đưoc xét đen Khi ta nh n đưoc định lý điem bat đ ng cho tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên f -tụa co, f -ti m c n co xác suat Định nghĩa 2.2.16 ([13]) Hàm không giảm f : [0; +∞) → [0; +∞) đưoc goi hàm so sánh neu (i) f (t) = t = 0; (ii) limn→∞ f n (t) = vói moi t > vói f n (t) = f ( f ( f (t) )) x _ ˛z n} lan Khi ta có bo đe sau Bo đe 2.2.17 ([13]) Neu f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh f (t) < t với moi t > Tiep theo ta xét đen khái ni m tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên tụa co chứng minh sụ ton điem bat đ ng toán tử dạng Định lý 2.2.18 Cho X không gian Banach ly Φ : L0X (Ω) → LX0 (Ω) tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên liên tnc theo xác suat f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giá sr toán tr Φ ( f , k)-tụa co theo nghĩa P ¨ ¨ Φku − Φkv > t “ f (C (Φ, u, v, t)) (2.45) với moi u, v ∈ L0 X (Ω), t > với C (Φ, u, v, t) = max 0“p,q“k,(p,q)≠(k,k) hàm so sánh f thóa mãn {P (ǁΦpu − Φqvǁ > t)} , (2.46) ∞ X i=1 f i (1) < + ∞ (2.47) Khi Φ có điem bat đ ng nhat thu c LX (Ω) dãy l p (Φnu0) h i tn theo xác suat đen điem bat đ ng Φ với bat kỳ bien ngȁu nhiên u0 ∈ LX (Ω) Chŕng minh Cho u0 bien ngȁu nhiên thu c LX 0(Ω) un+1 = Φun, n = 0, 1, Vói n ≥ k moi t > P ǁun+1 − unǁ > t = P ăk (un+1k) k (unk)ă > t “ f “ = 0“p1,q1“k,(p1,q1)≠(k,k) max 0“p1,q1“k,(p1,q1)≠(k,k) max 0“p1,q1“k,(p1,q1)≠(k,k) “ “ {P (ǁΦp1 (un+1−k) − Φq1 (un−k)ǁ > max t)}! { f (P (ǁΦp1 (un+1−k) − Φq1 (un−k)ǁ > t))} n f P ăun+p1+1k max nf 0pj,q jk,(pj,q j)(k,k) i un+q1+1kă > t } P ăun+p1+ +pi+1ik un+q1+ +qi+1ikă > t } f i(1) vúi i = [n/k] Vì v y P (ǁun+h − unǁ > t) “ P (ǁun+h − un+h−1ǁ + + ǁun+1 − unǁ > t) “ P (ǁun+h − un+h−1ǁ > t/h) + +P (ǁ un+1 −un > t/h) f i (1) ǁ [n+h/k] “ [n+h/k] Từ (2.47) ta có limn i= i=[n/k ] f i (1) = Vì v y (un) dãy Cauchy LX(Ω) [n/k] ton ξ ∈ L0X(Ω) cho (un) h i tụ theo xác suat tói ξ Vì un+1 = Φun Φ liên tục theo xác suat, cho n → ∞ ta nh n đưoc Φξ = ξ tức ξ điem bat đ ng Φ Goi η điem bat đ ng khác Φ Khi vói bat kỳ t > 0, neu P (ǁξ − ηǁ > t) > “ max { f (P (ǁΦpξ − Φpηǁ > t))} k k P ( > t) = P ă ă > t = f (P ( − ηǁ > t)) < P (ǁξ − ηǁ > t) , 0“p,q“k, (p,q)≠(k,k) từ dȁn đen mâu thuȁn Do P(ǁξ − ηǁ > t) = vói moi t > tức ξ = η h.c.c Vì v y Φ có nhat điem bat đ ng □ Chon hàm f (t) = λt vói < λ < ta nh n đưoc h sau H qua 2.2.19 Cho X không gian Banach ly, k so tự nhiên dương Φ : L0X (Ω) → LX0(Ω) tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên liên tnc theo xác suat X cho với mői t > u, v ∈ L () P ăku kvă > t C (Φ, u, v, t) (2.48) với < λ < Khi Φ có nhat điem bat đ ng thu c L0X (Ω), dãy l p (Φnu0) h i tn theo xác suat đen điem bat đ ng Φ bat kỳ u0 ∈ LX (Ω) VÍ DỤ 2.2.20 Giả sử (Ω, F , P) khơng gian xác suat vói Ω = [0; 1], F σ-đại so Lebesgue t p [0; 1] P đ đo Lebesgue [0; 1] Vói X = R xét tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên Φ : LX(Ω) → LX(Ω) xác định bỏi Φu (ω) =   qu (2ω) neu “ ω “ 1/2  neu 1/2 < ω “ q ∈ (0; 1) hang so1thục Đ t A = {ω : ǁΦu (ω) − Φv (ω)ǁ > t} = {ω : ǁu (2ω) − v (2ω)ǁ > t/q, ω ∈ [0; 1/2]} B = {ω : ǁu (ω) − v (ω)ǁ > t/q} Khi B sụ giãn A, B = 2A Do P(B) = 2P(A) P (ǁΦu (ω) − Φv (ω)ǁ > t) = P (ǁu (ω) − v (ω)ǁ > t/q) “ P (ǁu (ω) − v (ω)ǁ > t) X vói moi u, v ∈ L0 (Ω), t > Vì v y P(ău () v () > t) max P (ǁu (ω) − v (ω)ǁ > t) , P (u () v () > t) , ă > P (ǁΦu (ω) − v (ω)ǁ > t) ta nh n đưoc Φ ( f , k)-tụa co vói f (t) = t/2, k = De dàng nh n thay bien ngȁu nhiên u(ω) = điem bat đ ng Φ Ta nhó lại rang neu A t p R đo đưoc Lebesgue vói đ đo Lebesgue λ so δ > 0, giãn t p A bới δ kí hi u bỏi δA = {δx : x ∈ A} đo đưoc Lebesgue vói đ đo δλ(A) Định lý 2.2.21 Cho X không gian Banach ly Φ : L0X (Ω) → LX0 (Ω) tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên liên tnc theo xác suat f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giá sr Φ thóa mãn đieu ki n f -ti m c n co theo nghĩa ton dãy hàm liên tnc fn : [0; +∞) → [0; +∞) cho fn h i tn đeu tới f với moi u, v ∈ L0X (Ω) , t > P (ǁΦnu − Φnvǁ > t) “ fn (P (ǁu − vǁ > t)) (2.49) Khi Φ có nhat điem bat đ ng dãy l p (Φnu0) h i tn theo xác suat tới điem bat đ ng Φ với bat kỳ u00∈ LX (Ω) Chŕng minh Goi u, v bien ngȁu nhiên thu c LX0(Ω) Từ (2.49), vói n ≥ t > P (ǁΦnu − Φnvǁ > t) “ fn (P (ǁu − vǁ > t)) n n Vì v y lim supn P (ǁΦ u − Φ vǁ > t) “ lim supn fn (P (ǁu − vǁ > t)) = f (P (ǁu − vǁ > t)) Giả sử rang lim supn P (ǁΦnu − Φnvǁ > t) = s > T (2.49), ta cú P ăn+ku n+kvă > t fn P ăku kvă > t T ú ăn+ku n+kvă > t lim nsup fn P ăku kvă > lim sup P n t = f P ăku kvă > t Vì v y lim supk lim supn P ¨ Φn+ku − Φn+kv > t¨ “ lim supk f P ăku kvă > t Do ú < s “ f (s) < s, ta nh n đưoc mâu thuȁn Giả sử ta có lim supn P (ǁΦnu − Φnvǁ > t) = Chon u = Φhu0, v = u0 ta suy lim sup P ¨Φn+hu0 Φnu0 > t = n Đ t un = Φ u0, ta suy (un) dãy Cauchy LX0() Khi ú ton ti ă LX() cho (un) h i tụ theo xác suat đen ξ Vì v y un+1 = Φun Φ liên tục theo xác suat Cho n → ∞, ta nh n đưoc Φξ = ξ tức ξ điem bat đ ng Φ n Goi η điem bat đ ng khác Φ Khi vói bat kỳ t > 0, neu P (ǁξ − ηǁ > t) > P (ǁξ − ηǁ > t) = P (ǁΦnξ − Φnηǁ > t) “ fn (P (ǁξ − ηǁ > t)) vói moi n Cho n → ∞ ta nh n đưoc P (ǁξ − ηǁ > t) < f (P (ǁξ − ηǁ > t)) < P (ǁξ − ηǁ > t) , từ xảy mâu thuȁn Vì v y P(ǁξ − ηǁ > t) = vói moi t > tức ξ = η h.c.c Do Φ có nhat điem bat đ ng □ Ket lu n Lu n văn “M t so ket ve điem bat đ ng tốn tr hồn tồn ngȁu nhiên” trình bày đưoc n i dung sau: (a) M t so ket ve không gian xác suat: bien ngȁu nhiên, m t so dạng h i tụ dãy bien ngȁu nhiên M t so ket ve toán tử ngȁu nhiên Điem bat đ ng toán tử ngȁu nhiên m t so ket (b) Trình bày định lý thác trien tốn tử ngȁu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên, đưa tiêu chuan ve sụ liên tục theo xác suat tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên (c) Trình định lý ve đieu ki n đủ, đieu ki n can đủ đe ton điem bat đ ng ngȁu nhiên Tài li u tham khao Tieng Vi t [1] Nguyen Duy Tien, Vũ Vi t Yên (2000), Lý thuyet xác suat, Nhà xuat Giáo dục [2] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực Giái tích hàm, NXB ĐH Quoc gia HN Tieng Anh [3] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38, pp 227–235 [4] Beg I., Shahzad N (1993), "Random fixed points and approximations in random convex metric spaces", J Appl Math Stochastic Anal 6(3) , pp 237-246 [5] Beg I., Shahzad N (1994), "Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces", J Appl Math Stoc Anal 7(4) , pp 569–580 [6] Beg I., Abbas M (2006), "Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces", J Math Anal Appl 315 (1), pp 181–201 [7] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York [8] Bharucha Reid A T (1976), "Fixed point theorems in probabilistic analysis", Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641–657 [9] Engl H W (1978), "Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings", Nonlinear Anal (5), pp 619–626 [10] Itoh S (1977), "A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping", Pacific J Math 68(1), pp 85–90 [11] Itoh S (1979), "Random fixed-point theorems with an application to random differential equations in Banach spacess", J Math Anal Appl 67(2), pp 261–273 [12] Lin T C (1988), "Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps", Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [13] Matkowski J (1977), "Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point", Proc Amer Math Soc 62 (3), pp 344–348 [14] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [15] Shahzad N (2005), "On random coincidence point theorems", Topol Methods Nonlinear Anal., 25(2), pp 391-400 [16] Tan K K., and Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119(3), pp 849–856 [17] Thang D.H., T.N Anh (2010), "On random equations and applications to random fixed point theorems", Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199–212 [18] Thang D H., Anh P T (2013), "Random fixed points of completely random operators" Random Oper Stoch Equ., 21(1), pp 1–20 [19] Thang D H., Anh, P T (2014), "Some results on random fixed points of completely random operators.", Vietnam J Math., 42(1), pp 133–140 ... αn(ω) fn(x) (1.5) n=1 xác định toán tử ngȁu nhiên từ X vào R Định nghĩa 1.2.4 Cho f , g : Ω × X → Y hai toán tử ngȁu nhiên Toán tử ngȁu nhiên f goi m t bán toán tử ngȁu nhiên g neu vói moi x ∈ X f... n văn thạc sĩ Toán hoc, tác giả t p trung trình bày lại ket nghiên cứu ve điem bat đ ng tốn tử hồn tồn ngȁu nhiên N i dung lu n văn bao gom định lý ve sụ thác trien toán tử ngȁu nhiên thành toán. .. ngȁu nhiên Y-giá trị xác định X Toán tử ngȁu nhiên từ X vào X đưoc goi toán tr ngȁu nhiên X Toán tử ngȁu nhiên từ X vào R đưoc goi phiem hàm ngȁu nhiên Vói mői x co định, f (ω, x) m t bien ngȁu nhiên