toàn ngȁu nhiên
Toán tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y có the coi là m t tác đ ng bien các phan tử x trong X thành đau ra ngȁu nhiên f (ω, x) nh n giá trị trong Y. Trong m t so trưòng hop, ngay cả đau vào cũng bị ảnh hưỏng bỏi môi trưòng ngȁu nhiên, m t tác đ ng bien các phan tử ngȁu nhiên nh n giá trị trong X thành đau ra ngȁu nhiên nh n giá trị trong Y đưoc goi là toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên từ
X vào Y.
N i dung của chương này trình bày lại các ket quả trong hai bài báo của Đ ng Hùng Thang và Phạm The Anh xuat bản năm 2013 và năm 2014 (xem
[18,
19]). Cụ the, chúng tôi sẽ trình bày các ket quả ve sụ thác trien toán tử ngȁu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên. Tiep theo các ket quả ve điem bat đ ng của các toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên đưoc xét đen. Chú ý rang định lý điem bat đ ng của các toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên không đưoc suy ra m t cách trục tiep từ các định lý tương ứng trong trưòng hop tat định, hay trong trưòng hop ngȁu nhiên.
2.1 Toán t hoàn toàn ngȁu nhiên
Cho f : Ω × X → X là toán tử ngȁu nhiên liên tục vói X là không gian Banach khả ly và (Ω, F, P) là không gian xác suat đay đủ. Theo Định lý 1.2.6,
ánh xạ ω ›→ f (ω, u(ω)) đo đưoc và cũng là bien ngȁu nhiên. Do đó ta có the xét
Φ : LX(Ω) → LX(Ω) (2.1)
xác định bỏi Φu(ω) = f (ω, u(ω)) vói moi u ∈ LX(ω). Khi đó có the coi X là t p con các bien ngȁu nhiên suy bien (bien ngȁu nhiên nh n giá trị cụ the vói xác suat 1) của t p các bien ngȁu nhiên LX(Ω). Hơn nữa, hạn che của Φ trên
X trùng vói toán tử ngȁu nhiên f . Từ đó, ta nh n đưoc Φ là sụ mỏ r ng của f
lên
toàn b LX(Ω) và ta goi Φ : LX(Ω) → LX(ω) là toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên. Không gian LX(ω) các bien ngȁu nhiên nh n giá trị trong X vói tô pô h i tụ theo xác suat là không gian đay đủ theo nghĩa mői dãy (un) trong LX(ω) h i tụ
đen phan tử u ∈ LX(ω) khi và chỉ khi dãy đó là cơ bản theo xác suat. Không gian LX(Ω) cũng là không gian metric hóa đưoc vói nhieu metric khác nhau (sụ h i tụ theo các metric đó tương đương vói sụ h i tụ theo xác suat). Khi đó ta có the coi Φ như là m t ánh xạ giữa hai không gian metric. Tuy nhiên ỏ đây chúng ta xét đen góc đ xác suat của toán tử Φ, vói các giả thiet dụa trên các bieu thức xác suat chứ không dụa trên các metric của LX(Ω).
Sau đây ta xét đen định nghĩa toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên.
Định nghĩa 2.1.1. Cho X, Y là các không gian Banach khả ly.
(a). Ánh xạ Φ : LX(Ω) → LY(Ω) đưoc goi là toán tr hoàn toàn ng uȁ nhiên. (b). Toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên Φ đưoc goi là liên tnc neu vói mői dãy (un)
thu c LX(Ω) thỏa mãn limn un = u h.c.c., ta có limnΦun = Φu h.c.c. (c). Toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên Φ đưoc goi là liên tnc theo xác suat neu
vói mői dãy (un) trong LX(Ω) thỏa mãn limn un = u theo xác suat, ta có limnΦun = Φu theo xác suat.
Định nghĩa 2.1.2. Toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên Φ : LX(Ω) → LY(Ω) đưoc goi là mỏ r ng của toán tử ngȁu nhiên f : Ω × X → Y neu vói mői x ∈ X
Φx(ω) = f (ω, x) h.c.c. (2.2) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
trong đó vói mői x ∈ X, x ký hi u bien ngȁu nhiên u ∈ LX(Ω) cho bỏi u(ω) = x
h.c.c.
Tiep theo ta chứng minh định lý thác trien toán tử ngȁu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên.
Định lý 2.1.3. Cho f : Ω × X → Y là toán tr ng uȁ nhiên có bán sao liên tnc. Khi đó ton t iạ toán tr hoàn toàn ng uȁ nhiên liên tnc Φ : LX(Ω) →
LY(Ω) sao 0 0
cho Φ là mớ r ng c aủ f .
Chŕng minh. Goi g là bản sao liên tục của f . Định nghĩa Φ : LX(Ω) → LY(Ω)
0 0
bỏi công thức
Φu(ω) = g(ω, u(ω)) (2.3)
vói mői bien ngȁu nhiên u ∈ LX(Ω). Ta chứng minh định nghĩa này là xác định tot. Th t v y, theo Định lý 6.11, g : Ω × X → Y là đo đưoc, vì v y
ω ›→ g(ω, u(ω)) là đo đưoc. Tiep theo ta sẽ chứng minh neu h là bản sao liên tục khác của f thì
g(ω, u(ω)) = h(ω, u(ω)) h.c.c. (2.4) Do X là không gian khả ly, ton tại dãy (xn) trù m t X. Vói mői xn, ton tại t p
Ωn có xác suat 1 sao cho g(ω, xn) = h(ω, xn) vói moi ω ∈ Ωn. Đ t Ω0 = nT
1 Ωn, ta nh n đưoc Ω0 có xác suat 1 và
g(ω, xn) = h(ω, xn) ∀ω ∈ Ω0 ∀n. (2.5) Co định ω ∈ Ω0, vì dãy (xn) trù m t trong X nên ton tại dãy con (xnk ) h i tụ đen
u(ω). Từ tính liên tục của ánh xạ x ›→ g(ω, x) và ánh xạ x ›→ h(ω, x)
lim g(ω, xnk ) = g (ω, u(ω)) , lim h(ω, xnk ) = h (ω, u(ω)) . (2.6)
k k
Từ (2.5) và (2.6) ta thu đưoc h(ω, ξ(ω)) = g(ω, ξ(ω)) vói moi ω ∈ Ω0. Từ (2.3) de dàng chứng minh đưoc toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên Φ là liên tục và là mỏ r ng của f .
□
Định nghĩa 2.1.4. Cho Φ : LX(Ω) → LY(Ω) là toán tử hoàn toàn ngȁu nhiên.
0
0
∞= =