Đề thi học sinh giỏi lớp 9 năm học 2013 – 2014 môn thi: Toán27682

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm : 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1( 6điểm) Cho biểu thức: P = x y  xy x y :  x    xy  y  y xy  x a Tìm ĐKXĐ P rút gọn P b Tính giá trị P với x =  ; y =  a) Tính giá trị biểu thức: A= 1 b) So sánh B =     x  y  xy  22 100 99  99 100 1    với 1 3 99  100 Bài 2( điểm) a) Chứng minh rằng: m =  -  nghiệm phương trình x3 + 3x - =0 b) Cho a = 11…1 ; b = 100…05 2008 chữ số 2007 chữ số Chứng minh ab  số tự nhiên Bài 3: ( điểm) a) Tìm số nguyên x,y cho : 3x2 + 4y2 = 6x +13 b) Tìm giá trị nhỏ A= xy yz zx với x,y,z số dương x2 + y2 + z2 =   z x y Bài 4: ( điểm) Cho tam giác ABC Gọi Q điểm cạnh BC (Q khác B,C ) Trên AQ lấy điểm P (P khác A,Q ) Hai đường thẳng qua P song song với AC ,AB cắt AB,AC M,N AM AN PQ   1 AB AC AQ AM AN PQ b) Xác định vị trí điểm Q để  AB AC AQ 27 a) Chứng minh rằng: Bài 5: (2 điểm) Cho x + y + z = x2 + y2 + z2 = x3 + y3 + z3 = Tính giá trị x2009 + y2011 + z2013 Hết ThuVienDeThi.com Hướng dẫn chấm thi học sinh giỏi lớp Năm học 2013 – 2014 Mơn thi: Tốn Bài Nội dung 1.a) ĐKXĐ: x>0; y>0 ; x  y Bài (6 đ) P=   x  xy  y  xy x y  ): Điểm 0, 0,5 đ 0,5 đ x x ( y  x)  y y ( y  x )  ( x  y )( y  x) xy ( y  x) 1,5đ =… y x b) Tính x = 2(  1) ; y = 2(  1) Thay x, y vào biểu thức p tính P = 2(  1)  2(  1) =2 2 Chứng minh  (1  k ) k  k k  1 k 0,25đ 0,25đ  0,5 đ 0,5 đ k 1 a) Áp dụng công thức thay k từ đến 99 ta 1 1 1  10 10 2 99 100 1 2 b) Ta có         1 Từ ta có B > A= Bài (3đ)       a) Tính m3 = – 3m Suy m3 + 3m - =0 Kết luận b) Ta có a = 11…1 ; 2008 chữ số b = 100…05 = 100…00 + = 102008 +5 = (9a+1) +5 =9a+6 2007 chữ số 2008chữ số ab +1 = a( 9a +6) +1= ( 3a+1 )2 Nên ab  = 3a +1 Vì a  N nên 3a +1  N (Đpcm) Bài ( 4đ) 1,0 đ = 1- a) Biến đổi 3x2 + 4y2 = 6x +13  3(x-1)2 = 16 – 4y2 = 4(4 – y2 ) Vì VT  nên VP  suy (4 – y2 )  … Suy y  - ;-1; 0; 1; 2 ThuVienDeThi.com 0,75 0,25đ 1,0đ 0,25đ 0,25đ 1, 0,5đ 0,5đ 0,5 đ 0,5đ 0,5đ Thay giá trị y ta tìm cặp nghiệm sau: (x,y)  (1;2); (3,1); (1;1); (1,2); (3;1); (1;1); b)A = 2 2 1,0đ xy yz zx x y y z z x nênA2 =    ( x2+y2+z2 =1)   z x y z x y = B +2 Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho số dương ta có 0,5đ x2 y2 y2 z2 x2 y2 y2 z2    2y2 2 z x z x 2 y z z2 x2 Tương tự   2z 2 x y x2 y2 z2 x2   2x 2 z y 1,0đ Cộng vế với vế ta 2B   B  Do A2 = B +2  nên A  3 a) Gọi H = PN  BC, I = MP  BC Vậy Min A =  x=y=z= Bài (5 đ) 0,5đ A M N P B Ta có AN NC  =1 AC AC H (1) Mặt khác áp dụng định lí Ta let ,ta có : NC CH CI  IH CI IH (2)     AC BC BC BC BC CI AM MI AC nên  (3) BC AB Vì  ABC đơng dạng với  PHI (g,g) IH PH PH PQ    mà (4) BC AB AB AQ Từ (1),(2),(3),(4) suy Q I C 0,5đ 0,25đ 1,0đ AN NC AM AN PQ = ….=     (đpcm) AC AC AB AC AQ b)Từ câu a ta có: AM AN PQ CI AN IH CI BH IH    AB AC AQ BC AC.BC BC.BC.BC 27  CI.BH.IH = BC 27 Mặt khác áp dụng Cô si cho số không âm ta có: ThuVienDeThi.com 1.0đ 0,5đ 0,25đ  CI  IH  HB  CI.BH.IH  3  BC 27 Dấu “=” xảy  CI = IH =HB Khi Q trung điểm BC Bài (2 đ) Từ x +y +z =1 suy ( x +y +z )2 =1 ….Nên xy +yz +xz =0 (1) Chứng minh x3 + y3 + z3 -3xyz = ( x +y +z).( x2 + y2 + z2 –xy –yz –xz) Do …3xyz = xy +yz +xz (2) Từ (1) (2) ta có 3xyz =0  x=0 y=0 z =0 +) Nếu x =0 yz=0  y =0 z=1 z =0 y=1 Vậy (x,y,z) = (0,0,1); (0,1,0) Tương tự xét với y=0, z=0 hai số cịn lại có số số Vậy trường hợp có hai số số Do A =1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 – 2014 Mơn thi : Tốn Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm ) 3x  x  Cho P = x x 2  x 2 x 1  x 2 1 a Rút gọn P b Tìm x để P = Tìm x để P2 > P c Tìm giá trị nguyên x cho P số nguyên Bài (4 điểm ) Giải phương trình a ( x  3)( x  4)( x  5)( x  6)  24 b x  x  = x  x  Bài ( điểm ) Tìm nghiệm nguyên phương trình 2 x  xy  y   ThuVienDeThi.com 1,0đ 0,5đ 0,5đ 0,25đ 1,0 đ 0,25 đ Bài ( điểm ) Cho đường trịn đường kính AB = 2R hai tiếp tuyến A x ; B y tiếp tuyến thứ ba với M tiếp điểm cắt A x C, cắt B y D a So sánh diện tích tam giác COD diện tích tứ giác ACDB b Tìm giá trị nhỏ hai diện tích c Chứng minh AC.BD = R2 Bài ( điểm ) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn thỏa mãn điều kiện 1   sin B  sin C sin B sin C Chứng minh tam giác ABC cân ………….HẾT…………… ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 – 2014 Môn thi : Toán Bài Bài (6đ) Nội dung a Tìm điều kiện : x ≥ ; x ≠ x3 x 2 P= ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) ( x  1)( x  2) x 1 = b  x 1 P =  P = P = -1  Hoặc x   x  (loại) x   ( x  1)  x   TXĐ c > p  P2 – p >  P( P – ) > P1 +) P >  x    x > +) P <  x -1 <  x < Kết hợp ≤ x < Vậy P > p  x > ≤ x <  x ≥ x ≠ P2 z x 1 Do x  z Và x -  Ư(2) Vậy x = ; ; d P = + Bài (4đ) Điểm 0,25 đ 0,75 đ a ( x  3)( x  6)( x  4)( x  5)  24  ( x  x  18)( x  x  20)  24 (1) Đặt x  x  19  y (1)  ( y + 1)(y – ) – 24 =  y2 – 25 =  ( x  x  24)( x  x  14)   ( x  2)( x  7)( x  x  24)  Chứng tỏ x  x  24  Vậy nghiệm phương trình : x  2; x  7 b Ta có x  x   ( x  x  1)  ( x  1)  pt trở thành : x  x   x  x  ThuVienDeThi.com 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,25 đ 0,25 đ 0,5 đ 0,25 đ  x 1 Ta có : Bài (3 điểm ) x  xy  y  =  x( y  1)  ( y  1)  1  ( y  1)( x  1)  1 1đ 1đ 1đ Các nghiệm : ( -2; ) , ( ; -2 ) Bài (5 điểm) 0,5 đ a ∆ OAC = ∆ OMC (cạnh huyền góc nhọn ) ∆ OBD = ∆ OMD (cạnh huyền góc nhọn ) 0,5đ ) S∆ CBD b Ta có S∆ OCD = OM CD Vậy S∆ OCD = 0,5 đ Mà OM = R không đổi Vậy S∆ OCD nhỏ CD nhỏ Vậy CD nhỏ khoảng cách hai đường thẳng song song AC BD Tức CD = AB = R Khi S∆ OCD = 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5đ R 2R = R2 Khi ACDB hình chữ nhật Vậy SACDB = 2R2 c Ta có OM2 = MC MD 0,5 đ 0,5 đ x y Nhưng MC = CA, MD = BD, OM = R Vậy AC BD = R2 M C D M Bài ( điểm) A Từ 1   sin B  sin C sin B sin C  sinBsinC = (sinB + sin C)2  ( sinB – sinC )2 =  sinC = sin B  Góc C = Góc B Vậy ∆ ABC cân ThuVienDeThi.com O o O B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013-2014 Mơn thi: Tốn Thời gian làm :150 phút( Không kể thời gian giao đề) Đề thức Bài 1: (5 điểm) Cho A  x x 1 x x 1    x 1 x 1    x      x x x x  x   x 1 x   a Rút gọn A b Tìm x để A = Bài 2: (4 điểm) Giải phương trình: x    x  x  x  18 Tìm x, y, z biết: x  2008  y  2009  z  2010  3012  x  y  z  Bài 3: (3đ) Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức M = a3 + b3 Chứng minh nếu: 1    3và a b c a + b + c = abc ta có: 1   7 a b2 c2 Bài 4: (1điểm) Chứng minh rằng: Số phương lẻ chia cho dư Bài 5: (5 điểm) Cho  ABC tiếp xúc với cạnh BC, CA AB D, E F Đặt DB = x, DC = y, AE = z a Tìm hệ thức liên hệ x, y, z b Chứng minh rằng: AB AC = DB.DC Bài 6: (2 điểm) Một tam giác có độ dài ba cạnh là: a; b; c thỏa mãn: (a + b – c)3 + (b + c – a)3 + (c + a – b)3 = a3 + b3 + c3 ThuVienDeThi.com Chứng minh tam giác tam giác ****************Hết********************** ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM Câu 1: a/ ĐKXĐ: x > 0, x ≠ A  (0,5 điểm)  x  x 1 (2,5 điểm) x Trả lời b/ A =  (0,5 điểm)   x  x 1 (0,25 điểm) x x = (loại) (1 điểm) Vậy khơng có giá trị x để A = (0,25 điểm) Câu 2: 1, VP = x2 – 18x + 16 = (x – 4)2 + ≥ Dấu “=” xảy (0,75 điểm) x = (1) VT2 =  x    x      x       2 VT = Dấu “=” xảy x = (2) (0,75 điểm) Từ (1) (2)  nghiệm phương trình là: x = 2, ĐKXĐ: x ≥ 2008, y ≥ 2009, z ≥ 2010 x  2008  y  2009  z  2010  3012      x  2008     y  2009   (0,5 điểm) (0,5 điểm) x  y  z   z  2010   (1 điểm) x = 2009 (0,5 điểm) y = 2010 z = 2011 Bài 3: 1, Từ a + b =  b = – a  M = a3 + (1 – a)3 (0,5 điểm)  M = (a2 – 2a + 1 1  M  3 a     2 4  1 )+ 4 (0,5 điểm) ThuVienDeThi.com Dấu “=” xảy  a    a  Vậy M   a  2 (0,5 điểm) a/ Từ 1 1 1   3    9 a b c a b c 1 1 1        a b c ab bc ac 1 1       2     a b c  ab bc ac  1 cab     9 a b c abc 1 abc      9(vì a  b  c  abc) a b c abc 1 1 1    29   7 a b c a b c Gọi m2 số phương lẻ (m  N) Vì m số lẻ  m = 2n +  m2 = (2n + 1)2 = 4n2 + 4n + = 4m (n + 1) + Vì n (n + 1) số nguyên liên tiếp nên n (n +1)   4m (n + 1)   m2 = 4n (n + 1) + chia cho dư vẽ hình đúng: 0,5 điểm a Theo tính chất tiếp tuyến cắt nhau: BD = BF, AE = AF, CD = CE  BC = x + y; AC = y + z; AB = x + z BC2 = AB2 + AC2 (1 điểm) (x + y)2 = (x + z)2 + (y + z)2 xy = z (x + y +z) (1) (1 điểm) b Gọi r bán kính, I tâm đường tròn nội tiếp ABC  SABC = 1 1 AB AC = BC.r + CA.r + AB.r = (x + y + z).r (2) 2 2 Tứ giác AEIF hình chữ nhật (vì có góc vng) lại có AE = AF  AEIF hình vng  AE = EI  Z = r (3) Từ (1) (2) (3)  AB AC = x.y AB.AC = DB.DC (đfcm) Bài 6: ThuVienDeThi.com (1,5 điểm) (1 điểm) Đặt x=b+c–a y=c+a–b ( x, y, z > 0) z=a+b–c a yz zx x y ;b  ;c  2 (0,5 điểm) Ta có: (a + b – c)3 + (b + c – a)3 + (c + a – b)3 = a3 + b3 + c3 (x3 + y3 + z3) = (x + y)3 + (y + z)3 +(z + x)3 (x3 + y3 + z3) = xy2 + y2z + yz2 + z2x + zx (x3 + y3 – x2y – xy2) + (y3 – z3 – y2z – yz2) + ( z3 + x3 – z2x – xz2) = (x + y) (x – y)2 + (y + z) (y – z)2 + (z + x) (z – x)2 = (1 điểm) x = y = z ( x, y, z > 0)  A = b =  Tam giác cho tam giác ThuVienDeThi.com (0,5 điểm) ĐỀ thi HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC: Câu I (4,0 điểm): Cho biểu thức P = x x 3 x2 x 3    x 3 x 3 x 1 3 x Rút gọn P Tìm giá trị nhỏ P giá trị tương ứng x Câu (5,0 điểm) 2 a) Giải phương trình: x  2x  x  11  5 x  10 x  1  x  y  x  y b) Tìm số hữu tỷ x, y thỏa mãn:  6 x  19 xy  15 y  c) Tìm số tự nhiên n để A  n 2012  n 2002  số nguyên tố Câu (3,0 điểm) Cho số thực a, b, c thỏa mãn đồng thời hai điều kiện: i a  b b  c c  a   abc ii a  b b  c c  a  a 3b c Chứng minh rằng: abc  Tìm tất số nguyên tố p cho  p  p  p  p số hữu tỷ Câu (6,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn, nội tiếp đường trịn (O) Lấy điểm P cung AB khơng chứa C đường tròn (O) (P khác A B) Đường thẳng qua P vng góc với OA cắt đường thẳng AB, AC theo thứ tự Q, R; đường thẳng qua P vng góc với OB cắt đường thẳng AB, BC theo thứ tự S, T a) Giả sử tam giác ABC cân C Tìm vị trí P cung AB để tổng PA + PB + PC đạt giá trị lớn b) Chứng minh PQ2 = QR.ST Cho tam giác ABC cân A có BAC = 108o Chứng minh Câu (2,0 điểm) ThuVienDeThi.com BC số vô tỉ AC a) Cho ba số dương a, b c thỏa a  b  c  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:   A  14 a  b  c  ab  bc  ca a b  b 2c  c 2a b) Giả sử a1 , a , , a11 số nguyên dương lớn 2, đôi khác thỏa mãn a1  a   a11  407 Tồn hay không số nguyên dương n cho tổng số dư phép chia n cho 22 số a1 , a , , a11 ,4a1 ,4a , .,4a11 2012? -Hết -(Đề thi gồm 01 trang) ThuVienDeThi.com đáp án biểu điểm Cõu I (4,0 điểm): - ĐKXĐ : x  0, x  Với x  0, x  x x 3 P= =  x2 x 3  x 3 x 1  x 3 3 x =         x  3 x  1   x  1 x  3 x x 3 x 3 x 3   x 1 x  x 1 x   x x  x  x  24 x 8 = x 1 x  x 1    2® x 8 = x 1  2  x 1 x 1  giá trị nhỏ P =  x = ( thỏa mãn đkxđ) Với x  0, x  P = x 1  x  1    2® Bài 2: a) Ta có: x  2x  x  112  5 x  10 x  12  x  2x  22  10x  2 5  5x  22  10x  2 1 Đặt y  x  , pt trở thành: 0,5®   y y    y y  10 y   y  10 y  2   100 y  25  20 y  100 y  10 y  25 y  100 y   100 y  20 y  10 y  y  y  10 y  10 y  y    y  1   y  0,5® Với y   x    x  Vậy pt có nghiệm x  0,5® b)  y  y  Nếu x  thay vào hệ ta được:  (hệ vô nghiệm) 15 y  0,5®     x  2t   4t  6 x  19tx  15t x   x 15t  19t    x  2t x  x  4tx  Nếu x  , đặt y  tx hệ trở thành:  2 2 0,5®   4t   62t  61t  5t    2t 15t  19t   2t  1 31t  15t    2t    t  (do x, y  Q  t  Q ) 2 Suy x   x  2  y  1 Suy  2t  0; 15t  19t     Vậy hệ pt có nghiệm 2; 1,  2;  1 0,5® ThuVienDeThi.com c)  Xét n A = không phi số nguyên t; 0,5đ Xét n A = số nguyên t 0,5đ Xét n > 1: A = n2012 – n2 + n2002 – n + n2 + n + = n2((n3)670 – 1) + n.((n3)667 – 1) + (n2 + n + 1) 0,5® Mà (n3)670 – 1) chia hết cho n3 - 1, suy (n3)670 – 1) chia hết cho n2 + n + Tương tự: (n3)667 – chia hết cho n2 + n + Vậy A chia hết cho n2 + n + > nªn A hợp số Số tự nhiªn cần tìm n = 0,5đ Bi 3: a) T ii) suy ra: a  b b  c c  a a  ab  b b  bc  c c  ca  a  a 3b c Kết hợp với i) suy ra: abca  ab  b b  bc  c c  ca  a  a 3b c 0,5® abc   2 2 2 2  a  ab  b b  bc  c c  ca  a  a b c (1)     0,5® Nếu abc  a  ab  b  ab a  b  ab  ab  ab   Từ BĐT b  c  bc  bc  bc  b  bc  c  bc   2 c  ca  a  ca c  a  ca  ca  ca 0,5® Suy ra: a  ab  b b  bc  c c  ca  a  a b c , kết hợp với (1) suy a  b  c Do đó: 8a   a   abc  (mâu thuẫn với đk abc  ) Vậy abc  0,5® b)  p  p  p  p số hữu tỷ   p  p  p  p  n , n  N *   p  p  p  p  4n (1)  p  p  p  4n   p  p  p  p  p  (2 p  p )  (2n)  (2 p  p  2)  p  p  2n  p  p  0,5®  2n  p  p  Thế vào (1) ta  p  p  p  p  (2 p  p  1)  p  p   ThuVienDeThi.com Giải pt tìm p  1 (loại) p  Với p    p  p  p  p  11 Vậy p  0,5® A Bài 4: P Q 0,25® O S B R MT C a) Gọi giao điểm PC với AB M CPA  CAM (g.g)  PC PA  CA AM 0,5® PC PB  CB BM PC PA PB PA  PB PA  PB Suy ra:     (do CA = CB) CA AM BM AM  BM AB PC CA   PA  PB AB CPB  CBM (g.g)  0,25® Ta có: PA  PB  PC   AB   AB   1.PC  R.  1 (không đổi)  CA   CA  0,5® Dấu “=” xảy P đối xứng với C qua O 0,5® b) Do tam giác OAB cân, nên OAB  OBA (1) Do PR  OA nên PQS  AQR  90  OAB (2) Tương tự, có PSQ  90  OBA (3) Từ (1), (2), (3) suy PQS cân 0,5® Theo chứng minh trên, AQR  900  OAB  BCA BST  900  OBA  BCA Do ARQ ~ ABC ~ TBS QA ST  QR SB Do APB  1800  BCA, SPQ  1800  AOB  1800  2BCA Suy ARQ ~ TBS  (4) 0,5® nên APQ  BPS  APB  SPQ  BCA mà APQ  PAQ  PQS  BCA  PAQ  PBS suy PBS  APQ ThuVienDeThi.com PQA  PSB (do tam giác PSQ cân P) QP SB Do AQP ~ PSB   QA SP (5) 0,5® QP QA QP ST SB ST  ·  ·  QR QR QA SB SP SP PS ST Từ đó, PQ  PS nên   PS  QR·ST , điều phải chứng minh QR SP Từ (4) (5) suy B 0,5® A x C D Kẻ tia Cx cho CA phân giác BCx , tia Cx cắt đường thẳng AB D 0,5® Khi ta có: DCA = ACB = 36o DCA cân C, BCD cân B  AB = AC = DC 0,5® Theo tính chất đường phân giác tam giác BCD ta có: CB AB BC CA BC CA , mà BC = BD      CD AD CA BD  CA CA BC  CA 0,5® BC BC 1  BC   BC BC  CA  CA  BC  BC.CA  CA    1      CA CA  CA  BC Vậy số vơ tỉ AC 2 0,5® Bài 5: a) Ta có : (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca)   a  b  c   ab  bc  ca Ta có: a2 + b2 + c2 = (a + b + c) (a2 + b2 + c2) = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a 0,25® Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si: a3 + b2a ≥ 2a2b ; b3 + bc2 ≥ 2b2c ; c3 + ca2 ≥ 2c2a , dấu “=” xảy a = b = c suy ra: a2 + b2 + c2 = a3 +b2a+ b3 + bc2 + c3 + ca2 + a2b + b2c + c2a ≥ 3(a2b + b2c + c2a) ThuVienDeThi.com suy ra: 2 ab  bc  ca   a  b  c  ab  bc  ca     a 2b  b c  c a a  b  c a b  b2c  c a a  b2  c2 a  b  c  0,25® Đặt : t = a2 + b2 + c2, ta có : 3(a2 + b2 + c2) ≥ (a + b + c)2 =  t ≥ , dấu “=” xảy a = b =c=  3t 28t 3t 27t t        2t 2t 2t 2t 2 27t 27t  2  dấu “=” xảy : t = Áp dụng bất đẳng thức Cô – Si : 2t 2t Ta : A = 14t  0,25® t 3 4 1       : t   2 3 3 23 Suy ra: A    dấu “=” xảy : a2 + b2 + c2 = a = b = c suy ra: a 3 =b=c= 23 Vậy A đạt giá trị nhỏ , a= b = c = 3 Mặt khác : 0,25® b) Ta chứng minh khơng tồn n thỏa mãn đk đề Giả sử ngược lại tồn n Nhận thấy: Trong phép chia, số dư ln bé số chia Do tổng số dư phép chia n cho a1 , a , , a11 không vượt a1   a    a11   407  11  396 0,25® Và tổng số dư phép chia n cho 4a1 ,4a , ,4a11 không vượt quá: 4a1   4a    4a11   4.407   1617 Suy tổng số dư phép chia n cho số a1 , a , , a11 ,4a1 ,4a , .,4a11 vượt 396  1617  2003 0,25® Kết hợp với giả thiết tổng số dư 2012, suy chia n cho 22 số có 21 phép chia có số dư lớn phép chia có số dư nhỏ số chia đơn vị Suy tồn k cho a k ,4a k thỏa mãn điều kiện Khi hai số n  1; n  chia hết cho a k , số lại chia hết cho 4a k Suy n  1, n    a k  (Vơ lí) 0,25® Suy điều giả sử sai Vậy không tồn số nguyên dương n thỏa mãn 0,25® ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - )2 + 2013 Tính giá trị A x = 3 1 1  3 1 1 b) Cho (x + x  2013 ).(y + y  2013 )=2013 Chứng minh x2013+ y2013=0 Câu ( điểm) a) Giải phương trình: x2+ 5x +1 = (x+5) x  b) Chứng minh a b c    , với a, b, c>0 bc ac ba Câu ( điểm) a) Tìm số dư phép chia đa thức (x+2) (x+4) (x+6) (x+8) +2013 cho đa thức x2+10x+21 b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức: 3y2+x2+2xy+2x+6y+2017 Câu ( điểm) 1)Cho tam giácABC, Â= 900, AB < AC, đường cao AH Gọi D E hình chiếu H AB AC Chứng minh: a) DE2=BH.HC b) AH3=BC.BD.CE 2)Cho tam giác ABC, BC= a, AC=b, AB=c Chứng minh sin Câu 5( điểm) Cho a, b, c cạnh tam giác Chứng minh: 1 1 1      a bc bc a c  a b a b c Hết ThuVienDeThi.com a   bc ... sin C)2  ( sinB – sinC )2 =  sinC = sin B  Góc C = Góc B Vậy ∆ ABC cân ThuVienDeThi.com O o O B 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ 0,5 đ ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013- 2014 Mơn thi: Tốn Thời gian... mãn 0,25® ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN ThuVienDeThi.com NĂM HỌC 2013 - 2014 Mơn: Tốn Thời gian làm bài:150 phút (Đề thi gồm 01 trang) Câu 1( điểm) a)Cho biểu thức: A = (x2 – x - )2 + 2013 Tính... số Vậy trường hợp có hai số số Do A =1 ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP Năm học 2013 – 2014 Mơn thi : Tốn Thời gian làm 150 phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài ( điểm ) 3x  x  Cho P = x x