Bài tập Đại số 10 Cơ bản nâng cao26880

Góc Lượng Giác & Cơng Thức Lượng Giác - 42 - Trư ng THPT Nguy ° cos2A + cos2B + cos2C = –1 – 4cosAcosBcosC ± cos2A + cos2B + cos2C = – 2cosAcosBcosC ² cos A2 cos B−2 C + cos B2 cos C−2A + cos C2 cos A−2 B = sinA + sinB + sinC ³ n H u Huân Vũ Mạnh Hùng Β sin A + sin B + sin C A = cot cot sin A + sin B − sin C 2 sin B + sin C cos B + cos C Ch ng minh bi u th c sin(250o + α)cos(200o – α) – cos240ocos(220o – 2α) không ph thu c vào α Ch ng minh: ¬ sin84osin24osin48osin12o =  Ch ng minh ΔABC vuông t i A n u ch n u sinA = Bài Tập sin 25o sin 5o ® sin10αsin8α + sin8αsin6α – sin4αsin2α = 2cos2αsin6αsin10α ¯ 2cos22αcosα – cos5αcos4α – cos4αcos3α = 2cosαsin2αsin6α ΔABC có 4A = 2B = C Ch ng minh r ng: 1 ¬ = + − cos2A + cos2B + cos2C =  a b c Ch ng minh m nh đ sau: « i u ki n c n đ đ m t góc c a ΔABC b ng 60o sin3A + sin3B + sin3C = 0» Ch ng minh r ng ΔABC tam giác đ u n u góc c a tho : ¬ sin  sin  sin  =  − cosAcosBcosC = sin  sin  sin  Ch ng minh r ng ΔABC cân n u góc c a tho h th c: A+B tan2A + tan2B = 2tan2 Ch ng minh r ng ΔABC vuông ho c cân n u: acosB – bcosA = asinA – bsinB a, b, c l n l t c nh đ i di n v i góc A, B, C Tính s đo góc C c a ΔABC bi t sinA + sinB + sinC – 2sin  sin  = 2sin  − sin10o + sin20o + sin30o + sin40o + sin50o = Tìm góc c a ΔABC n u: sinA + sinB – cosC =  N u A, B, C góc c a ΔABC Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c: P = 3cosA + 3(cosB + cosC) 10 Cơ Bản & Nâng Cao -09/2006 ThuVienDeThi.com Vũ Mạnh Hùng - 41 - 8cos 2α 1 − = !0 tanα + cotα + tan3α + cot3α = sin 6α sin18o cos 36o sin 2α − sin 3α + sin 4α sin 2α + sin 5α − sin 3α !1 = 2sinα = tan3α !2 cos 2α − cos 3α + cos 4α cos α + − 2sin 2α cos 6α − cos 7α − cos8α + cos 9α !3 = cot  sin 6α − sin 7α − sin 8α + sin 9α cot α2 − cot 32α 2sin 2α + sin 4α = 8cos2cosα !4 = tan2αcosα !5 2(cos α + cos 3α) + cot 32α ´ cos 28o cos 56o cos 2o cos 4o sin 38o + = sin 2o sin 28o 4sin 2o sin 28o !7 16cos3α.sin2α = 2cosα – cos3α – cos5α !8 (cosα – cosβ)2 – (sinα – sinβ)2 = – 4sin2cos(α + β) n gi n bi u th c: sin α + sin 3α cos 4α − cos 2α cos m cos n đ cos α + cos 3α sin 2α + sin 4α sin nα − sin mα 2(sin 2α + 2cos α − 1) cos 3α + cos 4α + cos 5α ¯ ° cos α − sin α − cos 3α + sin 3α sin 3α + sin 4α + sin 5α + cos α + cos 2α + cos 3α sin 2α + cos 2α − cos 6α − sin 6α ² ± cos α + cos α − sin 4α + 2sin 2α − sin(2α + 2π) + 2sin(4α − π) + sin(6α + 4π) ³ cos(6π − 2α) + cos(4α − π) + cos(6α − 4π) !6 ´ sin(2α + β) + sin(2α − β) − cos( − 2α ) cos(2α + β) + cos(2α − β) − sin( + 2α) Bi n đ i thành tích: ¬ – 4cos2α − 1 + sin – 1 – sin (0 < α ≤ π) ® 6sin 2α – – cos4α ¯ 2cos22α + 3cos4α – ° sin6α – 23 cos 3α + 3 ± cos2    – sin2    ² + sin2a – cos2a – tan2a ³ cos22α + 3cos18α + 3cos14α + cos10α Ch ng minh ΔABC: ¬ sinA + sinB + sinC = 4cos  cos  cos  − sin2A + sin2B + sin2C = 4sinAsinBsinC ® sin2A + sin2B + sin2C = + 2cosAcosBcosC ¯ cosA + cosB + cosC = + 4sin  sin  sin  ThuVienDeThi.com Góc Lượng Giác & Cơng Thức Lượng Giác - 40 - Ch ng minh: ¬ sin5osin55osin65o = sin15o Ch − cos5ocos55ocos65o = cos15o M nh đ m t câu có đ c tính hay sai ph i tho u ki n: M i m nh đ đ u ph i ho c đúng, ho c sai M i m nh đ không th v a đúng, v a sai + Ph đ nh c a m nh đ A, kí hi u A: N u A A sai, n u A sai A ² sin2α + cos( – α)cos( + α) =  ³ sin22α – cos( – 2α)sin(2α – ) =  ´ sinαsin3α = sin22α – sin2α !0 cos2(45o – α) – cos2(60o + α) – cos75osin(75o – 2α) = sin2α !1 cos2αcosα – sin4αsinα – cos3αcos2α = n gi n bi u th c: sinsin(x) + sin2() đ sin22 + sin2β + cos(2α+β)cos(2α–β) − sin2(45o + α) – sin2(30o – α) – sin15ocos(15o + 2α) ¯ sin3αcos3α + cos3αsin3α ° sin3αsin3α + cos3αcos3α Ch ng minh r ng bi u th c: A = cos2(x – a) + sin2(x – b) – 2cos(x – a)sin(x – b)sin(a – b) đ c l p đ i v i x µ Cơng th c biến đổi tổng thành tích: N u sinα + sinβ = – , cosα + cosβ = –   < α < 3π, –  < β < Tính sin, cos, cos(α + β) Tính cos n u sinα + sinβ = – , tan = ,   < α < 3π, –  < β < sin 4α + sin10α − sin 6α n u sinα – cosα = m Tính giá tr bi u th c cos 2α + − 2sin 4α Ch ng minh: ¬ sin495o – sin795o + sin1095o = − cosα + cos2α + cos6α + cos7α = 4cos  cos  cos4α + M nh đ kéo theo: M nh đ N u A B g i m nh đ kéo theo, kí hi u A ⇒ B: A ⇒ B sai n u A đúng, B sai tr ng h p l i B ⇒ A g i m nh đ đ o c a A ⇒ B + M nh đ t ng đ ng: M nh đ A n u ch n u B g i m nh đ t ng đ ± cosα + sinα + cos3α + sin3α = 22 cosαsin( + 2α) ² cos36o – sin18o = sin30o ³ cot70o + 4cos70o = 3 ng, kí hi u A  B: A  B n u A B ho c sai ƒ M nh đ "A ho c B" tr ng h p l i đ ƒ M nh đ "A B" đ tr ng h p l i đ ‚ Ph đ nh c a m đ c kí hi u A  B, m nh đ sai n u A B đ u sai, u c kí hi u A  B, m nh đ n u A B đ u đúng, u sai nh đ A  B m nh đ A  B: A  B = A  B ‚ Ph đ nh c a m nh đ A  B m nh đ A  B: A  B = A  B ‚ Ph đ nh c a m nh đ A ⇒ B m nh đ A  B: A ⇒ B = A  B + M nh đ ch a bi n: câu ch a m t hay nhi u y u t khơng xác đ nh câu tr thành m nh đ thay y u t không xác đ nh b ng nh ng y u t xác đ nh, y u t không xác đ nh g i bi n + M nh đ V i m i x, P(x) đúng, kí hi u x, P(x) + M nh đ T n t i x đ P(x) đúng, kí hi u x, P(x) x, A(x) = x, A(x) + ® sin9α + sin10α + sin11α + sin12α = 4cos  cosαsin  ° sin14α – sin5α – sin16α + sin7α = 4sin  sinαsin  MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP ŒA Mệnh Đề ® cos( – )sin( – )sin = sin  sin 3α ¯ 4cos( – α)sin( – α) = ° – 2sin50o = sin α cos160o sin(80o + 4α) ± = cos(40o + 2α) o o 4sin(20 + α)sin(70 − α) ¯ cos2α – cos3α – cos4α + cos5α = – 4sin  sinαcos  ng I x, A(x) = x, A(x) i u ki n c n, u ki n đ : * N u m nh đ A  B đ nh lí ta nói: "A u ki n đ đ có B" "B u ki n c n đ có A" Lúc ta có th phát bi u đ nh lí A  B d i d ng: " có B u ki n đ A" ho c " i u ki n đ đ có B A" " có A u ki n c n B" ho c " i u ki n c n đ có A B" * N u A  B m t đ nh lí B  A c ng m t đ nh lí B  A g i đ nh lí đ o c a đ nh lí A  B, lúc A  B g i đ nh lí thu n, tr ng h p A  B ta có th nói: "A u ki n c n đ đ có B" "B u ki n c n đ đ có A" ThuVienDeThi.com -2- Mệnh Đề - Tập Hợp 1/ Câu câu sau m nh đ Xét tính sai c a m nh đ tìm m nh đ ph đ nh c a chúng: ¬ 4.2 = − y + > ® B n ng i xu ng ¯ + 2 ° 23 s nguyên t ± 2x + 4y = ² B n tu i? ³ 12 chia h t cho ´ i m A n m đ ng th ng AB 2/ t kí hi u , ∃ tr c m nh đ ch a bi n đ đ c m nh đ đúng: ¬ x + > − a + = + a ® 15 b i s c a x ¯ (x – 2)2 > – ° x + > y ± (a – b)(a + b) = a2 – b2 2 2 ² (a – b) = a – b ³ x > ´ (x + y)2 = x2 + 2xy + y2 !0 (x – 2)2 = !1 (x + y)z = xz + yz !2 x2 – 5x + = 3/ Xét tính sai c a m nh đ sau tìm m nh đ ph đ nh c a chúng: ¬ < − = ® s nguyên t ¯ 15 không chia h t cho ° Ng giác đ u b t kì có đ ng chéo b ng ± M i s t nhiên đ u ch n ² M i t giác đ u n i ti p đ c đ ng trịn ³ Có m t s b i s c a 4/ C p m nh đ sau có ph i ph đ nh c a khơng ? N u khơng s a l i đ chúng ph đ nh c a nhau: ¬ < 6; > − a s ch n; a s l ® x s âm; x s d ng ¯ ng th ng a c t đ.th ng b; ng th ng a song song v i đ.th ng b ° Có s c s c a 15; Có s khơng c s c a 15 ± M i hình thang đ u n i ti p đ c đ ng tròn; M i hình thang đ u khơng n i ti p đ c đ ng tròn 5/ i n vào ch tr ng liên t "và", "ho c" đ đ c m nh đ đúng: ¬ π < π > − ab = a = b = ® ab ≠ a ≠ b ≠ ¯ ab > a > b > a < b < 6/ i n vào ch tr ng t "đi u ki n c n" hay "đi u ki n đ " hay "đi u ki n c n đ " đ đ c m nh đ đúng: ¬ tích c a s ch n, m t hai s ch n − tam giác cân, t t c đ ng cao c a đ u b ng ® … đ s chia h t cho s chia h t cho cho ¯ … đ ab = a = ° … đ x2 > x ≠ ± t giác hình vng, t t c góc c a đ u vuông 7/ Phát bi u đ nh lí sau s d ng khái ni m u ki n c n: ¬ N u cung đ ng trịn b ng dây t ng ng b ng − N u t giác T m t h.bình hành có c nh đ i di n b ng ® N u m M cách đ u c nh c a góc xOy M n m đ ng phân giác c a xOy Vũ Mạnh Hùng - 39 - !0 4(sin4x + cos4x) – 4(sin6x + cos6x) – !2 32cos4 15o  – 10 – 83  !1 cosαtan2 α – sin2 α + sinαcot2 α – cos2 α Ch ng minh: cos α + sin α + cos 2α + cos 4α = = cot4α − ¬ tan2α + cos 2α cos α − sin α − cos 2α + cos 4α ® cos2α – sin22α = cos2αcos2α – 2sin2αcos2α ¯ – 4cos2α + cos4α = 8sin4α ° cos4α =  cos4α + cos2α +  ± 8cos %cos cos  = ² cos cos  =  ³ sin18 sin54 =  ´ cos260osin130ocos160o =  o o !0 cos cos cos% cos cos =  !1 tan142o30 = 2+2 – 3 – 6 !2 cos50o + 8cos200ocos220ocos80o = 2sin265o !3 cos4α.tan2α = sin4α – tan2α !4 cos2α – sin2α.cotα = – !5 (cosα – cosβ)2 + (sinα – sinβ)2 = 4sin2  !6 sin18o =   !7 8sin318o + 8sin218o = !8 cotα – tanα = 2cot2α sin α − cos2α tan α − sin2α cosα @0 = – tan2α !9 sin6 – cos6 = cos2αcotα + sin2α tan 3α − tan α @2 sin8α + cos8α = cos8α + cos4α +  @1 = tan α − 3tan α @3 + 4tan  + 2tan  + tan  = cot  sin( + 3α) cos(3π − 2α) = tan(α –  ) = cot( +  ) @4 @5 5π − sin(3α − π) 2sin ( + α) Ỵ Cơng th c bi n đ i ´ Cơng th c biến đổi tích thành tổng Tính: ¬ sincos  n u sinx = % (0 < x < ) − sinsin  n u sin( – x) =  ® coscos  n u cot( – x) = % (0 < x < ) ¯ sin(α + β)sin(α − β) n u sinα = – , cosβ = –  Tính: ¬ cos  – cos  − sin  sin  2 ® sin  + sin  + sin % ¯ sin20osin40osin60osin80o o o o o ° tan20 tan40 tan60 tan80 ± sin sin sin sin sin  sin 7α ² – 2sin70o ³ – 2(cos2α + cos4α + cos6α) o sin α 2sin10 ThuVienDeThi.com Góc Lượng Giác & Cơng Thức Lượng Giác - 38 - Tìm góc α tho  < α < π n u tan2α = −  Tìm x n u bi t tanα = x + 1, tanβ = x – 1, tan(2α + 2β) = % Tìm m, M cho ∀α, m ≤ sinα.cosα.cos2α ≤ M hi u M – m nh nh t Ch ng minh n u cosα = , tanβ =  v i < α, β <  α + 2β =  N u a, b góc nh n tho Ch ng minh bi u th c { 3sin a + 2sin b = Ch ng minh a + 2b =  3sin 2a − 2sin 2b = p cos3 α − cos 3α psin α + sin 3α + (p: h ng s ) cos α sin α không ph thu c vào α nh m đ bi u th c sau không ph thu c vào α: ¬ cos2α – msin2α + 3cos2α + − sin6α + cos6α + m(sin4α + cos4α) + (m + 1)sin22α ® m(2msinα – 1) – 4(m2 – 1)sinαsin2 + 2(m + 1)cos2α – 2sinα ¯ m(sin8α + cos8α) + (2m – 1)(cos4α – sin4α) + cos2α + nh p, q đ bi u th c p(sin6α + cos6α) – q(sin4α + cos4α) + sin22α không ph thu c α Ch ng minh n u tanα.tanβ = sin2α = sin2β cos2α = − cos2β Ch ng minh n u A B góc nh n c a tam giác vng thì: sin2A + sin2B = 4sinA.sinB Ch ng minh r ng ΔABC: 1 A B C A B C + + = (tan + tan + tan + cot cot cot ) 2 2 2 sin A sin B sin C Tính khơng dùng b ng: ¬ cos cos% cos − sin270osin250osin210o ® sin4  + sin4  + cos4  + cos4  n gi n bi u th c: 2cos α − sin 2α 2sin α − sin 2α ¬ (π < α < 2π) − 2sin α + sin 2α sin α − sin α + cos α tan α cos α − cos α 2sin α – sin2α ¯ ® + cos(π − 2α) cos 2α + cot2α.cotα sin 6α cos(6α − π) ± + ° sin 2α cos 2α tanα +cotα + sin α + − sin α (0 < α < ) ³ − ² o sin10 cos10o + sin α − − sin α ´ 5sin42x – 4sin22xcos22x – cos42x + 3cos4x Vũ Mạnh Hùng -3- 8/ Phát bi u đ nh lí sau s d ng khái ni m u ki n đ : ¬ N u tam giác b ng chúng có nh t c nh b ng − N u t giác T m t h.thoi có đ ng chéo vng góc v i ® N u s a t n b ng ch s chia h t cho 9/ Hãy s a l i (n u c n) m nh đ sau đ đ c m nh đ đúng: ¬ tam giác b ng nhau, u ki n c n đ góc t ng ng c a chúng b ng − t giác T hình bình hành, u ki n đ có c nh đ i di n b ng ® i u ki n đ đ s a chia h t cho a t n b ng ch s ho c Các m nh đ sau hay sai, gi i thích: ¬ M i s ngun t đ u l − x, x2 > x ® n, n2 + n + 41 nguyên t ¯ N u xy > x > y > ° M t t ng b t kì chia h t cho t ng s h ng c a t ng chia h t cho Ch ng minh m nh đ sau b ng ph n ch ng: ¬ N u ab l a b đ u l − N u a2 = b2 a = b (a, b > 0) 2 ® N u x + y = x = y = ¯ N u x ≠ –1 y ≠ – x+y+xy ≠ –1 ° N u hai đ ng th ng phân bi t vng góc v i đ ng th ng th ba chúng song song v i ± N u a + b < s a b nh h n ² N u a1a2  2(b1 + b2) nh t ph ng trình x2 + a1x + b1= 0, x + a2x + b2 = có nghi m Phân tích m nh đ sau xét tính sai c a chúng: ¬ s nguyên ch n − – s d ng ho c s nguyên ® 15 17 hai s l ¯ s d ng 2 s vô t ° > ho c < ± s nguyên t ² S l n h n 3, nh h n ³ s h u t ho c s nguyên ´ ΔABC ΔDEF b ng !0 Hình thoi hình vuông ho c t giác !1 Hai đ ng th ng a b vng góc v i !2 ΔABC ΔDEF hai tam giác vuông b ng !3 15 17 hai s l nguyên t !4 S 15 chia h t cho nh ng không chia h t cho !5 4.5 = 2.10 = 19 !6 S 15 chia h t cho ho c !7 Ph ng trình x + = có nghi m cịn ph.trình x + = x vơ nghi m !8 N u ab s ch n a ho c b s ch n !9 N u x > y > xy > @0 N u m t s t n b ng ho c chia h t cho ThuVienDeThi.com Mệnh Đề - Tập Hợp -4- Ph đ nh m nh đ (m nh đ ch a bi n) sau: ¬ ΔABC vng cân − S a l n h n ho c nh h n ® < x < ¯ Hai góc A B khơng b ng mà c ng không bù ° x, x <  x < ± Có đ ng th ng qua m vng góc v i đ.th ng cho tr c ² N u xy > x > y > ³ N u a ho c b ch n ab ch n ´ N u s a chia h t cho t n b ng ho c !0 N u t giác T hình bình hành có đ ng chéo b ng hình ch nh t ŒB Tập Hợp + T p h p con: Ta th ‘ A  B  x, x  A  x  B ng g p m t s t p c a t p  sau đây: (a;b) = {x  / a < x < b}: kho ng ‘ [a;b] = {x  / a  x  b}: đo n ‘ (a;b] = {x  / a < x  b}, ‘ (–;a] = {x  / x  a}, ‘ (–;a) = {x  / x < a}, ‘ [b;+) = { x  / x  b}, ‘ (b;+) = {x  / x > b}, ‘ [a;b) = {x  / a  x < b}: n a kho ng Nh v y  = (–;+), + T p h p b ng nhau: A = B  A  B B  A + Phép giao: A  B = {x / x  A x  B} + Phép h p: A  B = {x / x  A ho c x  B} + Hi u c a t p h p: A \ B = {x / x  A x  B} + Ph n bù: N u A  E, EA = E \ A Các m nh đ sau hay sai: ¬ a = {a} − a ∈ {a} ® {a} ⊂ {a} ¯ ∅ ⊂ ∅ ° ∅ ∈ ∅ ± ∅ ∈ {∅} ² ∅ = {0} ³ ∅ ∈ {0} ´ ∅ = {∅} !0 {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2, 3}} !1 {1, 2} ⊂ {1, 2, {1, 2, 3}} !2 {1, 2} ∈ {1, 2, {1, 2}} Trong t p h p sau, t p h p t p ∅: ¬ T p nghi m nguyên c a ph ng trình x2 + = − T p nghi m nguyên c a ph ng trình x2 – = ® T p s t nhiên nh h n ¯ T p s nguyên nh h n ° T p s nguyên t nh h n ± T p s nguyên t l n h n nh h n 11 n2 − Cho A = { x / x = , n ∈ } S s 0, , , ,  , ph n t c a A Vũ Mạnh Hùng - 37 - sin(α − β).sin(α + β) = – cos2αsin2β − tan 2α.cot 2β tan α + tan β tan α − tan β ¯ + + tan α = tan(α + β) tan(α − β) cos α ° tan(α – β).tanα.tanβ = tanα – tanβ – tan(α – β) sin (α − β) cos(β − α) +2= ± cot2α + cot2β – sin α sin β sin α.sin β ² tan6α – tan4α – tan2α = tan6α.tan4α.tan2α ³ tan20o + tan40o + 3tan20o.tan40o = 3 ´ tan830o + tan770o + tan740o = tan470o.tan410o.tan380o !0 cot80o.cot70o + cot70o.cot30o + cot30o.cot80o = !1 tan(α − β) + tan(β − γ) + tan(γ − α) = tan(α − β)tan(β − γ)tan(γ − α) − tan = tan(60o + α).tan(60o – α) !2 − 3tan n gi n bi u th c: cos(45o − α) − cos(45o + α) sin(α + β) + sin(α − β) − ¬ cos(α + β) − cos(α − β) sin(45o + α) − sin(45o − α) ® ® sin(2x – π)cos(x – 3π) + sin(2x – )cos(x + ) Tìm u ki n c a α β đ sin(α + β) = 3sin(α − β) ⇒ tanα = 2tanβ Ch ng minh n u sin(2α + β) = 2sinβ tan(α + β) = 3tanα Tính A = a.sin2(α + β) + b.sin(α + β)cos(α + β) + c.cos2(α + β) bi t tanα tanβ nghi m c a ph ng trình ax2 + bx + c = Í Cơng th c nhân Tính: ¬ sin2α n u sinα − cosα = m − sinα n u sin + cos =  o o ® tan2α n u cos(α − 90 ) = 0,2 (90 < α < 180o) ¯ cot2α n u sin(α − 90o) = −  (270o < α < 360o) ° sinα, cosα n u: a cos = 0,6 (< α < π) b sin2α = –  ( Cho sinx = 2 – 3 v i 0o < x < 90o Tính cos 2x suy giá tr c a x Trong tr ng h p 90o < x < 180o, tìm giá tr c a x ThuVienDeThi.com Góc Lượng Giác & Cơng Thức Lượng Giác - 36 - Ì Cơng th c c ng 1< 5>Tính: ¬ sin(60 − α) n u tanα = – , 270o < α < 360o − cos(70o + α) n u sin(40o + α) = b, < α < 45o ® tan(α + 30o) n u cosα = , 270o < α < 360o Vũ Mạnh Hùng Li t kê ph n t c a t p h p: ¬ A = {x / x = 3k v i k ∈  – < x < 12} o − B = {x / x = ()n v i n ∈  x   } ® C = {x ∈  / x < 4} ¯ tan(α – β) n u tanα = , cosβ = , < α, β <  ° E = {x ∈  / 2x = 3} ° sin(α + β – γ) n u sinα = , cosβ = , tanγ = %, < α, β, γ <  ¯ D = {x ∈  / < x  5} ± F = {x ∈  / 2x + < 18} ² G = {x ∈  / x có ch s ch s hàng ch c c a 3} ± tan .tan  + tan .tan  + tan .tan  n u x + y + z = π Tìm tanβ n u cot(α + β) = tanα = –3 Tìm α + β n u cotα = 4, cotβ =  < α, β <  1< 8> Ch ng minh n u tanα = 5, cotβ =  < α, β <  α + β =  Ch ng minh n u sinα = , sinβ =  α, β góc nh n α + β = 60o -5- ³ H = {x ∈  / x2  25} ´ I = {x ∈  / 2x3 – 3x2 – 5x = 0} !0 J = {x ∈  / (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0} !1 K = {x ∈  / (x2 – 2x – 3)(3x2 + 4x) = 0} !2 L = {x ∈  / x4 – 6x2 + = 0} !3 M = {x ∈  / 0x = 0} 2< 0> Tìm x n u bi t tanα = , tanβ =  α + β =  Tìm α + β n u tanα tanβ nghi m c a ph ng trình 6x2 – 5x + = Bi t α + β =  Tính (1 + tanα)(1 + tanβ) N u A, B, C góc c a tam giác v i C tù Ch minh tanA.tanB < cos A sin A = N u A, B góc c a tam giác Ch ng minh n u cos B sin B tam giác cân Gi s A, B, C góc c a tam giác Ch ng minh : sin C = tanA + tanB ¬ sinA.sinB – cosC = cosA.cosB − cos A.cos B ® tan  tan  + tan  tan  + tan  tan  = ¯ tanA + tanB + tanC = tanAtanBtanC ° cotAcotB + cotBcotC + cotCcotA = ± cot  + cot  + cot  = cot  cot  cot  ² sin2A+sin2B+sin2C = 2(sinBsinCcosA +sinCsinAcosB+sinAsinBcosC) sin C2 sin A2 sin B2 = ³ + + cos B2 cos C2 cos A2 cos C2 cos A2 cos B2 Ch ng minh: sin(α + β) − 2sin α cos β ¬ = tan(β – α) 2sin α sin β + cos(α + β) !4 N = {(x;y) / 7x + 4y = 100, x, y ∈ } Cho M = {2, 3, 4, 5, 6, 61} Hãy xác đ nh t p h p sau b ng ph ng pháp li t kê: ¬ A = {x ∈ M / 2x ∈ M} − B = {x ∈ M / x – ∈ M x + ∈ M} ® C = {x ∈ M / x ch n ho c b i s c a 3} ¯ D = {x ∈ M / ∃y ∈ M, x + y = 6} ° E = {x ∈ M / y ∈ M, y ≠ x, chia x cho y d 1} Cho X = {x / x = , n ∈ } Xác đ nh t p h p A = {x ∈ X / x ∈ } b ng ph ng pháp li t kê Cho B = {– 35, – 32, – 21, – 4, 0, , 3, 4, 8, 9, 16, 21} Tìm t p c a B có ph n t s t nhiên, s nguyên, s l , s âm, s b i s c a Li t kê t p h p c a c a t p h p sau: ¬ A = {1} − B = {x / x3 + x2 – 6x = 0} ® C = {x ∈  / x2 – = 0} Cho A = {x ∈  / < x2 < 6} A có t p h p con? Vi t t p h p c a A có ph n t , ph n t , ph n t Xét quan h "⊂" hay "=" gi a t p h p sau: ¬ A = {x ∈  / x ch n}, B = {x ∈  / x chia h t cho 12} cos 63o cos 3o − cos87 o cos 27 o − = – tan24o o o o o cos132 cos 72 − cos 42 cos18 − A = {x ∈  / x2 – 3x + = 0}, B = {x ∈  / x – = 0} ® A = {x / x2 + = 0}, B = {x / x2 – = 0} ¯ A = {x ∈  / (x2 – 4)(x – x2) = 0}, B = {x ∈  / (x2 – 3x + 2)(x4 – 3x2) = 0} ° A = {x ∈  / x  0}, B = {x ∈ / x2 – πx = 0} ± A = {x ∈  / (x2 + 4)(x2 – 3x – 4) = 0}, B = {x ∈  / 2x2 – = 0} ThuVienDeThi.com Mệnh Đề - Tập Hợp -6- ² A = {x ∈  / x < 7}, B = {x ∈  / x < 10} ³ A = {x ∈  / x b i s c a 2}, B = {x ∈  /x b i s c a 4} ´ A = {x ∈ / x s ch n}, B = {x ∈  / x2 s ch n} Có t p h p X tho u ki n: {1, 2, 3} ⊂ X ⊂ {1, 2, 3, 4, 5, 6} Cho A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, x} Tìm x đ B ⊂ A Cho A = {2, 5}, B = {5, x}, C = {x, y, 5} Tìm x, y đ A = B = C Cho A = {1, 2, 3}, B = {1, 2, 3, x} Tìm x đ A = B Xác đ nh t p h p X bi t {1, 3, 5, 7} {3, 5, 7, 9} t p h p c a X X t p h p c a {1, 3, 5, 7, 9} Cho đ ng tròn tâm O m A M t cát n di đ ng qua A c t đ ng tròn t i B C G i Δ t p h p trung m c a đo n BC C t p h p m đ ng trịn đ ng kính OA Ch ng minh Δ ⊂ C Có th x y tr ng h p Δ = C không? Có t p c a t p h p A = {1, 2, 3, 4, 5, 6} g m ph n t Cho A = {–3, –2, –1, 0, 1}, B = {–1, 0, 1, 2, 3}, C = {–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} ¬ Tìm A  B, A  B, A  C, A  C, B  C − Tìm A  , B  , A  , B  , (A  B)  , (A  B)   Cho X = {x / x2 + x – 20 = 0}, Y = {x / x2 + x – 12 = 0} Li t kê ph n t c a X  Y, X  Y, X \ Y, Y \ X Cho hai t p h p: Vũ Mạnh Hùng 8/ Xác đ nh d u c a tích s sin2.sin3.sin5 9/ Tính giá tr hàm s l ng giác khác bi t: ¬ cosα = –  (90o< α Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, B = {0, 2, 4, 6, 8} Tìm t t c t p X bi t X ⊂ A X ⊂ B Cho A = {x ∈  / x b i s c a 2}, B = {x ∈  / x b i s c a 3} C n gi n bi u th c: ¬ cos2α(1 + sin2α.tan2α + cos2α.tan2α) tan α ⎛ ⎞⎛ ⎞ − ⎜ − cotα ⎟⎜ + cotα ⎟ ° – cos2α + 3sin2α – + tan α ⎝ sin α ⎠⎝ sin α ⎠ cos α − cot 2α + 1 ⎛ ⎞⎛ ⎞ ® cosα ⎜ + + tan α ⎟⎜1 − + tan α ⎟ ± sin α + tan α − ⎝ cos α ⎠⎝ cos α ⎠ Vũ Mạnh Hùng − TìmE(A  B), (EA)  (EB) Nh n xét Cho E = [–10;4], A = [–5;1], B = [–3;2] Tìm EA, EB, E(A  B), EA  EB, E(A  B), EA  EB Cho A = (–1;3] B = [m;+) Tìm A  B, A  B Cho A = (–;2m – 3) B = (m + 1; +) Tìm A  B, A  B Cho kho ng A = (m;m + 1) B = (–2;1) Tìm m đ A  B m t kho ng Hãy xác đ nh kho ng Cho A = {x / x = 4n + 2, n  }, B = {x / x = 3n, n  } Tìm A  B ŒCSố gần sai số M t hình l p ph ng có th tích V = 180,57  0,05 (cm3) Xác đ nh ch s ch c Vi t th tích g n d i d ng chu n M t tam giác có c nh đo đ c nh sau: a = 6,3  0,1 (cm); b = 10  0,2 (cm); c = 15  0,1 (cm) Tính chu vi tam giác vi t k t qu g n d i d ng chu n ThuVienDeThi.com HÀM S Ch ng B C NH T & B C HAI Vũ Mạnh Hùng cosα + cosβ = 2coscos ´ Tập xác định hàm số Hàm s T p xác đ nh y = P(x) y = P(x):Q(x) y = P(x) y = P(x):Q(x) y = P(x)  Q(x) ≠ P(x) ≥ Q(x) >  x + 2x + | x − 2x | + | x − 1| !2 y = x+2 x|x|+4 !3 y = x|x|+4 x x2 − x − 2mx + m − 2m + 3/ nh m đ t p xác đ nh c a hàm s sau : x +1 2x + ¬ y = − y = x −m+6 mx + x2 − x2 − ® y = ¯ y = x + 2mx + mx + 2mx + 4/ Xác đ nh a đ t p xác đ nh c a hàm s y = 2x – a + 2a – 1 – x m t đo n có đ dài b ng 5/ Cho hàm s f(x) = a + 2 – x + x − 2a + ¬ Tìm t p xác đ nh c a hàm s − Xác đ nh a đ t p xác đ nh c a hàm s ch a đo n [–1;1] 6/ nh a đ hàm s sau xác đ nh [–1;0): x + 2a ¬ y = − y = + – x + 2a + 6 x − a +1 x−a 7/ nh a đ hàm s sau xác đ nh ∀x > 2: x−a ¬ y = x – a + 2x – a – 1 − y = 2x – 3a + 4 + x + a −1 2/ Bi n lu n theo m t p xác đ nh c a hàm s y = cosα – cosβ = – 2sinsin sinα + sinβ = 2sincos sinα – sinβ = 2cossin + cosα = 2cos  – cosα = 2sin2 1/ Tìm t p xác đ nh c a hàm s : ¬ y = x2  – x3 − y = 9 – x2 + x2  – 4 ® y = x3  – x2 x +1 x +1 x−3 − ° y = ¯ y = 4 – x2 – x − 2x − x + x + 2x − 2x + − − 4x x−2 ± y = + x – x2 ² y = x | x | +4 |x| x +1 2x − ³ y = ´ y = + x2 – x  !0 y = | x − 3| + | x + 3| | x | −1 x|x|−4 !1 y = - 33 - + sinα = 2cos2( – ) – sinα = 2sin2( – ) sinα + cosα = 2sin(α + ) = 2cos(α – ) sinα – cosα = 2sin(α – ) = – 2cos(α + ) A Các Hệ Th c Cơ Bản 1/ Ch ng minh: ¬ cos2x(2sin2x + cos2x) = – sin4x − (cosx + + sinx)(cosx – + sinx) = 2sinxcosx ® (1 – sinx + cosx)2 = 2(1 – sinx)(1 + cosx) ¯ sin2x(1 + cot2x) = 3cos2x(1 + tan2x) – ° cos4x – sin4x = cos2x(1 – tanx)(1 + tanx) ± cos2α(2tanα + 1)(tanα + 2) – 5sinαcosα = ² sin3α(1 + cotα) + cos3α(1 + tanα) = sinα + cosα ³ 3(sin4x + cos4x) – 2(sin6x + cos6x) = 1 − 2cos x − 2sin x − tanx ´ tanx – cotx = = !0 sinxcosx + 2sinxcosx + tanx sin + cos sin − tan = !2 = tan6α !1 + sin cos cos sin cos − cot 1 !3 (1 + + tanα)(1 – + tanα) = 2tanα cos α cos α cos3 + sin sin α cos α !4 = cosα + sinα !5 – = sinαcosα − − sinαcosα + cotα + tan α cos α tan α = !7 tan2α – sin2α = sin4α(1 + tan2α) !6 cos α (1 + sin α)(cotα − cos α ) ThuVienDeThi.com ⎛ tan α + cotα ⎞ sin α = !9 !8 ⎜ = cosα(1 + cosα) ⎟ ⎜ sinα +cosα ⎟ sin α cos α tan α − sin α ⎝ ⎠ sin x + cos x − ⎛ − cos α ⎞⎛ + cos α ⎞ = @1 @0 ⎜ + + = ⎟⎜ ⎟ sin x + cos x − ⎝ + cos α ⎠⎝ − cos α ⎠ sin α @2 cos − cos − sin α + sin α + = @4 cot2α – cot2β = + sin α − sin α cos α sin sin Ch ng Vũ Mạnh Hùng GĨC LƯỢNG GIÁC & CƠNG THỨC LƯỢNG GIÁC I Các hệ th c bản: cos2α + sin2α = tanα.cotα = (α ≠ k) sin α tanα = (α ≠  + kπ) + tan2α = (α   + kπ) cos α cos α cos α cotα = (α ≠ kπ) + cot2α = (α  kπ) sin α sin α II Giá trị lư ng giác c a góc có liên quan đặc biệt: –α +α π–α π+α –α +α –α cos sinα – sinα – cosα – cosα – sinα sinα cosα sin cosα cosα sinα – sinα – cosα – cosα – sinα tan cotα – cotα – tanα tanα cotα – cotα – tanα cot tanα – tanα – cotα cotα tanα – tanα − cotα III Công th c c ng: cos(a + b) = cosacosb – sinasinb cos(a – b) = cosacosb + sinasinb sin(a + b) = sinacosb + sinbcosa sin(a – b) = sinacosb – sinbcosa tan a + tan b tan a − tan b tan(a – b) = tan(a + b) = − tan a tan b + tan a tan b IV Công th c nhân: ¬ Cơng th c nhân ơi: cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan a sin2a = 2sinacosa tan2a = − tan a − Công th c h b c: + cos 2a − cos 2a sin2a = cos2a = 2 V Công th c biến đổi: ¬ Cơng th c bi n i tích thành t ng: cosa.cosb = [cos(a + b) + cos(a – b)] sina.sinb = – [cos(a + b) – cos(a – b)] -9- µ Tính đơn điệu hàm số: Gi s x1  x2, xét hi u s f(x2) – f(x1) suy t s f (x ) − f (x1 ) , x − x1 f (x ) − f (x1 ) > 0: hàm s đ ng bi n (a;b) x − x1 f (x ) − f (x1 ) < 0: hàm s ngh ch bi n (a;b) + N u x1, x2  (a;b), x − x1 + N u x1, x2  (a;b), 8/ Xét s bi n thiên c a hàm s : ¬ y = x2 – 2x + − y = – 2x2 + x + ¯ y = 2x – x2 ° y = x2  – 1 ± y = x −1 ® y = 2 – x x −1 ² y = 2x + ¶ Tính chẵn lẻ hàm số: xét tính ch n l c a hàm s , làm theo b + Tìm t p xác đ nh D + N u D không t p đ i x ng: hàm s không ch n, không l N u D t p đ i x ng, xét f(– x): N u x, f(– x) = f(x): hàm s ch n c: N u x, f(– x) = – f(x): hàm s l N u x: f(– x)   f(x): hàm s khơng có tính ch n l 9/ Xét tính ch n l c a hàm s : ¬ y = x2 – 2x + − y = x3 − x2 ¯ y = 2x + 1 – 2x – 1 ± y = x(x – 1) + x(x + 1) ³ y = x|x| | x − 2|−| x + 2| { !0 y = + x n Ỉ u x ≤ − x nỈ u x > !3 y = x2  – 2x   ® y = x x2 − ° y = x + 1 + 1 – x ² y = (x + 1)2 + (x – 1)2 1+ x − 1− x x2 ´ y = x−m x2 − m !2 y = x + 3mx x + 3mx !4 y = 3x2 – x – !5 y = 2 – x !1 y = · Hàm số bậc bậc hai V đ th r i l p b ng bi n thiên c a hàm s : ¬ y = 3x – − y = – 2x ® y = – 3x ¯ y = (x – 1) ° y = (3 – x) ± y = 2x + x – 2 ² y = |x – 3| + |x + 5| ³ y = x + n Æ u x ≥ ´ y = x − n Ỉ u x > − 3x n Ỉ u x < − 2x n Ỉ u x ≤ sina.cosb = [sin(a + b) + sin(a – b)] − Công th c bi n i t ng thành tích: { ThuVienDeThi.com { Hàm Số Bậc Nhất & Bậc Hai - 10 - Tìm a đ đ ng th ng y = 2x – 1, y = – x, y = ax + đ ng qui Tìm a, b cho đ th hàm s y = ax + b: ¬ i qua m A(–1;3), B(2;1) − i qua m A(1;3) song song v i đ ng th ng y = – 2x + ® i qua m B(3;2) vng góc v i đ ng th ng y = x – V đ th r i l p b ng bi n thiên c a hàm s : ¬ y = 2x – x2 − y = x2 – 3x +  ® y = 2x2 – x – ¯ y = x2 – 2x + 1 ² y = – x2 + 2x + 3 ° y = x2 + 2x – ± y = |x2 – 4x + 3| ³ y = x – 1(2x + 1) { ´ y = x + 2x − n Ỉ u x < −x + nỈ u x ≥ { !0 y = − x + 3x n Ỉ u x ≥ −1 2x − n Ỉ u x < −1 Tìm a, b cho đ th hàm s y = ax + bx + 1: ¬ i qua m M(1;–1), N(2;–3) − i qua m A(–2;3) có tr c đ i x ng x =  ® i qua m B(3;1) đ nh có tung đ –1 Tìm a, b, c cho đ th hàm s y = ax2 + bx + c: ¬ Có đ nh S(3;–1) qua m A(6,8) − C t tr c hoành t i m M(–1;0), c t tr c tung t i m N(0;3) có tr c đ i x ng đ ng th ng x = ® i qua m A(2;0), B(1;3), C(–1;–3) ¯ i qua m M(4;7), N(–2;–5) ti p xúc v i đ.th ng y = 2x – 10 Xác đ nh a, b, c cho hàm s y = ax2 + bx + c đ t giá tr l n nh t b ng  x =  nh n giá tr b ng – x = Tìm a, b cho đ th hàm s y = ax + b ti p xúc v i c hai parabol: y = – 3x – 2x2 y = + 9x – 2x2. Dùng đ th bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình – x2 + 4x + m =0 V đ th (C) c a hàm s y = x2 – x Dùng đ th bi n lu n theo m s nghi m c a ph ng trình x2 – 2x – = m V đ th hàm s y = x2 – 3x +  – m = có nghi m phân bi t nh m đ ph Vũ Mạnh Hùng - 31 - l ch chu n: s = s2  S trung v c a m u g m N s li u đ c s p x p theo th t không gi m (ho c khơng t ng), kí hi u Me, s đ ng gi a dãy n u N l trung bình c ng c a s đ ng gi a dãy n u N ch n  M t c a m u s li u cho d i d ng b ng phân b t n s , kí hi u Mo, giá tr có t n s l n nh t (có th có nhi u m t)  1/ i m thi c a 36 h c sinh đ c ghi nh sau: 15 12 10 10 17 12 11 12 14 11 10 10 17 15 11 10 11 14 10 10 10 ¬ L p b ng phân b t n s − L p b ng phân b t n s ghép l p b ng cách chia m s thành l p: [3;5], [6;8], …(m i l p có đ dài b ng 3) 2/ Cho s li u th ng kê: 111 112 112 113 114 114 115 114 115 116 112 113 113 114 115 114 116 117 113 115 ¬ L p b ng phân b t n s - t n su t − V bi u đ t n s hình c t ® Tìm s trung v m t ¯ Tìm s trung bình đ l ch chu n 3/ Chi u cao c a 500 h c sinh tr ng: Chi u cao cm [150;154) [154;158) [158;162) [162;166) [166;170] T ns 25 50 200 175 50 ¬ V bi u đ t n su t hình c t − V đ ng g p khúc t n su t ® Tính s trung bình đ l ch chu n 4/ Kh o sát dân s thành ph tu theo s tu i ta có b ng k t qu : Dân s d i 20t t 20t đ n 60t 60t 40 100 11 800 23 800 500 V bi u đ t n su t hình qu t 5/ i m Tốn x m Lí y c a h c sinh nh sau: x 6 9 10 y 6 8 9 Tính s trung bình đ l ch chu n c a m Tốn Lí Nh n xét ng trình x2 – 6x +  ThuVienDeThi.com  Ch ng V THỐNG KÊ Ch ng ¥| Trình bày m t mẫu số liệu: Cho m t m u s li u {x1, x2, …, xk} có kích th c N g m k (k  N) giá tr khác  B ng phân b t n s : g m dòng (ho c c t):  Dòng (c t) đ u ghi giá tr xi theo th t t ng d n  Dòng (c t) th hai ghi t n s ni (s l n xu t hi n) c a m i giá tr xi  B ng phân b t n s - t n su t:  Trong b ng phân b t n s b sung m t dòng (c t) th ba ghi t n su t fi (t s % gi a t n s ni kích th c m u N)  B ng phân b t n s - t n su t ghép l p: Khi s li u đ c chia thành nhi u kho ng [a1;a2), [a2;a3), …, [ak;ak + 1] hay đo n, m i kho ng hay đo n g i l p, ta có b ng phân b t n s - t n su t ghép l p ¥} Biểu đồ: Bi u đ t n s - t n su t hình c t (dùng cho b ng phân b t n s - t n su t ghép l p):  V hai đ ng th ng vng góc  Trên tr c hồnh đánh d u kho ng [ai;ai + 1) xác đ nh l p, tr c tung ghi t n s (t n su t)  V hình ch nh t có: áy n m tr c hồnh có kích th c b ng chi u dài c a l p, Chi u cao b ng v i t n s (t n su t) t ng ng v i l p  ng g p khúc t n s , t n su t:  V đ ng th ng vng góc   V m Mi(xi;yi) v i xi = a i + a i +1 giá tr đ i di n c a l p [ai;ai + 1), yi = ni (ho c yi = fi)  N i m Mi ta đ c đ ng g p khúc t n s (t n su t)  Bi u đ t n su t hình qu t:  V hình trịn  Chia hình trịn thành nh ng hình qu t có góc tâm t l v i t n su t c a l p ¥~ Các số đặc trưng c a mẫu số liệu: i v i m u s li u {x1, x2, …, xN} kích th  N  S trung bình: x = ∑ xi N i=1  l ch chu n: s = s2 i v i m u s li u cho d   S trung bình:  Ph ng sai: xi =  Ph c N: ng sai: s2 = N ∑ (x i − x)2 = x2 – (x)2 N i =1 i d ng m t b ng phân b t n s - t n su t: nixi = fixi N s2 = ni(xi – x)2 = fi(xi – x)2 = x2 – (x)2 N x = a i + a i +1 giá tr đ i di n c a l p [ai;ai + 1) PHƯƠNG TRÌNH & HỆ PHƯƠNG TRÌNH ´ Phương trình tương đương 1/ Các ph ng trình sau có t ng đ ng hay khơng ? ¬ x2 = x3 x = − x = x2 = ® x + = (x2 + 1)(x + 2) = ¯ x2 + 2x + = x + = x−2 ° = x – = x2 – 5x + x − 5x + 1 = 11 – x – 4x + = 11 – x ± 4x + – x−3 x−3 ² x – = 5x – (x – 1)2 = (5x – 2)2 ³ x + 12 + x = 18 – x + x x + 12 = 18 – x 2x − − 2x = ´ 2x – = – 2x x −1 x −1 !0 x2 – = x2 + 2x – x2 – = x2 + 2x – !1 (3x – 2)1 – x = (6 – x)1 – x 3x – = – x !2 xx + = 2 x(x + 1) = 2 µ Phương trình dạng ax + b = Cách gi i: ax + b =  ax = – b N u a  0: x = –  N u a = 0: ph ng trình có d ng 0x = – b + b  0: ph ng trình vơ nghi m + b = 0: ph ng trình ln nghi m ∀x   2/ Gi i ph ng trình sau: ¬ (3x + 7) – (2x + 5) = − 2x + = (3x – 1) – (x – 6) ® (2x + 5) = (3x + 2) – (x – 6) 3/ Gi i bi n lu n ph ng trình sau: ¬ (a + 1)x = (a + 1)2 − (a2 – 4)x = a3 + ® (a + 2)x = – a2 ¯ m(mx – 3) = – x ° m(x – 4m) + x + = – mx ± m(3x – m) = x – ² m(mx – 1) = (2m + 3)x + ³ m2(1 – x) = m(x + 2) + ´ m(mx – 1) = 4(m – 1)x – 2 !0 m (x – 1) = m(2x + 1) !1 m(m2x – 1) = – x m x + m x + m + 9x − = !2 m2(1 – mx) = 4(2x + m + 3) !3 2(x + 1) a x −1 =1– !5 x – (1 − ) = !4 x – 1− a a −1 a 3a ThuVienDeThi.com Phương Trình & Hệ Phương Trình - 12 - Vũ Mạnh Hùng 4/ Cho ph ng trình m (x – 1) = 4(x – m – 3) ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m x = − nh m đ ph ng trình vơ nghi m 5/ nh a, b đ ph ng trình (a + b – 5)x = 2a – b – tho x ¶ Phương trình dạng ax2 + bx + c = —| Cách gi i:  N u a = 0: ph ng trình có d ng bx + c =  ¬ 7x + 1 = 2x + 4 ® 3x + 3 – x – 2 = ² x + 2 + x – 2 = 4x – 15 + 4x2 – 4 ³ 3x – 2 + x – 1 = 4x – + 23x2 – 5x + 2 ´ 2x – 3 + 5 – 2x – x2 + 4x – = ng trình có nghi m kép xo = –  Chú ý 1: N u b = 2b: tính Δ = b2 – ac * Δ < 0: Ph ng trình vơ nghi m * Δ = 0: Ph ng trình có nghi m kép xo = –  * Δ > 0: Ph ng trình có nghi m phân bi t x1,2 =  ¯ x2 + 3x + 3 < 2x + ± x – 6.x – 12 < x – — } nh lí Viète: N u x1, x2 nghi m c a ph ph ) P = x1.x2 =  o l i, n u có s x1, x2 cho x1 + x2 = S, x1.x2 = P x1 x2 nghi m c a ng trình x2 – Sx + P = —~ D u nghi m s c a ph ng trình ax2 + bx + c = 0: Ph ng trình có nghi m trái d u (x1 < < x2)  P < Ph Δ>0 ng trình có nghi m phân bi t d u (x1.x2 > 0)  P>0 Ph Ph 3− x > x−2 ® x2 – 2x > – x ± x +  – x – 8x – 12 ² x2 – 4x + 5 > 2x2 – 8x ´ (x + 1)(x + 4) < 5x2 + 5x + 28 3x − 3− x x3 + < !2 > x – > !1 2−x x 15 − x 4< 3> Gi i b t ph ng trình: ¬ (x – 3)x2 + 4  x2 – − (x + 1)x2 + 1 > x2 – !0 ® x + 3 – x – 1 < x – 2 { ¯ x + 3  2x – 8 + 7 – x ° 3x + 5x + 7 – 3x + 5x + 2 > ² (x – 12)x – 3  ⎪Δ > ⎨P > ⎪⎩S > ⎪Δ > ng trình có nghi m âm phân bi t (x1 < x2 < 0)  ⎨ P > ⎪⎩S < ng trình có nghi m d ° (x + 4)(x + 3) > – x ³ | – x|  x +   !0 ¯ x2 – 5x – 24  x + 2 ng trình ax2 + bx + c = thì: S = x1 + x2 = – ² 6x2 – 12x + 7  x2 – 2x ³ N u a – b + c = 0: Ph ng trình có nghi m x1 = – 1, x2 = –  Chú ý 2: N u ph ng trình ax2 + bx + c = có nghi m x1,2 thì: ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) N u bi t nghi m c a ph ng trình xo thì: c −xo ° (x – 3)(2 – x) < 2x + 2x + 7x − 1− x < ´ < 2x − x+4 4< 2> Gi i b t ph ng trình: ¬ x  2 – x − 2x + 14 > x + ng trình có nghi m x1 = 1, x2 =  ax2 + bx + c = (x – xo)(ax + !0 x – 6 + 3 – x = x2 !1 4x + 1 – 3x – 2 =  !2 3(2 + x – 2) = 2x + x + 6 Gi i b t ph ng trình: ¬ x + 7 < x − x +  2 + x ® 2x2 – 3x – 5  x – ng trình có nghi m phân bi t x1,2 =  N u a + b + c = 0: Ph ¯ x + 10 – x + 3 = 4x – 23 ± 4x2 + 9x + 5 – 2x2 + x – 1 = x2 – 1 N u a  0: Tính Δ = b – 4ac * Δ < 0: Ph ng trình vơ nghi m * Δ > 0: Ph − x + 5 + 5 – x = ° 11x + 3 – 2 – x = 9x + 7 – x – 2 * Δ = 0: Ph - 29 - ´ ng phân bi t (x1 > x2 > 0)  − − 4x < x ³ (x – 1)x2 – x – 2  !0  ThuVienDeThi.com ± (x – 2)x2 + 1 > x2 + 9x − 5x −  3x + Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình - 28 - ’ ⎪B ≥ A  B  ⎨A ≥ ⎩⎪A ≤ B ’ B≥0 A  B  B <  A≥0 A ≥ B2 { { Gi i ph ng trình: ¬ |x2 – 3x – 5| = 2x – ® x2 + 4x – |x + 2| – = ° |x2 – 4x + 3| + |x2 – 5x + 6| = Gi i b t ph ng trình: ¬ |x2 – 4x| < ® |x2 – 3x| + x – < ° x2 + 6x – 4|x + 3| – 12 > Gi i b t ph ng trình: ¬ |2x2 – 9x + 15|  20 ® |x2 – 3x + 2|  x + ° x2 – 4x – 2|x – 2| +  Gi i b t ph ng trình: ¬ |2x2 – x – 10| > |x2 – 8x – 22| ® |x2 – 5|x| + 4|  |2x2 – 3|x| + 1| + 18  ¯ x2 – 8x – | x − 4| ± x − 5x +  x2 − ² ’ ⎪ B > A < B  ⎨ A ≥ ⎩⎪ A < B ’ B≥0 A > B  B <  A≥0 A > B2 { { − 2x2 – |x – 2|  9x – ¯ |3x2 + 5x – 8| < x2 – ± |x2 + 6x + 8|  – x2 – 6x – − |x – 6|  x2 – 5x + ¯ |x2 + 3x|  – x2 ± |x2 – 3x + 2| > 3x – x2 – − |x2 – 2x + a|  |x2 – 3x – a| | x − 2x | +4  x2 + | x + | + > | x + 5| ³ − 3| x | > 1+ | x | | x − 2x | −1 − 2x | x −3|   |x – 1| !0  !1 | x + 1| −2 x − 2+ | x + 3x | x − 5x + Gi i ph ng trình: ¬ 2x + 5 = x + − 2x2 + 8x + 7 – = x ® 4 – 6x – x2 = x + ´ ¯ x2 + 2x2 – 3x + 11 = 3x + ± (x + 1)x + x – 2 = 2x + x−2 ³ = x – 2x − 4< 0> Gi i ph ng trình: ° x – 1.2x + 6 = x + ² (x + 1)16x + 17 = 8x2 – 15x – 23 x+3 = 3x + 1 ´ x −1 - 13 - 6/ Gi i bi n lu n ph ng trình: ¬ (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = − (m2 – 1)x2 – 2(m + 1)x + = ® (x – 2)(mx + – m) = ¯ x2 – (m + 1)x + 2m – = 7/ Cho ph ng trình (m – 3)x – 2(m + 2)x + m + = ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m Tính nghi m x2 bi t x1 = 1 + = 10 − nh m đ ph ng trình có nghi m x1, x2 th a x1 x − x2 + 4|x – 3| – 7x + 11 = ¯ |x2 – 9| + |x + 2| = ° x2 + 10x – Vũ Mạnh Hùng ® Tìm h th c gi a nghi m x1, x2 đ c l p đ i v i m 8/ Cho ph ng trình (m2 – 1)x2 – 2(m – 1)x + = ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m, tìm nghi m − nh m đ ph.trình có nghi m phân bi t x1, x2 th a: x1x2 + x2x1 = – 9/ Cho ph ng trình: mx2 + 2mx – + m = ¬ nh m đ ph ng trình vơ nghi m − nh m đ ph ng trình có nh t nghi m d ng ® nh m đ ph ng trình có nghi m phân bi t x1, x2  –1 L p ph ng 1 , trình b c hai có nghi m là: x1 + x + Cho ph ng trình (m – 2)x2 + 2(m + 1)x + m – = ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m d u − nh m đ ph ng trình có nhi u nh t nghi m d ng ® nh m đ ph ng trình có nghi m x1, x2 th a x1 + x2 = 64 Cho ph ng trình x2 + 2(m + 3)x + m2 + = ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m b ng – Tìm nghi m cịn l i − nh m đ ph ng trình có nghi m x1, x2 Ch ng minh x1 + x2  nh m đ ph.trình – 4x4 + 2(m + 1)x2 – 2m – = có nghi m phân bi t Tìm t t c giá tr c a m đ ph ng trình x2 + mx + = có nghi m x2 x2 x1, x2 tho : 12 + 22 > x x1 .Cho ph ng trình 2x2 + 2(2m + 1)x + 2m2 + m – = ¬ nh m đ ph ng trình có nghi m d ng − nh m đ ph ng trình có nghi m x1, x2 cho x1 + x2 nh nh t Tìm m đ ph ng trình x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = có nghi m x1, x2 cho x1 + x2 + 10x1x2 đ t giá tr nh nh t nh m đ ph trình 2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + = có nghi m G i x1, x2 nghi m c a ph ng trình, tìm giá tr l n nh t c a A = x1x2 – 2(x1 + x2) ThuVienDeThi.com Phương Trình & Hệ Phương Trình - 14 2 .Cho ph ng trình a x – 2ax + – b = ¬ Xác đ nh a, b đ ph ng trình có nghi m − Tìm h th c liên h gi a a b đ ph ng trình có nghi m phân bi t x1, x2 th a x1 + x2 = ¬ nh m đ ph ng trình mx2 – 2(m – 1)x + 3(m – 2) = có nghi m phân bi t x1, x2 th a x1 + 2x2 = − nh m đ ph ng trình (m + 3)x2 – 3mx + 2m = có nghi m phân bi t x1, x2 tho 2x1 – x2 = ® Xác đ nh k đ ph ng trình 3x2 – (3k – 2)x – 3k – = có nghi m x1, x2 tho 3x1 – 5x2 = ¯ Xác đ nh c đ ph ng trình x2 – 2x + c = có nghi m x1, x2 th a u ki n 7x2 – 4x1 = 47 ° nh m đ ph ng trình 3x2 – 2(m + 2)x + – m = có nghi m phân bi t x1, x2 th a x1 – x2= Cho ph ng trình (x + 1)(x + 2)(x + 4)(x + 5) = a ¬ Gi i ph ng trình a = 10 − nh a đ ph ng trình có nghi m N u α β nghi m c a ph ng trình x2 + 4x – = Không gi i ph ng trình này, tính giá tr c a: 1 1 + ¯ ¬ α2 + β2 − α3 + β3 ® + (2α + 1) (2β + 1) α β N u x1 x2 nghi m c a ph ng trình x2 + 4x – = Khơng gi i ph ng trình tính x1 + x2 N u x1 x2 nghi m c a ph ng trình ax2 + bx + c = Khơng gi i ph ng trình l p ph ng trình b c hai m i có nghi m là: ¬ x1 + 1, x2 + − x1 + x2, x1.x2 ® 2x1 + 3x2, 3x1 + 2x2 x1 x2 1 , ± ¯ (x1 + x2)2, (x1 – x2)2 ° , x1 x x − x1 − ¬ Gi i ph ng trình x + px + 35 = n u t ng bình ph ng nghi m c a ph ng trình b ng 74 − Gi i ph ng trình x2 – x – q = n u t ng l p ph ng nghi m c a b ng 19 ¬ V i giá tr c a k t ng nghi m c a ph.trình x2 – 2k(x–1) – = b ng t ng bình ph ng nghi m − V i giá tr c a a t s nghi m c a ph.trình x2– (2a+1)x + a2 = b ng  Vũ Mạnh Hùng - 27 - nh m đ ph ng trình sau có nghi m: ¬ x2 – 2(m – 1)x + 2m + = − (m – 2)x2 – 2mx + 2m – = nh m đ ph ng trình (m – 2)x2 + mx + = có nghi m phân bi t nh m đ b t ph ng trình sau đ c nghi m x  : − 2x2 – 2(2m – 1)x + m(m + 1)  ¬ x2 – mx + m + > ® (m–1)x2 – (m–5)x + m–1  ¯ (m2 – m + 1)x2 – 2(m + 2)x +  ° (m2–2m–3)x2 – 2(m–3)x + > ± (– 2m2+m+1)x2 + 2(m+3)x – < ² (3 + 2m – m2)x2 + (2m – 1)x –  ³ mx2 – mx – < x + mx −  x2 − x + nh m đ hàm s y = (m +1)x2 – 2(m – 1)x + 3m – xác đ nh x   nh m đ b t ph ng trình: ¬ (m – 2)x2 – 2mx + 2m + > có nghi m − (3m – 2)x2 + 2mx + 3m  vô nghi m nh m đ b t ph.trình: ¬ x2 + mx + m – < nghi m x  [1;2] ´ (m2 – 1)x2 + 2(m – 1)x + > !0 –3  − x2 – 2(m + 1)x + m2 + 2m  đ c tho x  [0;1] ® x – 2mx + m – > nghi m x  (0;2) 2 ¯ x2 – (2m + 5)x + m2 + 5m  đ c tho x  (1;+)  có nghi m nh m đ h ⎨ x − 3x + ≤ ⎩ x + (2m + 1)x + m + m − ≥ 3< 3> nh m đ b t ph ng trình: ¬ mx2 – 2(m – 4)x + m  nghi m x  − x2 – 2mx + |x – m| + > nghi m x ThuVienDeThi.com  có nghi m nh m đ h ⎨ x + 10x + ≤ ⎩ x − 2x + − m ≤ · Phương trình bất phương trình quy bậc hai B≥0  A≥0 ∨ A − y – < ® x +2 > Tìm mi n nghi m c a b t ph ng trình & h b t ph ng trình sau: ⎪3x − 4y + 12 > − – < x – y < ® (x – 2)(y – x + 2) < ¬ ⎨ x − y + < ⎪⎩ x − > ¯ (x + y – 1)(3x + y – 1) > ° (x + y)(y – 3x) > ¶ Tam th c bậc hai - Bất phương trình bậc hai 1/ Tam th c b c hai f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Nghi m c a tam th c nghi m c a ph ng trình ax2 + bx + c = D u c a tam th c b c hai: Cho tam th c f(x) = ax2 + bx + c (a  0) Δ = b2 – 4ac ‚ N u Δ < f(x) ln d u v i a v i m i x: ’ a > ⇒ ax + bx + c > x ’ a < ⇒ ax2 + bx + c < x ‚ N u Δ = f(x) có nghi m kép x = –  f(x) d u v i a x  – : ’ a > ⇒ ax2 + bx + c > x  –  (ax2 + bx + c  x) ’ a < ⇒ ax2 + bx + c < x  –  (ax2 + bx + c  x) ‚ N u Δ > f(x) có nghi m phân bi t x1,2 và: a>0 x – x1 x2 + f(x) + – + a (, ‚ x, ax2 + bx + c   a > Δ  − 2x > – x−4 x+3 x +1 x +1 5x + x+2 ¯  + ° + < x+3 (x − 2)(x − 3) 1− x x−3 Tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s : x+2 x +1 ¬ y = − y = x + 3x + 2x − x − Vũ Mạnh Hùng - 15 - ® V i giá tr nguyên c a k ph.trình 4x – (3k + 2)x + k – = có b x1 = 2x2 nghi m x1, x2 th a: a x1 = x2 + ¯ V i giá tr d ng c a c ph ng trình 8x2 – 6x + 9c2 = có hai nghi m x1, x2 th a x1 = x2 ° Tìm p, q đ ph ng trình x2 + px + q = có hai nghi m x1, x2 th a: a x1 – x2 = b x1 – x2 = 35 dài c nh góc vng c a tam giác vng nghi m c a ph ng trình ax2 + bx + c = (a > 0) Khơng gi i ph ng trình tìm đ dài c nh huy n, di n tích hình trịn ngo i ti p, bán kính đ ng trịn n i ti p c a tam giác V i giá tr c a a t ng bình ph ng nghi m c a ph ng trình x2 + ax + a – = nh nh t Gi s a, b, c đ dài c nh c a tam giác Ch ng minh r ng ph ng trình: (a2 + b2 – c2)x2 – 4abx + a2 + b2 – c2 = ln có nghi m 2  · Phương trình quy phương trình bậc bậc hai Gi i ph ng trình sau: 6x − x − 2 2x − = = đ +1= x −1 x −1 x x −1 x + x −1 Gi i ph ng trình: ¬ (x2 + 2x)2 – 7(x2 + 2x) + = − x4 – 22x2 – x + – 2 = 10 x −1 3x + ¯ − = =– ® 2 x 2x − 2 2x − x + 2x − x + 2x − x + ° x4 + x3 – 10x2 + x + = ± 6x4 + 25x3 + 12x2 – 25x + = ² (x – 1)x(x + 1)(x + 2) = ³ (6x + 5)2(3x + 2)(x + 1) = 35 ´ 4(x + 5)(x + 6)(x + 10)(x + 12) = 3x2 !0 (x – 6)(x – 2)(x + 1)(x + 3) = 7x2 !1 (x + 3)4 + (x + 1)4 = 20 !2.(x – 2)4 + (x – 3)4 = 2 !3 2(x + 6x + 1) + 5(x + 6x + 1)(x2 + 1) + 2(x2 + 1)2 = Gi i ph ng trình sau: ¬ x + 2 = –1 − 2x – 1 = x + 3 ® 3x – 4 = – 5x ¯ 2x – 3 = – 2x Gi i bi n lu n ph ng trình sau: ¬ 3 – x = m − x – m = x – 4 ® mx + 3 = 2x – m ThuVienDeThi.com Phương Trình & Hệ Phương Trình - 16 - Gi i bi n lu n ph ng trình sau: a x +1 x +1 ¬ = a − = 2m ¯ = ® = 2m 2a − x 2m − x x+2 m−x 4mx − m(mx − 1) mx + 2m + x−m x+2 = ² ° = m2 ± = 2x + 1− x x −1 x +1 2x − m 2x + x+m 2x + ´ ³ = – = !0 + = x − 2a x +1 x−m x −1 x−m − ax nh m đ ph ng trình sau vơ nghi m: mx + mx − m − = − = ¬ x + m −1 x +1 nh m đ ph ng trình sau có nghi m: x2 − m 2m − mx − ¬ – x + m = − ® – m + = = x +1 x+3 x − 2m m(mx + 1) = có nghi m nh t xo Tìm m  nh m đ ph ng trình x +1  cho xo   Gi i bi n lu n ph ng trình: 2x − x + ¬ = – x + m − x + + = m(x – 3) x −1 x −1 x + (m + 2)x − m 3x + m ® = – 3x ¯ = – x – x +1 2−x nh m đ ph ng trình: 2mx − 5m − ¬ = m(x + 2) – vô nghi m x−2 2mx + 2m − 2x − − =2+ có nghi m x −1 x +1 x − 2mx + 2m − = có nghi m phân bi t ® x − 2m − 4mx + = – m có nghi m ¯ (x − 1)  Vũ Mạnh Hùng - 25 - nh m đ h b t ph ng trình sau có nghi m: − 3x − > − 2x ¬ m + − x > 2x − 3m + > mx + ≥ x − 2m + nh m đ h b t ph ng trình sau vơ nghi m: ¬ 2x − ≥ − mx − m + ≥ x + m+2− x≥0 (m + 1)x − m + > { { { { Gi i bi n lu n h {(mm(x+−1)x2)>≥mxx −+31 Gi i b t ph ng trình: ¬ (x + 14)(8 – x)(x + 5) > − (8 – x)(1 – x)2(10 – x)3  ® (x + 3)(2 − x)  (1 − 2x) ¯ (x + 6) (x − 4)  (7 − x)5 (1 − x) ° −13(5x − 4)(2x − 7)5 > (3x + 9)3 ± (x + 8)3 (x + 4)(8 − x)5 < (x − 4)5 (x + 5) (4 − x )(x + 2)(x + 1)3 x + x +1 +   ³ 2 x−5 2−x (1 − x) (x + 3) 2< 0> Gi i ph ng trình b t ph ng trình: ¬ x – 1 + x – 3 = ¯ 2x + 1 > x + ° 2x – 1  x – ² − x – 2x + 1 +3x + 2 = ® x – 3 +  x + 2 – x – 4 = ´ |7 – 2x| < |3x – 7| + |x + 2| !1 |x – 1| + |2 – x| > x + ± 3 – x < ² 3x – 1  x + ³ x – 2 < 2x – 10 !0 |2x + 3| > |x| – 4x – (m − 1) x + m + > x −1 ¶ Bất phương trình bậc ẩn - Hê bất phương trình bậc ẩn Gi i bi n lu n b t ph ng trình: 1/ B t ph ng trình b c nh t hai n ax + by + c > (, ⇒ ax + by + c > ’ axo + byo + c < ⇒ ax + by + c < 2/ H b t ph ng trình b c nh t hai n: Cách gi i: ‚ V đ ng th ng t ng ng v i m i b t ph ng trình h ‚ Xác đ nh mi n nghi m c a m i b t ph ng trình (g ch b nh ng mi n khơng nghi m), ph n cịn l i mi n nghi m c a h ThuVienDeThi.com Bất Đẳng Thức & Bất Phương Trình - 24 - Vũ Mạnh Hùng µ Bất phương trình bậc - Hê bt phng trỡnh bc nht Ô| Cỏch gi i b t ph ng trình ax + b > 0: ax + b >  ax > – b N u b  0: B t ph ng trình vơ nghi m Ô} D u c a nh th c b c nh t f(x) = ax + b: – + a < + x – ax + b + – a1 a2 b1 c , Dx = b2 c2 b1 a , Dy = b2 a2 c1 c2 x + 5(x + 1) x +1 x−2    !0 ´ x+2 x+2 x+3 1< 3> Gi i bi n lu n b t ph ng trình: ¬ 2(x + m) – 3(2mx + 1) > − m(mx – 3)  – x – x−2  x+3 ¯ m2(1 – x) < m(x + 2) + ° m(mx – 1)  (2m + 3)x + nh m đ b t ph ng trình m(mx – 1) < (2 – m)x + vô nghi m nh m đ b t ph ng trình sau t ng đ ng: ¬ 2(x + m) – 3(2mx + 1) > 2x + < − mx – m + > (m + 2)x – m + > + D = 0, Dx  ho c Dy  0: H vô nghi m + D = Dx = Dy = 0: Xét c th Gi i h ph ng trình: ¬ 2x + 3y = − x + y = ® x + 2y = 3x − 2y = 2x + 2y = y − 3x = { ° {y + x = | y | −x = + Các b t ph ng trình sau có t ng đ ng hay khơng ? ¬ (2 – x)2(x + 1) > 3(2 – x)2 x + > 1 x2 – > x2 – x + x − x +1 1 >–1+ x3 > – ¯ x3 + x−3 x−3 x+4 °  (x + 4)(x – 1)  ± x + 1 – x > 1 – x – x > – x −1 ² (x – 4)2 (x + 1) > x + > ³ x2 – 1(x2 + x)  x2 + x  ® m(mx – 1)  4(m – 1)x – tD= + D  0: H có nghi m nh t (x;y) v i x = Dx:D, y = Dy:D Cách gi i:  Gi i t ng b t ph ng trình h  Bi u di n đ nh nghi m tr c theo th t t ng d n t trái sang ph i  G ch b nh ng kho ng không nghi m c a m i b t ph ng trình, ph n tr ng l i nghi m c a h x – ax + b – { Cách gi i: Ô} H b t ph ng trỡnh: a>0 ¸ H phương trình bậc a x + b1 y = c1 ng trình b c nh t n: a x + b y = c2 H ph N u a > 0: x > –   N u a < 0: x < –   N u a = 0: b t ph ng trình có d ng 0x + b > N u b > 0: B t ph ng trình ln th a x    - 17 - { { { ± x + y = | 3x − y |= { { ¯ 3x − y = 12x − 4y = ² | x − 1| + y = 2x − y =  + = 4, 75 ⎪ ⎪ ³ | x − 1| + | y − |= ´ ⎨ 2x + y − x + 2y − y = 3− | x − 1| ⎪ − = 2, ⎪⎩ 2x + y − x + 2y − Gi i bi n lu n h ph ng trình: ¬ (m + 2)x − 3y = 3m + − mx + (m + 2)y = x + (m − 4)y = x + my = m { {  ® ⎨(m ⎩(m { { − 1)x + (m − 1)y = m − ¯ ax + by = a + {bx + ay = b + + 1)x + (m + 1)y = m + 3 ° (a + b)x + (a − b)y = a (2a − b)x + (2a + b)y = b nh a, b, m đ h sau vô nghi m: { ¬ 2x + (9m − 2)y = 3m x + y =1  = a2 − b ± ⎨a x − by ⎩ bx − b y = + 4b  − ⎨ m x + (2 − m)y = m5 + ⎩ mx + (2m − 1)y = m − 2  ® ⎨ax + 3y = a + ¯ ⎩(3a + 14)x + (a + 8)y = 5a + nh a, b, k đ h sau có nghi m: − ¬ ax − 3y = a 3x − ay = a + { { ® 2x + (9k − 2)y = 6k − x + y =1 ThuVienDeThi.com + (a + b)y = b − a {(1(5++ a)x a)x + 2(a + b)y = b − {axbx ++ byay == aa +− bb { 2 ¯ (2 − k)x + k y = 3k + (2k − 1)x + ky = k − - 18 - Phương Trình & Hệ Phương Trình {(m−4x++6)xmy+=2ym =+ 1m + có vơ s nghi m nh a, b đ h {ax + 2y = b + {2x + y = a + t x+ y=3 x + 3y = Vũ Mạnh Hùng !4 a2(1 + b2) + b2(1 + c2) + c2(1 + a2)  6abc (a, b, c  0) nh m đ h ng đ !5 ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a)  6abc (a, b, c  0) !6 (1 + a)(1 + b)(1 + c)  + abc (a, b, c  0) ng n nh a, b đ hai h ph ng trình sau vơ nghi m: (a + 1)x + (b + 1)y = 5b − (a + 1)x + ay = b (a − 1)x + by = 3x + (4 − a)y = 2b − Cho h { { + (3m − 2)y + m − = {mx 2x + (m + 1)y − = ¬ nh m đ h có nghi m nh t, tìm h th c đ c l p gi a nghi m − nh m nguyên đ nghi m nh t c a h nghi m nguyên nh a đ t ng xo + yo đ t giá tr nh nh t bi t (xo;yo) nghi m c a h ph ng trình: 3x − y = − a x + 2y = a + { Gi i h : ⎪ x + y − z = ¬ ⎨ 2x − y + 3z = ⎪⎩ −3x + 4y + 2z = 11 ⎪ x + y − z − ® ⎨ −2 = = ⎪⎩ x + 2y − 2z + = ⎪ 2x + 3y + z − = − ⎨ x − y + z = = ⎪⎩ −2 ⎪ 4x − 3y − 6z = ¯ ⎨ x + y − z + = = −4 ⎩⎪  —| Hệ Phương Trình có ch a phương trình bậc Cho h { ng pháp th x + y = m +1 x y + xy = 2m − m − ¬ Gi i h m = .(x;y) nghi m c a h .Gi i bi n lu n h : { − Ch ng minh r ng m, h ln có nghi m x + y = 2a − nh a đ xy nh nh t x + y = a + 2a − { x+y=m x − y + 2x = n n ⎛1+ x ⎞ ⎛1+ y ⎞ ⎛1+ z ⎞ * !7 ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ 3 (x, y, z d ng th a xyz=1 n  ) ⎟ +⎜ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ a b2 c2 a b c !8 a2 + b2 + c2  a + b + c n u abc = !9 + +  + + b c a b c a Một số dạng khác 5/ Ch ng minh r ng: 1 ¬ 2pq – q2 + p2 – q2  p (p  q  0) ® + + + < 2 n 1 1 − < < (n  *) + + + n +1 n + 2n a b c d ¯ < + + + < a+b+c b+c+d c+d+a d+a+b Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ 6/ Tìm GTLN c a hàm s : x −1 ® y = x + 2 – x2 ¬ y = x4 – x2 − y = x 7/ Tìm GTNN c a hàm s : ¬ y = x + (x > 0) ( < x < 1) − y = + x(1 − x) x ® y = x2 + + 2x + ¹ H phương trình bậc hai Cách Gi i: Dùng ph - 23 - a2 (a  0) (x + 1) ab c − + bc a − + ca b − (c 2, a  3, b 4) abc 1 + + 4xy 9/ N u x, y > x + y  1, tìm GTNN c a P = 2 xy x +y 8/ Tìm GTLN c a T = Cho x, y thay đ i th a  x  3,  y  Tìm GTLN c a: A = (3 – x)(4 – y)(2x + 3y) x, y, z s d ng thay đ i th a x + y + z  Tìm GTLN c a: y x z A= + + x +1 y +1 z +1 ThuVienDeThi.com ... th có nhi u m t)  1/ i m thi c a 36 h c sinh đ c ghi nh sau: 15 12 10 10 17 12 11 12 14 11 10 10 17 15 11 10 11 14 10 10 10 ¬ L p b ng phân b t n s − L p b ng phân b t n s ghép l p b ng cách... b IV Cơng th c nhân: ¬ Cơng th c nhân ôi: cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a tan a sin2a = 2sinacosa tan2a = − tan a − Công th c h b c: + cos 2a − cos 2a sin2a = cos2a = 2 V Cơng... ŒCSố gần sai số M t hình l p ph ng có th tích V = 180,57  0,05 (cm3) Xác đ nh ch s ch c Vi t th tích g n d i d ng chu n M t tam giác có c nh đo đ c nh sau: a = 6,3  0,1 (cm); b = 10