I HỆ TOẠ ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN Hệ tọa độ Đêcac vng góc khơng gian: Cho ba trục Ox, Oy, Oz vng góc với đơi chung điểm gốc O Gọi i, j, k vectơ đơn vị, tương ứng trục Ox, Oy, Oz Hệ ba trục gọi hệ tọa độ Đêcac vng góc Oxyz đơn giản hệ tọa độ Oxyz 2 2 2 Chú ý: i j k i j i.k k j Tọa độ vectơ: a) Định nghĩa: u x; y; z u xi y j zk b) Tính chất: Cho a (a1; a2 ; a3 ), b (b1; b2 ; b3 ), k R a b (a1 b1; a2 b2 ; a3 b3 ) ka (ka1; ka2 ; ka3 ) a1 b1 a b a2 b2 a b (0; 0; 0), i (1; 0; 0), j (0;1; 0), k (0; 0;1) a phương b (b 0) a kb (k R) a1 kb1 a2 kb2 a kb a.b a1.b1 a2 b2 a3 b3 cos(a, b ) a1 a2 a3 , (b1 , b2 , b3 0) b1 b2 b3 a b a1b1 a2 b2 a3b3 a a12 a22 a32 a a12 a22 a22 a.b a1b1 a2 b2 a3b3 a.b a12 a22 a32 b12 b22 b32 (với a, b ) Tọa độ điểm: a) Định nghĩa: M ( x; y; z) OM ( x; y; z) (x : hoành độ, y : tung độ, z : cao độ) Chú ý: M (Oxy) z = 0; M (Oyz) x = 0; M (Oxz) y = M Ox y = z = 0; M Oy x = z = 0; M Oz x = y = b) Tính chất: Cho A( x A ; y A ; zA ), B( xB ; yB ; zB ) AB ( xB x A ; yB y A ; zB zA ) AB ( xB x A )2 ( yB y A )2 (zB zA )2 x A kxB y A kyB zA kzB ; ; 1 k 1 k 1 k x x y y z z Toạ độ trung điểm M đoạn thẳng AB: M A B ; A B ; A B 2 x x x y y y z z z Toạ độ trọng tâm G tam giác ABC: G A B C ; A B C ; A B C 3 x x x x y y y y z z z z Toạ độ trọng tâm G tứ diện ABCD: G A B C D ; A B C D ; A B C C 4 Toạ độ điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k (k≠1): M Tích có hướng hai trình nâng cao) vectơ: (Chương a) Định nghĩa: Cho a (a1, a2 , a3 ) , b (b1, b2 , b3 ) ThuVienDeThi.com a2 a3 b2 b3 a , b a b ; a3 a1 b3 b1 ; a1 a2 a2 b3 a3b2 ; a3b1 a1b3 ; a1b2 a2 b1 b1 b2 Chú ý: Tích có hướng hai vectơ vectơ, tích vơ hướng hai vectơ số b) Tính chất: j , k i ; k , i j i , j k ; [a, b] a; [a, b] b [a, b] a b sin a, b a, b phương [a, b] c) Ứng dụng tích có hướng: Điều kiện đồng phẳng ba vectơ: a, b c đồng phẳng [a, b].c Diện tích hình bình hành ABCD: S ABCD AB, AD Diện tích tam giác ABC: S ABC AB, AC Thể tích khối hộp ABCD.ABCD: VABCD A ' B 'C ' D ' [ AB, AD ].AA ' Thể tích tứ diện ABCD: VABCD [ AB, AC ] AD Chú ý: – Tích vơ hướng hai vectơ thường sử dụng để chứng minh hai đường thẳng vng góc, tính góc hai đường thẳng – Tích có hướng hai vectơ thường sử dụng để tính diện tích tam giác; tính thể tích khối tứ diện, thể tích hình hộp; chứng minh vectơ đồng phẳng – không đồng phẳng, chứng minh vectơ phương 1) a b phương a, b 2) a, b , c đồng phẳng a, b .c 3) a b a.b Phương trình mặt cầu: Phương trình mặt cầu (S) tâm I(a; b; c), bán kính R: ( x a )2 ( y b )2 ( z c )2 R Phương trình x y z2 2ax 2by 2cz d với a2 b2 c d phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) bán kính R = a2 b2 c d VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép tốn vectơ khơng gian Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: a 2i j ; b 7i 8k ; c 9k ; d 3i j 5k Baøi Cho: a 2; 5; 3, b 0; 2; 1, c 1; 7; Tìm toạ độ vectơ u với: 1 a) u 4a b 3c 1 Baøi Tính góc hai vectơ a b : a) a 4; 3;1, b 1; 2; 3 d) u 3a b 5c 4 2 c) u 4b c b) u a 4b 2c e) u a b 2c b) a 2; 5; , ThuVienDeThi.com 3 2 f) u a b c b 6; 0; 3 e) a (4; 2; 4), b (2 2; 2 2; 0) f) a (3; 2;1), b (2;1; 1) Baøi Cho hai vectơ a , b Tìm c a , b : a) a 3; 1; 2 , b 5;1; b) a 6; 2; , b 6; 33;10 c) a 2; 3;1, b 5; 6; Baøi Cho hai vectơ a , b Tìm c a , b : a) a 1; 1;1, b 0;1; b) a 4; 3; , b 2; 1; c) a 3;1; 2 , b 1;1;1 d) a 4; 2; , b 3;1; 3 e) a (2; 3;1), b (1; 2; 0) f) a (5; 4; 8), b (2; 3; 0) g) a (2; 4; 3), b (1; 2; 2) h) a (2; 4; 3), b (1; 3; 2) VẤN ĐỀ 2: Xác định điểm không gian Chứng minh tính chất hình học Diện tích – Thể tích A, B, C thẳng hàng AB, AC phương AB k AC AB, AC ABCD hình bình hành AB DC A, B, C, D không đồng phẳng AB, AC , AD không đồng phẳng AB, AC AD Baøi Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz a) M(1; 2; 3) b) M(3; 1; 2) c) M(1;1; 3) d) M(1; 2; 1) e) M(2; 5; 7) f) M(22; 15; 7) g) M(11; 9;10) h) M(3; 6; 7) Baøi Cho điểm M Tìm tọa độ điểm M đối xứng với điểm M: Qua gốc toạ độ Qua mp(Oxy) Qua trục Oy a) M(1; 2; 3) b) M(3; 1; 2) c) M(1;1; 3) d) M(1; 2; 1) e) M(2; 5; 7) f) M(22; 15; 7) g) M(11; 9;10) h) M(3; 6; 7) Baøi Cho ba điểm A, B, C Chứng tỏ ba điểm A, B, C tạo thành tam giác Tìm toạ độ trọng tâm G ABC Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành Tính số đo góc ABC Tính diện tích ABC Từ suy độ dài đường cao AH ABC a) A(1; 2; 3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0) b) A(0;13; 21), B(11; 23;17), C (1; 0;19) c) A(3; 4; 7), B(5; 3; 2), C (1; 2; 3) d) A(4; 2; 3), B(2;1; 1), C (3; 8; 7) Baøi Cho bốn điểm A, B, C, D Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD Tính góc tạo cạnh đối diện tứ diện ABCD Tính thể tích khối tứ diện ABCD Tính diện tích tam giác BCD, từ suy độ dài đường cao tứ diện vẽ từ A a) A(2; 5; 3), B(1; 0; 0), C (3; 0; 2), D(3; 1; 2) b) A 1; 0; , B 0;1; , C 0; 0;1, D 2;1; 1 c) A 1;1; , B 0; 2;1, C 1; 0; , D 1;1;1 d) A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0; , D 2; 4; Bài Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Tìm toạ độ đỉnh cịn lại Tính thể tích khối hộp a) A 1; 0;1, B 2;1; , D 1; 1;1, C ' 4; 5; 5 b) A(2; 5; 3), B(1; 0; 0), C (3; 0; 2), A '(3; 1; 2) c) A(0; 2;1), B(1; 1;1), D(0; 0; 0;), A '(1;1; 0) d) A(0; 2; 2), B(0;1; 2), C (1;1;1), C '(1; 2; 1) Baøi Cho bốn điểm S(3; 1; –2), A(5; 3; 1), B(2; 3; –4), C(1; 2; 0) a) Chứng minh SA (SBC), SB (SAC), SC (SAB) ThuVienDeThi.com b) Chứng minh S.ABC hình chóp c) Xác định toạ độ chân đường cao H hình chóp Suy độ dài đường cao SH VẤN ĐỀ 3: Phương trình mặt cầu Để viết phương trình mặt cầu (S), ta cần xác định tâm I bán kính R mặt cầu Dạng 1: (S) có tâm I(a; b; c) bán kính R: (S): ( x a)2 ( y b)2 (z c)2 R Dạng 2: (S) có tâm I(a; b; c) qua điểm A: Khi bán kính R = IA Dạng 3: (S) nhận đoạn thẳng AB cho trước làm đường kính: – Tâm I trung điểm đoạn thẳng AB: xI – Bán kính R = IA = x A xB y yB z z ; yI A ; zI A B 2 AB Dạng 4: (S) qua bốn điểm A, B, C, D (mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD): – Giả sử phương trình mặt cầu (S) có dạng: x y z2 2ax 2by 2cz d (*) – Thay toạ độ điểm A, B, C, D vào (*), ta phương trình – Giải hệ phương trình đó, ta tìm a, b, c, d Phương trình mặt cầu (S) Dạng 5: (S) qua ba điểm A, B, C có tâm I nằm mặt phẳng (P) cho trước: Giải tương tự dạng Bài Tìm tâm bán kính mặt cầu sau: a) x y z2 x y b) x y z2 x 8y 2z c) x y z2 x y 4z d) x y z2 x y 2z 86 e) x y z2 12 x y 6z 24 f) x y z2 x 12 y 12z 72 g) x y z2 x y 2z h) x y z2 3x y i) 3x 3y 3z2 x 3y 15z k) x y z2 x y 2z 10 Baøi Xác định m để phương trình sau xác định mặt cầu, tìm tâm bán kính mặt cầu đó: a) x y z2 2(m 2) x 4my 2mz 5m b) x y z2 2(3 m) x 2(m 1)y 2mz 2m Baøi Viết phương trình mặt cầu có tâm I bán kính R: a) I (1; 3; 5), R b) I (5; 3; 7), R c) I (1; 3; 2), R d) I (2; 4; 3), R Bài Viết phương trình mặt cầu có tâm I qua điểm A: a) I (2; 4; 1), A(5; 2; 3) b) I (0; 3; 2), A(0; 0; 0) c) I (3; 2;1), A(2;1; 3) d) I (4; 4; 2), A(0; 0; 0) e) I (4; 1; 2), A(1; 2; 4) Baøi Viết phương trình mặt cầu có đường kính AB, với: a) A(2; 4; 1), B(5; 2; 3) b) A(0; 3; 2), B(2; 4; 1) c) A(3; 2;1), B(2;1; 3) d) A(4; 3; 3), B(2;1; 5) e) A(2; 3; 5), B(4;1; 3) f) A(6; 2; 5), B(4; 0; 7) Baøi Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD, với: a) A 1;1; , B 0; 2;1, C 1; 0; , D 1;1;1 b) A 2; 0; , B 0; 4; , C 0; 0; , D 2; 4; c) A(2; 3;1), B(4;1; 2), C (6; 3; 7), D(5; 4; 8) d) A(5; 7; 2), B(3;1; 1), C (9; 4; 4), D(1; 5; 0) Bài Viết phương trình mặt cầu qua ba điểm A, B, C có tâm nằm mặt phẳng (P) cho trước, với: a) A(1; 2; 0), B(1;1; 3), C (2; 0; 1) ( P ) (Oxz) b) A(2; 0;1), B(1; 3; 2), C (3; 2; 0) ( P ) (Oxy ) ThuVienDeThi.com ... a2 b2 c d VẤN ĐỀ 1: Các phép toán toạ độ vectơ điểm – Sử dụng công thức toạ độ vectơ điểm không gian – Sử dụng phép toán vectơ khơng gian Bài Viết tọa độ vectơ sau đây: ... B, C, D không đồng phẳng AB, AC , AD không đồng phẳng AB, AC AD Baøi Cho điểm M Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz Trên trục tọa độ: Ox,... giác Tìm toạ độ trọng tâm G ABC Xác định điểm D cho ABCD hình bình hành Tính số đo góc ABC Tính diện tích ABC Từ suy độ dài đường cao AH ABC a) A(1; 2; 3), B(0; 3; 7), C (12; 5; 0)