Toán học lớp 12 Bài tập phần: Nguyên hàm23540

 Định nghĩa: NGUYÊN HÀM  f x  dx  F x   C  F ' x   f x  T T Nguyên hàm hàm số đơn giản thường gặp 1a 2 a 3a  dx=  1.dx=x+C 1b x 1 + C  1 1  x dx=  x +C   x dx= 3c x 4 a   1 +C 2x  k.dx=kx + C với k số thực ax+b  2b  ax+b  dx= + C a  1 1 3b  dx=  + C a ax+b ax+b   1  1 + C n  1 x n 1 3d x  x dx= ln x +C 4b  ax+b dx= a ln ax+b 5a  e dx= e 5b e 6a  sinxdx =  cosx + C 6b 7 a  cosxdx= 7b 8a  cos x dx= tanx + C 9 a  sin x dx=  cotx + C dx=  x x + C sinx + C 2 8b 9b n dx=  1 x    x  / dx= eax+b + C a  sin ax+b dx=  a cos ax+b  + C  cos ax+b dx= a sin ax+b  + C 1  cos2 ax+b  dx= a tan ax+b  + C Đạo hàm hàm lượng giác / s inx   cosx cosx  /   s inx cos2 x / cotx    sin x t anx  / x Đạo hàm hàm lơgarít / lnx   x /  s inu   u '.cosu / cosu   u '.s inu /  / x log a x  u ' cos x    sin x / x /  1 u' cos2u u' / cotu    sin u e   e Tổng quát: a   a ln a Tổng quát: u    u / Đạo hàm hàm mũ x /  k f dx  k  f dx t anu   sin x   sin x  sin ax+b  dx=  a cot ax+b  + C  /  1 x.ln a + C ax+b Tính chất:    f  g  h dx   f dx   g.dx   h.dx Đạo hàm hàm lũy thừa   1 e   u '.e a   a ln a.u ' u / u u / u  u' u log a u   lnu  / / ThuVienDeThi.com u' u.ln a BÀI TẬP NGUYÊN HÀM Dạng 1: Tính nguyên hàm theo công thức:  f ( x )dx  F ( x )  C Phương pháp:   f ( x )  g x  dx   f x dx   g x dx  Áp dụng công thức:   f ( x )  g  x  dx   f  x dx   g  x dx    kf ( x )dx k  f ( x)dx  Áp dụng công thức bảng nguyên hàm Bài tập tham khảo tập luyện tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số:  x  3x     x  x  5dx     3x  x   dx   cos x sin x  3x x  tan x+2cotx+   9x  C 1    x  x x  x  dx x         x  x x  x  x 3 dx        x  x  x  x 3 dx   5 x x x x 2      C  5 2 2 1       dx   cos x sin x     x  dx 2   sin x cos x      x   x x dx x   x x dx  x x x dx  x x+ x  x dx  x   x-1 x dx   x  x  1x dx x     x  x  dx  e  x  3dx 2  4sin x  5cos x  1dx x4   2cosx+3sinx-2ln x  e x  x  C  3x  dx   e x  dx x   2 x  3dx  3x  3x  dx x2 x5  x3   5x  C  2sin x  3cos x   x  x  x2 x4 dx  x-2   3-x    x  x  x dx  1-2x  x6 x5 x   C 4  1-2x x  dx  3 x 2dx x 7dx x 9dx ThuVienDeThi.com 3x-1 dx 3x+1      1 dx  3x+1   x  ln 3x   C  x  ln 3x   C 3  2x-1 dx 2x+1 2x-1  dx x-3 x -2x-7  dx x+1  x   e  x  1dx e      x 2  x 2 dx e e     e x  e  x  e x  e 12 x dx 1 12 x  e x  e x  e2 x  e C 1 2 1  e x  e  x  e x  e 12 x  C 2  sin5x.cos2xdx sin x  sin 3x dx 1 1     cos7x- cos3x  +C 2   Dạng 2: Tính nguyên hàm phương pháp đổi biến: Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số sau: 2x  dx x 1 t  x   dt  xdx 2x dt  x  dx   t  ln t  C  ln x   C 2x  dx x2    e  e  e  3dx  sin5x.cos3xdx 2x 3x  sin9x.cos5xdx  cos4x.cos2xdx  sin4x.sin3xdx  2+x  x dx t   x  dt  3x 2dx  dt  x 2dx  2+x  x dx    1-2x  10 2  x 1 t8 t dt  C  38 24  C dx t   x  dt  2dx   dt  dx  1-2x  10 1  x   C 1 t11 t dt    C   2 11 22 11 dx   10   3x dx x3  x3 dx 2-x x2   t  x   t  x   2tdt  xdx 2xdx 2tdt  x    t   2dt  2t  C  x   C 4x dx x3  sinx dx  cosx  1-x  xdx  1+x 2 xdx  1-sinx  cosxdx 3  1+x  dx  1+2x  dx  2-3x  dx ThuVienDeThi.com cosx dx 2+9sinx      sin xcosxdx  2+sin x cosxdx   cos x  sinxdx t  2+9sinx  dt=9cosxdx  dt  cosxdx dt cosx  dt  ln t  C  ln 2+9sinx  C  dx  2+9sinx  t 9 t 9  sin xcosxdx t  sin x  dt=cosxdx  sin xcosxdx   t 3dt  t sin x C  C 4 cosx dx 2-4sinx cosx dx 2sinx+3 cosx dx 9sinx+9 cos6 x sin xdx Dạng 3: Tính nguyên hàm phần:  udv  uv   vdu Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số: u  ax  b Loại 1:  ax+b sin xdx   dv  sin xdx  x sin xdx  2x sin xdx  3x sin xdx  9x sin xdx u  x du  dx   dv  sin xdx  v   cos x  x sin xdx   x cos x   cos xdx   x cos x  sin x  C  2x-3sin xdx u  x  du  2dx   dv  sin xdx  v   cos x  x sin xdx   2 x  3cos x   cos xdx   2 x  3cos x  2sin x  C  x sin 3xdx du  dx u  x    dv  sin 3xdx v   cos 3x  1 1  x sin 3xdx   x cos 3x   cos 3xdx   x cos 3x  sin 3x  C u  ax  b Loại 2:  ax+b co s xdx   dv  cos xdx  x cos xdx u  x du  dx   dv  cos xdx  v  sin x  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C  3x+4 sin xdx  1-2x sin xdx  8-9x sin xdx  2x sin xdx  3x sin 3xdx  x sin xdx  2x cos xdx  3x cos xdx  7x cos xdx ThuVienDeThi.com  9x+1cos xdx u  x  du  9dx   dv  cos xdx  v  sin x  9x+1cos xdx  9 x  1sin x  9  sin xdx  9 x  1sin x  cos x  C x cos xdx du  dx u  x    dv  cos xdx v  sin x  1 1  x cos xdx  x sin x   sin xdx  x sin x  cos x  C u  ax  b Loại 3:  ax+b e x dx   x dv  e dx   2x+4 cos xdx  1-3x cos xdx  3-7x cos xdx  x cos xdx  3x cos xdx  x cos5 xdx  2xe x dx  7xe x dx  5xe x dx xe x dx u  x du  dx    xe x dx  xe x   e x dx  xe x  e x  C  x x dv  e dx  v  e  2+3x e dx x u   3x du  3dx   x x dv  e dx v  e  2+3x e dx  2  3x e x Loại 4: x  3 e dx  2  3x e  3e  C x x x  2x+3e dx  2-7x e dx  xe3 x dx   xlnx+lnx   8x ln xdx  x ln xdx  4x ln xdx  2x ln xdx  x ln xdx x x u  ln x  ax+b lnxdx  dv  ax  b dx   x ln xdx  du  dx  u  ln x x2 x2  x     xdx x x ln ln    x dx 2 dv  xdx v  x  x2 x2 1 x2  ln x   xdx  ln x   C 2 2 2  x ln xdx  du  dx  u  x ln  x6 x6  x    x ln xdx  ln x   dx  6 x dv  x dx v  x  6 x x6 1 x6  ln x   x dx  ln x   C 6 6 2x ln xdx ThuVienDeThi.com  ln x dx x5  ln x dx x3 ln x dx x4 5ln x dx x7   du  dx u  ln x  u  ln x   x    5 -4 dv  x dx dv  x dx  v= x   4 ln x x -4 x -4 x -4 x -4 x 4 5 dx x dx x x dx x ln ln ln       C  x5   x 4 4 4 4 4 Dạng 4: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước Bước 1: Tìm họ nguyên hàm Bước 2: Thế điều kiện vào tìm số C Bước 3: Thế C vừa tìm vào nguyên hàm bước ta nguyên hàm cần tìm Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  3x  x  biết F(1)=9 Bài giải Ta có: F  x    4 x  3x  x  dx  x  x  x  x  C Vì F(0)=9  4  13  12  2.1  C   1  C   C=10 Vậy: F  x    4 x  3x  x  dx  x  x  x  x  10 Bài 2: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   sin x+x biết F(0)=19 Bài giải Ta có: F  x    sin x+x dx  cosx+ x2 C 02  C  19  1  C  19  C=20 x2 Vậy: F  x    sin x+x dx  cosx+  20  Bài 3: Tìm nguyên hàm hàm số f  x    x , biết x= nguyên hàm -1 sin x Vì F(0)=19  cos0+ Bài giải   Ta có: F  x      x dx   cot x+x  C  sin x   Vì x= nguyên hàm -1:   2  Nên F      cot     C  1  C   4 16 4 2   Vậy: F  x      x dx   cot x+x  16  sin x  Bài 4: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  x  biết F(1)=3  biết F(0)=3 cos2 x Bài 6: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x  e x  , biết x=ln2 ngun hàm Bài 5: Tìm ngun hàm hàm số f  x   Bài 7: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x   x biết F(1)=3 BIẾN ĐỔI ÁP DỤNG BẢNG NGUYÊN HÀM Câu Tìm nguyên hàm định nghĩa ThuVienDeThi.com I=  (6 x  x  x )dx I=  (   )dx x x x I=  (2e x  )dx x Câu Tìm nguyên hàm định nghĩa I=  ( e12 x  x  1)dx  (3cos x  2s inx )dx I=  (cos 3x  s in2x )dx Biến đổi áp dụng bảng nguyên hàm Câu Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi I=   x  1 x 2dx I=  x  x  x 2dx I=  sin xdx I=  x  3dx I=  I=  x  7dx I=   I=  (cos 3x.s in2x )dx cos2 xdx Câu Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi   4xdx  6xdx Câu Tìm nguyên hàm phương pháp biến đổi 2x  4x  dx dx I=  I=  x3 6x  x2 x2  x  dx dx I=   x2 x2 ĐỔI BIẾN SỐ Câu Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số x3 x6 I=  I=  dx dx x 1 x 7 Câu Tìm nguyên hàm phương pháp đổi biến số x3 x6 I=  I=  dx dx x4  x7  Câu Tìm nguyên hàm I=  x x  4dx I=  3x x2 dx 4x  I=   7xdx I=  I=  2x  dx 8x  3x  dx x4 I=  x dx x 2 I=  I=  x x  7dx I=  I=  x2 x3  dx I=  x x  1dx I=  3x x  1dx dx 19 I=  (sin x  1) cos xdx 3x  4 x  3x I=  dx x  x3  s inx 11 I=  dx cos x  s inx 14 I=  dx cosx  cos x 17 I=  dx sin x  cos xdx 20 I=  (sin x  1) 22 I=  e e2 x 23 I=  x dx e 1 24 I=  cos3 xdx 25 I=  sin x  etgx 16 I=  dx cos2 x 27 I=  x  1.2 xdx 28 I=  x  2.4 xdx 29 I=  x  2.3x 2dx 30 I=  x  4.6 x 2dx x 1 dx x  3x dx x2 I=  x x  1dx 10 x  11x10 dx x10  x11  cos x 13 I=  dx sin x  cos x 16 I=  dx sin x  10 I=  sin x cos xdx 3 x6  dx x7  x  cos x 12 I=  dx sin x  s in2x 15 I=  dx cos x  I=  18 I=  sin x.cos xdx 21 I= 3x 2dx  ( x  1)2 e x dx ex  ThuVienDeThi.com NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN Câu Tìm nguyên hàm I=  x.cos xdx I=  ( x  2).cos xdx I=  (2 x  1).cos xdx I=  x.cos(2 x  1)dx I=  x 1  cosx dx I=  x 2  cos2x dx Câu Tìm nguyên hàm I=  x.sin xdx I=  (2 x  1).s inxdx I=  ( x  1).s inxdx I=  x.s inx(2 x  1)dx I=  x 1  sinx dx I=  x 3  sin2x dx Câu Tìm nguyên hàm I=  x.e x dx I=  (2 x  1).e x dx I=  ( x  1).e x dx I=  xe x 1dx I=  x 1  e x dx I=  x 4  e x dx Câu Tìm nguyên hàm I=  3x.ln xdx I=  3x.ln xdx I=  x.ln(2 x  1)dx I=  (2 x  1).ln xdx I=  x ln xdx I=  x 3.ln xdx ThuVienDeThi.com ...  g  x dx    kf ( x )dx k  f ( x)dx  Áp dụng công thức bảng nguyên hàm Bài tập tham khảo tập luyện tập: Bài 1: Tìm nguyên hàm hàm số:  x  3x     x  x  5dx     3x  x ... 16  sin x  Bài 4: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   x  x  biết F(1)=3  biết F(0)=3 cos2 x Bài 6: Tìm nguyên hàm hàm số f  x   e x  e x  , biết x=ln2 nguyên hàm Bài 5: Tìm nguyên hàm hàm... Dạng 4: Tìm nguyên hàm thỏa điều kiện cho trước Bước 1: Tìm họ nguyên hàm Bước 2: Thế điều kiện vào tìm số C Bước 3: Thế C vừa tìm vào nguyên hàm bước ta nguyên hàm cần tìm Bài 1: Tìm nguyên hàm