Tổng hợp bài tập về Mũ, logarit Giải tích 1223416

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Chuyên đề MŨ, LOGARIT : PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  Vấn đề 1: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ Dạng 1: Dạng bản: với < a  b  af(x)  b   f(x)  loga b Dạng 2: Đưa số: af(x)  ag(x) (1)  Nếu < a  1: (1)  f(x) = g(x) a    Nếu a thay đổi: (1)   (a  1)  f(x)  g(x)  t  Dạng 3: Đặt ẩn phụ: Đặt t = ax, t > 0; giải phương trình   g(t)  Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT 0  a  Điều kiện tồn loga f(x)  f(x)   0  a  Daïng 1: loga f(x)  b   b  f(x)  a 0  a   Dạng 2: Đưa số: loga f(x)  loga g(x)  g(x)  f(x)  g(x)  Dạng 3: Đặt ẩn phụ Đặt t = logax sau giải phương trình đại số theo t Dạng 4: Đoán nghiệm chứng minh nghiệm B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011   Giải phương trình: log2  x2  log    x   x   (x  R) Giaûi   log2  x2  log    x   x   Điều kiện: –1 x  288 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi    log2  x2  log2    x   x    x2   i H c V NH VI N   x   x (*) Với –1 x  hai vế (*) không âm nên bình phương hai vế (*) ta  được: (*)   x2 Đặt t =      16   x2   x2    32   x2  (1)  x2  t2 = – x2  x2 = – t2 , (1) trở thành:   t2   32 1  t   t4 + 14t2 – 32t + 17 =  (t – 1)(t3 – t2 +15t – 17) =  (t – 1)2(t2 + 2t + 17) =  t = 1  x2 =  x = (Thoûa điều kiện –1 x  1) Do (1)  Vậy, phương trình cho có nghiệm x = Bài 2: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 x2 2x 3 Giải bất phương trình 4x  3.2x  41 x2 2x 3 0 Giaûi 4x  3.2x   3.2 Đặt t = x2 2x 3  41 x2 2x 3 x x2 2x 3 x x2 2x 3  4.22( x2 2x 3   22x  3.2x.2 x2 2x 3 x) 0 0 > (*) Do bất phương trình cho tương đương: x  x   x  2   x2 2x 3 (1) (1) thaønh – 3t – 4t2 >  4t2 + 3t – <  1  t    4.22 x2 2x 3  x < = 2-2 x2  2x   x  1 i    3x z 2 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Giải phương trình 42x x 2  2x  42 x 2 4x 4  2x (x  ) Giaûi 42x x2 (*)  42 2 x3 x2  42 x 2 2 x3  4x 4 (*); Điều kieän : x   (24x4  1)  2x (24x4  1)   (24x4  1)(42 x 2  2x )  Do phương trình (*) có hai trường hợp  24x4   4x    x  (nhận) 289 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  24  x 2  2x  x3  x    x3   2( x   2) 2(x  2)  (x  2)(x2  2x  4)  x2 2  x   nhaä n    2 x  2x   (1)  x2 2 Nhận xét: Phương trình (1) có: VT = x2  2x   (x  1)2   ; VP = x2 2 1 Suy phương trình (1) vô nghiệm Vậy : (*) có hai nghiệm x = 1; x = Bài 4: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2008 Giải phương trình log22 (x  1)  6log2 x    Giaûi log22 (x  1)  6log2 (1) x 1   Điều kieän x > 1 (1)  log22 (x  1)  3log2 (x  1)    log (x  1)  x   x      x   x   log2 (x  1)  Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Giải phương trình log2x – 1(2x2 + x – 1) + logx + 1(2x – 1)2 = Giaûi 0  2x     2x  x   x  Điều kiện:     x 1 0  x   x  (2x  1)2   log2x1(2x2  x  1)  logx1(2x  1)2   log2x – 1(2x – 1)(x + 1) + logx + 1(2x – 1)2 =  + log2x – 1(x + 1) + 2logx + 1(2x – 1) = Đặt: t  log2x1 (x  1)  logx 1 (2x  1)  Ta có phương trình ẩn t laø:  t  1  log2x1 (x  1) t t    t  3t     t t  290 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi i H c V NH VI N  Với t =  log2x – 1(x + 1) =  x + = 2x –  x = (nhận) x   Với t =  log2x – 1(x + 1) =  (2x – 1) = x +   x   Nghiệm phương trình là: x = x  (loạ i) Bài 6: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2007 Giải phương trình: log2 (4x  15.2x  27)  log2 x 4.2  0 Giaûi x Điều kiện: 4.2  > Phương trình cho tương đương với log2(4x + 15.2x + 27) = log2(4.2x  3)2  5.(2x)2  13.2x  =  x    loaï i     x 2  Do 2x > neân 2x =  x = log23 (thỏa mãn điều kiện) Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2007 Giải phương trình: (  1)x  (  1)x  2  Giải Đặt   1 x  t (t  0), phương trình trở thành: t   2   t   1, t   t Với t   ta có x = Với t   ta coù x = 1 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x Giải phương trình : 2x x  4.2x  22x   Giải Phương trình cho tương đương với: x 22x (2x x  1)  4(2x  1)   (22x  4)(2x  22x    22x  22  x   2x x    2x x x  1)    x2  x   x  0, x  Vậy phương trình cho có hai nghiệm x = 0, x = 291 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: 3.8x  4.12x  18x  2.27x  Giải 3x 2 Phương trình cho tương đương với:   3 2 Đặt t =   3 x 2x x 2      (1) 3 (t > 0), phương trình (1) trở thành 3t3 + 4t2  t  = (vì t > 0)  (t + 1)2 (3t  2) =  t = Với t = 2  4  3 x 2 2    hay x = 3   Baøi 10: ĐỀ DỰ BỊ   Giải phương trình: log5 5x    x Giaûi x Điều kiện: – > (a)  Dễ thấy x = nghiệm (1)    VT: f(x) = log5 5x  laø haøm số đồng biến  VP: g(x) = – x hàm số nghịch biến Do x = nghiệm phương trình Bài 11: x Giải phương trình 2x  22xx  Giải Đặt t  2 x 2x Vậy 2x x2  x (t > 0)  22xx   t  x  t  1 (loaï i)   t  3t     t  t = (nhaä n) = 22  x2  x  =  x = 1  x = Bài 12: Cho phương trình log32 x  log32 x   2m   (2): (m tham số) 1/ Giải phương trình (2) m = 2/ Tìm m để phương trình (2) có nghiệm thuộc đoạn 1 ;  292 ThuVienDeThi.com 3  TT Luy n Thi i H c V NH VI N Giaûi 1/ Khi m = phương trình (2) trở thành log32 x  log32 x    Điều kiện x > Đặt t = log32 x   (2)  t2 + t  =  t =  t = 3 (loaïi)  t =  log3x    x = 3 2/  x  3   log32 x     t  Phương trình (2) có nghiệm thuộc 1;  3   2m = t2 + t  = f(t) có nghiệm t  [1, 2] Vì f tăng [1, 2] nên ycbt  f(1)  2m  f(2)   m  BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT  Vấn đề 2: A PHƯƠNG PHÁP GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH MŨ af(x)  ag(x) (1) Neáu a > 1: (1)  f(x) > g(x) Neáu < a < 1: (1)  f(x) < g(x) a  0; a  Tổng quát:  af(x)  ag(x)   (a  1)(f(x)  g(x))     a   af(x)  ag(x)    (a  1)  f(x)  g(x)  BẤT PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT loga f(x) > loga g(x) (1) g(x)   Neáu a > : (1)   f(x)  g(x)  Neáu < a < f(x)  : (1)   g(x)  f(x) B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2008  x2  x  Giải bất phương trình: log0,7  log6 0  x    293 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải x  x 0   x4 Điều kiện:  x2  x  log  x    x2  x  Bất phương trình tương đương với log0,7  log6   log0,7  x    x2  x x2  x x2  5x  24 1 6 0 x4 x4 x4  4 < x < 3 hay x > (1)  log6 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Giải bất phương trình: log x2  3x  0 x Giải Điều kiện: x  3x  0 x Bất phương trình tương đương với log 2 (1) x2  3x   log 1 (1) x 2   x  3x   x  3x  0 0     x x     x  3x   x  4x  1 0   x x  (x2  3x  2)x     0  x   x  (x  4x  2)x     x     x   x       x  1  x   Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2007 Giải bất phương trình: log3 (4x  3)  log (2x  3)  Giaûi (4x  3)2 Điều kiện: x  Bất phương trình cho  log3 2 2x  294 ThuVienDeThi.com (1) TT Luy n Thi i H c V NH VI N x3 Kết hợp điều kiện ta nghiệm bất phương trình là:  x   (4x  3)2  9(2x  3)  16x2  42x  18    Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Giải bất phương trình: log5 (4x  144)  4log5   log5 (2x2  1) Giải Bất phương trình cho tương đương với log5 (4x  144)  log5 16   log5 (2x2  1) (1) (1)  log5 (4x  144)  log5 16  log5  log5 (2x2  1)  log5 (4x  144)  log5[80(2x2  1)]  4x  144  80(2x2  1)  4x  20.2x  64    2x  16   x  Baøi 5: ĐỀ DỰ BỊ   Giải phương trình: log5 5x    x Giải x Điều kiện : – > (a)  Để thấy x = nghiệm (1)    VT : f(x) = log5 5x  laø hàm số đồng biến  VP : g(x) = – x hàm số nghịch biến Do x = nghiệm phương trình Bài 6:   Giải bất phương trình: logx log3 9x  72     Giaûi 0  x    Điều kiện 9x  72   x log3  72    x  log9 73  Bất phương trình  log3  9x  72   x (Vì x > log9 73  1)  9x  3x  72     3x   x  Kết hợp với điều kiện ta log9 73 < x  295 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thường sử dụng phương pháp biến đổi phương trình hệ, sau dùng phương pháp để tìm nghiệm B.ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 log2 (3y  1)  x  Giải hệ phương trình:  (x, y  4x  2x  3y2 ) Giải Điều kiện: 3y – >  2x  3y   2x log2 (3y  1)  x  y         Ta coù  x x 4   3y 4x  2x  3y2  x x 4   3y  2x    2x  2x   y  y  y   3        x  x  x x x x x 3(4  )  (2  1) 2.4    (2  1)(2  )    2x  x  1 y        (nhaän)  x y   2   Baøi 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 x2  4x  y    Giải hệ phương trình:   2 log2 (x  2)  log y0 Giaûi  x  4x  y     2 log2 (x  2)  log (1) y  (2) ; Điều kieän: x > , y > y  x  (2)  (x  2)2  y2   y   x   x  (loaï i) y  x  2: (1)  x2  3x    x   y  296 ThuVienDeThi.com TT Luy n Thi  i H c V NH VI N  x  (loaï i) y   x: (1)  x2  5x      x   y  2 (loaï i) x  Vậy hệ có nghiệm  y  Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI A NAÊM 2009   log x2  y2   log  xy   Giải hệ phương trình:   x,y  3x2 xy  y2  81   Giải Với điều kiện xy > (*), hệ cho tương đương: 2  x  y x  y  x  y  2xy    2  y  2  y  x  xy  y  Kết hợp (*), hệ có nghiệm: (x; y) = (2; 2) vaø (x; y) = (2; 2) Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Chứng minh với a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm nhất: ex  ey  ln(1  x)  ln(1  y)    y  x  a Giải Điều kiện: x, y > 1 Hệ cho tương đương với: ex a  ex  ln(1  x)  ln(1  a  x)  (1)   (2)  y  x  a Hệ cho có nghiệm phương trình (1) có nghiệm khoảng (1; + ) Xét hàm số f(x) = exa  ex  ln(1  x)  ln(1  a  x) với x > 1 Do f(x) liên tục khoảng (1; +) lim f(x)  , x1 lim f(x)   x nên phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (1; + ) 1 Mặt khác: f '(x)  exa  ex   1 x 1 a  x a  0, x >  = ex (ea  1)  (1  x)(1  a  x)  f(x) đồng biến khoảng (1; + ) Suy phương trình f(x) = có nghiệm khoảng (1; + ) Vậy hệ cho có nghiệm 297 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2005   x 1   y  Giải hệ phương trình:   3log9 (9x )  log3 y  Giaûi  (1) x   x 1   y  Điề u kiệ n :   0  y  (2)  3log9 (9x )  log3 y  (2)  3(1 + log3x)  3log3y =  log3x = log3y  x = y Thay y = x vaøo (1) ta coù x    x   x    x  (x  1)(2  x)   (x  1)(2  x)   x  1, x = Kết hợp với điều kiện (*) hệ có hai nghiệm (x; y) = (1; 1) (x; y) = (2; 2) Bài 6: ĐỀ DỰ BỊ - ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2005 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 2x  x 1  1  72 x 1  2005x  2005 7   2  x   m   x  2m   Giải Điều kiện x  1 Ta có : (1)  72x x 1  72 x 1  2005(1  x) 2x x1  Xeùt 1  x   2x   nên (1) x  [1; 1]  72 x 1   2005(1  x)  Xeùt x   2x   72x x1  72 x1   2005(1  x) nên (1) hiển nhiên sai Do (1)  1  x   Vậy hệ có nghiệm khi: (2) có nghieäm  [1; 1]  x2 – 2x +  m(x - 2) có nghiệm x  [1; 1]  x2  2x   m ( x   0) có nghiệm x  [1; 1] x2 x2  2x  , x  [1; 1] x2 Xét hàm f(x) = f (x)  x f'(x) f(x) x2  4x   x  2  1 + 2 , f’(x) =  x   2   2 298 ThuVienDeThi.com  2 + + TT Luy n Thi i H c V NH VI N Dựa vào bảng biến thiên hệ có nghiệm  2 ≤ m Bài 7: ĐỀ DỰ BÒ 1  log  y  x   log4 y  Giải hệ phương trình:  x2  y2  25  Giaûi  y  Điều kiện  y  x   log  y  x   log y  Heä   4 x2  y2  25   y  x  y 4  x2  y2  25   4  y= x  x  x =   y = x (nhậ n)   (loạ i)      y  y  4 x2  16 x2  25 x2     Baøi 8: 23x  5y2  4y  Giải hệ phương trình:  4x  2x 1 y  x  2 Giaûi 23x  5y2  4y 3x   2  5y  4y x x    4   x y y    x   2 y2  5y       x  y  Bài 9: ĐỀ DỰ BỊ  5y  4y  y  x  y  x = x =    y = y =  x  | y | 3  Giải hệ phương trình:    log4 x  log2 y  Giải x  Điều kiện:  y  1  2 (2)  log4x = log4y2  x = y2 Thay x = y2 vaøo (1) ta : y2 – 4y + =  y 1 y   x   (do y  1) y   x   y    Vậy hệ có cặp nghiệm (1; 1) (9; 3) 299 ThuVienDeThi.com ... x = 0, x = 291 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 9: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Giải phương trình: 3.8x  4.12x  18x  2.27x  Giải 3x 2 Phương trình cho tương đương với:...    3x   x  Kết hợp với điều kiện ta log9 73 < x  295 ThuVienDeThi.com Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Vấn đề 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ LOGARIT A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI Thường sử dụng...   1, t   t Với t   ta có x = Với t   ta có x = 1 Bài 8: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 x Giải phương trình : 2x x  4.2x  22x   Giải Phương trình cho tương đương với: x 22x (2x x  1)