Các dạng Toán về quan hệ vuông góc trong không gian22797

Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian MỤC LỤC A MỞ ĐẦU I Lời nói đầu .2 II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa 2.2 Các định lý thường sử dụng B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng .5 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc II Các dạng toán góc 14 2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng .14 2.2 Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng .16 2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng 18 III Các dạng toán khoảng cách 22 3.1.Dạng 1: Khoảng cách từ điểm tới mặt phẳng 22 3.2.Dạng 2: Khoảng cách hai đường thẳng chéo .28 C KẾT LUẬN 37 TÀI LIỆU THAM KHẢO 38 ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian A MỞ ĐẦU I Lời nói đầu Trong mơn tốn trường phổ thơng phần hình học khơng gian giữ vai trị, vị trí quan trọng Ngoài việc cung cấp cho học sinh kiến thức, kĩ giải tốn hình học khơng gian, cịn rèn luyện cho học sinh đức tính, phẩm chất người lao động mới: cẩn thận, xác, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng óc thẩm mĩ, tư sáng tạo cho học sinh Tuy nhiên trình giảng dạy nhận thấy học sinh lớp 11 e ngại học mơn hình học khơng gian em nghĩ trừu tượng, thiếu tính thực tế Chính mà có nhiều học sinh học yếu mơn học này, phần giáo viên gặp khơng khó khăn truyền đạt nội dung kiến thức phương pháp giải dạng tập hình học khơng gian Hình học khơng gian phần quan trọng nội dung thi đại học Bộ giáo dục, học sinh khơng nắm kỹ em gặp nhiều lúng túng làm hai câu hình học khơng gian đề thi đại học Qua nhiều năm giảng dạy môn học đúc kết số kinh nghiệm nhằm giúp em tiếp thu kiến thức tốt hơn, từ mà chất lượng giảng dạy học tập học sinh ngày nâng lên Do phần nội dung kiến thức nên nhiều học sinh cịn chưa quen với tính tư trừu tượng nó, nên tơi nghiên cứu nội dung nhằm tìm phương pháp truyền đạt phù hợp với học sinh, bên cạnh nhằm tháo gỡ vướng mắc, khó khăn mà học sinh thường gặp phải với mong muốn nâng dần chất lượng giảng dạy nói chung mơn hình học khơng gian nói riêng Từ lý tơi khai thác, hệ thống hóa kiến thức, tổng hợp phương pháp thành chuyên đề: “Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian ” II Cơ sở lý thuyết 2.1 Các định nghĩa +) Định nghĩa 1: Hai đường thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a  b  (a, b)  900 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng nằm mặt phẳng a  ( )  b  ( ) : a  b +) Định nghĩa 3: Hai mặt phẳng gọi vng góc với góc chúng 900 ( )  (  )  (( ),(  ))  900 +) Định nghĩa 4: Góc hai đường thẳng a b góc hai đường thẳng a’ b’ qua điểm song song (hoặc trùng) với a b +) Định nghĩa 5: Nếu đường thẳng a vng góc với mặt phẳng (α) ta nói góc đường thẳng a mặt phẳng (α) 900 Nếu đường thẳng a không vng góc với mặt phẳng (α) góc a hình chiếu a’ mặt phẳng (α) gọi góc đường thẳng a mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 6: Góc hai mặt phẳng góc hai đường thẳng vng góc với hai mặt phẳng +) Định nghĩa 7: Khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng (α) (hoặc đến đường thẳng ∆) khoảng cách hai điểm M H, H hình chiếu vng góc M mặt phẳng (α) (trên đường thẳng ∆) +) Định nghĩa 8: Khoảng cách đường thẳng a đến mặt phẳng (α) song song với a khoảng cách từ điểm a đến mặt phẳng (α) +) Định nghĩa 9: Khoảng cách hai mặt phẳng song song khoảng cách từ điểm mặt phẳng đến mặt phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian 2.2 Các định lý thường sử dụng a b   Định lý 1: a, b  ( P )   d  ( P ) d  a, d  b  a  ( P)   Định lý 2: d  ( P )   d  a a  ( P)  Định lý 3: + Định lý 4: d  ( P)    d '  ( P) d '/ / d  + ( P) / /(Q)    d  (Q) d  ( P)  + d / /( P )   d' d d '  ( P)  d  ( P)    ( P)  (Q) d  (Q)  ( P)  (Q)  ( P)  (Q)    Định lý 5:   d  (Q) d  ( P)   d  ( P)  (Q)     Định lý 6: ( P )  ( R )     ( R)  (Q)  ( R)  ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian B NỘI DUNG I Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng, đường thẳng vng góc với đường thẳng, mặt phẳng vng góc với mặt phẳng 1.1 Dạng 1: Chứng minh đường thẳng vng góc với mặt phẳng 1.1.1 Phương pháp: Ta thường vận dụng định lý để chứng minh Hoặc sử dụng định lý 3, định lý 5, định lý số trường hợp đặc biệt 1.1.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giácvvng C, SA  ( ABC ) a) Chứng minh rằng: BC  ( SAC ) b) Gọi E hình chiếu vng góc A SC Chứng minh rằng: AE  ( SBC ) c) Gọi mp(P) qua AE vng góc với (SAB), cắt SB D Chứng minh rằng: SB  ( P) d) Đường thẳng DE cắt BC F Chứng minh rằng: AF  ( SAB ) S Giải: a) Ta có: BC  AC ( gt ) (1) D Mặt khác, SA  ( ABC )    SA  BC (2) BC  ( ABC )  H E B A Từ (1) (2) suy ra: BC  ( SAB ) b) Ta có: AE  SC (3) (gt) C Theo a) BC  ( SAB )  AE  BC (4) Từ (3) (4) suy ra: AE  ( SBC ) F ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian c) Ta thấy: ( P )  ( ADE ) Theo b) AE  ( SBC )  BC  AE (5) Trong mp(ADE) kẻ EH  AD, H  AD Vì ( ADE )  ( SAB)   ( ADE )  ( SAB)  AD   EH  ( SAB)  SB  EH (6)  EH  AD  Từ (5) (6) suy ra: SB  ( ADE ) hay SB  ( P ) d) Từ SA  ( ABC )    AF  SA (7) AF  ( ABC )  Theo c) SB  ( ADE )  AF  SB (8) Từ (7) (8) suy ra: AF  ( SAB ) Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD hình vng, tam giác SAB tam giác đều, ( SAB)  ( ABCD) Gọi I, F trung điểm AB AD Chứng minh rằng: FC  ( SID) Giải: Ta có: S SI  AB   ( SAB)  ( ABCD)   SI  ( ABCD)  SI  ( SAB)   SI  CF (1) F Mặt khác, xét hai tam giác vng ADI DFC có: AI=DF, AD=DC Do đó, AID  DFC từ ta có:   ฀ ฀   F1  D2  90 2 ฀  900  I฀1  D  ฀  FHD  900 ฀ I฀1  F ฀ C ฀ D D A H I B C F A D 1 H I Hay CF  ID (2) ThuVienDeThi.com B C Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian Từ (1) (2) suy ra: FC  ( SID) 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc có hình học phẳng 1.2.2 Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: (D-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thang vng A B, SA  ( ABCD) , AD=2a, AB=BC=a Chứng minh rằng: tam giác SCD vng S Giải: Ta có: SA  ( ABCD)    SA  CD(1) CD  ( ABCD)  I D A + Gọi I trung điểm AD Tứ giác ABCI hình vng Do đó, ฀ACI  450 (*) Mặt khác, CID tam giác vuông cân I nên: C B ฀  450 (*) BCI ACD  900 hay AC  CD (2) Từ (*) (**) suy ra: ฀ Từ (1) (2) suy ra: CD  ( SAC )  CD  SC hay ∆SCD vng C Ví dụ 2: (B-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vuông, E điểm đối xứng D qua trung điểm SA Gọi M, N trung điểm AE BC CMR: MN  BD S E Giải: Gọi I, P trung điểm AB SA, O giao điểm AC BD Ta có: P M IN / / AC    BD  IN (1) AC  BD  A I B ThuVienDeThi.com D O N C Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Mặt khác, IM / / BE    IM / / PO(*) BE / / PO  Mà PO  BD(**) (vì: BPD tam giác cân P O trung điểm BD) Từ (*) (**) ta có: BD  IM (2) Từ (1) (2) ta có: BD  ( IMN )  BD  MN Các điểm cần ý giải ví dụ 2: + Chọn mp(IMN) với I trung điểm AB ( BD  AC nên chọn mp chứa MN vng góc với BD mp(IMN)) + Sử dụng giả thiết trung điểm để chứng minh song song + Sử dụng định lý: a / /b  b c a  c Ví dụ 3: (A-2007) Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng, tam giác SAD đều, ( SAD)  ( ABCD) Gọi M, N, P trung điểm SB, BC CD Chứng minh rằng: AM  BP S Giải: Gọi I giao diểm AN BP, H trung điểm AD, K giao điểm AN BH M Xét hai tam giác vuông ABN BCP có: AB=BC, BN=CP Suy ra, ABN  BCP A ฀ ฀ , ฀ANB  BPC ฀ mà  BAN  CBP ฀ ฀  ฀ANB  900 BAN  ฀ANB  900  CBP hay AN  BP (1) B K I H D P N C Vì ∆SAD nên: SH  AD   ( SAD)  ( ABCD)   SH  BP(*) BP  ( ABCD)  ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian Mặt khác, tứ giác ABNH hình chử nhật nên K trung điểm HB hay MK / / SH (**) Từ (*) (**) suy ra: BP  MH (2) Từ (1), (2) suy ra: BP  ( AMN )  BP  AM 1.3 Dạng 3: Chứng minh hai mặt phẳng vng góc 1.3.1 Phương pháp: Sử dụng định lý 1.3.2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình thoi , SA=SC Chứng minh rằng: S ( SBD)  ( ABCD) Giải:+ Ta có: AC  BD (1) (giả thiết) D + Mặt khác, SO  AC (2) (SAC tam giác cân A O trung điểm AC nên SO đường cao tam giác) + Từ (1) (2) suy ra: AC  ( SBD) mà C O A B AC  ( ABCD) nên ( SBD)  ( ABCD) Ví dụ 2: (B-2006) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB=a, AD  a , SA  ( ABCD) Gọi M trung điểm AD, I giao điểm AC BM Chứng minh rằng: ( SAC )  ( SMB ) S Giải: + Ta có: SA  ( ABCD)  SA  BM (1) + Xét tam giác vng ABM có: tan ฀AMB  AB  Xét tam giác vuông AM A M D I B ThuVienDeThi.com C Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian ฀ ))  cot ฀AIM  cot(1800  ( ฀AMB  CAD CD ฀ )0 ฀ ACD có: tan CAD Ta có:  cot( ฀ AMB  CAD   AD  ฀AIM  900 Hay BM  AC (2) + Từ (1) (2) suy ra: BM  ( SAC ) mà BM  ( SAC ) nên ( SAC )  ( SMB ) 1.4 Bài tập: Bài tập 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a Gọi I trung điểm BC, D điểm đối xứng với A qua I, SD  ( ABC ), SD  a Chứng minh rằng: a) ( SBC )  ( SAD) b) ( SAB )  ( SAC ) Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông tâm O SA  (ABCD) Gọi H, I, K hình chiếu vuông góc A SB, SC, SD a) CMR: BC  (SAB), CD  (SAD), BD  (SAC) b) CMR: AH, AK vuông góc với SC Từ suy đường thẳng AH, AI, AK nằm mặt phẳng c) CMR: HK  (SAC) Từ suy HK  AI Bài tập 3: Cho tứ diện SABC có tam giác ABC vuông B; SA  (ABC) a) Chứng minh: BC  (SAB) b) Gọi AH đường cao SAB Chứng minh: AH  SC Bài tập 4: Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thoi tâm O Biết: SA = SC, SB = SD a) Chứng minh: SO  (ABCD) 10 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Gọi I, J trung điểm cạnh BA, BC CMR: IJ  (SBD) Bài tập 5: Cho tứ diện ABCD có ABC DBC tam giác Gọi I trung điểm BC a) Chứng minh: BC  (AID) b) Vẽ đường cao AH AID Chứng minh: AH  (BCD) Bài tập 6: Cho tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi vuông góc với Gọi H hình chiếu vuông góc điểm O mp(ABC) Chứng minh rằng: a) BC  (OAH) b) H trực tâm tam giác ABC c) OH  OA  OB  OC d) Các góc tam giác ABC nhọn Bài tập 7: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình vuông cạnh a Mặt bên SAB tam giác đều; SAD tam giác vuông cân đỉnh S Gọi I, J trung điểm AB CD a) Tính cạnh SIJ chứng minh SI  (SCD), SJ  (SAB) b) Gọi H hình chiếu vuông góc S IJ CMR: SH  AC c) Gọi M điểm thuộc đường thẳng CD cho: BM  SA Tính AM theo a Bài tập 8: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vuông cạnh a, mặt bên SAB tam giác SC = a Gọi H K trung điểm cạnh AB AD a) CMR: SH  (ABCD) b) Chứng minh: AC  SK CK  SD 11 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Bài tập 9: Cho hình chóp SABCD, có đáy hình chữ nhật có AB = a, BC = a , mặt bên SBC vuông B, mặt bên SCD vuông D có SD = a a) Chứng minh: SA  (ABCD) tính SA b) Đường thẳng qua A vuông góc với AC, cắt đường thẳng CB, CD I, J Gọi H hình chiếu A SC Hãy xác định giao điểm K, L SB, SD với mp(HIJ) CMR: AK  (SBC), AL  (SCD) c) Tính diện tích tứ giác AKHL Bài tập 10: Gọi I điểm đường tròn (O;R) CD dây cung (O) qua I Trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chứa đường tròn (O) I ta lấy điểm S với OS = R Gọi E điểm đối tâm D đường tròn (O) Chứng minh rằng: a) Tam giác SDE vuông S b) SD  CE c) Tam giác SCD vuông Bài tập 11: Cho MAB vuông M mặt phẳng (P) Trên đường thẳng vuông góc với (P) A ta lấy điểm C, D hai bên điểm A Gọi C hình chiếu C MD, H giao điểm AM CC a) Chứng minh: CC  (MBD) b) Gọi K hình chiếu H AB CMR: K trực tâm BCD Bài tập 12: Cho tam giác ABC, cạnh a Gọi D điểm đối xứng với A qua BC Trên đường thẳng vuông góc vơi mp(ABC) D lấy điểm S cho SD = a Chứng minh hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với Bài tập 13: Cho hình tứ diện ABCD có hai mặt (ABC) (ABD) vuông góc với đáy (DBC) Vẽ đường cao BE, DF BCD, đường cao DK ACD a) Chứng minh: AB  (BCD) 12 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian b) Chứng minh mặt phẳng (ABE) (DFK) vuông góc với mp(ADC) c) Gọi O H trực tâm tam giác BCD vaø ADC CMR: OH  (ADC) Bài tập 14: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông, SA  (ABCD) a) Chứng minh (SAC)  (SBD) b) Gọi BE, DF hai đường cao SBD CMR: (ACF)  (SBC), (AEF)  (SAC) Bài tập 15: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) Gọi M, N điểm cạnh BC, DC cho BM = a 3a , DN = Chứng minh mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với Bài tập 16: Cho tam giác ABC vuông A Vẽ BB CC vuông góc với mp(ABC) a) Chứng minh (ABB)  (ACC) b) Gọi AH, AK đường cao ABC ABC Chứng minh mặt phẳng (BCCB) (ABC) vuông góc với mặt phẳng (AHK) Bài tập 17: Cho tam giác ABC vuông A có AB = c, AC = b Gọi (P) mặt phẳng qua BC vuông góc với mp(ABC); S điểm di động (P) cho SABC hình chóp  có mặt bên SAB, SAC hợp với đáy ABC hai góc có số đo    Gọi H, I, J hình chiếu vuông góc S BC, AB, AC a) Chứng minh rằng: SH2 = HI.HJ b) Tìm giá trị lớn SH tìm giá trị  Bài tập 18: Cho hình tứ diện ABCD có AB = BC = a, AC = b, DB = DC = x, AD = y Tìm hệ thức liên hệ a, b, x, y để: a) Mặt phẳng (ABC)  (BCD) 13 ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian b) Mặt phẳng (ABC)  (ACD) Bài tập 19: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình vuông cạnh a, SA  (ABCD) ; M N hai điểm nằm cạnh BC, CD Đặt BM = x, DN = y a) Chứng minh điều kiện cần đủ để hai mặt phẳng (SAM) (SMN) vuông góc với MN  (SAM) Từ suy hệ thức liên hệ x y b) Chứng minh điều kiện cần đủ để góc hai mặt phẳng (SAM) (SAN) có số đo 300 a(x + y) + xy = a2 Bài tập 20: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi tâm I cạnh a có góc A 600, cạnh SC = a SC  (ABCD) a) Chứng minh (SBD)  (SAC) b) Trong tam giác SCA kẻ IK  SA K Tính độ dài IK ฀ c) Chứng minh BKD  900 từ suy (SAB)  (SAD) II Các dạng tốn góc 2.1 Dạng 1: Góc hai đường thẳng 2.1.1 Phương pháp xác định góc hai đường thẳng a b chéo Cách 1: (a,b)=(a’,b’) a’, b’ hai đường thẳng cắt song song với a b Tức là, chọn hai đường thẳng cắt song song với a b Cách 2: (a,b)=(a,b’) b’ đường thẳng cắt đường thẳng a song song với b Tức chọn a (hoặc b) điểm A từ chọn đường thẳng qua A song song với b (hoặc a) S *) Chú ý: Các định lý hay sử dụng D 2.1.2 Các ví dụ mẫu: A 14 B ThuVienDeThi.com C Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi cạnh a, SA  a 3, SA  BC Tính góc hai đường thẳng SD BC? Giải: Ta có: BC//AD BC / / AD  ฀ ฀   SAD  90 Do đó, ( SD, BC )  ( SD, AD)  SDA SA  BC  ฀  Xét tam giác vSAD vuông A ta có: tan SDA SA ฀  600   SDA AD Vậy góc hai đường thẳng SD BC 600 Ví dụ 2: Cho tứ diện ABCD có AB=CD=2a Gọi M, N trung điểm BC AD, MN  a Tính góc hai đường thẳng AB CD? Giải: Gọi I trung điểm BD Ta có: A IN / / AC    ( AB, CD)  ( IM , IN ) IM / / CD  2a N Xét tam giác IMN có: IM  IN  a, MN  a Do đó, 2a  3a ฀ cos MIN    2a 2 ฀  MIN  1200 a B Vậy: ( AB, CD)  1800  1200  600 D I 2a M Các điểm cần ý giải ví dụ 2: C + Việc tìm góc hai đường thẳng AB CD thơng qua góc hai đường thẳng IM IN nhờ vào giả thiết MN  a ฀  MIN ฀ + Một số em đồng ( IM , IN )  MIN chưa xác mà ( IM , IN )   ฀ 1800  MIN Đến ta giải quết theo hai hướng: 15 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian ฀  900 - Chứng minh góc MIN ฀ ฀ - Tính cụ thể góc MIN sau dựa vào giá trị góc MIN để kết luận giá trị góc hai đường thẳng AB CD Ví dụ 3: (A-2008) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB  a, AC  a Hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung điểm BC Tính cosin góc hai đường thẳng AA’ B’C’? Giải: Gọi H trung điểm BC A' Ta có: C' AA '/ / BB '    ( AA ', B ' C ')  B ' C '/ / BD  I  ( BB ', BD) B' Hay, A cos( AA ', B ' C ')  cos( BB ', BD)  ฀  cos HBB ' C H Xét tam giác A’B’H có B ฀A '  900 , A ' B '  a , A ' H  AA '2  AH   BC   AA '2    a   , HB '  A ' H  A ' B '2  2a BH  BB '2  HB '2 ฀  Do đó, cos HBB '  2.BH BB ' ฀ ' Vậy cos( AA ', B ' C ')  cos HBB Các điểm cần ý giải ví dụ 3: + Áp dụng cách để giải toán 16 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian + Điểm mấu chốt tốn tìm độ dài HB’ thơng qua nhận xét A’H vng góc với mp(A’B’C’) 2.2 Dạng 2: Góc đường thẳng mặt phẳng 2.2.1.Phương pháp xác định góc đường thẳng d mặt phẳng (P) + Tìm I  d  ( P ) + Tìm A thuộc d kẻ AH vng góc với (P) AIH + (d ,( P ))  ฀ 2.2.2.Các ví dụ mẫu: Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, ( SAB )  ( ABCD) , H trung điểm AB, SH=HC, SA=AB Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (ABCD) S a Giải: + Ta có: AH  AB  , 2 SA  AB  a , SH  HC  BH  BC  a A 5a  AH nên tam giác SAH vuông A hay SA  AB mà ( SAB)  ( ABCD) Do đó, SA  ( ABCD) AC hình chiếu Vì SA2  AH  D H B a C vng góc SC lên mp(ABCD) ฀ , tan SCA ฀  + Ta có: ( SC ,( ABCD))  SCA mặt phẳng (ABCD) góc có tang SA Vậy góc đường thẳng SC  AC 2 17 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SA  a Tính sin góc giữa: a) SC (SAB) b) AC (SBC) Giải: S a) Ta có: BC  AB (gt) SA  BC (vì SA  ( ABCD) )  BC  ( SAB) đó: SB hình chiếu vng góc SC ฀ mp(SAB)  ( SC ,( SAB ))  BSC ฀  sin( SC ,( SAB))  sin BSC  Ta có:  H BC a   SC SA2  AC b) + Trong mp(SAB) kẻ AH  SB (H  SB) Theo a) A B D C BC  ( SAB)  AH  BC nên AH  ( SBC ) hay CH hình chiếu vng góc AC mp(SBC)  ( AC ,( SBC ))  ฀ACH + Xét tam giác vng SAB có: 1     AH  a 2 AH AB SA 6a + Vậy sin( AC ,( SBC ))  sin ฀ ACH  AH 21  AC 2.3 Dạng 3: Góc hai mặt phẳng 2.3.1.Phương pháp xác định góc hai mặt phẳng cắt (P) (Q) + Tìm giao tuyến ( P )  (Q )   + Trong (P) tìm a vng góc với ∆, (Q) tìm b vng góc với ∆ a,b cắt I + ((P),(Q))=(a,b) 18 ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian Chú ý: Trong số trường hợp u cầu tính góc hai mặt phẳng áp dụng cơng thức hình chiếu để tính Cơng thức hình chiếu: Gọi hình (H) có diện tích S; hình (H’) hình chiếu (H) mặt phẳng (α) có diện tích S’; φ góc mặt phẳng chứa (H) mp(α) Lúc đó, ta có cơng thức sau: S '  S cos  2.3.2 Các ví dụ mẫu Ví dụ 1: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a Tính số đo góc (BA’C) (DA’C) B' Giải: + Kẻ BH  A ' C , (H  A'C) (1) + Mặt khác, ta có: BD  AC (gt) , C' A' D' AA '  ( ABCD)  AA '  BD  BD  ( ACA ')  BD  A ' C (2) H Từ (1) (2) suy ra: A ' C  ( BDH )  A ' C  DH Do đó, (( BA ' C ),( DA ' C ))  ( HB, HD) + Xét tam giác vuông BCA’ có: B A C D 1    2 2 BH BC BA ' 2a 2  BH  a  DH  a 3 BH  BD ฀ ฀ + Ta có: cos BHD     BHD  1200 Vậy (( BA ' C ),( DA ' C ))  600 2 BH 19 ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, đáy ABC tam giác cân AB=AC=a, ฀ BAC  1200 , BB’=a, I trung điểm CC’ Tính cosin góc hai mp(ABC) (AB’I) Giải: + Ta thấy tam giác ABC hình chiếu vng góc tam giác AB’I lên mặt phẳng (ABC) Gọi φ góc hai mặt phẳng (ABC) (AB’I) Theo cơng thức hình chiếu ta có: cos   S ABC S AB ' I C' I B' A' B C + Ta có: S ABC A a2  AB AC.sin1200  a a 13 , AB '  AB  BB '2  a 2, IB '  B ' C '2  IC '2  2 a 10 Suy ra: Tam giác AB’I vuông A nên S AB ' I  AB ' AI  AI  AC  CI  Vậy cos   S ABC  S AB ' I 10 2.4 Bài tập Bài tập 1: (B-2008) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a, SA  a, SB  a 3,( SAB)  ( ABCD) Gọi M, N trung điểm AB BC Tính cosin góc hai đường thẳng SM DN? Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABC cạnh đáy a, cạnh bên 2a Tính góc SA mp(ABC) Bài tập 3: Cho hình chóp S.ABC, SA  ( ABC ) a) Xác định góc (ABC) (SBC) 20 ThuVienDeThi.com ... B C Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian Từ (1) (2) suy ra: FC  ( SID) 1.2 Dạng 2: Chứng minh hai đường thẳng vng góc 1.2.1 Phương pháp: Ta thường sử dụng định lý cách chứng minh vng góc. .. thẳng gọi vng góc với góc chúng 900 a  b  (a, b)  900 ThuVienDeThi.com Các dạng Toán quan hệ vng góc khơng gian +) Định nghĩa 2: Một đường thẳng gọi vng góc với mặt phẳng vng góc với đường thẳng... phẳng +) Định nghĩa 10: Khoảng cách hai đường thẳng chéo độ dài đoạn vng góc chung hai đường thẳng ThuVienDeThi.com Các dạng Tốn quan hệ vng góc không gian 2.2 Các định lý thường sử dụng a b