GD & ĐT THANH HÓA TRƯỜNG THPT ĐÀO DUY TỪ ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC (LẦN I) NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn: TỐN; Khối: A A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đề thi có 01 trang) PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH m x+2 Câu (2,0 điểm) Cho hàm số y = (C ) x−3 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm đồ thị ( C) điểm M cho khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận ngang lần khoảng cách từ điểm M đến đường tiệm cận đứng Câu (1,0 điểm) Giải phương 6 trình: sin x + cos x + 3 sin x = 3 cos x − sin x + 11 ( ) Câu (1,0 điểm) Giải hệ phương trình ℝ : −6 +9 − + + −4 =2 =0 − x2 đoạn 1;8 Câu (1,0 điểm) Tìm nguyên hàm hàm số: f ( x ) = x + x3 Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi, hai đường chéo AC = 3a , BD = 2a cắt O; hai mặt phẳng (SAC) (SBD) vng góc với mặt phẳng (ABCD) Biết khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) a Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a 3 1 + + + + ≥ + + 4 2 m Thí sinh làm hai phần (phần A B) Câu (1,0 điểm) Cho a, b ∈ ℝ*+ Chứng minh rằng: PHẦN RIÊNG A Theo chương trình Chuẩn m Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng ∆ : x + y − = hai điểm A(1; 0), B(3; 4) Hãy tìm đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho tam giác ABC, có điểm A(2; 3), trọng tâm G(2; 0) Hai đỉnh B C nằm hai đường thẳng d1: x + y + = d2: x + 2y – = Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG + 21+ 3− x − 3− x + 21+ 3− x ≤ Câu 8a (1,0 điểm) Giải bất phương trình ℝ : B Theo chương trình Nâng cao m Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho điểm P( −7;8) hai đường thẳng d1 :2 x + y + = ; d :5 x − y − = cắt A Viết phương trình đường thẳng d qua P tạo với d1 , d thành tam giác cân A có diện tích bng 14,5 Trong mặt phẳng toạ độ cho Hypebol ( ): 16 − =1 ViÕt phơng trình tắc elip ( ) có tiêu điểm trùng với tiêu điểm ( ) v/ ngoại tiếp hình chữ nhật sở ( ) log2 9x−1 +7 −15 log2 (3x−1 +1) +2 Câu 8b (1,0 điểm) Cho khai triển Niutow Hãy tìm giá trị x ∈ ℝ , biết số hạng thứ từ trái sang phải khai triển 224 ThuVienDeThi.com Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm …………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………… … Ghi chú: Dự kiến khảo sát chất lượng thi Đại học ( lần II) tổ chức vào ngày 30 31 tháng năm 2013 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC (LẦN I) NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn: TỐN; Khối: A A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đáp án có 04 trang) GD & ĐT THANH HÓA TRƯ NG THPT ĐÀO DUY T ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Câu Lời giải chi tiết Điểm PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu 1 (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (2,0 * Tập xác định D = ℝ \ {3} điểm) * Sự biến thiên: +/ Giới hạn tiệm cận: lim y = 1; lim y = : x →−∞ 0,25 Đồ thị có tiệm cận ngang y = x →+∞ lim y = +∞ ; lim− y = −∞ : Đồ thị có tiệm cận đứng x = x → 3+ +/ Ta có: y ' = x →3 −5 ( x − 3) −∞ x y' < 0; ∀x ≠ , − − +∞ Bảng biến thiên: +∞ y 0,5 −∞ Hàm số nghịch biến khoảng ( −∞;3 ) ( 3; +∞ ) * Đồ thị: 12 10 0.25 -25 -20 -15 -10 -5 10 15 20 -2 -4 -6 -8 -10 (1,0 điểm): Tìm điểm đồ thị Gọi M điểm thuộc đồ thị (C): M = a;1 + , a ≠ a −3 Tiệm cận đứng ∆1 : x − = ; tiệm cận ngang ∆ : y − = Theo giải thiết: d ( M ; ∆ ) = 5d ( M ; ∆1 ) ⇔ = a −3 a −3 0,25 (1) Giải phương trình (1), ta được: a = 4; a = Vậy điểm cần tìm là: M = ( 4;6 ) & M ' = ( 2; −4 ) ( 0,25 0,25 0,25 ) Câu Giải phương trình: sin x + cos x + 3 sin x = 3 cos x − sin x + 11 (1,0 điểm) Phương trình (1 − 3sin x cos x ) + 3 sin x − 3cos2 x + sin x − 11 = ⇔ 3cos2 x ( sin x − 1) − ( sin 2 x − 3sin x + 1) = ThuVienDeThi.com 0,25 ⇔ ( 2sin x − 1) ( (1) ( 2) sin x − = 3cos2 x − sin x + = ⇔ 3cos2 x − sin x = −1 ) π x = + kπ 12 Giải phương trình (1): sin x = ⇔ x = 5π + kπ 12 0,25 ( k ∈ ℤ) 0,25 π = + kπ x π Giải phương trình (2): 3cos2x − sin 2x = −1 ⇔ cos 2x + = − ⇔ 5π 6 x = − + kπ 12 Câu − + − = (1) (1,0 Giải hệ phương trình: + =2 (2) − + điểm) = Ta có: (1) ⇔ ( − )2 ( − ) = ⇔ =4 ( k ∈ ℤ) 0,5 Với x = y: Thay vào (2) ta x = y = Với x = 4y: Thay vào (2) ta = 32 − 15; 0,25 0,25 0,25 = − 15 Câu − x2 = f x (1,0 Tìm nguyên hàm hàm số: ( ) đoạn 1;8 x + x3 điểm) −1 − x2 x2 dx = Vì hàm số liên tục [1;8] Ta có: ∫ ∫ dx x + x3 +x x 1 −1 d (x + ) x = − ln( x + ) + C = ∫ x dx = − ∫ 1 x +x +x x x 1− x Vậy nguyên hàm hàm số f ( x ) = đoạn [1;8] là: F ( x) = − ln( x + ) + C; C ∈ℝ x+x x Câu (1,0 điểm) Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (1,0 Từ giả thiết, ta có tam giác ABO vng O AO = a ; BO = a , điểm) ABD = 600 Hay ∆ABD Do ( SAC ) ; ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) nên giao tuyến chúng 0,5 0,5 0,25 SO⊥ (ABCD) Gọi H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB DH = a ; a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) DH = 2 a Gọi I hình chiếu O lên SK ⇒ OI ⊥ (SAB), hay OI OI = 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ = + ⇒ SO = 2 OI OK SO 2 Diện tích đáy S ABCD = 4S ∆ABO = 2.OA.OB = 3a ; a đường cao hình chóp SO = OK // DH OK = VS ABC D 3a 0,5 " Thể tích khối chóp S.ABCD: = S ABC D SO = 0,25 3 ! a ThuVienDeThi.com Câu (1,0 Chứng minh rằng: điểm) Ta có: + + = 2 + + 3 1 + + ≥ + + 4 2 1 1 1 − + + + + = − + + + ≥ + + 2 2 0,5 Tương tự: + + ≥ + + 2 1 1 Ta chứng minh + + ≥ + (2 + (*) 2 2 1 + + + + + ≥ + + + ⇔ ( − )2 ≥ Thật vậy, (*) ⇔ 4 Dấu "=" xảy ⇔ 0,5 = = II/ PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn 7a (2,0 điểm) (1,0 điểm) Hãy tìm đường thẳng ∆ điểm M cho MA + 3MB nhỏ Gọi I trung điểm AB, J trung điểm IB Khi I(1 ; -2), J( ; −3 ) 0,25 Ta có : MA + 3MB = ( MA + MB ) + MB = MI + MB = MJ 0,25 Vì MA + 3MB nhỏ M hình chiếu vng góc J đường thẳng ∆ Đường thẳng JM qua J vng góc với ∆ có phương trình : 2x – y – = −2 x = x + y − = 19 −2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ ⇔ Vậy M( ; ) 5 2 x − y − = y = 19 (1,0 điểm) Viết phương trình đường trịn có tâm C tiếp xúc với đường thẳng BG Giả sử B( xB ; yB ) ∈ d1 ⇒ xB = − yB − 5; C ( xC ; yC ) ∈ d ⇒ xC = −2 yC + xB + xC + = yB + yC + = 0,25 0,25 Vì G trọng tâm nên ta có hệ: Từ phương trình ta có: B(-1;- 4) ; C(5;1) 0,25 Ta có BG (3; 4) ⇒ VTPT nBG (4; −3) nên phương trình BG: 4x – 3y – = 0,25 Bán kính R = d(C; BG) = 8a (1,0 điểm) 0,25 81 ⇒ phương trình đường trịn: (x – 5)2 +(y – 1)2 = 25 + 21+ Giải bất phương trình: Điều kiện: x ≤ Đặt t = 3− x ≥ 3− x −4 3− x + 21+ 3− x ≤5 BPT ⇔ + 2t − t + 2t ≤ 5 0≤t ≤ − ≥ t 2 ⇔ −2 ≤ t ≤ ⇔ ≤ t ≤ ⇔ + 2t − t ≤ − 2t ⇔ 8 + 2t − t ≥ 17 5t − 22x + 17 ≥ t ≤ 1; t ≥ Với ≤ t ≤ ⇒ 3− x ≤1⇔ 3− x ≤ ⇔ x = 0,25 0,25 0,5 0,25 B Theo chương trình Nâng cao ThuVienDeThi.com 7b (2,0 điểm) (1,0 điểm) Viết phương trình đường thẳng d qua P tạo với d1 , d Ta có A(1; −1) d1 ⊥ d Phương trình đường phân giác góc tạo d1 , d là: ∆1: x + y − = ∆2: x − y − 10 = 0,25 d tạo với d1 , d tam giác vuông cân ⇒ d vng góc với ∆1 ∆2 ⇒ Phương trình d có dạng: x + y + C = hay 3x − y + C ′ = Mặt khác, d qua P( −7;8) nên C = 25 ; C′ = 77 Suy : d3 : x + y + 25 = hay d3 :3x − y + 77 = Theo giả thiết tam giác vuông cân có diện tích 29 ⇒ cạnh huyền 0,25 58 58 = d ( A, d3 ) 58 • Với d3 : x + y + 25 = d ( A; d3 ) = ( tm) 87 ( loại ) • Với d : x − y + 77 = d ( A; d3 ) = 58 (1,0 im) Vit phơng trình tắc (E) 0,25 Suy độ dài đường cao A H = 0,25 Hypebol (H) có tiêu điểm F1 ( − 5; ) ; F2 ( 5; ) Hình chữ nhật sở (H) có 0,25 ®Ønh l/ M( 4; 3), x y2 + = ( víi a > b a = b + c ) a b2 (E) có hai tiêu điểm F1 ( 5; ) ; F2 ( 5; ) ⇒ a b = 52 (1) Giả sử phơng trình tắc (E) có dạng: M (4;3) (E ) ⇔ 9a + 16 b = a b (2 ) a = 52 + b a = 40 ⇔ 2 2 9a + 16 b = a b b = 15 x y2 Vậy phơng trình t¾c cđa (E) l/: + =1 40 15 Hãy tìm giá trị x ∈ ℝ , 0,25 Tõ (1) v/ (2) ta cã hÖ: 8b (1,0 điểm) 0,25 0,25 k =8 Ta có: ( a + b ) = ∑ C8k a 8− k b k k =0 log Áp dụng với a = 2 x−1 +7 ( ) − log2 3x−1+1 =( 9x−1 +7) ; b = = ( 3x−1 +1) − 0,25 + Theo thứ tự khai triển trên, số hạng thứ sáu tính theo chiều từ trái sang phải x−1 khai triển T6 = C ( + 7) −1 x−1 −15 ( +1) = 56( 9x−1 + 7) ( 3x−1 +1) −1 9x−1 + x−1 x−1 + Theo giả thiết ta có : 56( + 7) ( +1) = 224 ⇔ x−1 = ⇔ 9x−1 + = 4(3x−1 +1) +1 x−1 3 =1 x =1 ⇔ ( 3x−1 ) − 4(3x−1) + = ⇔ x−1 ⇔ 3 = x = 0,25 0,25 0,25 Ghi chú: Nếu thi sinh làm có lời giải khác với đáp án mà lời giải cho điểm tối đa theo biểu điểm quy định - Hết ThuVienDeThi.com ... năm 2013 ĐỀ KHẢO SÁT CHẤT LƯỢNG THI ĐẠI HỌC (LẦN I) NĂM HỌC 2012 - 2013 Mơn: TỐN; Khối: A A1 Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề (Đáp án có 04 trang) GD & ĐT THANH H? ?A TRƯ... khối chóp S.ABCD theo a (1,0 Từ giả thi? ??t, ta có tam giác ABO vng O AO = a ; BO = a , điểm) ABD = 600 Hay ∆ABD Do ( SAC ) ; ( SBD ) ⊥ ( ABCD ) nên giao tuyến chúng 0,5 0,5 0,25 SO⊥ (ABCD) Gọi... H trung điểm AB, K trung điểm HB ta có DH ⊥ AB DH = a ; a ⇒ OK ⊥ AB ⇒ AB ⊥ (SOK) DH = 2 a Gọi I hình chiếu O lên SK ⇒ OI ⊥ (SAB), hay OI OI = 1 a Tam giác SOK vuông O, OI đường cao ⇒ = + ⇒ SO