Tìm m để đồ thị hàm số 1 có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số 1 tíi trôc Ox b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu cña đồ thị hµm số 1 tíi trôc Oy.. Cho hình chó[r]
(1)www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án Đề khảo sát chất l−ợng thi đại học, cao đẳng lần Tr−êng THPT triÖu s¬n Tæ To¸n - tin N¨m häc: 2011-2012 M«n: To¸n Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) PhÇn chung CHO TÊT C¶ C¸C THÝ SINH (7 ®iÓm) C©u I: (2 điểm) Cho hµm số f (x ) = x − 3( m + 1) x + 3m(m + 2) x − + m (1) (m lµ tham sè) Khảo sát biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) m = −2 Tìm m để đồ thị hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số (1) tíi trôc Ox b»ng kho¶ng c¸ch tõ ®iÓm cùc tiÓu cña đồ thị hµm số (1) tíi trôc Oy C©u II: (2 điểm) (cos x + sin x) = cos x + sin x Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 16 x y − 17 y = −1 Gi¶i hÖ ph−¬ng tr×nh: 4 xy + x − y = −1 C©u III: (2 điểm) Gi¶i bÊt ph−¬ng tr×nh: x + 8x + + x − ≤ x + 2 Cho hình chóp tứ giác S ABCD với đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 60 Mặt phẳng (P ) chứa AB và tạo với mặt đáy góc 30 cắt SC , SD lần l−ît t¹i M vµ N TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S ABMN C©u IV: (1 điểm) Cho c¸c sè thùc d−¬ng x, y, z tho¶ m·n: ( x + y )( y + z )( z + x) = H·y t×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P = xy + yz + zx PhÇn RI£NG (3 ®iÓm) : ThÝ sinh chØ ®−îc lµm mét hai phÇn A hoÆc phÇnB PhÇn A C©u Va: (3 điểm) x − x +3 x + x +1 x −3 x + +2=2 +2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh: 2 Từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 5, có thể lập đ−ợc bao nhiêu số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi kh¸c vµ ph¶i cã mÆt ch÷ sè 3? Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , hãy xác định toạ độ các đỉnh tam giác ABC vuông cân A BiÕt r»ng c¹nh huyÒn n»m trªn ®−êng th¼ng d : x + y − 31 = , ®iÓm N (7;7) thuéc ®−êng th¼ng AC , ®iÓm M (2;−3) thuéc ®−êng th¼ng AB PhÇn B C©u Vb: (3 điểm) 2 Gi¶i ph−¬ng tr×nh: log x x + log x x = log x T×m hÖ sè cña sè h¹ng chøa x khai triÓn nhÞ thøc Niu-t¬n cña (2 + x) n , biÕt: C 21n + C 23n + C 25n + + C 22nn −1 = 524288 www.mathvn.com Lop10.com (2) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho tam giác ABC với đ−ờng cao kẻ từ A và đ−ờng phân giác góc B lần l−ợt có ph−ơng trình là: x − y − = và x − y − = Tìm toạ độ các đỉnh tam gi¸c ABC , biÕt M (0;2) thuéc ®−êng th¼ng AB vµ AB = BC -HÕt -ThÝ sinh kh«ng ®−îc sö dông tµi liÖu, c¸n bé coi thi kh«ng ®−îc gi¶i thÝch g× thªm đáp án đề thi khảo sát chất l−ợng đại học, cao đẳng lần N¨m häc 2011-2012 M«n thi : To¸n C©u Néi dung §iÓm 1) TX§: R 2) Sù biÕn thiªn: a) Giíi h¹n t¹i v« cùc: Ta cã lim y = −∞ , lim y = +∞ x → −∞ 0,25 x → +∞ b) B¶ng biÕn thiªn: Ta cã y ' = x + x = x ( x + 2) ⇔ x = hoÆc x = −2 x −∞ y' − 0 + y C©u I.1 (1 ®iÓm) + −2 +∞ +∞ 0,25 −4 −∞ Hàm số đồng biến trên (-∞;-2) và (0;+∞),àm số nghịch biến trên (−2; 0) Hàm số đạt cực đại x=-2 với giá trị cực đại là y(-2)=0 và đạt cực tiểu x=0 với giá trị cực tiểu là y(0)=-4 3) §å thÞ: +) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i (0;-4), giao víi trôc hoµnh t¹i (-2;0) vµ (1;0) +) Đồ thị nhận điểm uốn I(-1;-2) làm tâm đối xứng −3 −2 −1 y 1 x O I 0,5 −2 −4 ⇒ y , = 3x + 6(m + 1)x + 3m(m + 2) ; y , = ⇔ x = m hoÆc x = m + C©u I.2 (1 ®iÓm) Hàm số có cực trị với m Hai điểm cực trị đồ thị hàm số (1) là: A m; m + 3m + m − , B m + 2; m + 3m + m − ; A là điểm cực đại, B là ®iÓm cùc tiÓu Ta cã d ( A; Ox ) = m + 3m + m − , d (B; Oy ) = m + ( ) ( ) www.mathvn.com 0,5 0,5 Lop10.com (3) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án Theo gi¶ thiÕt ta cã: Ta cã C©u II.1 (1 ®iÓm) m = −2 m = −1 m + 3m + m − = m + ⇔ m = m = pt ⇔ (cos x + sin x) = cos x + sin x + cos x [ ] ⇔ (cos x + sin x) (cos x + sin x) − = cos x ⇔ (cos x + sin x)2 sin x cos x = cos x ⇔ cos x(cos x sin x + sin x − 1) = π x = + kπ cos x = ⇔ cos x(cos x − sin x) = ⇔ ( k ∈ Ζ) ⇔ tan x = x = π + kπ DÔ thÊy y = kh«ng ph¶i nghiÖm cña ph−¬ng tr×nh Chia c¶ vÕ cña pt cho y , c¶ hai vÕ pt cho y ta ®−îc: x 16 x + y = 17 (4 x + y ) − y = 17 ⇔ 4 x + + x = (4 x + ) + x = y y y y C©u II.2 (1 ®iÓm) 0,5 0,5 4 x + y = u u − 8v = 17 §Æt (**) (*) Hệ đã cho trở thành x u + v = =v y u = u = −9 hoÆc Gi¶i hÖ (**) ta ®−îc v = v = u = 4 xy − y = −1 x = y = Víi ta ®−îc ⇔ x = y = 1/ v = x = y u = −9 4 xy + y = −1 Víi ta ®−îc (v« nghiÖm) v = x = y Vậy hệ đã cho có hai nghiệm là ( x; y ) = (1;1) ( x; y ) = (1 / 4;1 / 4) C©uIII.1 (1 ®iÓm) 0,5 x ≤ −3 §iÒu kiÖn: x ≥ Biến đổi t−ơng đ−ơng bất ph−ơng trình: ( x + 1)( x + ) + ( x − 1)( x + 1) ≤ ( x + 1) 0.25 0.25 NhËn thÊy víi x ≤ −3 bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Víi x ≥ , bÊt ph−¬ng tr×nh t−¬ng ®−¬ng: www.mathvn.com ( x + 3) + 0,5 ( x − 1) ≤ 0.25 Lop10.com (4) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án ( x + 3) ≥ 2 NhËn thÊy ⇒ ( x + ) + ( x − 1) ≥ 2 > ( x − 1) ≥ Do đó bất ph−ơng trình không có nghiệm x ≥ KÕt luËn: bÊt ph−¬ng tr×nh v« nghiÖm Gäi H , K lÇn l−ît lµ trung ®iÓm cña AB vµ CD vµ I lµ giao ®iÓm cña SK vµ MN ⇒ ∠SHK = 60 , ∠IHK = 30 AB ⊂ ( P) Ta cã ⇒ MN // AB // CD ⇒ tø gi¸c ABMN lµ h×nh thang c©n AB // CD TÝnh S ABMN , ta cã IH lµ ®−êng cao Vì tam giác SKH là tam giác cạnh a nên IH = Ta cã MN = C©uIII.2 (1 ®iÓm) 0.25 0,5 a AB a = 2 1 a a 3 ( AB + MN ).IH = (a + ) a = 2 2 V× SI ⊥ ( ABMN ) ⇒ SI lµ ®−êng cao cña khèi chãp S ABMN vµ SK a SI = = 2 1 a 3 a3 VËy VS ABMN = SI S ABMN = a = 32 16 ⇒ S ABMN = 0,5 S I N M D A H K C B §Æt a = x + y + x Ta cã (a − x )(a − y )(a − x ) = ⇔ a3 + a( xy + yz + zx ) − a ( x + y + x ) − xyz = ⇒ P = + xyz x+ y+ x 0.25 Ta cã C©u IV (1 ®iÓm) 1 ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) ≥ ( x + y )( y + z )( z + x) = (1) 2 2 x+ y y+z z+x Vµ xyz = xy yz zx ≤ = (2) 2 +1 Tõ (1) vµ (2) ⇒ P ≤ = 3 Vậy MaxP = đạt đ−ợc x = y = z = Pt x+ y+z = www.mathvn.com 0.25 0.25 0.25 Lop10.com (5) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án C©u Va.1 (1 ®iÓm) x −3 x + x2 + x x2 + x .2 + = 2.2 ⇔ 2 x −3 x +3 x2 + x ⇔2 − = 2 x +x − ( ( ) ( ) ) + 2x −3 x + x −3 x + = ⇔ (2 − 2) −1 = ⇔ 2 x + x = x − 3x + = x = 1, x = ⇔ ⇔ x = −1, x = x + x = x −3 x + x2 + x 0,5 0,5 VËy tËp nghiÖm cña pt lµ S = {− 1;0;1;2} C©u Va.2 (1 ®iÓm) Lập số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi khác từ các số đã cho Gäi sè cÇn lËp lµ abcd (a ≠ 0) Ta cã 3.4 A42 = 144 sè 0,5 Lập số tự nhiên lẻ có bốn chữ số đôi khác và không có mặt chữ số Gäi sè cÇn lËp lµ abcd (a ≠ 0) Ta cã 2.3 A32 = 36 sè VËy cã 144-36=108 sè C©u Va.3 (1 ®iÓm) 0,5 §−êng th¼ng AB cã pt a ( x − 2) + b( y + 3) = (a + b ≠ 0) Do ∠ABC = 45 nªn ta cã: a + 7b 3a = 4b = cos 45 = ⇔ 12a − 12b − 7ab = ⇔ 50 a + b 4a = −3b *Víi 3a=4b chän a=4, b=3, ta cã pt AB: 4x+3y+1=0 V× AC ⊥ AB nªn pt cua AC lµ: 3x-4y+7=0 4 x + y + = Toạ độ A là nghiệm hpt: ⇔ A(−1;1) 3 x − y + = x + y − 31 = Toạ độ B là nghiệm hpt: ⇔ B (−4;5) 4 x + y + = 3 x − y + = Toạ độ C là nghiệm hpt: ⇔ C (3;4) x + y − 31 = *Víi 4a=-3b chän a=3, b=-4, ta cã pt AB: 3x-4y-18=0 V× AC ⊥ AB nªn pt cña AC lµ: 4x-3y-49=0 4 x + y − 49 = Toạ độ A là nghiệm hpt: ⇔ A(10;3) 3 x − y − 18 = x + y − 31 = Toạ độ B là nghiệm hpt: ⇔ B (10;3) ⇒ A ≡ B (v« 3 x − y − 18 = lý) VËy, A(-1:1), B(-4:5) vµ C(3;4) www.mathvn.com 0,25 0,25 0,25 0,25 Lop10.com (6) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án A M N B C©u Vb.1 (1 ®iÓm) C d log x + log x 1 §iÒu kiÖn x > 0, x ≠ , x ≠ Pt ⇔ + = log x + log x + log x 2t + 2t + = 2t ⇔ 2t + 2t − 3t − = §Æt t = log x , ta ®−îc 1+ t + t t = x = ⇔ (t − 1) 2t + 4t + = ⇔ ⇔ − 2± t = − ± x = −2± VËy tËp nghiÖm cña pt lµ S = 3;3 ( ) 0,5 0,5 2n Ta cã (1 + x) = C 20n + C 21n x + C 22n x + + C 22nn C©u Vb.2 (1 ®iÓm) Thay x=-1 ta ®−îc C 21n + C 23n + + C 22nn −1 = C 20n + C 22n + + C 22nn = A Thay x=1 ta ®−îc C + C + + C 2n 2n 2n 2n =2 2n ⇒ 2A = 2n 10 Theo c«ng thøc Niu t¬n ta cã: ( + x) = ⇔ 524288 = 10 ∑C k =0 5 10 k 10 n −1 ⇔ n = 10 210− k x k VËy hÖ sè cña sè h¹ng chøa x lµ C C©u Vb.3 (1 ®iÓm) 0,5 Gọi N là điểm đối xứng M qua phân giác góc B Suy pt cña MN lµ x+y-2=0 Gäi I lµ giao ®iÓm cña BD vµ MN x + y − = ⇔ A( ; ) ⇒ N (3;−1) Suy toạ độ I là nghiệm hpt: 2 x − y − = V× N thuéc BC vµ BC ⊥ AH ⇒ pt BC: 2x+y-5=0 0,5 0,25 0,25 2 x + y − = Toạ độ B là nghiệm hpt: ⇔ B (2;1) x − y − = Ta cã pt AB: x-2y+4=0 x + y − = Suy toạ độ A là nghiệm hpt: ⇔ A(3; ) x − y − = Gäi K lµ trung ®iÓm cña AB ⇒ K ( ; ) www.mathvn.com 0,25 Lop10.com (7) www.MATHVN.com | Đề thi thử Đại học 2012 có đáp án V× BK = BC ⇒ CK ⊥ BD suy pt CK: x + y − 13 = A K M B D I N C H 13 x + y − = Suy toạ độ C là nghiệm hpt: ⇔ C( ; ) 4 2 x + y − = 0,25 VËy A(3; ), B(2;1), C ( ; ) Chú ý: Nếu thí sinh giải cách khác mà đúng thì cho điểm tối đa www.mathvn.com Lop10.com (8)