Chinh phục Hình học giải tích trong mặt phẳng22570

CẨM NANG CHO MÙA THI CHINH PHỤC HÌNH HỌC GIẢI TÍCH TRONG MẶT PHẲNG A O H C B H' I NGUYỄN HỮU BIỂN https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Các bạn học sinh thân mến ! Những năm gần đây, câu hình học tọa độ phẳng Oxy thuộc hệ thống câu hỏi phân loại, loại tập tương đối khó Để giải được, yêu cầu phải phát tính chất đặc biệt hình Các tính chất đặc biệt chủ yếu nằm chương trình toán học cấp THCS mà học từ lâu, đa số bạn thường khơng cịn nhớ Để chinh phục câu hình học tọa độ phẳng Oxy , trước hết ôn lại số kiến thức đặc trưng Trong tài liệu này, tác giả tạm thời 14 tính chất đặc trưng hình học phẳng để bạn nhớ lại Phần tài liệu tập hợp 36 tốn có hướng dẫn giải, vận dụng 14 tính chất trình bày để minh họa cụ thể Tuy lượng tập khơng nhiều bao quát tương đối đầy đủ dạng toán trọng tâm yếu tố suy luận cần thiết mà đề thi thường khai thác Kiến thức thật mênh mông học cho hết, với phương châm thi - học nấy, tác giả hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn có kiến thức tổng hợp cách nhìn nhận tốt để tư giải thành cơng câu hình học tọa độ phẳng Oxy kỳ thi tới Chúc bạn thành cơng ! Rất mong động viên đóng góp chân thành bạn để lần tái sau tốt ThuVienDeThi.com Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy Tính chất 1: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm Họi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ H ' đối xứng với H qua BC Hướng dẫn chứng minh: A O H B C H' + Ta có Gọi A1 = C1 (cùng phụ với ABC ) + Mà A1 = C2 = sdBH ' ⇒ C1 = C2 ⇒ ∆HCH ' cân C ⇒ BC trung trực HH’ ⇒ H ' đối xứng với H qua BC Tính chất 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn (O), H trực tâm, kẻ đường kính AA’, M trung điểm BC ⇒ AH = 2.OM Hướng dẫn chứng minh: A O H C M B A' + Ta có ABA ' = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn tâm O) ⇒ BA ⊥ BA ' , mà BA ⊥ CH ⇒ BA '/ /CH (1) NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy + Chứng minh tương tự ta có CA '/ /BH (2) + Từ (1) (2) ⇒ tứ giác BHCA’ hình bình hành, mà M trung điểm đường chéo BC ' H ⇒ AH = 2.OM ⇒ M trung điểm A’H ⇒ OM đường trung bình ∆ Tính chất 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), BH CK đường cao ∆ABC ⇒ AO ⊥ KH Hướng dẫn chứng minh: x A H K O B C + Kẻ tiếp tuyến Ax ⇒ xAC = ABC = sdAC + Mà ABC = AHK (do tứ giá KHCB nội tiếp) ⇒ xAC = AHK , mà góc vị trí so le ⇒ / /HK Lại có Ax ⊥ AO (do Ax tiếp tuyến) ⇒ AO ⊥ HK Tính chất 4: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O), H trực tâm, gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆HBC ⇒ O I đối xứng qua BC Hướng dẫn chứng minh: A O H C B H' I NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy + Gọi H’ giao điểm AH với đường tròn (O) ⇒ tứ giác ACH’B nội tiếp đường tròn (O) ⇒ O đồng thời tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BH 'C + Mặt khác H H’ đối xứng qua BC (tính chất chứng minh) ⇒ ∆HBC đối xứng với ∆H ' BC qua BC, mà O, I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆H ' BC ∆HBC ⇒ I O đối xứng qua BC Tính chất 5: (Đường thẳng Ơ - le) Cho ∆ABC , gọi H, G, O trực tâm, trọng tâm tâm đường trịn ngồi tiếp ∆ABC Khi ta có: 1) OH = OA + OB + OC 2) điểm O, G, H thẳng hàng OH = 3.OG Hướng dẫn chứng minh: A H G O C M B A' 1) Ta chứng minh AH = 2.OM (đã chứng minh tính chất 2) + Ta có : OA + OB + OC = OA + 2.OM = OA + AH = OH 2) Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ OA + OB + OC = 3.OG ⇒ OA + 2.OM = 3.OG ⇒ OA + AH = 3.OG ⇒ OH = 3.OG Vậy điểm O, G, H thẳng hàng Tính chất 6: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E theo thứ tự chân đường cao từ A, B Các điểm M, N theo thứ tự trung điểm BC AB ⇒ tứ giác MEND nội tiếp Hướng dẫn chứng minh: NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy A E N H O C B M D A' H' + Ta có D trung điểm HH’ (tính chất 1), M trung điểm HA’ (do HCA’B hình bình hành - tính chất 2) Như ta có phép vị tự : V 1  H;   2 (A ') = M : (H ') = D + Mà điểm A’, H’ thuộc đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ⇒ điểm M, D thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V 1  H;   2 (1) + Chứng minh tương tự ta có điểm N, E thuộc đường tròn (C’) ảnh đường tròn (C) tâm O qua phép vị tự V 1  H;   2 (2) + Từ (1) (2) ⇒ điểm D, M, E, N thuộc đường trịn (C’) Tính chất 7: Cho ∆ABC , gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp, tâm đường tròn nội tiếp ∆ABC , AI cắt đường tròn (O) D ⇒ DB = DI = DC Hướng dẫn chứng minh: A O I 1 B C D NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy + Ta có ɵI1 = A1 + B1 (do I1 góc ∆ABI ) + Mà B1 = B2 (Do BI phân giác ∆ABC ), A1 = A (Do AI phân giác ∆ABC ), mà A = B3 = sdBC ⇒ I1 = B2 + B3 = IBD ⇒ ∆IBD cân D ⇒ DI = DB (1) + Ta lại có A1 = A ⇒ BD = DC ⇒ BD = DC (2) + Từ (1) (2) ⇒ DB = DI = DC Tính chất 8: Cho ∆ABC , gọi D, E, F chân đường vng góc kẻ từ A, B, C ∆ABC Gọi H trực tâm ∆ABC ⇒ H tâm đường tròn nội tiếp ∆D Hướng dẫn chứng minh: A E F H 1 B C D + Ta có tứ giác BDHF nội tiếp ⇒ B1 = D1 (1) + Tứ giác ECDH nội tiếp ⇒ C1 = D2 (2) + Mà B1 = C1 (cùng phụ với BAC ) (3) Từ (1), (2) (3) ⇒ D1 = D ⇒ DH phân giác ∆D (*) - Chứng minh tương tự ta có EH, FH tia phân giác ∆D (**) - Từ (*) (**) ⇒ H tâm đường trịn nội tiếp ∆D Tính chất 9: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (O) Gọi D, E giao điểm đường tròn (O) với đường cao qua A C ⇒ OB trung trực ED Hướng dẫn chứng minh: + Ta có E1 = A1 = sdBD sdBE , D1 = C1 = , C1 = A1 (cùng phụ với ABC ) ⇒ E1 = D1 2 ⇒ ∆EBD cân B ⇒ BE = BD (1) + Mà OE = OD (bán kính đường trịn tâm O) (2) Từ (1) (2) ⇒ OB trung trực ED NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy A E O B C D Tính chất 10: Cho ∆ABC cân A nội tiếp đường tròn tâm I, G trọng tâm ∆ABC Gọi D trung điểm AB, E trọng tâm ∆ADC ⇒ I trực tâm ∆DEG Hướng dẫn chứng minh: - Gọi F, H, K trung điểm BC, AC, AD ⇒ E = DH ∩ CK - Do G trọng tâm ∆ABC ⇒ G = ∩ CD - Ta có CE CG = = ⇒ GE / /AB , mà AB ⊥ DI ⇒ GE ⊥ ID CK CD - Lại có DE / /BC   ⇒ GI ⊥ DE ⇒ I trực tâm ∆DGE GI ⊥ BC  A K E D I G B F C Tính chất 11: “Trong hình thang cân có đường chéo vng góc, độ dài đường cao độ dài đường trung bình” Hướng dẫn chứng minh: NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy + NM = NI + IM + Do ABCD hình thang cân, AC ⊥ BD I ⇒ ∆AIB, ∆DIC vuông cân ⇒ IN, IM đường cao tương ứng đồng thời trung tuyến ⇒ NI = AB CD AB + CD ⇒ NI + IM = = ; IM = 2 ⇒ NM = N A B I(2;3) F E C D M x-3y-3=0 Tính chất 12: Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC hình vng ABCD ⇒ AN ⊥ DM Hướng dẫn chứng minh: + Ta có ∆ABN = ∆DAM(c − g − c) ⇒ A1 = D1 + Mà D1 + M1 = 900 ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ ∆AHM vuông H ⇒ AN ⊥ DM M A B H N C D Tính chất 13: Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 2.AD , M điểm AB cho AB = 4.AM ⇒ DM ⊥ AC Hướng dẫn chứng minh: NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần 1: 14 TÍNH CHẤT CƠ BẢN CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Oxy A M B H C D + Ta có D1 + M1 = 900 + Mà tan A1 = BC AM = , tan D1 = = ⇒ A1 = D1 , AB AD + Thay vào (1) ⇒ A1 + M1 = 900 ⇒ ∆AHM vuông H ⇒ AC ⊥ DM Tính chất 14: Cho ∆ABC vng A, đường cao AH Gọi P, Q trung điểm đoạn thẳng BH, AH ⇒ AP ⊥ CQ Hướng dẫn chứng minh: B P H Q C A + Ta có PQ đường trung bình ∆AHB ⇒ PQ / /AB , mà AB ⊥ AC ⇒ PQ ⊥ AC ⇒ Q trực tâm ∆APC ⇒ AP ⊥ CQ (sau vận dụng 14 tính chất vào phân tích giải 36 tốn đặc trưng hình học tọa độ phẳng Oxy) NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 1: ∆ABC nội tiếp đường tròn đường kính AD, M(3; −1) trung điểm cạnh BC Đường cao kẻ từ B ∆ABC qua điểm E(−1; −3) , điểm F(1;3) nằm đường thẳng AC Tìm tọa độ đỉnh A viết phương trình cạnh BC biết D(4; −2) Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết, gặp loại tập mà A? tam giác nội tiếp đường tròn, kiện cho đường cao tam giác ta thường nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách: - Nếu tam giác có đường cao ta việc kẻ đường kính qua đỉnh cịn lại (khơng chứa đường cao kia) H - Nếu tam giác có đường kính qua đỉnh đường cao ta kẻ đường cao thứ (bài toán ta làm vậy) + Với toán ta tạo điểm H M(3;-1) B trực tâm ∆ABC ⇒ ta chứng minh BHCD hình bình hành (xem tính chất 2) + Cơng việc chuẩn bị xong, ta làm theo bước suy luận sau nhé: - Thấy H trung điểm AC ⇒ H(2; 0) - Lập phương trình BH (qua điểm H E) ⇒ BH : x − y − = - Lập phương trình DC (qua D // BH) ⇒ DC : x − y − = - Lập phương trình AC (qua F ⊥ BH ) ⇒ AC : x + y − = - Tọa độ C = AC ∩ DC , giải hệ ⇒ C(5; −1) - Lập phương trình BC qua điểm M C ⇒ BC : y + = - Lập phương trình AH (qua H ⊥ BC ) ⇒ AH : x − = - Tọa độ A = AH ∩ AC , giải hệ ⇒ A(2; 2) E(-1;-3) F(1;3) C D(4;-2) Bài 2: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn (C), đường phân giác A cắt đường tròn (C) M(0; −3), N(−2;1) Tìm tọa độ điểm B, C biết đường thẳng BC qua E(2; −1) C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta thấy AN ⊥ AM (t.c phân giác góc kề bù) ⇒ đường trịn (C) có tâm I(−1; −1) trung điểm MN, bán kính R = MN 2 = ⇒ (C) : ( x + 1) + ( y + 1) = + Như đến thấy để tìm tọa độ B, C ta cần thiết lập phương trình đường thẳng BC cho giao với đường tròn (C) NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG + Quan sát tiếp thấy BC qua E(2;-1) rồi, ta cần tìm VTCP VTPT ổn khơng ! Nếu vẽ hình xác ta dự đoán BC ⊥ MN !!! (ta chứng minh nhanh nhé: A1 = A ⇒ MB = MC ⇒ M N(-2;1) điểm BC ⇒ H trung điểm BC ( H = MN ∩ BC ) ⇒ BC ⊥ MN (q hệ đường kính dây cung - hình học lớp 9)) + Như vậy, tóm lại, đường thẳng BC qua E, A ⊥ MN ⇒ BC : x − 2y − = + Cuối cùng, ta cần giải hệ phương trình 6  I B E(2;-1) H 7 gồm (C) ∩ BC ⇒ B(−2; −3), C  ; −  5  C M(0;-3) Bài 3: Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm O(0;0) Gọi M(-1;0, N(1;1) chân đường vuông góc kẻ từ B, C ∆ABC Tìm tọa độ đỉnh A, B, C ∆ABC , biết điểm A nằm đường thẳng ∆ có phương trình : 3x + y - = Hướng dẫn tìm lời giải 3x+y-1=0 + Ta thấy A ∈ ∆ ⇒ A(a;1 − 3a) , cần x thiết lập phương trình để tìm a + Ta có AO ⊥ MN (Tính chất 3) Giải phương trình : A AO.MN = ⇒ a = ⇒ A(1; −2) + Đường thẳng AB qua A, N ⇒ AB : x − = M(-1;0) + Đường thẳng AC qua A, M N(1;1) ⇒ AC : x + y + = + Đường cao BM qua M ⊥ AC ⇒ BM : x − y + = + Tọa độ B = AB ∩ BM ⇒ B(1; 2) , tương tự ⇒ C(−2;1) Như điểm quan trọng phát AO ⊥ MN O(0;0) C B NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài : Cho ∆ABC nội tiếp đường trịn tâm I(1;2), bán kính R = Chân đường cao kẻ từ B, C H(3;3), K(0;-1) Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK, biết A có tung độ dương” Hướng dẫn tìm lời giải A H(3;3) K(0;-1) I(1;2) C B D + Đường trịn (C) tâm I, bán kính R = có phương 2 trình ( x − 1) + ( y − ) = 25 + Ta thấy đường tròn ngoại tiếp tứ giác BCHK có tâm M trung điểm BC, đường kính BC (do BKC = BHC = 900 ) Như vấn đề định tốn tìm tọa độ B, C + Theo tính chất AI ⊥ KH ⇒ AI đt qua I, AI ⊥ KH ⇒ AI có phương trình: 3x + 4y − 11 = + Tọa độ A = AI ∩ (C) , giải hệ có A(−3;5) + Đường thẳng AB qua A, K ⇒ AB : 2x + y + = + Tọa độ B = AB ∩ (C) , giải hệ có B(1; −3) , suy luận tương tự có C(6; 2) Vậy đường trịn ngoại tiếp tứ giác BCHK có 2 7  1 25  tâm M trung điểm BC, đường kính BC có phương trình:  x −  +  y +  = 2  2  Bài 5: (KD-2014) Cho ∆ABC nội tiếp đường tròn, D(1;-1) chân đường phân giác A , AB có phương trình 3x + 2y − = , tiếp tuyến A có phương trình ∆ : x + 2y − = Hãy viết phương trình BC Hướng dẫn tìm lời giải + Với kiện đề cho, trước hết ta xác định tọa độ A A = ∆ ∩ AB ⇒ A(1;3) + Đường thẳng BC qua D(1;-1) nên để lập phương trình BC ta cần tìm tọa độ điểm thuộc BC Gọi E = ∆ ∩ BC ⇒ E ∈ ∆ ⇒ E ( − 2x; x ) x+2y-7=0 3x+2y-9=0 E B C D(1;-1) + Bây cần thiết lập NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG phương trình để tìm x, vẽ hình xác cho ta dự đoán ∆EAD cân E ⇒ giải phương trình ED = EA tìm x = ⇒ E(5;1) (chứng minh ∆EAD cân E sau: D1 = C1 + DAC (góc ngồi ∆ADC ), mà sdAB , DAC = A ⇒ D1 = A1 + A = EAD ⇒ ∆EAD cân E) + Đường thẳng BC qua điểm E D ⇒ BC : x − 2y − = C1 = A1 = Bài : “Cho ∆ABC có đỉnh A(1;5) Tâm đường trịn nội tiếp ngoại tiếp ∆ABC lần 5 2   lượt I(2; 2), K  ;3  Tìm tọa độ B, C” Hướng dẫn tìm lời giải Mỗi hình học tọa độ phẳng thi ĐH có “nút thắt” riêng, làm để tìm “nút thắt” “cởi nút thắt” Câu trả lời : Phải học nhiều, làm nhiều, chịu khó tổng hợp kiến thức tư theo kinh nghiệm tích lũy SAU ĐÂY TA SẼ ĐI TÌM “NÚT THẮT” CỦA BÀI TỐN LẦN TRƯỚC NHÉ ! + Ta lập đường tròn (C) ngoại A(1;5) tiếp ∆ABC có tâm K, bán kính AK 2 1 B (C) + Đường thẳng AI qua A, I I(2;2) K( ;3) C D 5 25  ⇒ (C) :  x −  + ( y − 3) = 2  5 1 ⇒ AI : 3x + y − = ⇒ D = AI ∩ (C) ⇒ D  ;  2 2 + Ta có: BD = DI = CD (tính chất 7) ⇒ B, C nằm đường trịn (T) tâm D, bán kính DI ⇒ tọa độ B, C giao đường tròn (C) (T) + Như đường tròn (T) tâm D, bán kính DI có phương trình: 2 5   10  x −  +y−  = 2  2   B(4;1), C(1;1) + {B, C} = (C) ∩ (T) ⇒   B(1;1), C(4;1) NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 10 Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 7: Cho ∆ABC có tâm đường trịn bàng tiếp góc A K(2; −9) , đỉnh B(−3; −4), A(2; 6) Tìm tọa độ đỉnh C Hướng dẫn tìm lời giải A(2;6) + Ta thấy C = AC ∩ BC , ta cần tìm phương trình đường thẳng AC BC * Bước 1: Tìm phương trình AC - Đường thẳng AC qua A B’ (trong B’(7;4) điểm đối xứng B qua phân giác AK: x - = 0) E ⇒ AC : 2x + 5y − 34 = B' B(-3;-4) C A' K(2;-9) (Trong q trình học ta có kinh nghiệm: gặp đường phân giác điểm, ta lấy điểm đối xứng qua đường phân giác - hy vọng bạn cịn nhớ) * Bước 2: Tìm phương trình BC Suy luận tương tự ta có: Đường thẳng BC qua B A’ (trong A’ điểm đối xứng A qua phân giác BE) + Giải hệ C = AC ∩ BC Đáp số C(5;0) Bài 8: ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(2;1), bán kính R = Trực tâm H(-1;-1), độ dài BC = Hãy viết phương trình BC Hướng dẫn tìm lời giải A + Đây toán quen thuộc “tam giác nội tiếp đường tròn, cho biết trực tâm”, ta nghĩ đến việc tạo hình bình hành cách kẻ đường kính AD ⇒ BHCD hình bình hành (xem lại tính chất 2) ⇒ MI đường trung bình ∆AHD I H ⇒ AH = 2.MI (một kết quen thuộc) + Với suy luận trên, ta tìm tọa độ A trước tiên Thật vậy, gọi A(x;y) B C M D AH = 2.IM = CI − BM = 52 − = Ta có:  , AI = giải hệ  x = −1 ⇒ ⇒ A(−1;5) ⇒ D(5; −3) ⇒ M(2; −2) (do I y = trung điểm AD, M trung điểm HD) + Như vậy, sau có điểm A, M ta thấy đường thẳng BC qua M, vng góc với AH ⇒ BC : y + = NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 11 Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 9: ∆ABC nội tiếp đường tròn tâm I(-2;0), A(3;-7), trực tâm H(3;-1) Xác định tọa độ C biết C có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Hồn toàn với phương pháp lập luận trên, ta có kết AH = 2.MI ⇒ AH = 2.IM , gọi M(x;y) giải phương trình AH = 2.IM A ⇒ x = −2, y = ⇒ M(−2;3) I H B C M + Đường thẳng BC qua điểm M, vng góc với AH ⇒ BC : y − = + Đường trịn (C) tâm I, bán kính R = IA có phương trình : ( x + ) + y = 74 + Tọa độ B, C giao BC (C), giải hệ ta có C −2 + 65;3 (chú ý x C > nhé) ( ) Như qua toán trên, bạn cần ghi nhớ kết quan trọng sau: Nếu H, I trực tâm tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC , M trung điểm BC ta có: AH = 2.IM (đây điểm nút vấn đề) Tiếp theo mạch tư tưởng đó, ta nghiên cứu sau có cách khai thác tương tự Bài 10: Cho hình chữ nhật ABCD, qua B kẻ đường thẳng vng góc với AC H Gọi E, F, G trung điểm đoạn thẳng CH, BH AD Biết D  17 29   17  E  ;  ; F  ;  , G (1;5 ) Tìm tọa độ tâm đường trịn ngoại tiếp ∆ABE  5   5 Hướng dẫn tìm lời giải + Đây toán phát triển theo mạch tư dạng E + ∆ABE có F trực tâm, gọi I tâm H đường tròn ngoại tiếp ∆ABE , M trung điể AB G = 2.IM (xem lại ta chứng minh trên) F I Do tọa độ E, F biết, để có I ta cần tìm tọa độ M, mà M trung điểm AB nên ta cần tìm tọa A B M độ A, B (đây điểm nút toán này) + Ta thấy EF đường trung bình ∆HCB ⇒ AG = FE Như gọi A(x;y) giải phương trình AG = FE ⇒ x = 1; y = ⇒ A(1;1) + Tiếp theo lập phương trình đt AE qua A, E ⇒ AE : −2x + y + = + Đường thẳng AB qua A vng góc với EF ⇒ AB : y − = + Đường thẳng BH qua F vng góc với AE ⇒ BH : x + 2y − = D C ⇒ B = BH ∩ AB ⇒ B(5;1) ⇒ M(3;1) + Giải phương trình = 2.IM ⇒ I(3;3) NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 12 Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Bài 11: Cho ∆ABC có trực tâm H, đường trịn ngoại tiếp ∆HBC có phương trình ( x + 1) + y = Trọng tâm G ∆ABC thuộc Oy Tìm tọa độ đỉnh ∆ABC biết BC có phương trình x − y = B có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Trước hết ta có tọa độ B, C giao điểm đường tròn ( x + 1) + y = thẳng BC : x − y = Giải hệ phương trình  −1 + 17 −1 + 17  ⇒ B  ;  ; 2    −1 − 17 −1 − 17  C  ;  2   A H B K đường O G C M D + Bây việc khó khăn tìm tọa độ A(x;y) theo trình tự suy luận sau: - Điểm G(0;a) thuộc Oy trọng tâm ∆ABC , sử dụng công thức trọng tâm ⇒ A(−1; y) - Gọi O I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC ∆HBC ⇒ I O đối xứng qua BC (*) (tính chất 4) , từ ta lập phương trình OI qua I(-1;0) vng góc BC ⇒ OI : x + y + = - Ta có, tọa độ  1 M = OI ∩ BC ⇒ M  − ; −  ⇒ O(0; −1)  2 A' I - Mặt khác OA = (bằng với bán kính đường trịn (C)) - đường tròn tâm O đường tròn tâm I đối xứng qua BC nên bán kính Giải phương trình OA = ⇒ A 1; −1 + 2 A 1; −1 − 2 ( ) ( ) Bài 12: ∆ABC cân A, gọi D trung điểm AB, D có tung độ dương, điểm  11   13  I  ;  tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABC Điểm E  ;  trọng tâm ∆ADC Điểm  3  3 M(3; −1) ∈ DC, N(−3;0) ∈ AB Tìm tọa độ A, B, C NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 13 tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Phần Hướng dẫn tìm lời giải + Ta có I trực tâm ∆DGE (tính chất 10) + Do ta viết phương trình DC qua M vng góc với EI A ⇒ DC : x − = + Tiếp theo ta tìm tọa độ D : D ∈ DC ⇒ D(3; x) , giải phương trình DN.DI = ⇒ x = ⇒ D(3;3) + Ta viết tiếp phương trình AB (qua N, D) K ⇒ AB : x − 2y + = + Đường thẳng AF qua I vng góc với DE E D ⇒ H :x−y−2=0 + Giải hệ A = AB ∩ I ⇒ A(7;5) ⇒ B(−1;1) (do D trung điểm AB) + Đường thẳng BC qua B vng góc với IA G ⇒ BC : x + y = + Giải hệ C = BC ∩ ⇒ C(3; −3) (Lưu ý đường thẳng CD qua M D - bạn tự viết nhé) M(3;-1) N(-3;0) C B F Bài 13: Cho ∆ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC G trọng tâm ∆ABM , điểm D(7;-2) điểm nằm đoạn MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A, lập phương trình AB, biết hồnh độ A nhỏ AG có phương trình 3x - y - 13 = Hướng dẫn tìm lời giải B 3x-y-13=0 N G M D(7;-2) A C Bước 1: Tìm tọa độ A + Ta tính khoảng cách d(D; AG) = 10 + A ∈ AG ⇒ A(a;3a − 13) + Ta có gọi N trung điểm AB, ∆BMA vuông cân M nên NM đường trung trực AB ⇒ GA = GB , mà GA = GD(gt) ⇒ GA = GB = GD ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD ⇒ AGD = 2.ABD = 900 (liên hệ góc tâm góc nội tiếp đường tròn tâm G ngoại NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 14 tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Phần tiếp ∆ABD ) ∆AGD vuông cân G ⇒ AD = 2.DG = 2.10 = 20 (giải thích chút xíu: ∆AGD vng G ⇒ d(D; AG) = DG = 10 ) a = > a = ⇒ A(3; −4) Giải phương trình AD = 20 ⇒  Bước 2: Lập phương trình đường thẳng AB Đường thẳng AB khơng dễ lập nên TH ta dựa vào góc đường thẳng để giải + Gọi VTPT đường thẳng AB n AB = (a; b) , đường thẳng AG có VTPT n AG = (3; −1) (n + Ta có c NAG = c AB ) ; n AG = 3a − b a + b 10 + Mặt khác NG = NM = NA, AG = NA + NG = ( 3.NG ) + NG = NG 10 3a − b NA 3 = ⇒ = 2 AG 10 10 a + b 10 b = ⇒ 6ab + 8b = ⇔  3a = −4b - Với b = 0, chọn a = ⇒ AB : x − = - Với 3a = -4b, chọn a = 4, b = - ⇒ AB : 4x − 3y − 24 = ⇒ c NAG = * Nhận thấy AB có phương trình 4x − 3y − 24 = d(A; AB) < 10 ⇒ G nằm ngồi ∆ABC (loại) Bài 14: Cho hình chữ nhật ABCD có AB, AD tiếp xúc với đường trịn (C) có phương  16 23  trình : x + y + 4x − 6y + = , đường thẳng AC cắt (C) M  − ;  N, với  5  N ∈ Oy Biết S∆AND = 10 Tìm tọa độ A, B, C, D biết A có hồnh độ âm, D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải Q D P A I(−2;3), R = 2, N(0;3) ∈ Oy N I(-2;3) M E B + Công việc chuẩn bị: theo đề ta đường trịn (C) có tâm C + Lập phương trình AC (đi qua N M) : x + 2y − = + A ∈ AC ⇒ A ( − 2a; a ) , chứng minh APIQ hình vng (P, Q tiếp điểm AD, AB với (C)) ⇒ AI = AQ + QI = 22 + 22 = 2 NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 15 tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC TỌA ĐỘ PHẲNG Phần  a = ⇒ A(−4;5) Giải phương trình ⇒  13  13  a = ⇒ A  ;  , xA >  5  + Gọi VTPT AD n = (m; n) ⇒ AD : m(x + 4) + n(y − 5) = ⇔ mx + ny + 4m − 5n =  m = ⇒ AD : y − = ⇒ D(d;5)  n = ⇒ AD : x + = ⇒ x D = −4 < Mà d(I; AD) = ⇒ ⇒ 2mn = ⇔  d = ⇒ D(6;5) d = −14 < + Lại có S∆AND = 10 ⇒ AD.d(N; AD) = 10 ⇒ ⇒  + Như lập phương trình DC qua A D ⇒ DC : x − = ⇒ C = AC ∩ CD , giải hệ ⇒ C(6; 0) + Chỉ tọa độ điểm B cuối cùng: gọi E = AC ∩ BD ⇒ E trung điểm AC  5 BD ⇒ E 1;  ⇒ B(−4;0)  2 Bài 15: Cho hình thang ABCD có đáy AD // BC, AD = 3.BC Phương trình đường thẳng AD x − y = Điểm E(0;2) trung điểm AB, điểm P(1;-2) nằm đường thẳng CD Tìm tọa độ đỉnh hình thang, biết hình thang có diện tích điểm A, D có hồnh độ dương Hướng dẫn tìm lời giải + Đường thẳng EF qua E B C // AD ⇒ : x − y + = + Ta có F E(0;2) BK = 2.EH = 2.d(E; AD) = = 2 P(1;-2) A SABCD H K BC + AD =9⇔ BK = ⇔ + Điểm F ∈ D x-y=0 + Mặt khác BK = ⇔ ⇒ F(x; + x) , giải phương trình = 2   17  F  ;  9   = ⇒x=± ⇒   1 2 F  − ; −    4  17   , ta lập đường thẳng CD qua điểm F, P ⇒ CD : −5x + y + = 4  7 7  11 27  ⇒ D = CD ∩ AD , giải HPT ⇒ D  ;  ⇒ C  ;  (do F trung điểm CD) 4 4 4  * TH1: F  ; * TH2: Các bạn tự làm tương tự Bài 16: Cho hình vng ABCD có tâm I(1;-1) điểm M thuộc CD cho MC = 2.MD Đường thẳng AM có phương trình 2x − y − = Tìm tọa độ đỉnh A Hướng dẫn tìm lời giải NGUYỄN HỮU BIỂN ) https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang 16 ... yếu nằm chương trình tốn học cấp THCS mà học từ lâu, đa số bạn thường khơng cịn nhớ Để chinh phục câu hình học tọa độ phẳng Oxy , trước hết ôn lại số kiến thức đặc trưng Trong tài liệu này, tác... phân tích giải 36 tốn đặc trưng hình học tọa độ phẳng Oxy) NGUYỄN HỮU BIỂN # https://www.facebook.com/groups/nguyenhuubien ThuVienDeThi.com Trang Phần tuyển chọn 36 BÀI TẬP ĐẶC TRƯNG CỦA HÌNH HỌC... thức thật mênh mông học cho hết, với phương châm thi - học nấy, tác giả hi vọng tài liệu nhỏ giúp bạn có kiến thức tổng hợp cách nhìn nhận tốt để tư giải thành cơng câu hình học tọa độ phẳng Oxy