ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG 2014 - 2015 MƠN: TỐN Thời gian làm bài: 120 phút (khơng tính thời gian giao đề) TRƯỜNG THCS NƠNG TRANGT.P VIỆT TRÌ (Đề gồm 01 trang) Câu (1,5 điểm): Thực phép tính 3 3 24.47 23 11 1001 13 a) A 9 9 24 47 23 9 1001 13 11 3 b) M = 22 23 22012 22014 Câu (2,5 điểm): a) Cho S = + 52 + 53 + 54 + 55 + 56 +…+ 52012 Chứng tỏ S chia hết cho 65 b) Tìm số tự nhiên nhỏ cho chia cho 11 dư 6, chia cho dư 1và chia cho 19 dư 11 c) Chứng tỏ: A = 10n + 18n - chia hết cho 27 (với n số tự nhiên) Câu (2 điểm): a) Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 b) Chứng minh rằng: 1 1 2 (2n) Câu (2,5 điểm): Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB a) Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o Tính ao b) Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o c) Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao Câu (1,5 điểm): Cho A 102012 102011 102010 102009 a) Chứng minh A chia hết cho 24 b) Chứng minh A số phương HẾT -Lưu ý: Cán coi thi khơng giải thích thêm ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014-2015 Mơn: TỐN Câ u Nội dung, đáp án Ý Đặt A=B.C B a 24.47 23 1128 23 1105 24 47 23 71 23 48 0,25 1 1 1 11 1001 13 C 1 9 1 1001 13 11 1105 Suy A 144 M= Điể m 1,5 0,25 0,25 22 23 22012 22014 - Đặt A = 1+2+22+23 + +22012 2013 b - Tính A = – 0,25 - Đặt B = 22014 – 0,25 - Tính B = 2.(22013 – 1) - Tính M = 52 53 0,25 54 55 56 +…+ 52012 S = 5+ + + + + S = (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+ +52009(5+52+53+54) a Vì (5+52+53+54) =780 65 Vậy S chia hết cho 65 Gọi số cần tìm a ta có: (a-6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19 (a-6 +33) 11 ; (a-1 + 28) ; (a-11 +38 ) 19 (a +27) 11 ; (a +27) ; (a +27) 19 Do a số tự nhiên nhỏ nên a+27 nhỏ b Suy ra: a +27 = BCNN (4 ;11 ; 19 ) Từ tìm : a = 809 2,5 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 A 10 18n 10 9n 27 n n n 0,25 ThuVienDeThi.com 99 9n 27 n n 9.(11 n) 27 n 0,25 n Ta biết số n số có tổng chữ số n có số dư chia n) 27 Vậy A 27 cho 11 n nên 9.(11 n n Tìm x, y nguyên biết : 2x (3y – 2) + (3y – 2) = -55 =>(3y – 1)(2x + 1) = -55 => x 55 (1) 3y Để x nguyên 3y – Ư(-55) = 1;5;11;55; 1; 5; 11; 55 0,25 0,25 0,25 +) 3y – = => 3y = => y = 1, thay vào (1) => x = 28 (Loại) 13 +) 3y – = 11 => 3y = 13 => y = (Loại) +) 3y – = => 3y = => y = a +) 3y – = 55 => 3y = 57 => y = 19 , thay vào (1) => x = -1 0,25 +) 3y – = - => 3y = => y = (Loại) +) 3y – = -5 => 3y = -3 => y = -1, thay vào (1) => x = +) 3y – = -11 => 3y = -9 => y = -3 , thay vào (1) => x = +) 3y – = -55 => 3y = -53 => y = 53 (Loại) Vậy ta có cặp số x, y nguyên thoả mãn (x ; y ) = (28 ; 1) , (-1 ; 19) , (5 ; -1), (2 ; -3) b/ Chứng minh : 1 1 2n 0,25 0,25 Ta có 1 1 (2n) 1 1 A 2 (2.2) (2.3) (2.4) (2.n) A b 1 1 1 1 1 1 A 42 n 1.2 2.3 3.4 (n 1)n 1 1 1 1 1 A 1 2 3 (n 1) n 1 1 A 1 (ĐPCM) 4 n 0,25 0,25 0,25 ThuVienDeThi.com 2,5 Vẽ hình D C y (a+20)o (a+10)o x 0,25 22o ao 48o A O B E Cho nửa mặt phẳng bờ AB chứa hai tia đối OA OB Vẽ tia OC tạo với tia OA góc ao, vẽ tia OD tạo với tia OCC góc (a + 10)o với tia OB góc (a + 20)o.Tính ao Do OC, OD nằm nửa mặt phẳng bờ AB (a 10 a ) Nên tia OC nằm hai tia OA v OD COA a COD => AOC COD DOB AOB => ao + (a + 10)o + (a + 20)o = 180o => 3.ao + 30o = 180o => ao = 50o Tính góc xOy, biết góc AOx 22o góc BOy 48o Tia Oy nằm hai tia OA v OB o 180o 48o 132o AOx 22o b Ta có : AOy 180 BOy Nên tia Ox nằm hai tia OA Oy AOy 22o xOy 132o xOy 132o 22o 110o => AOx xOy Gọi OE tia đối tia OD, tính số đo góc kề bù với góc xOD góc AOC ao V ì tia OC nằm hai tia OA OD nên c o AOC COD AOD AOD a o a 10 2a o 10o 2.50o 10o 110o Vì AOx AOD(22o 110o ) nên tia Ox nằm hai tia OA OD => AOx xOD AOD 22o xOD 110o xOD 110o 22o 88o Vậy số đo góc kề bù với góc xOD có số đo : 180o – 88o = 92o Chứng minh A chia hết cho 24 a Ta có : ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 1,5 A 103 102009 102008 102007 102006 8.125 102009 102008 102007 102006 0,25 A 125 102009 102008 102007 102006 1 8 (1) Ta lại có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có tổng tổng chữ số 1, nên số 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 chia cho có số dư 0,25 chia cho dư Vậy A chia cho có số dư dư phép chia (1 + + + + 2) chia cho Hay dư phép chia chia cho (có số dư 0) Vậy A chia hết cho Vì hai số nguyên tố nên A chia hết cho 8.3 = 24 0,25 Chứng minh A khơng phải số phương Ta có số : 102012 ; 102011 ; 102010 ; 102009 có chữ số tận b Nên A 102012 102011 102010 102009 có chữ số tận Vậy A khơng phải số chỉnh phương số phương số có chữ số tận ; 4; ; ; Chú ý: - Mọi cách giải thích khác ghi điểm tối đa -HẾT - ThuVienDeThi.com 0,25 0,25 0,25 ...HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2014- 2015 Mơn: TỐN Câ u Nội dung, đáp án Ý Đặt A=B.C B a 24.47 23 1128 ... (5+52+53+54)+55(5+52+53+54)+ +52009(5+52+53+54) a Vì (5+52+53+54) =780 65 Vậy S chia hết cho 65 Gọi số cần tìm a ta có: (a -6) 11 ;(a-1) 4; (a-11) 19 (a -6 +33) 11 ; (a-1 + 28) ; (a-11 +38 ) 19 (a +27)... 0,25 22 23 22012 22014 - Đặt A = 1+2+22+23 + +22012 2013 b - Tính A = – 0,25 - Đặt B = 22014 – 0,25 - Tính B = 2.(22013 – 1) - Tính M = 52 53 0,25 54 55 56 +…+ 52012 S = 5+ + + + +