270 bài tập NÂNG CAO TOÁN 9

1 FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 270 BÀI TẬP NÂNG CAO TOÁN Mục lục PHẦN I: ĐỀ BÀI PHẦN II: HƯỚNG DẪN GIẢI .20 PHẦN I: ĐỀ BÀI Chứng minh số vô tỉ a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2) b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2) Cho x + y = Tìm giá trị nhỏ biểu thức: S = x + y2 ab � ab a) Cho a ≥ 0, b ≥ Chứng minh bất đẳng thức Cauchy : bc ca ab   �a  b  c b c b) Cho a, b, c > Chứng minh : a c) Cho a, b > 3a + 5b = 12 Tìm giá trị lớn tích P = ab Cho a + b = Tìm giá trị nhỏ biểu thức : M = a + b3 Cho a3 + b3 = Tìm giá trị lớn biểu thức : N = a + b Cho a, b, c số dương Chứng minh: a + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) Tìm liên hệ số a b biết rằng: ab  ab a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a b) Cho a, b, c > abc = Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 10 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) 11 Tìm giá trị x cho:a) | 2x – | = | – x | c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – b) x2 – 4x ≤ 12 Tìm số a, b, c, d biết : a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d) 13 Cho biểu thức M = a + ab + b2 – 3a – 3b + 2001 Với giá trị a b M đạt giá trị nhỏ ? Tìm giá trị nhỏ TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 14 Cho biểu thức P = x + xy + y2 – 3(x + y) + CMR giá trị nhỏ P 15 Chứng minh khơng có giá trị x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau : x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 16 Tìm giá trị lớn biểu thức : A x  4x  17 So sánh số thực sau (khơng dùng máy tính): a)  15 23  19 c) b) 27 d) 17   và 18 Hãy viết số hữu tỉ số vô tỉ lớn 19 Giải phương trình : 45 nhỏ 3x  6x   5x  10x  21   2x  x 20 Tìm giá trị lớn biểu thức A = x 2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S 21 Cho 1 1      1.1998 2.1997 k(1998  k  1) 1998  Hãy so sánh S 1998 1999 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a khơng phải số phương số vô tỉ 23 Cho số x y dấu Chứng minh rằng: x y  �2 a) y x c) b) �x y � �x y � �  � �  ��0 x � �y x � �y �x y � �x y � �x y � �  � �  � �  ��2 x � �y x � �y x � �y 24 Chứng minh số sau số vơ tỉ: TÀI LIỆU TỐN THCS a FB TỐN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU a) b) 1 m n với m, n số hữu tỉ, n ≠ 25 Có hai số vơ tỉ dương mà tổng số hữu tỉ không? �x y � x y2   �3 �  � x �y x � 26 Cho số x y khác Chứng minh : y x y2 z2 x y z  2 2�   y z x y z x 27 Cho số x, y, z dương Chứng minh : 28 Chứng minh tổng số hữu tỉ với số vô tỉ số vô tỉ 29 Chứng minh bất đẳng thức: a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2) b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2) c) (a1 + a2 + … + an)2 ≤ n(a12 + a22 + … + an2) 30 Cho a3 + b3 = Chứng minh a + b ≤ 31 Chứng minh rằng:  x    y � x  y  32 Tìm giá trị lớn biểu thức: 33 Tìm giá trị nhỏ của: A A x  6x  17 x y z   y z x với x, y, z > 34 Tìm giá trị nhỏ của: A = x2 + y2 biết x + y = 35 Tìm giá trị lớn của: A = xyz(x + y)(y + z)(z + x) với x, y, z ≥ 0; x + y + z = 36 Xét xem số a b số vô tỉ không : a a) ab b số vơ tỉ TÀI LIỆU TỐN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU a b) a + b b số hữu tỉ (a + b ≠ 0) c) a + b, a2 b2 số hữu tỉ (a + b ≠ 0) 37 Cho a, b, c > Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c) a b c d    �2 38 Cho a, b, c, d > Chứng minh: b  c c  d d  a a  b 39 Chứng minh  2x  2 x 2 x   40 Cho số nguyên dương a Xét số có dạng: a + 15; a + 30; a + 45; … ; a + 15n Chứng minh số đó, tồn hai số mà hai chữ số 96 41 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A= x  B x  4x  C x  2x  D 1 x2  E x  2x x G  3x   5x   x  x  42 a) Chứng minh rằng: | A + B | ≤ | A | + | B | Dấu “ = ” xảy nào? b) Tìm giá trị nhỏ biểu thức sau: M  x  4x   x  6x  c) Giải phương trình: 4x  20x  25  x  8x  16  x  18x  81 2 43 Giải phương trình: 2x  8x  x  4x   12 44 Tìm giá trị x để biểu thức sau có nghĩa : A  x2  x  E 2x   x B 1  3x G C    9x x  x2 x 4 D x  5x  H  x  2x    x x  3x 0 x  45 Giải phương trình: TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 46 Tìm giá trị nhỏ biểu thức : A  x  x 47 Tìm giá trị lớn biểu thức : B   x  x 48 So sánh : a) 49 1 a   b= c) n   n  Với giá trị n+1  n x, b)  13  1 (n số nguyên dương) biểu thức sau đạt giá trị nhỏ A    6x  9x  (3x  1)2 50 Tính : a) 42 b) d) A  m  8m  16  m  8m  16 M 51 Rút gọn biểu thức: 11  c) 27  10 e) B  n  n   n  n  (n ≥ 1) 41 45  41  45  41 2 52 Tìm số x, y, z thỏa mãn đẳng thức: (2x  y)  (y  2)  (x  y  z)  2 53 Tìm giá trị nhỏ biểu thức: P  25x  20x   25x  30x  54 Giải phương trình sau: a) x  x   x   d) x  x  2x   b) x    x e) x  4x   x   h) x  2x   x  6x   k) x   x   x   x   c) x  x  x  x   g) x   x   5 i) x    x  x  25 l) 8x   3x   7x   2x  55 Cho hai số thực x y thỏa mãn điều kiện: xy = x > y CMR: x  y2 �2 xy 56 Rút gọn biểu thức: TÀI LIỆU TOÁN THCS : FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU a) 13  30   b) m  m   m  m  c)          2  57 Chứng minh d) 227  30  123  22  2 58 Rút gọn biểu thức: a) C  62    3  62  6 3  b) D  96  59 So sánh: a)  20 1+ b) 17  12 1 c) 28  16  2 60 Cho biểu thức: A  x  x  4x  a) Tìm tập xác định biểu thức A b) Rút gọn biểu thức A 61 Rút gọn biểu thức sau: a) 11  10 b) c)  14  11        10 62 Cho a + b + c = 0; a, b, c ≠ Chứng minh đẳng thức: 1 1 1  2    a b c a b c 63 Giải bất phương trình: 64 Tìm x cho: x  16x  60  x  x   �x 65 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn A = x + y2 , biết rằng: x2(x2 + 2y2 – 3) + (y2 – 2)2 = (1) 66 Tìm x để biểu thức có nghĩa: a) A  x  2x  16  x b) B   x  8x  2x  TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU A 67 Cho biểu thức: x  x  2x x  x  2x  x  x  2x x  x  2x a) Tìm giá trị x để biểu thức A có nghĩa b) Rút gọn biểu thức A c) Tìm giá trị x để A < 68 Tìm 20 chữ số thập phân số: 0,9999 (20 chữ số 9) 69 Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn của: A = | x y|=5 | + | y – | với | x | + | 70 Tìm giá trị nhỏ A = x4 + y4 + z4 biết xy + yz + zx = 71 Trong hai số : n  n  n+1 (n số nguyên dương), số lớn ? 72 Cho biểu thức A     Tính giá trị A theo hai cách 73 Tính : (   5)(   5)(   5)(    5) 74 Chứng minh số sau số vô tỉ: 3 ; 75 Hãy so sánh hai số: a  3  b=2  ; 76 So sánh 3 ; 2 3  1     số 77 Rút gọn biểu thức : Q 2 3 6 84 2 3 78 Cho P  14  40  56  140 Hãy biểu diễn P dạng tổng thức bậc hai 2 79 Tính giá trị biểu thức x2 + y2 biết rằng: x  y  y  x  80 Tìm giá trị nhỏ lớn của: A   x   x 81 Tìm giá trị lớn của: M  a b  với a, b > a + b ≤ TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 82 CMR số 2b  c  ad ; 2c  d  ab ; 2d  a  bc ; 2a  b  cd có hai số dương (a, b, c, d > 0) 83 Rút gọn biểu thức: N     18 84 Cho x  y  z  xy  yz  zx , x, y, z > Chứng minh x = y = z 85 Cho a1, a2, …, an > a1a2…an = Chứng minh: (1 + a 1)(1 + a2)…(1 + an) ≥ 2n 86 Chứng minh :  a b  �2 2(a  b) ab (a, b ≥ 0) 87 Chứng minh đoạn thẳng có độ dài a, b, c lập thành a , b , c lập thành tam tam giác đoạn thẳng có độ dài giác 88 Rút gọn : a) A B ab  b a  b b b) (x  2)  8x x x a2  a2 1 89 Chứng minh với số thực a, ta có: thức? �2 Khi có đẳng 90 Tính: A     hai cách 5 6,9 91 So sánh: a) P 92 Tính: 2  2 93 Giải phương trình:  b) 13  12 7 2  2 x   2x   x   2x   2 94 Chứng minh ta ln có: Pn  95 Chứng minh a, b > 1.3.5 (2n  1)  2.4.6 2n 2n  ; n  Z+ a2 b2 a b�  b a TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TỐN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 96 Rút gọn biểu thức: x  4(x  1)  x  4(x  1) � � � 1 � � x 1 � x  4(x  1) A= a) 97 Chứng minh đẳng thức sau: b) � 14  15  � b) �   2 �:    � � 98 Tính :   29  20 a) � c) �  48  � 99 So sánh : a) c) a bb a : a b ab a b (a, b > ; a ≠ � a a � � a a � c) � 1 1 � � �  a a  a  � � � � (a > 0) ; b)   13  48 � 28  16 �  48 �  15 18  19 d) b)  15 12  16 25 100 Cho đẳng thức: a  a2  b a  a2  b � 2 a� b  Áp a) c) dụng 2  2  kết 2  2 ; b) 32 17  12 (a, b > a2 – b > 0) để  rút gọn 3 2 17  12 2 10  30  2  : 10  2 1 101 Xác định giá trị biểu thức sau : a) A  xy  x  y  1� 1� x � a  �, y  xy  x  y  với 2� a � 2 1� 1� �b  � 2� b� (a > ; b > 1) TÀI LIỆU TOÁN THCS : FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU a  bx  a  bx b) B  a  bx  a  bx x với 2am , m 1 b   m2  2x  x  P(x)  3x  4x  102 Cho biểu thức a) Tìm tất giá trị x để P(x) xác định Rút gọn P(x) b) Chứng minh x > P(x).P(- x) < A 103 Cho biểu thức x 24 x 2  x24 x 2 4  1 x2 x a) Rút gọn biểu thức A b) Tìm số nguyên x để biểu thức A số nguyên 104 Tìm giá trị lớn (nếu có) giá trị nhỏ (nếu có) biểu thức sau: a)  x e)   3x b) x  x (x  0) c)   x g) 2x  2x  d) x   h)   x  2x  i) 2x  x  105 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  , ba cách ? a) 106 Rút gọn biểu thức sau : b)  10    10  5  48  10  c) 94  42  94  42 107 Chứng minh đẳng thức với b ≥ ; a ≥ a)  a b � a b  a� a b  b) a� b  b a  a2  b a  a2  b � 2 108 Rút gọn biểu thức : A  x  2x   x  2x  109 Tìm x y cho : xy2  x  y  TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU  (a2 + b2 – + ab) – ab(a – b) = 2(a – b)  (2 + ab) = (a – b)(2 + ab)  a–b= (chú ý : a2 + b2 = 4) (do ab + ≠ 0) Bình phương : a2 + b2 – 2ab =  2ab =  ab =  x = 219 Điều kiện :  x2   x = Tìm < x ≤ , a ≥ Bình phương hai vế thu gọn : a 1 a 1 a Với a ≥ 1, bình phương hai vế, cuối : x = a  Điều kiện x ≤ thỏa mãn (theo bất đẳng thức Cauchy) a Kết luận : Nghiệm x = a  Với a ≥ 220 Nếu x = y = 0, z = Tương tự y z Nếu xyz ≠ 0, hiển nhiên x, y, z > x Từ hệ phương trình cho ta có : 2y 2y �  y 1 y y y � z ; z � x Suy x = y = z Xảy dấu “ = ” bất đẳng Tương tự thức với x = y = z = Kết luận : Hai nghiệm (0 ; ; 0) , (1 ; ; 1) 221 a) Đặt A = (8 + )7 Để chứng minh tốn, cần tìm số B cho < B < 10 A + B số tự nhiên Chọn B = (8 - )7 Dễ thấy B > > Ta có + > 10 suy : 83 7   � 83 107   107 Theo khai triển Newton ta lại có : A = (8 + )7 = a + b với a, b  N TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU B = (8 - )7 = a - b Suy A + B = 2a số tự nhiên Do  B  107 A + B số tự nhiên nên A có bảy chữ số liền sau dấu phẩy Chú ý : 10- = 0,0000001 b) Giải tương tự câu a 222 Ta thấy với n số phương phương n số vơ tỉ, nên n số tự nhiên, n khác số n dạng ,5 Do ứng với số n  N* có số nguyên an gần n Ta thấy rằng, với n 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, … a n 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, … Ta chứng minh a n nhận giá trị : hai số 1, bốn số 2, sáu số 3… Nói cách khác ta chứng minh bất phương trình : 1 1  x  1 2 có hai nghiệm tự nhiên 2 1  x 2 2 có bốn nghiệm tự nhiên 3 1  x  3 2 có sáu nghiệm tự nhiên Tổng quát : k 1  x k 2 có 2k nghiệm tự nhiên Thật vậy, bất đẳng thức 1 tương đương với : k2 – k + < x < k2 + k + Rõ ràng bất phương trình có 2k nghiệm tự nhiên : k2 – k + ; k2 – k + ; … ; k2 + k Do : � � � � �� �1 1 1 1� �1 1 � 1� �      � �    �  �    � 2.44  88 a1 a2 a1980 � 1 2 2 44 44 44 { 4 4 4 4 44 � � � �2 soá � � soá 88 soá � �� � � � 223 Giải tương tự 24 a) < an < Vậy [ an ] = b) ≤ an ≤ Vậy [ a n ] = TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU c) Ta thấy : 44 = 1936 < 1996 < 2025 = 452, 462 = 2116 a1 = 1996 = 44 < a1 < 45 Hãy chứng tỏ với n ≥ 45 < an < 46 Như với n = [ an ] = 44, với n ≥ [ an ] = 45 224 Cần tìm số tự nhiên B cho B ≤ A < B + Làm giảm làm trội A để hai số tự nhiên liên tiếp Ta có : (4n + 1) < 16n2 + 8n + < (4n + 2)  4n + < 4n +  4n2 + 4n + < 4n2 +  (2n + 1)2 < 4n2 + 16n2  8n  < 16n2  8n  < 4n2 + 4n + < 4n2 + 8n + 16n2  8n  < (2n + 2)2 Lấy bậc hai : 2n + < A < 2n + Vậy [ A ] = 2n + 225 Để chứng minh toán, ta số y thỏa mãn hai điều kiện : < y < 0,1 (1) x + y số tự nhiên có tận  y= 3  (2) 200  < 0,3 nên < y < 0,1 Điều Ta chọn Ta có < kiện (1) chứng minh Bây ta chứng minh x + y số tự nhiên có tận Ta có : x y   3  200   3  200   5  100   5  100 Xét biểu thức tổng quát Sn = an + bn với a = + , b = - Sn = (5 + )n = (5 - )n A b có tổng 10, tích nên chúng nghiệm phương trình X -10X + = 0, tức : a2 = 10a – (3) ; b2 = 10b – (4) Nhân (3) với an , nhân (4) với bn : an+2 = 10an+1 – an ; bn+2 = 10bn+1 – bn Suy (an+2 + bn+2) = 10(an+1 + bn+1) – (an + bn), tức Sn+2 = 10Sn+1 – Sn , hay Sn+2 �- Sn+1 (mod 10) TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU Do Sn+4 �- Sn+2 �Sn (mod 10) (5) Ta có S0 = (5 + )0 + (5 - )0 = + = ; S = (5 + ) + (5 - ) = 10 Từ cơng thức (5) ta có S2 , S3 , … , Sn số tự nhiên, S0 , S4 , S8 , … , S100 có tận 2, tức tổng x + y số tự nhiên có tận Điều kiện (2) chứng minh Từ (1) (2) suy điều phải chứng minh 226 Biến đổi  3  250   5  125 Phần nguyên có chữ số tận (Giải tương tự 36) 227 Ta có :         � � � � � � � � � � � � � � � A � �1�  � 3� � 4�  � 8� � 9�  �15� �16�  � 24� Theo cách chia nhóm trên, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số, nhóm có số Các số thuộc nhóm 1, số thuộc nhóm 2, số thuộc nhóm 3, số thuộc nhóm Vậy A = 1.3 + 2.5 + 3.7 + 4.9 = 70 x x 228 a) Xét ≤ x ≤ Viết A dạng : A = (3 – x) Áp dụng bất x x x x đẳng thức Cauchy cho số không âm , , (3 – x) ta : (3 – x) ≤ �x x � �2   3 x � � � � � � � Do A ≤ (1) b) Xét x > 3, A ≤ (2) So sánh (1) (2) ta đến kết luận �x �  3 x maxA  � �2 � x � �x �0 TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 229 a) Lập phương hai vế, áp dụng đẳng thức (a + b) = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta : x  1 7 x  3.3 (x  1)(7  x).2  � (x  1)(7 x)   x = - ; x = (thỏa) b) Điều kiện : x ≥ - = z2 (1) Đặt x   y ; x   z Khi x – = y2 ; x + nên z2 – y3 = Phương trình cho đưa hệ : y  z  (2) � �2 z  y  (3) � � z �0 (4) � Rút z từ (2) : z = – y Thay vào (3) : y – y2 + 6y – =  (y – 1)(y2 + 6) =  y=1 Suy z = 2, thỏa mãn (4) Từ x = 3, thỏa mãn (1) Kết luận : x = 230 a) Có, chẳng hạn : 1   2 b) Không Giả sử tồn số hữu tỉ dương a, b mà hai vế : a  b  Bình phương a  b  ab  � ab   (a  b) Bình phương vế : 4ab = + (a + b) – 2(a + b)  2(a + b) b)2 – 4ab = + (a + Vế phải số hữu tỉ, vế trái số vơ tỉ (vì a + b ≠ 0), mâu thuẩn 231 a) Giả sử số hữu tỉ m m3 n (phân số tối giản) Suy = n3 Hãy chứng minh m lẫn n chia hết cho 5, trái giả thiết giản b) Giả sử m3  n3  3 m n phân số tối m  số hữu tỉ n (phân số tối giản) Suy :     3.3 m 6m  6 � m3  6n3  6mn2 (1) � m3 M2 � mM2 n n TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU Thay m = 2k (k  Z) vào (1) : 8k3 = 6n3 + 12kn2  4k3 = 3n3 + 6kn2 Suy 3n3 chia hết cho  n3 chia hết cho  n chia hết cho Như m n m chia hết cho 2, trái với giả thiết n phân số tối giản 232 Cách : Đặt a = x , b = y3 , c = z3 Bất đẳng thức cần chứng minh a b c x3  y3  z3 � abc �xyz hay 3 tương đương với x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ Ta có đẳng thức : x3 + y3 + z3 – 3xyz = (x + y + z)[(x – y)2 + (y – z)2 + (z – x)2] (bài tập sbt) Do a, b, c ≥ nên x, y, z ≥ 0, x + y3 + z3 – 3xyz ≥ Như : a b c � abc Xảy dấu đẳng thức a = b = c Cách : Trước hết ta chứng minh bất đẳng thức Cauchy cho bốn số khơng âm Ta có : a  b  c  d �a  b c  d �  �  �� 2� 2 �   ab  cd � ab cd  abcd �a  b  c  d � a b  c d � ��abcd � Trong bất đẳng thức � , đặt ta : a b  c � � a  b  c  � a b c �� � � abc � � � � a b c �a  b  c � � � abc � � a b c Chia hai vế cho số dương (trường hợp số a, b, c 0, �a  b  c � abc � ��۳ � � toán chứng minh) : a b c Xảy đẳng thức : a = b = c = a b c 3 abc  a=b=c=1 TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU b c d a   �1  a a Áp dụng bất đẳng thức 233 Từ giả thiết suy : b  c  d  1 b c d bcd �   �3.3 (b  1)(c  1)(d  1) Tương tự : Cauchy cho số dương : a  b  c  d  1 acd �3.3 b (a  1)(c  1)(d  1) abd �3.3 c (a  1)(b  1)(d  1) abc �3.3 d1 (a  1)(b  1)(c  1) Nhân từ bốn bất đẳng thức : 234 Gọi A 1� 81abcd abcd 81 x2 y2 z2   y2 z2 x2 Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacôpxki : �x2 y2 z2 � �x y z � 3A  �   � (1 1 1) ��   � �y z x � �y z x � (1) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với ba số không âm : (2) Nhân vế (1) với (2) : �x y z � �x 3A �  ��  3� y z x � � �y y z x y z x y z   �3.3  y z x y z x z� � x� A x y y z z x 3 3 235 Đặt x  3 ; y  3 x3 + y3 = (1) Xét hiệu b3 – a3 , ta : b3 – a3 = 24 – (x + y)3 = 24 – (x3 + y3) – 3xy(x + y) Do (1), ta thay 24 4(x3 + b3), ta có : b3 – a3 = 4(x3 + y3) – (x3 + y3) – 3xy(x + y) = 3(x3 + y3) – 3xy(x + y) = = 3(x + y)(x2 – xy + y2 – xy) = 3(x + y)(x – y)2 > (vì x > y > 0) Vậy b3 > a3 , b > a TÀI LIỆU TỐN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 236 a) Bất đẳng thức với n = Với n ≥ 2, theo khai triển Newton, ta có : n n(n  1) n(n  1)(n  2) n(n  1) 2.1 � 1� 1 �  1 n  2   n � n 2! n 3! n n! n � n� 1� �1 1 1 �    � n! � �2! 3! < 1 1 1    �     2! 3! n! 1.2 2.3 (n  )n Dễ dàng chứng minh : (1 )n  n Do 1 1 1 1       1  2 n1 n n = b) Với n = 2, ta chứng minh > 22 n Với n ≥ 3, ta chứng minh (2) �  n1  n n(n1)   n n n(n1) 3 (1) Thật vậy, (1)  n  n1 n  n1 � (n  1)  n n  3   2  32 (2) Thật : (n  1)n �  n� nn n � 1� 1 � n � � n� (3) n � 1� 1 � � n� � Theo câu a ta có , mà ≤ n nên (3) chứng minh Do (2) chứng minh 237 Cách :   A  x2  1 x4  x2  �4 A = với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A �24 (x2  x  1)(x2  x  1)  24 x4  x2  �2 A = với x = 238 Với x < A ≥ (1) Với ≤ x ≤ 4, xét - A = x 2(x – 2) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số khơng âm : TÀI LIỆU TỐN THCS FB TỐN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU �x x � �2   x  � �2x  � A x x   (x  2) �� � � � �8 2 3 � � � � � � - A ≤ 32  A ≥ - 32 A = - 32 với x = 239 Điều kiện : x2 ≤ �x2 x2 2�    x 2 � � x x A  x4(9  x2 )  (9  x2 ) �4�2 � 4.27 2 � � � � � � max A = với x = ± 240 a) Tìm giá trị lớn : Cách : Với ≤ x < Với x ≥ Ta có A = x(x2 – 6) ≤ ≤ x ≤  ≤ x2 ≤  ≤ x2 – ≤ Suy x(x2 – 6) ≤ max A = với x = Cách : A = x(x2 – 9) + 3x Ta có x ≥ 0, x2 – ≤ 0, 3x ≤ 9, nên A ≤ max A = với x = b) Tìm giá trị nhỏ : Cách : A = x3 – 6x = x3 + (2 )3 – 6x – (2 )3 == (x + 2 )(x2 - 2 x + 8) – 6x - 16 = (x + 2 )(x2 - 2 x + 2) + (x + 2 ).6 – 6x - 16 = (x + 2 )(x - )2 - ≥ - A = - với x = Cách : Áp dụng bất đẳng thức Cauchy với số không âm : 3 x3 + 2 + 2 ≥ x 2.2 = 6x Suy x3 – 6x ≥ - A = - với x = x x x 3-2x x 3-2x x x x x TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 241 Gọi x cạnh hình vng nhỏ, V thể tích hình hộp Cần tìm giá trị lớn V = x(3 – 2x)2 Theo bất đẳng thức Cauchy với ba số dương : �4x  3 2x  3 2x � � � �= 4V = 4x(3 – 2x)(3 – 2x) ≤ � max V =  4x = – 2x  x = Thể tích lớn hình hộp dm3 cạnh hình vng nhỏ dm 242 a) Đáp số : 24 ; - 11 ; 10 b) Đặt  x  a; x  1 b Đáp số : ; c) Lập phương hai vế Đáp số : ; ± d) Đặt 2x  = y Giải hệ : x3 + = 2y , y3 + = 2x, (x – y)(x2 + xy + y2 + 2) = 1�  x = y Đáp số : ;   x  x2  e) Rút gọn vế trái : Đáp số : x = g) Đặt  x  a; x   b Ta có : a3 + b3 = 2, a3 – b3 = 12 – 2x, vế phải phương trình cho a b a3  b3 Phương trình cho trở thành : a  b = a3  b3 a  b a3  b3  3 Do a3 + b3 = nên a  b a  b  (a – b)(a3 + b3) = (a + b)(a3 – b3) Do a + b ≠ nên : (a – b)(a2 – ab + b2 = (a – b)(a2 + ab + b2) Từ a = b ta x = Từ ab = ta x = ; x = TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU h) Đặt x  1 a; x  1 b Ta có : a2 + b2 + ab = (1) ; a3 – b3 = (2) Từ (1) (2) : a – b = Thay b = a – vào (1) ta a = Đáp số : x = i) Cách : x = - nghiệm phương trình Với x + ≠ 0, chia hai vế cho x Đặt x1 x  a; b x x Giải hệ a3 + b3 = 2, a + b = - Hệ vô nghiệm Cách : Đặt : x  = y Chuyển vế : y3   y3   y Lập phương hai vế ta y3 – + y3 + + y  1.(- y) = - y3  y3 = y Với y = 0, có nghiệm x = - Với y ≠ 0, có y = Vô n0 y6  y6  Lập phương : y6 = y6 – Cách : Ta thấy x = - nghiệm phương trình Với x < - 2, x > - 2, phương trình vơ nghiệm, xem bảng : x x1 x x x < -2 < -1 < < < x > -x > -1 > > > k) Đặt + x = a , – x = b Ta có : a + b = (1), Theo 3 Vế trái bất đẳng a b  a  b � thức Cauchy ab  a  b = (2) m n mn � , ta có a  b 1 a 1 b    2 1 a 1 b a b  a  b  1�   1  2 2 Phải xảy dấu đẳng thức, tức : a = b = Do x = l) Đặt a  x  m �0; b  x  n �0 m4 + n4 = a + b – 2x TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 4 Phương trình cho trở thành : m + n = m  n Nâng lên lũy thừa bậc bốn hai vế thu gọn : 2mn(2m2 + 3mn + 2n2) = Suy m = n = 0, m, n > 2m + 3mn + 2n2 > Do x = a , x = b Ta phải có x ≤ a , x ≤ b để thức có nghĩa Giả sử a ≤ b nghiệm phương trình cho x = a 243 Điều kiện để biểu thức có nghĩa : a + b2 ≠ (a b không đồng thời 0) x  a  x ; b  y , ta có : Đặt  y   (xy)2 x  xy  y 2 x  A x  x y  y x  2x y  y  2x y  x  xy  y x  xy  y =  y  xy   x  y  xy  x  y  xy 3 Vậy : A  a  b  ab  x  y  xy (với a2 + b2 ≠ 0) 244 Do A tổng hai biểu thức dương nên ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy : A  x  x   x  x  �2 x  x  x  x   (x  x  1)(x  x  1) = 4 = x  x  �2 Đẳng thức xảy : 2 � �x  x   x  x  � x0 �4 �x  x   Ta có A ≥ 2, đẳng thức xảy x = Vậy : A =  x = 245 Vì + : 3(1 + nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = 0, nên ta có )3 + a(1 + )2 + b(1 + ) + 12 = Sau thực phép biến đổi, ta biểu thức thu gọn :(4a + b + 42) + (2a + b + 18) = Vì a, b Z nên p = 4a + b + 42  Z q = 2a + b + 18 Z.Ta phải tìm số nguyên a, b cho p + q = TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU p = - q , vơ lí Do q = từ p + q = ta suy p = Nếu q ≠ nghiệm phương trình 3x + ax2 + bx + 12 = Vậy + : 4a  b  42  � � 2a  b  18  � Suy a = - 12 ; b = 246 Giả sử p 3 số hữu tỉ q p3 p ( q phân số tối giản ) Suy : = q Hãy p chứng minh p q chia hết cho 3, trái với giả thiết q phân số tối giản 247 a) Ta có : Do : b) 1  1   1 2    2    2   2  2  32  2  1    1 248 Áp dụng đẳng thức (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b), ta có : a  20  14  20  14  3 (20  14 2)(20  14 2).a � a  40  3 20  (14 2) a  a3 – 6a – 40 =  (a – 4)(a2 + 4a + 10) = Vì a2 + 4a + 10 > nên  a = 249 Giải tương tự 21 250 A = + 3 251 Áp dụng : (a + b)3 = a3 + b3 + 3ab(a + b) Từ x = 3  Suy x3 = 12 + 3.3x  x3 – 9x – 12 = 252 Sử dụng đẳng thức (A – B) = A3 – B3 – 3AB(A – B) Tính x Kết M =0 253 a) x1 = - ; x2 = 25 TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU � u  v3  � � 3 u = x , v = x b) Đặt , ta : �v  u   u = v = -  x = c) Đặt : x  32  y  Kết x = ± 254 Đưa biểu thức dạng : A+B|  A = A x3    x3  1 Áp dụng | A | + | B | ≥ | -1 ≤ x ≤ 255 Áp dụng bất đẳng thức Cauchy hai lần 256 Đặt x  y x  y 258 Ta có : a (a < b) P  x  a  � P  23 x   x  b =|x–a|+|x–b|≥|x–a+b–x|=b– Dấu đẳng thức xảy (x – a)(x – b) ≥  a ≤ x ≤ b Vậy P = b – a  a ≤ x ≤ b 259 Vì a + b > c ; b + c > a ; c + a > b Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số dương (a  b  c)  (b  c  a) (b  c  a)  (c  a  b) (a  b  c)(b  c  a) �  b (b  c  a)(c  a  b) � c 2 (c  a  b)  (a  b  c) (c  a  b)(a  b  c) � a Các vế bất dẳng thức dương Nhân bất đẳng thức theo vế ta bất đẳng thức cần chứng minh Đẳng thức xảy : a + b – c = b + c – a = c + a – b  a = b = c (tam giác đều) 260 x  y  (x  y)  (x  y)  4xy    2 261 2A = (a – b)2 + (b – c)2 + (c – a)2 Ta có : c – a = - (a – c) = - [(a – b) + (b – c)] = - ( + + - 1) = - 2 Do : 2A = ( + 1)2 + ( - 1)2 + (-2 )2 = 14 Suy A = TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TOÁN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU TẦM – TÌM KIẾM TÀI LIỆU 262 Đưa pt dạng :      2 x  1  y3 2  z5 3  0 263 Nếu ≤ x ≤ y = 264 Đặt : x   y �0 M  x    x 1   x 1  265 Gọi kích thước hình chữ nhật x, y Với x, y ta có : x + y2 ≥ 2xy Nhưng x2 + y2 = (8 )2 = 128, nên xy ≤ 64 Do : max xy = 64  x = y = 266 Với a, b ta có : a + b2 ≥ 2ab Nhưng a2 + b2 = c2 (định lí Pytago) nên : c2 ≥ 2ab  2c2 ≥ a2 +b2 + 2ab  2c2 ≥ (a + b)2  c ≥ a + b  c ≥ ab Dấu đẳng thức xảy a = b 267 Biến đổi ta :  a 'b  ab '    a 'c  ac '    b 'c  bc '  0 268 – ≤ x ≤ - ; ≤ x ≤ -Hết - TÀI LIỆU TOÁN THCS ... (x – 1)2 <  - < x – < 0 ,99 9 99 14 43 20chữs? ?9 = a Ta chứng minh 20 chữ số thập phân chữ số Muốn cần chứng minh a < a < 0 ,99 9 99 14 43  0 ,99 9 99 14 43 20chữs? ?9 20chữs? ?9 a a < Thật ta có : < a... , ta có : 182 Cho A 1 1     1. 199 9 2. 199 8 3. 199 7 199 9.1 Hãy so sánh A 1 ,99 9 183 Cho số x, y số hữu tỉ x  y số hữu tỉ Chứng minh số x ; y TÀI LIỆU TOÁN THCS FB TỐN HỌA – TỔNG HỢP – SƯU... A = x 2y với điều kiện x, y > 2x + xy = S 21 Cho 1 1      1. 199 8 2. 199 7 k( 199 8  k  1) 199 8  Hãy so sánh S 199 8 199 9 22 Chứng minh rằng: Nếu số tự nhiên a số phương số vơ tỉ 23 Cho