Đề thi chọn học sinh giỏi môn: Toán học 812335

UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO MƠN: TỐN Thời gian: 90 phút( Không kể thời gian giao đề) Câu (3 điểm) Phân tích đa thức sau thành nhân tử : a, x  b,  x   x   x   x    24 Cho a b c    Chứng minh rằng: bc ca ab a2 b2 c2   0 bc ca ab Câu 2: (2 điểm) Tìm a,b cho f x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức g x   x  x  2 Tìm số nguyên a cho a  số nguyên tố Câu 3.( 3,5 điểm) Cho hình vng ABCD, M điểm tuỳ ý đường chéo BD Kẻ ME  AB, MF  AD a Chứng minh: DE = CF b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy c Xác định vị trí điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn Câu 4.(1,5 điểm) Cho a, b dương a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002 Tinh: a2011 + b2011 HẾT ThuVienDeThi.com HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN UBND HUYỆN THUỶ NGUN PHỊNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu 1a 1b x4 + = x4 + 4x2 + - 4x2 Điểm 0,5 = (x4 + 4x2 + 4) - (2x)2 0,25 = (x2 + + 2x)(x2 + - 2x) 0,25 ( x + 2)( x + 3)( x + 4)( x + 5) - 24 = (x2 + 7x + 11 - 1)( x2 + 7x + 11 + 1) - 24 = [(x2 + 7x + 11)2 - 1] - 24 0,25 = (x2 + 7x + 11)2 - 52 0,25 = (x2 + 7x + 6)( x2 + 7x + 16) 0,25 = (x + 1)(x + 6) )( x2 + 7x + 16) 0,25 Nhân vế của: a b c   1 bc ca ab với a + b + c rút gọn  đpcm 0,5 0,5 Ta có : g x   x  x  2= x  1x   Vì f x   ax  bx  10x  chia hết cho đa thức 0,25 g x   x  x  Nên tồn đa thức q(x) cho f(x)=g(x).q(x)  ax  bx  10x  4= x+2  x-1.q x  0,25 Với x=1  a+b+6=0  b=-a-6 1 Với x=-2  2a-b+6=0 2  0,25 Thay (1) vào (2) Ta có : a=2 b=4 0,25 Ta có : a  4= a -2a+2 a +2a+2  0,25 Vì a  Z  a -2a+2  Z ;a +2a+2  Z Có a +2a+2= a+1   a Và a -2a+2= a-1   a 0,25 Vậy a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 0,25 ThuVienDeThi.com Nếu a -2a+2=1  a  thử lại thấy thoả mãn Nếu a +2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn A E 0,25 B 0,25 F M D AE  FM  DF 0,5  AED  DFC  đpcm 0,5 a Chứng minh: C b DE, BF, CM ba đường cao EFC  đpcm c Có Chu vi hình chữ nhật AEMF = 2a khơng đổi  ME  MF  a không đổi 0,5  S AEMF  ME.MF lớn 0,25  ME  MF (AEMF h.v) 0,25  M trung điểm BD 0,25 (a2001 + b2001).(a+ b) - (a2000 + b2000).ab = a2002 + b2002 0,25  (a+ b) – ab = 0,25  (a – 1).(b – 1) = 0,25  a = b = 0,25 Vì a = => b2000 = b2001 => b = 1; b = (loại) Vì b = => a2000 = a2001 => a = 1; a = (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ThuVienDeThi.com ... (loại) 0,25 Vậy a = 1; b = => a2011 + b2011 = 0,25 * Chú ý : Học sinh giải cách khác cho điểm tối đa -HẾT ThuVienDeThi.com ...HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HSG MƠN: TỐN UBND HUYỆN THUỶ NGUYÊN PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO Đáp án Câu 1a 1b x4 + = x4... a+1   a Và a -2a+2= a-1   a 0,25 Vậy a  số nguyên tố a +2a+2=1 a - 2a+2=1 0,25 ThuVienDeThi.com Nếu a -2a+2=1  a  thử lại thấy thoả mãn Nếu a +2a+2=1  a  1 thử lại thấy thoả mãn A