Các dạng bài thi toán kinh tế

Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế Các dạng bài thi toán kinh tế

Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng Chng BI TON QUY HOẠCH TUYẾN TÍNH 1.1 Mở đầu 1.1.1.Khái niệm tốn kinh tế : - Tốn kinh tế hay cịn gọi Kinh tế toán học phân ngành Kinh tế học nghiên cứu việc áp dụng toán học phát triển kỹ thuật toán học để giải vấn đề Kinh tế học - Quy hoạch tuyến tính ( linear programming _ LP) tốn tối ưu hố, hàm mục tiêu (objective function) ràng buộc hàm tuyến tính 1.1.2 Bài tốn quy hoạch tổng qt Tìm véctơ X = ( x1 , x2 , , xn ) làm cực tiểu (hoặc cực đại) hàm số f ( X ) , với điều kiện g i (X) ≤ 0,i=1, ,m; x j ≥ 0, j = 1, k , k ≤ n f ( X ) ( max f ( X ) ) ⎧ g ( X ) ≤ , i = 1, m ; với điều kiện ⎪⎨ i ⎪⎩ x j ≥ , j = 1, k , k ≤ n ; (1.1) (1.2) (1.3) - Hàm f ( X ) gọi hàm mục tiêu, điều kiện (1.1), (1.2), (1.3) gọi điều kiện buộc toán - Mỗi véctơ X =(xj) ∈ Rn thỏa mãn hệ điều kiện buộc gọi phương án Ta kí hiệu tập phương án M - Một phương án làm cực tiểu(hoặc cực đại) hàm mục tiêu gọi phương án tối ưu(hoặc gọi nghiệm)của toán - Khi f ( X ) gi(X)(i=1, ,n) hàm tuyến tính, M ⊂ Rn tốn cho gọi Bài tốn quy hoạch tuyến tính (btqhtt) 1.2 Bài tốn quy hoạch tuyến tính 1.2.1.Một số mơ hình thực tế A Bài toán lập kế hoạch sản xuất Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng Mt c s sản xuất hai loại sản phẩm A B, từ nguyên liệu I, II, III Chi phí loại nguyên liệu tiền lãi đơn vị sản phẩm, dự trữ nguyên liệu cho bảng sau đây: Nguyên liệu Sản phẩm A B Dự trữ I II III Lãi 3 Hãy lập tốn thể kế hoạch sản xuất cho có tổng số lãi lớn nhất, sở dự trữ ngun liệu có Lập tốn: Gọi x, y số sản phẩm A B sản xuất ( x , y ≥ , đơn vị sản phẩm) Khi ta cần tìm x , y ≥ cho đạt lãi lớn f ( X ) = x + y → max với điều kiện nguyên liệu: x + y ≤ 8; y ≤ 4; x ≤ 3; Tức cần giải toán: f ( X ) = x + y → max ⎧ x + y = 8; ⎪ y ≤ 4; ⎪ với điều kiện: ⎨ ⎪ x ≤ 3; ⎪⎩ x , y ≥ 0; B Bài tốn phân cơng lao động: Một lớp học cần tổ chức lao động với hai loại công việc: xúc đất chuyển đất Lao động lớp chia làm loại A, B, C, với số lượng 10, 20, 12 Năng suất loại lao động công việc cho bảng đây: Lao động Công việc Xúc đất Chuyển đất A(10) B(20) C(12) Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng Hãy tổ chức lao động cho có tổng suất lớn Lập toán: Gọi xij số lao động loại j làm công việc i(j=1,2;xij ≥ , ngun) Khi đó, suất lao động cơng việc đào đất là: x11 + x12 + x13 ; x 21 + x 22 + x 23 ; chuyển đất : Ta thấy để có suất lớn khơng thể có lao động dư thừa, tức phải cân hai cơng việc Vì ta có tốn sau: x11 + x12 + x13 → max; ⎧6 x11 + x12 + x13 − x21 + x22 + x23 = 0; ⎪ x + x = 10; ⎪ 11 21 với điều kiện ⎨ ⎪ x12 + x22 = 20; ⎪⎩ x13 + x23 = 12; C Bài toán phần thức ăn: Một phần thức ăn có khối lượng P, cấu tạo từ n loại thức ăn Gía mua đơn vị thức ăn loại j cj Để đảm bảo thể phát triển bình thường phần cần m loại chất dinh dưỡng Chất dinh dưỡng thứ i cần tối thiểu cho phần bi có đơn vị thức ăn loại j aij Hỏi nên cấu tạo phần thức ăn để ăn đủ no, đủ chất dinh dưỡng mà có giá thành rẻ Lập toán: Gọi xj (xj ≥ ) số đơn vị thức ăn loại j cấu tạo phần Khi đó, giá thành phần là: n f (X ) = ∑ c j x j ; j= Vì phải đảm bảo thoả mãn điều kiện đủ no đủu chất, tức là: n ∑x j =1 n j Ta có tốn sau: =P, ∑ a ijx j ≥ b j, i = 1, m j =1 n f ( X ) = ∑ c j x j → j= Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng ⎧ n x = P; j ⎪∑ j=1 ⎪ n ⎪ với điều kiện ⎨ ∑ a ij x j ≥ b i , i = 1, m ; ⎪ j=1 ⎪ x j ≥ , j = 1, n ; ⎪⎩ Ta thấy ba toán thuộc toán tổng quát 1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng qt A Dạng hệ phương trình Để quán lập luận, ta xét toán tìm cực tiểu, sau ta xét cách đưa tốn tìm cực đại tốn tìm cực tiểu * Bài tốn tổng qt QHTT có dạng : n f ( X ) = ∑ c j x j → (1.4) j =1 ⎧ n a x = b , i = 1, , k ; ij j i ⎪∑ j =1 ⎪ n ⎪ với điều kiện ⎨ ∑ a ij x j ≥ bi , i = k + 1, , m ; ⎪ j =1 ⎪ x j ≥ 0, j = 1, r ,r ≤ n ; ⎪⎩ (1.5) (1.6) (1.7) * Chuyển tốn tìm cực đại tốn tìm cực tiểu : Nếu gặp tốn tìm max, tức : n f ( X ) = ∑ cj xj → max j= X ∈D giữ nguyên ràng buộc, ta đưa dạng tốn tìm : n g ( X ) = − f ( X ) = − ∑ c j x j → j =1 Chứng minh : X ∈D Nếu tốn tìm có phương án tối ưu X* tốn tìm max có phương án tối ưu X* g(X)= - f(X) Thật vậy, X* phương án tối ưu tốn tìm min, tức n n j= j= f ( X * ) = ∑ cj x*j ≤ ∑ cj xj , ∀ X ∈ D Tr Tr− −êng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính n n j=1 j=1 Ths Nguyễn Hải Đăng c j x*j ≥ ∑ c j x j , ∀X ∈ D hay − f ( X * ) = g ( X * ) ≥ g ( X ), ∀X ∈ D * Vậy X phương án tối ưu toán max n f max = − ∑ c j x*j = − g (1.8) j= B Dạng ma trận Kí hiệu ma trận hàng C = (c1 , c2 , , cn )1× n ma trận : X=(x1,x2,,…,xn) Tn ×1 b = (b1,b2,…,bn) Tm×1 A= (aij)m × n Trong T kí hiệu cho phép chuyển vị ma trận Ta có toán: CX → ⎧ AX = b Với điều kiện ⎨ ⎩X ≥ (1.9) (1.10) C Dạng véc tơ Kí hiệu véc tơ: C = (c1,c2,…,cn) X = (x1,x2,…,xn) A0 = (b1,b2,…,bm) Aj = (a1j,a2j,…,amj) j = 1,2, ,n Ta có tốn: ⎧ x1 A1 + x2 A2 + + xn An = A0 ⎩ x1, x2 , , x n ≥ Với điều kiện ⎨ (1.11) (1.12) 1.2.3 Dạng tắc tốn quy hoạch tuyến tính Người ta thường xét toán QHTT dạng sau: n f ( X ) = ∑ c j x j → (1.13) j= ⎧ a x = b , i = 1, , m ; ∑ i với điều kiện ⎪⎨ j = ij j n ⎪ x ≥ , j = 1, n ; ⎩ j Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định (1.14) (1.15) Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng Bi toỏn (1.13), (1.14), (1.15) gọi Bài toán Quy hoạch tuyến tính dạng tắc 1.2.4 Đưa tốn quy hoạch tuyến tính dạng tắc *Phương pháp: Ta đưa tốn tuyến tính tổng qt tốn tuyến tính dạng tắc tương đương nhờ quy tắc sau: • Nếu có max f(X) đổ thành {min − f ( X )} • Nếu có bất đẳng thức n ∑a x j= ij j ≥ b i n ∑a x j= ij j ≤ bi ta đưa thêm ẩn phụ xn+i ≥ ,với hệ số hàm mục tiêu cn+i = để có: n ∑a x j =1 • ij j − xn+ i = bi n ∑a x j =1 ij j + xn+ i = bi ; Nếu có ẩn xk chưa ràng buộc dấu, ta thay hai biến x k xk không âm, theo công thức: " ' xk = x k - x k ' " *Các ví dụ: Ví dụ 1.1 Đưa tốn sau dạng tắc: { x1 − x − x 3}; ⎧ x11 + x12 + x13 − x21 + x22 + x23 = 0; ⎪ x + x + x = 5; ⎪⎪ với điều kiện ⎨ x1 − x + x ≤ 3; ⎪ x + x − x ≥ 4; ⎪ ⎪⎩ x1, x ≥ 0; Giải: Ta thấy có bất đẳng thức x1 − x2 + x3 ≤ nên ta đưa thêm ẩn phụ x4 , x5 ≥ Mặt khác, có ẩn x2 chưa ràng buộc dấu, ta thay x2 x 2' − x "2 Khi đó, tốn ban đầu chuyển dạng sau: ( x1 − x2' + x2" − x3 ) → Tr Tr− ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng ' " x1 + x − x + x = ⎪ ' " ⎪ x1 − x + x + x + x = với điều kiện ⎨ ' " ⎪ x1 + x − x − x − x = ⎪ x , x' , x", x , x , x ≥ ⎩ 2 Ví dụ 1.2 Đưa tốn QHTT sau dạng tắc: x1 − x2 + x3 + x4 − x5 → ⎧ x1 − x2 + x3 + x4 + x5 ≤ 7(1) ⎪ + + ≥ − 1(2) x3 x4 ⎪ x2 ⎪⎪ x + x4 + x5 ≥ 10(3) với điều kiện ⎨ ⎪ x1 + x2 − x3 + x4 = 20 ⎪ x1 , x5 ≥ ⎪ ⎪⎩ x4 ≤ Giải: Vì x2, x3 chưa ràng buộc dấu nên ta thay x2 x2' − x2" ( x2' , x2" ≥ 0) , x3 ' ' ' " ' " x3 − x3 ( x3 , x3 ≥ 0) , x4 ≤ nên thay x4 −x ( x ≥ 0) Vì có bất đẳng thức (1), (2), (3) nên ta thêm ẩn phụ x6, x7, x8 Từ đó, ta toán sau: x1 − ( x2' − x2" ) + 2( x3' − x3" ) − x4' − x5 → ⎧ x1 − 2( x 2' − x 2") + x 3' − x3" − x 4' + x + x = ⎪ ' " ' " ' ⎪ ( x2 − x2 ) + 2( x3 − x3 ) − x4 − x7 = − ⎪ Với điều kiện ⎨ 2(x '2 − x "2 ) − x 4' + 3x − x = 10 ⎪ + '− " − ' − " − '= ⎪ x1 ( x x2) 2( x3 x3) x 20 ⎪ x1 , x5 , x6 , x7 , x8 , x'2 , x"2 , x '3 , x"3 , x'4 ≥ ⎩ 1.3 Mơ tả tốn QHTT thuật tốn đồ thị 1.3.1 Biểu diễn hình học quy hoạch tuyến tính hai biến Xét tốn QHTT chuẩn tắc biến f ( X ) = c 1x + c 2x → Tr Tr− −êng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định (1.16) Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng a x + a i x ≤ bi , i = 1, m với điều kiện ⎪⎨ i 1 (1.17) ⎪⎩ x j ≥ , j = 1, ; (1.18) - Ta thấy rằng: H = {x = ( x1 , x2 ) : a1 x1 + a2 x2 = b} chia R2 thành hai nửa mặt phẳng: D + = { x = ( x1, x ) : a 1x1 + a 2x ≥ b} D − = { x = ( x1 , x2 ) : a1 x1 + a2 x2 ≤ b } bất phương trình tuyến tính hệ ràng buộc ai1 x1 + x2 ≤ bi , i = 1, m xác định nửa mặt phẳng Vậy miền ràng buộc D, xác định hệ ràng buộc giao m nửa mặt phẳng, đa giác lồi hay khúc lồi(D ≠ ∅ ) không tồn (D = ∅ ) - Để xác định nửa mặt phẳng (1.17), ta phải xác định đường thẳng: Hi : 1x1 + x = bi i = 1, m JG Sau đó, xác định véc tơ pháp tuyến nó: ni = {ai , } i = 1, m phần nửa mặt JG phẳng ( Di− ) : ai1 x1 + x2 ≤ bi , i = 1, m nằm phía ngược hướng với ni , (i = 1, m) , nửa JG mặt phẳng (Di+ ) : 1x1 + 2x ≥ bi , (i = 1, m) nằm phía hướng với ni , (i = 1, m) , kể biên (Hi) Chú ý: Ngoài phương pháp xác định mặt phẳng ( D−i ) ( Di+ ) nêu trên, xác định cách: Xét điểm góc toạ độ O(0;0) thuộc nửa mặt phẳng cách thay toạ độ O(0;0) vào hệ ràng buộc ngược lại ( Di+ ) : a i 1x + a i 2x ≥ bi JG ni = { 1, } ( Di− ) : 1x1 + 2x ≤ bi (H i ) : 1x1 + x = bi JG −n i Hình 1.1 Tr Tr− ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng - T ý ngha hỡnh học, hàm mục tiêu f ( X ) = c1 x1 + c2 x2 ta xét phương trình đường thẳng: c1 x1 + c2 x = α với α ∈ R (1.19) Ta thấy: Khi α thay đổi,( 1.19) xác định mặt phẳng toạ độ Ox1x2 đường thẳng JG song song với nhau( vng góc với véctơ pháp tuyến ni = {c1 , c2 } ), gọi đường mức (mức giá trị α ) Mỗi điểm x = ( x1 , x2 ) ∈ D , nằm đường mức với giá trị : ε = c1 x1 + c x Vậy theo ngơn ngữ hình học, phát biểu tốn QHTTCT sau; Trong số đường mức, tìm đường mức với giá trị nhỏ có thể: x2 JG ni = {c1, c 2} c1 x1 + c2 x2 = α x1 Hình 1.2 α = c1x1* + c 2x 2* với x * = ( x1* , x2* ) ∈ D Khi x * = ( x1* , x2* ) phương án tối ưu với f = α 1.3.2 Nhận xét Hàm mục tiêu: f ( X ) = c1 x1 + c2 x2 biểu diễn dạng véc tơ, nhờ khái niệm tích vơ hướng: f ( X ) =< cx > với c = (c1, c ), x = ( x1, x2 ) ∈ℜ Ta thấy f ( X ) = c1 x1 + c2 x = α Khi dịch chuyển song song đường mức theo hướng véc tơ pháp tuyến giá trị đường mức tăng Ngược lại, dịch chuyển theo hướng ngược lại giá trị đường mức giảm Từ đó, ta giải tốn QHTT theo phương phỏp hỡnh hc sau: Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang Ch Ch ơng b b i toán quy hoạch tuyến tính Ths Nguyễn Hải Đăng Thut toỏn th 1.3.3 a) Thut toỏn Bc Biểu diễn điều kiện buộc toán lên mặt phẳng toạ độ vng góc x1Ox2 Xác định miền ràng buộc D Bước Vẽ đồ thị đường mức (*) α c1x1 + c x = α với giá trị JG Bước Xác định véc tơ pháp tuyến ni = { c1, c2} dịch chuyển song song đường mức JG theo hướng véc tơ ni = {c 1, c 2} , vị trí tới hạn(vị trí tới hạn vị trí mà đường mức cịn cắt miền D, tiếp tục dịch chuyển không cắt miến D nữa) Bước 4: Điểm (hoặc nhiều điểm) D nằm giao điểm đường mức vị trí tới hạn với miền D, lời giải toán x2 A B D C c1x1 + c 2x = α * x c x + c x = α * 1 * JG ni = {c1 ,c } D x1* x1 Hình 1.2 b) Ví dụ * Ví dụ Giải tốn sau phương pháp hình học: 3x1 + x2 → ⎧ x1 − x2 ≥ −4 ⎪ x + x ≤ 14 ⎪ với điều kiện ⎨ + x ⎪ x ≤ 30 ⎪⎩ x1 , x2 ≥ Giải Biểu diễn ràng buộc toán lên mặt phẳng toạ độ x1Ox2, ta miền ràng buộc D đa giác lồi OABCD ( hình 1.3) Xét đường mức 3x1 +2x2 =2 Tr Tr− −êng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 10 Ch Ch ơng ph ph ơng pháp đơn hình đặc biệt Ths Nguyễn Hải Đăng f ( X ) = x1 − x + x + x + x5 → ⎧2 x1 + x3 − x4 + x5 = ⎪ Ví dụ ⎪ − x1 − x4 + x6 = −3 ⎨ x + x2 − x4 + x5 = ⎪ ⎪x j ≥ 0, j = 1,6 ⎩ Xét sở A3, A5 , A2 gồm véc tơ đơn vị Khi ma trận B là: Giải: ⎛ 0⎞ B = ⎜⎜ ⎟⎟ , ta giả phương án X = (0, 5, 6, 0, 0, -3) ⎜ 0 1⎟ ⎝ ⎠ Bảng đơn hình đối ngẫu là: Giả J cJ p.a xJ -1 1 6 -1 -3 -1 0 -1 -1 -1 -3 0 -1 0 dòng xoay: 6; cột xoay: 4; phần tử trục: -1 3 -1 0 -1 -1 0 -1 -2 0 -1 0 Tại ta có X ≥ nên phương án tối ưu, với X = (0, 8, 9, 3, 0, 0) fMin = Ví dụ f (x ) = 4x1 +3x +2x +3x → Min ⎧ x1 +x -x = ⎪ ⎪ -x1 +2x2 +x4 ≤ 11 ⎨ 2x +x -3x ≥ ⎪ ⎪ x j ≥ ( j = 1, 4) ⎩ Đưa dạng tắc f (x ) = 4x1 +3x +2x +3x → Min Tr Tr− −êng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 53 Ch Ch ơng ph ph ơng pháp đơn hình đặc biÖt ⎧ x1 +x -x = ⎪ ⎪ -x1 +2x2 +x4 + x5 = 11 ⎨ 2x +x -3x − x = ⎪ ⎪ x j ≥ ( j = 1,6) Ths Nguyễn Hải Đăng x 1+x 3-x = ⎪ ⎪-x +2x +x + x5 = 11 ⇔⎨ -2x -x +3x4 + x6 = −8 ⎪ ⎪x j ≥ ( j = 1,6) ⎩ Như ta có hệ véc tơ sở {A3 , A5 , A6 } ⇒ x = (0,0,2,0,11, −8) (ln có Δ k ≤ ∀k ) Ta có bảng đơn hình đối ngẫu: Giả J cJ p.a xJ -1 1 2 1 -1 0 11 -1 1 -8 -2 -1 -2 -3 -5 0 dòng xoay: 6; cột xoay: 1; phần tử trục: -2 -2 -1/2 1/2 1/2 15 5/2 -1/2 -1/2 4 1/2 -3/2 -1/2 -2 -10 -1 dòng xoay: 3; cột xoay: 2; phần tử trục: -1/2 -2 -1 -1 5 0 2 1 -1 0 20 0 -4 -8 -3 Tại ta có x ≥ nên phương án tối ưu, với x = (2, 4, 0, 0, 5, 0) fMin = 20 Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 54 Ch Ch ơng ph ph ơng pháp đơn hình đặc biệt Ths Nguyễn Hải Đăng Bài tập chương Giải phương pháp đơn hình cải tiến tốn quy hoạch tuyến tính sau: 1) F(x) = 2x1 - x2 + 3x3 + 2x4 + x5 + 4x6 => MIN x3 + 2x4 + 3x5 + x6 x2 - x4 + x5 =3 =6 x1 -4x3 -4x4 + 2x5 = x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 ĐS: (1,1,0,0,2,0) 2) F(x) = 4x1 - x2 + 2x3 + 2x4 + 3x6 => MIN 2x1 + x2 x1 + 3x3 - x5 + x3 + 3x5 = + x6 =9 x1 + 2x3 + x4 -2x5 =3 x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 ĐS: (0,13/2,3/2,0,0,9/2) 3) F(x) = x1 - x2 + x3 + x4 + 3x5 + 2x6 => MIN 2x1 -2x3 + x5 + 4x6 = x1 + x2 + 3x3 + x6 x1 + 2x3 + x4 -2x6 =9 =5 x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 ĐS: (7/2,11/2,0,3/2,0,0) 4) F(x) = x1 - x2 - x3 + x5 + 3x6 => MIN 2x1 2x1 + x2 - 3x2 + x5 - x4 + 3x6 = + x6 =-8 x1 + x3 + 3x6 = x1 >=0, x2 >=0, x3 >=0, x4 >=0, x5 >=0, x6 >=0 Giải phương pháp đơn hình đối ngẫu tốn quy hoạch tuyến tính sau: 5) f ( x) = x 1+3x +4x +x → Min ⎧ x1 -2x +2x ≥ ⎪ ⎪ -3x +x -4x ≤ 18 ⎨ -3x +x +2x -x ≥ 20 ⎪ ⎪ x j ≥ ( j = 1, 4) ⎩ ĐS: x = (0, 0, 12, 4, 0, 22, 0) 6) f ( x) = 3x1 +5x -7x +x → Min Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 55 Ch Ch ơng ph ph ơng pháp đơn hình đặc biệt 2x2 -x3 +3x4 10 ⎪ ⎪ x1 +x -4x -x = ⎨ 3x +2x +4x ≤ ⎪ ⎪ x j ≥ ( j = 1, 4) Ths Nguyễn Hải Đăng S: Vụ nghim 7) f ( x) = −2x 1+4x -3x 3-x + x5 → Min ⎧ x1 +x +3x +x − x5 = ⎪ ⎪ -2x +x -4x ≤ 15 ⎨ 5x +2x +x − x ≥ 18 ⎪ ⎪ x ≥ ( j = 1,5) ⎩ j ĐS: x = (0, 3, 0, 3, 0, 21, 0) 8) f ( x) = 4x 1+5x +3x +2x → Min ⎧ 2x1 +x +3x ≤ 21 ⎪ ⎪ x1 +2x +3x3 -x ≥ 27 ⎨ -x +4x +2x +2x ≥ ⎪ ⎪ x ≥ ( j = 1, 4) ⎩ j ĐS: x = (0, 6, 5, 0, 0, 0, 26) 9) f ( x) = 5x 1+x -3x +x + x5 + x6 → Min ⎧ 5x1 -4x2 +2x5 − 3x6 ≥ 18 ⎪ ⎪ -9x1 +x -x5 +2x = 11 ⎨ − = ⎪ 6x1 -5x3 +x4 +3x5 4x6 24 ⎪ x ≥ ( j = 1,6) ⎩ j ĐS: x = (2, 33, 0, 0, 4, 0, 0) Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 56 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng CHNG BÀI TOÁN VẬN TẢI 5.1 Nội dung đặc điểm toán 5.1.1 Nội dung toán a) Bài tốn Có m địa điểm A1, A2, ,Am sản xuất loại hàng hóa với lượng hàng tương ứng a1, a2,…,am Có n nơi tiêu thụ loại hang B1,B2,…,Bn với yêu cầu tương ứng b1, b2, …,bn Để đơn giản ta gọi Ai: điểm phát i, i=1,…m Bj: điểm thu j, j=1,…n Hàng chở từ điểm phát (i) tới điểm thu bát kỳ (j) Ký hiệu: cij- chi phí vận chuyển chở đơn vị hàng từ điểm phát (i) đến điểm thu (j) xịj- lượng hàng chuyên chở từ i tới j Bài toán đặt là: xác định đại lượng xij cho đường (i;j)sao cho tổng chi phí chuyên chở nhỏ với giả thiết: n m ∑a = ∑b i i= j j= Tức lượng hàng phát lượng hàng yêu cầu điểm thu b) Mơ hình tốn học Dạng tốn học toán vận tải m n ∑∑ c ij xij → (5.1) i =1 j =1 ⎧n ⎪∑ x ij = a i , i = 1, m ⎪ j=1 ⎪m ⎪∑ xij = b j , j = 1, n ⎨ i =1 ⎪ x ≥ 0, i = 1, m; j = 1, n ⎪ ij m n ⎪ ⎪ai , bj > 0; ∑ = ∑ bj i =1 j =1 ⎩ (5.2) (5.3) (5.4) (5.5) Bài toán gọi toán cõn bng thu phỏt Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 57 Ch Ch ơng b b i toán vận tải - Trng hp m a Ths Nguyễn Hải Đăng n i i =1 > b j Ta đưa toán cân thu phát cách j =1 thêm vào trạm thu giả Bn+1 với yêu cầu bn+1= m n ∑a − ∑b i i =1 , đồng thời ci n+1 j j= = (∀i) Lượng hàng lấy từ trạm phát Ai cung cấp cho trạm thu giả B n+1, nghĩa lượng hàng giữ lại trạm phát Ai - Trường hợp n m ∑a < ∑b i i =1 j =1 j Ta đưa toán cân thu phát cách thêm vào trạm phát giả Am+1 với yêu cầu am+1= m n ∑b − ∑a j j =1 i =1 i , đồng thời cm+1j = (∀j) Lượng hàng lấy từ trạm phát giả Am+1 cung cấp cho trạm thu B j, nghĩa lượng hàng yêu cầu trạm thu Bj khơng thỏa mãn c) Bài tốn vận tải dạng bảng Ta đưa toán vận tải vào bảng gọi bảng vận tải Bj b1 Ai a1 a2 c11 c12 x12 c22 c21 x22 x21 … …… …… … xi1 xi2 … cm1 … cm2 xm1 bj xm2 … x1j c2j x2j … … … … c1n x1n c2n x2n … … cij xij … bn … c1j … ci2 ci1 … am …… x11 … b2 … … cin xin … … cmj xmj … cmn xmn Các khái niệm toán dạng bảng: + chọn: có lượng hang xij>0, cịn gọi ô sử dụng + ô loại: ô hàng, tức xij=0 + Dây chuyền: đoạn thẳng hay dãy liên tiếp đoạn thẳng gấp khúc mà hai đầu mút hai ô nằm hàng cột với ô chọn khác thuộc dây chuyền bảng vận tải + Chu trình: dây chuyền khép kín Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 58 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng Nh vy mt hng hoc mt cột mà chu trình qua qua hai đó, số chu trình + Ma trận X=(xij)m×n thỏa mãn hệ điều kiện ràng buộc gọi phương án tốn + Phương án X=(xij)m×n gọi phương án cực biên toán vận tải tập hợp ô tương ứng với thành phần dương khơng tạo thành chu trình + Phương án X=(xij)m×n gọi phương án cực biên khơng suy biến có m + n – chọn + Phương án X=(xij)m×n gọi phương án cực biên suy biến có m + n – chọn + Phương án X=(xij)m×n gọi phương án tối ưu (hay nghiệm) tốn thỏa mãn điều kiện (5.1), ký hiệu X* 5.1.2 Tính chất chung toán - Một phương án cực biên có tối đa m + n – thành phần dương - Các véc tơ Aj tương ứng với biến xij có thành phần i thành phần m+j thành phần lại - Bài tốn ln ln có lời giải 5.2 Phương pháp vị để giải toán a) Phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát Để xây dựng môt phương án cực biên xuất phát người ta dùng phương pháp sau: * Phương pháp góc Tây_Bắc: Bước 1: Chọn dịng 1, cột bảng vận tải Bước 2: Phân lượng hàng h = {a1,b1} vào ô (1;1) Bước 3: Đánh dấu hàng (cột), theo lượng hàng trạm phát (trạm thu) hết (đã đủ) Bước 4: Quay trở bước thực cơng việc cịn lại Ví dụ: Đầu tiên phân phối cho (1;1), tức đặt x11 =min {25;70}=25, ghi số 25 vào hình chữ nhật nhỏ góc (1;1) u cầu trạm thu B1 thỏa mãn, loại cột khỏi bảng cách đánh dấu (x) vào ô lại cột Trong phần laị bảng, nằm góc tây bắc (1;2) Phân phối cho ô (1;2) với x12 = {45;80}=45, Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 59 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng loi hng khỏi bảng Tiếp tục cho phân phối cho ô (2;2) … yêu cầu trạm phát thu thỏa mãn Kết ta phương án cực biên với ô phân phối, phương án cực biên khơng suy biến Thu 25 Phát 70 85 35 110 80 25 45 x x 50 x x x x 11 35 10 x 30 x 11 x 35 45 12 x 120 x x 35 45 30 * Phương pháp chi phí nhỏ nhất:: Bước 1: Chọn có cước phí thấp nhất, giả sử (i;j) Bước 2: Phân lượng hàng h = {ai,bj} vào ô (i;j) Bước 3: Đánh dấu ô thuộc hàng i trạm phát Ai hết hàng cột j trạm thu Bj nhận đủ hàng Bước 4: Quay trở lại bước thực công việc cịn lại Ví dụ Ta thấy {cij} = c45 = 1, phân phối cho ô (4;5) với lượng hàng tương ứng x45 = {30;110}=30 Yêu cầu trạm thu B5 thỏa mãn, loại cột cách đánh dấu (x) vào cịn lại cột Trong phần cịn lại bảng, ứng với cij ô (1;2), xác định x12 = {70;80}=70 Yêu cầu trạm phát A1 thỏa mãn, loại hàng Tiếp tục phân phối cho ô (3;2) với x32 … yêu cầu trạm thu phát đề thỏa mãn Khi phân phối cho (3;1) u cầu trạm phát A3 B1 thỏa mãn, loại đồng thời hàng cột Kết ta phương án cực biên với phân phối, phương án cực biên suy biến Để có tập sở, cần bổ sung ô, chẳng hạn ô (3;4), khơng tạo vịng với sở có Trên bảng đánh dấu hình vng nhỏ, ghi số trị số biến sở tương ứng Cũng b sung nhng ụ khỏc Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 60 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Thu 25 Phỏt 80 70 x x x x 40 10 11 6 25 110 x 45 x 11 x 10 x 30 12 x 35 45 x 85 120 70 Ths Nguyễn Hải Đăng 80 x x 30 * Phương pháp xấp xỉ: - Định nghĩa độ lệch hàng(cột) hiệu số có cước phí thấp thứ nhì trừ có cước phí thấp thứ hàng (cột) Bước 1: Chọn hàng cột có độ lệch lớn Bước 2: Chọn có cước phí thấp thuộc hàng cột đó, giả sử (i;j) Bước 3: Phân lượng hàng h = {ai,bj} vào ô (i;j) -Bước 4: Đánh dấu ô thuộc hàng i trạm phát Ai hết hàng cột j trạm thu Bj nhận đủ hàng.Quay trở bước tiếp tục thực thuật tốn Ví dụ Trước hết tính hiệu số hàng cột, ghi cuối hàng cột tương ứng Hiệu số lớn cột nên phân phối cho ô (4,5) với lượng hàng tương ứng x45 = 30 Yêu cầu tạm thu thỏa mãn, loại cột 5; tính lại ước lượng hàng, hiệu số hàng thay đổi ghi vào sau vào hiệu số cũ Bây hiệu số lớn hàng 1, phân phối cho ô (1,2) với lượng hàng x12 = 70 Yêu cầu trạm phát thỏa mãn, loại hàng 1; tính lại hiệu số cột … Tiếp tục phân phối yêu cầu trạm thu phát thỏa mãn ta phương án cực biên không suy biến Thu 25 Phát 70 80 x 120 70 45 12 x Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định 30 x x 4,5 K Trang 61 Ch Ch− ơng b b i toán vận tải 85 35 110 x Ths Nguyễn Hải Đăng x 25 11 x 45 10 x 40 10 10 x 11 x 70 1,2,4 K x 2,1 K x 30 2 K K K K 4,3,5,1 K K b) Tiêu chuẩn tối ưu Phương án cực biên khơng suy biến X=(xij)m×n gọi phương án tối ưu tồn số ui (i=1, ,m) cho hàng số vj (j= 1, ,n)cho cột bảng vận tải cho: ⎧⎪ui + v j = cij ⎨ ⎪⎩u i + v j ≤ c ij ( i; j) : xij > 0(*) (i ; j ) : x ij = 0(**) Phương trình (*) ứng với ô (i;j) ô chọn Phương trình (**) ứng với ô (i;j) ô loại Các số ui vj gọi hệ thống vị, ui gọi vị hàng, vj gọi vị cột c) Thuật toán vị Bước 1: Tìm phương án cực biên xuất phát X0 = =(xij)m×n Sử dụng phương pháp Nếu phương án tìm phương án suy biến ta bổ sung ô chọn không để phương án cực biên khơng suy biến, chọn có vai trị chọn khác Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu phương án + Xây dựng hệ thống vị Cho ui giá trị tùy ý giá trị khác xác định cách (*) có (n+m) ẩn và (m+n-1) phương trình độc lập tuyến tính + Tính số kiểm tra Δ ij Đặt Δ ij = u i + v j − cij (i = 1, m, j = 1, n) Tính Δ ij ứng với loại • Nếu Δ ij ≤ (i = 1, m, j = 1, n) phương án xét phương án tối ưu Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 62 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng ã Nu ij > (i = 1, m, j = 1, n) phương án xét chưa tối ưu, chuyển sang bước Bước 3: Xây dựng phương án + Chọn ô điều chỉnh: max {Δ ij > (i = 1, m, j = 1, n) } Ô (r,s) gọi ô điều chỉnh : Δ rs = + Tìm chu trình điều chỉnh: Là chu trình với ô xuất phát ô điều chỉnh, ô lại ô chọn Gọi V tập hợp ô thuộc chu trình điều chỉnh + Đánh dấu ô chu trình, ô điều chỉnh đánh dấu (+) xen kẽ đánh dấu (-), (+)… hết chu trình Gọi V+ tập có dấu (+), V- tập có dấu (-) Khi đó, V = V + ∪ V − { } − + Xác định lượng hàng điều chỉnh: q = x ij : (i , j ) ∈ V , q > + Điều chỉnh sang phương án mới: X = ( xij )m ×n với: ⎧ x ij , (i, j) ∉ V ⎪⎪ + ⎨ x ij + q , ( i, j ) ∈ V ⎪ − ⎪⎩ x ij − q , (i , j ) ∈ V Gọi X1 đóng vai trị X0 quay lại bước lặp tìm phương án tối ưu * Chú ý: - Nếu ô điều chỉnh khơng ta xét theo hàng từ xuống bảng vận tải gặp ô trước ta chọn làm điều chỉnh - Nếu ta chọn (i0, j0) thỏa mãn: q Δ i0 j0 = max {q Δ ij }> giá trị hàm mục tiêu giảm nhanh d) Ví dụ Ví dụ Giải toán vận tải với số liệu cho bảng sau: Thu 46 45 76 20 52 79 10 13 50 10 13 60 50 13 10 13 Phỏt Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 63 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng Gii: Bc 1: Tìm phương án cực biên xuất phát: Sử dụng phương pháp chi phí nhỏ xây dựng phương án cực biên ta phương án cực biên không suy biến cho bảng sau: Thu 46 Phát 79 50 60 50 45 10 76 x 34 x 46 14 x x 30 x x 13 20 x 13 x x x 10 x 52 13 45 20 10 42 13 x 30 Bước 2: Kiểm tra tính tối ưu phương án: + Xây dựng hệ thống vị: Cho u4 = 0, ô (4,3) ,(4,5) sở nên tính v3 = v5 = 13 Xét cột chẳng hạn ta thấy (1,3) sở nên tính u1 = 7- =2,… Tiếp tục tính tương tự xác định toàn vị hàng cột bảng dưới: + Tính số kiểm tra: Tính Δ ij (i = 1,4, j = 1,5) ta thấy Δ15 = > 0, Δ21 = > nên phương án xét chưa tối ưu, ta chuyển sang bước Thu ui 46 45 76 20 52 Phát 79 50 60 50 vj 10 -2 45 46 -3 10 Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định 14 -8 13 42 30 10 -2 20 -8 13 -6 -7 -3 -2 8 -3 13 34 10 13 -2 8 -7 13 Trang 64 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng Bc 3: Xõy dng phng án mới: + Chọn ô điều chỉnh: Δ 21 = max{5; 3} = nên chọn ô (2,1) làm ô điều chỉnh.đánh dấu (+) vào ô điều chỉnh + Chọn chu trình điều chỉnh: Chu trình điều chỉnh bảng sau: Thu 46 Phát 79 50 60 50 10 45 76 -2 (+) (-) 46 13 vj 10 -8 (+) 14 10 -2 13 42 (-) 30 -8 -3 20 -6 13 -3 -7 -3 34 10 ui 52 13 45 20 -2 -2 -7 13 +Xác định lượng hàng điều chỉnh: q = {46 ; 30 } = 30 + Điều chỉnh sang phương án mới: X1 = (xij1) theo công thức cho bước thuật toán ta bảng sau: Thu 46 Phát 79 50 60 50 vj 10 45 76 -2 (-) 16 13 -3 10 42 -5 (-) 20 -8 -2 13 -6 -3 10 -8 -2 -8 ui 52 34 10 (+) 30 13 45 20 (+) 13 Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định (+) 44 13 (-) -2 -5 -7 13 Trang 65 Ch Ch− −¬ng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng + Lặp lại trình ta chu trình bảng Ta được: q = {16 ; 20 ;8 } = + Điều chỉnh sang phương án X2 cho bảng dưới: Thu 46 Phát 79 50 60 50 vj 45 10 76 -5 13 -6 -5 52 -3 10 -2 42 -5 12 -3 13 -5 -5 -5 8 34 10 52 13 45 38 20 13 10 -3 ui -2 -2 -4 10 Ta thấy Δij ≤ (i = 1,4, j = 1,5) nên phương án tương ứng bảng tối ưu với giá trị hàm mục tiêu f* = 45 * + 34 * + 38 * + 12 * + 8*3 + 52 * + 42 * + * 10 = 1211 Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 66 Ch Ch ơng b b i toán vận tải Ths Nguyễn Hải Đăng Bi chng Giải toán vận tải sau, sử dụng phương pháp tìm phương án cực biên xuất phát: Bài Thu Đáp số: 60 70 40 30 Phát ⎡60 10 30⎤ X = ⎢⎢ 60 20 ⎥⎥ ; f (X * ) = 460 ⎢⎣ 0 20 ⎥⎦ * 100 80 20 10 10 10 20 20 5 15 20 30 11 145 30 150 Bài Thu Phát Đáp số: ⎡0 ⎢10 X* = ⎢ ⎢0 ⎢ ⎣0 0 0⎤ 0 5⎥⎥ ; f (X* ) = 435 10 0⎥ ⎥ 0 15 15⎦ Bài Thu Phát 20 100 Đáp số: ⎡0 ⎢ * X =⎢ ⎢20 ⎢ ⎣0 0⎤ ⎥ 0 150⎥ ; f (X * ) = 940 75 25 30 ⎥ ⎥ 25 0 Tr Tr ờng Cao đẳng Công nghiệp Nam Định Trang 67 120 150 150 25 120 ... ba toán thuộc toán tổng quát 1.2.2 Bài toán quy hoạch tuyến tính tổng qt A Dạng hệ phương trình Để qn lập luận, ta xét tốn tìm cực tiểu, sau ta xét cách đưa tốn tìm cực đại tốn tìm cực tiểu * Bài. .. (2.9) + Bài toán (2.4) – (2.6) (2.7) - (2.9) tạo thành cặp toán đối ngẫu Nếu tốn gốc toán đối ngẫu ngược lại + Các điều kiện (2.5) (2.8) (2.6) (2.9) cặp điều kiện đối ngẫu + Dạng ma trận cặp toán. .. không bị chặn) Bài tập Lập toán QHTT * Phương pháp: - Căn vào yêu cầu tốn, phân tích số liệu, đặt ẩn xác định hàm mục tiêu - Xác định ràng buộc toán - Thi? ??t lập tốn * Bài tập luyện tập Bài Xí nghiệp