GIẢI CHI TIẾT đề TOÁN CHUNG KHTN 2021

Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 15/06/2021 (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) 13  x  18 x   61  x  (5  x)(x  8) Giải phương trình: Bài (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: Bài (2,0 điểm) Tìm số nguyên dương tương ứng Bài �x  y  6x y  � �x(x  y)  x  y n nhỏ nhất, biết chia n cho 11 13 , , , ta nhận số dư , , , (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC có điểm P nằm tam giác ( P không nằm cạnh) J K L PCA PAB Gọi , , tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC, , �  CKA �  ALB �  450� BJC 1) Chứng minh 2) Giả sử PB  PC PC  PA Gọi J K X Y , , Z hình chiếu vng góc , , L BC, CA, AB cạnh giác � BAC Dựng hình bình hành XYWZ Chứng minh W nằm phân NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Bài (1,0 điểm) A  {1, 2,3,�, 2021} Cho tập k Tìm số nguyên dương số phân biệt từ tập A k (k  2) lớn cho ta chọn mà tổng hai số phân biệt k số chọn không chia hết cho hiệu chúng HẾT LỜI GIẢI ĐƯỢC THỰC HIỆN BỞI Tập Thể Giáo Viên Nhóm Tốn “Tiểu Học – THCS – THPT VIỆT NAM” Tạ Thị Huyền Trang Nguyễn Trí Chính Hồng Dương Thắng Vũ Phạm Thụ Nguyễn Hưng Phạm Thu Hà Việt Dũng Lê Hợp Võ Quang Mẫn Nguyễn Lợi Thơm Lê Hường Ngô Nguyễn Quốc Mẫn Phạm Văn Tuân Trần Hùng Quân Ngô Vinh Phú Phạm Duy Nguyên Bùi Quốc Trọng Vương Thuận Nguyễn Minh Toàn Trần Lệnh Ánh ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 15/06/2021 (Thời gian 90 phút, không kể thời gian giao đề) Bài (2,0 điểm) NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” 13  x  18 x   61  x  (5  x)(x  8) Giải phương trình: Lời giải ĐKXĐ:  x �0 � � 8 �x �5 � �x  �0 13  x  18 x   61  x    x   x    1 a   x , a �0  1 : 13a  18 13  a  61   a  3a 13  a � 13  a   a    a  13a  66 �  13  a    a    a  13a  66  2 �  13  a   a  12a  36   a  26a3  37 a  1716a  4356 � 10a  82a  244a  312a  144  �  a    a  3  10a  32a  24   � � � � a2 x 1 � � �� a3 �� x  4 � � 89 a x � � � � 25 Cả nghiệm thỏa mãn điều kiện, 89 � � S � 4;1; � 25 � Vậy phương trình có tập nghiệm Cách khác: 13  x  18 x   61  x    x   x   Ta có NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” � 26  x  36 x   122  x  �3 Đặt    5 x  x8 5    x   x  8   x8 3  5 x    1 � �  a  3  x  2 � x 8 3  a � �� �  a  3   b    13 � �  b  2   x �5 x 2  b �  1 �  a  b   2  a  b � 3a  6ab  3b2  a  b Khi đó, ab  � � 2a  3ab  b  �  a  b   2a  b   � � 2a  b  � Trường hợp 1:   �  a  3 a  b  � b  a Khi    a   13 � a  6a   a  4a   13 � 2a  2a  �x 8 3  �x 8  a0 x 1 � � �� �� �� ��  t / m a  1 � x    1 � x   x  4 � � Trường hợp 2:   �  a  3 2a  b  � b  2a Khi    2a   13 � a  6a   4a  8a   13 � 5a  2a  �x 8 3  �x 8  a0 x 1 � � � � � � � 2�� 2�� 17 � � 89  t / m  � a x x 8 3  x 8  � � � � 25 5 89 � � S � 4;1; � 25 � Vậy phương trình có tập nghiệm NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Bài (2,0 điểm) Giải hệ phương trình: �x  y  6x y  � �x(x  y)  x  y Lời giải Cách 1: x0� y 0 TH1: : loại x �0 TH2: �x  y  x y   1 � �4 y 2 2  2 �x  y  x y  xy  x  y    x � Suy y 2 xy x  y       1 x Lấy ta được: �y  �� 2 x x  y  1 �  1 y0 x  � x  �1 Với , thay vào phương trình , 2 x  x  y   1 Với (phương trình vơ nghiệm vế trái phương trình ln khơng âm)  x; y   1;   1;  Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm ;     Cách 2: 4 2 � �x  y  x y  � �x  x  y   x  y 4 2 � �x  y  x y  �� 4 2 3 �x  x  y  x y  x y  xy   x  y 4 2 � �x  y  x y  �� 3 �x   x y  xy   x  y �x  y  x y  �� �4 x y  x y  y  NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” 4 2 � �x  y  x y  �� 2 �y  x  x y  1  �x  �� �y  4x4  4x2 y 1  (vì ) �x  �x  �1 �� �� �y  �y   x; y  Vậy hệ phương trình cho có cặp nghiệm Bài  1;0   1;0  ; (2,0 điểm) n Tìm số nguyên dương tương ứng nhỏ nhất, biết chia n cho 11 13 , , , ta nhận số dư , , , Lời giải Vì Vì Vì Vì n n n n chia dư nên chia dư nên Mà 2n chia 11 dư nên chia 13 dư nên � 2n  n 2n chia dư chia dư 2n 2n chia 11 dư 10 chia 13 dư 12 chia hết cho 7; 9; 11; 13 2n   BCNN  7;9;11;13 số tự nhiên nhỏ nên: � 2n   7.9.11.13 � n  4504 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Bài (3,0 điểm) Cho tam giác nhọn Gọi J , K L , ABC có điểm P nằm tam giác ( P không nằm cạnh) tâm đường tròn nội tiếp tam giác PBC PCA PAB , , �  CKA � � BJC ALB  450� 1) Chứng minh 2) Giả sử PB  PC PC  PA Gọi X , Y , Z hình chiếu vng góc J K L BC CA AB XYWZ W , , cạnh , , Dựng hình bình hành Chứng minh nằm phân giác � BAC Lời giải NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” �  CKA � � BJC ALB  450� 1) Chứng minh Ta có: �  180� PBC �  PCB � BJC      �  180� PAC �  PCA � CKA � � � ALB  180� PAB  PBA �‫װ‬� � � ALB � �BJC CKA 2) Giả sử PB  PC  180 540 PC  PA Gọi X , 450 Y , Z hình chiếu vng góc J K L BC CA AB XYWZ W , , cạnh , , Dựng hình bình hành Chứng minh nằm phân giác � BAC BM // XY  M �AC  Kẻ NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” CN // XZ  N �AB  Vì X trung điểm Suy W BC � Y trung điểm Y Mặt khác: trung điểm MC MN  1 trung điểm MC � AM  AC  2CY  AC   AC  CP  AP  (vì K tâm đường tròn nội tiếp ACP )  AP  CP Tương tự mà BP  CP � AM  AN AMN Suy  1 Từ Bài AN  AP  BP cân  2 , suy A  2 AW phân giác � BAC (1,0 điểm) A  {1, 2,3,�, 2021} Cho tập k Tìm số nguyên dương số phân biệt từ tập A k (k  2) lớn mà tổng hai số phân biệt cho ta chọn k số chọn không chia hết cho hiệu chúng Lời giải Gọi k a1 ; a2 ; a3 ; ak số số nguyên dương lớn chọn khơng tính tổng a1  a2  a3  ak qt giả sử NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” 1   i � 1, 2, k  1 Dễ thấy i � 1, 2, k  1 Mặt khác tồn 1   cho 1  Mai 1  nên ta có tính chẵn lẻ 1  �3 ( trái với giả thiết) từ suy � a  k 1 a1 k 1 ak  2021 ���  3k 2021 3k ta lại có k 2023 k 674 Nhận xét có hai số chia cho dư tổng chúng chia cho dư 1, hiệu chúng chia hết Nên tổng hai số không chia hết cho hiệu chúng Các số thuộc tập có tất 674 A số chia cho dư Vậy giá trị lớn k 674 Cách 2: Gọi B tập tập A thoả mãn hai phần tử B có tổng khơng chia hết cho hiệu Dễ thấy số tự nhiên liên tiếp ta chọn phần tử vào B Thật vậy, : x, x  1, x  Với số có phần tử B x   x    2x   x  2 – x  chia hết cho x   x  1  2x  chia hết cho x 1 – x   x     x  1  (x + 1) + (x + 2) = 2x + chia hết Với cách xây dựng tập B số phần tử tập B khơng thể lớn 2021 � �  1� 674 � �3 � B   1, 4, 7, �.2020 Tập có 674 phần tử thỏa mãn u cầu tốn NHĨM TOÁN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 10 Sản phẩm của: “Nhóm Tốn Tiểu Học-THCS-THPT VIỆT NAM” Vậy giá trị lớn k 674 NHĨM TỐN TIỂU HỌC – THCS - THPT VIỆT NAM Trang 11 ... biết chia n cho 11 13 , , , ta nhận số dư , , , Lời giải Vì Vì Vì Vì n n n n chia dư nên chia dư nên Mà 2n chia 11 dư nên chia 13 dư nên � 2n  n 2n chia dư chia dư 2n 2n chia 11 dư 10 chia... a  k 1 a1 k 1 ak  2021 ���  3k 2021 3k ta lại có k 2023 k 674 Nhận xét có hai số chia cho dư tổng chúng chia cho dư 1, hiệu chúng chia hết Nên tổng hai số không chia hết cho hiệu chúng... QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 ĐH KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM HỌC 2021 – 2022 MƠN THI: TỐN (cho tất thí sinh) (Đề thi gồm 01 trang) Ngày thi: 15/06 /2021 (Thời gian