Sáng kiến kinh nghiệm giải bài toán bằng cách lập phương trình

MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Dạng toán “Giải tốn cách lập phương trình” chương trình đại số lớp trường trung học sở dạng tốn tương đối khó học sinh Do đặc trưng loại toán thường loại tốn có đề tài lời văn thường xen trộn nhiều dạng ngôn ngữ (Ngôn ngữ thông thường, ngơn ngữ tốn học, vật lý ) Hầu hết tốn có kiện dàng buộc nhau, ẩn ý dạng lời văn, buộc học sinh phải có suy luận tốt tìm liên quan đại lượng dẫn đến việc lập phương trình hệ phương trình mà thực chất vấn đề khoa học giải tốn giải phương trình Trong phân phối chương trình tốn trường trung học sở toán lớp học sinh học khái niệm phương trình phương trình Nhưng việc giải phương trình có chương trình tốn từ lớp với mức độ yêu cầu tùy theo đối tượng học sinh Ở lớp 1, phương trình cho dạng: Điền số thích hợp vào trống: - = Ở lớp nâng dần dạng: X + – = 10 Ở lớp 4, cho dạng phức tạp hơn, chẳng hạn: X :3=4:2 X x +5 = 11, (X – 15 ) x = 21 Ở lớp 7, 8, mối liên hệ tốn cịn cho dạng lời văn có kiện kèm theo Vì vậy, muốn giải loại tốn học sinh cần phải suy nghĩ để thiết lập mối quan hệ dẫn đến việc lập phương trình (hệ phương trình) Mối đặc thù riêng loại tốn hầu hết toán gắn liền với nội dung thực tế Chính mà việc chọn ẩn số thường số liệu có liên quan đến thực tế Do giải tốn học sinh thường mắc sai lầm thoát li thực tế, dẫn đến quên điều kiện ẩn số Học sinh không khai thác hết mối quan hệ giàng buộc thực tế… từ lý mà học sinh ngại làm dạng toán Mặt khác, q trình giảng dạy lực, trình độ giáo viên dạy học sinh mức độ truyền thụ tinh thần Sách Giáo Khoa mà chưa biết phân loại toán, chưa khái quát cách giải cho dạng toán Kỹ phân tích tổng hợp học sinh cịn yếu trình đặt ẩn số, mối liên hệ số liệu toán, dẫn đến lúng túng việc giải tốn Vì thế, muốn giải tốn cách lập phương trình hay hệ phương trình điều quan trọng phải biết diễn đạt mối liên hệ toán thành quan hệ toán học Do vậy, nhiệm vụ người thầy phải dạy cho học sinh cách dẫn giải tập Do hướng yêu cầu giải toán phải dựa số nguyên tắc chung: Yêu cầu giải toán, quy tắc giải toán cách lập phương trình, phân loại dạng tốn dựa vào trình biến thiên đại lượng (tăng, giảm, thêm, bớt…) làm sáng tỏ mối quan hệ đại lượng dẫn đến lập phương trình dễ dàng Đây bước quan trọng khó khăn học sinh Với mong muốn trao đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng tốn “Giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình” Vì tơi chọn đề tài “Dạy giải tốn cách lập phương trình hệ phương trình.” Trong thời gian giảng dạy trường THCS học hỏi nhiều kinh nghiệm thầy cô giáo lớp trước đồng nghiệp nhóm giúp đỡ tơi hồn thành đề tài Tôi xin chân thành cảm ơn! NỘI DUNG *** CHƯƠNG I PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU VÀ YÊU CẦU GIẢI MỘT BÀI TOÁN I PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Dựa vào phân phối chương trình chung Bộ giáo dục - Đào tạo ban hành chương trình tốn THCS với nội dung: Phương trình hệ phương trình Phương pháp hướng dẫn học sinh giải toán dựa vào nguyên tắc chung: Giải toán cách lập phương trình Nội dung quy tắc gồm bước: Bước 1: Lập phương trình (gồm cơng việc) - Chọn ẩn số (Chú ý ghi rõ đơn vị điều kiện cho ẩn) - Biểu thị số liệu chưa biết qua ẩn số liệu biết - Dựa vào mối quan hệ số liệu để lập phương trình (hệ phương trình) Bước 2: Giải phương trình hệ phương trình Tùy thuộc vào dạng phương trình hệ phương trình mà chọn cách giải cho thích hợp Bước 3: Nhận định kết trả lời So sánh nghiệm tìm với điều kiện ẩn xem có thích hợp khơng trả lời kết (có kèm đơn vị) Mặc dù có quy tắc song người giáo viên trình hướng dẫn giải tốn cần cho học sinh vận dụng theo sát yêu cầu giải tốn nói chung II U CẦU VỀ GIẢI MỘT BÀI TỐN u cầu 1: Lời giải khơng phạm phải sai lầm, khơng có sai sót dù nhỏ Muốn giáo viên phải làm cho học sinh hiểu đề bài, q trình giải khơng có sai sót kiến thức bản, phương pháp suy luận, kỹ tính tốn, cách kí hiệu ẩn phải xác, phải phù hợp với tốn thực tế Ví dụ 1: Tỷ số tuổi anh tuổi em 0,5; sau năm tỷ số tăng thêm 0,1 Hỏi tuổi anh tuổi em nay? - Phân tích đề bài: Tỷ số tuổi anh tuổi em 0,5 ( = 1/2) Từ ta có tuổi anh gấp đôi tuổi em Sau năm, tuổi anh tuổi em tăng đơn vị; đó, tỷ số tuổi anh em là: 0,5 + 0,1 = 0,6 - Giải: Gọi tuổi em là: x ( x > 0; x ê N) Thì tuổi anh là: 2x Sau năm tuổi em là: x + Sau năm tuổi anh là: 2x + Theo đầu ta có phương trình : x3  0, 2x  x + = 0,6 (2x + 3) x = (T/m điều kiện) Vậy tuổi em hin là: (tuổi) Tuổi anh : x = 12 (tuổi) Yêu cầu 2: Lời giải toán lập luận phải có xác Trong q trình thực bước phải có lơgíc chặt chẽ với có sở lý luận chặt chẽ, đặc biệt phải ý đến việc thỏa mãn điều kiện nêu giả thiết Xác định ẩn phải khéo léo, mối quanhệ ẩn kiện cho phải làm bật ý phải tìm Nhờ mối tương quan đại lượng toán thiết lập phương trình (hệ phương trình), từ tìm giá trị ẩn Muốn giáo viên cần làm cho học sinh xác định rõ ràng đâu ẩn đâu kiện, đâu điều kiện Điều kiện có đủ để xác định ẩn khơng? Từ mà xác hướng đi, xây dựng lời giải Ví dụ 2: Hai cạnh khu đất hình chữ nhật nhay 4m Tính chu vi khu đất biết diện tích 1020 m2 Giải: Gọi chiều rộng khu đát hình chữ nhật là: x (m) (x > 0) => Chiều dài khu đất là: x + (m) Ta có phương trình: x (x + 4) = 1020 x2 + 4x - 1020 = x1 = 30 (t/m) x2 = -34 (loại) Vậy: Chiều rộng khu đất là: 30m Chiều dài khu đất là: 30 + = 34m Chu vi hình chữ nhật là: (30 + 34) x 2= 128 (m) Chú ý: Ở giáo viên cần lưu ý học sinh từ điều kiện loại nghiệm: x = -34 lấy nghiệm: x =30 Yêu cầu 3: Lời giải thích phải đầy đủ mang tính tồn diện Hướng dẫn học sinh khơng bỏ sót khả chi tiết nào, không thừa không thiếu Rèn cho học sinh cách kiểm tra lại lời giải xem đầy đủ chưa? Kết toán đại diện phù hợp với cách chung? Nếu thay đổi điều kiện tốn rơi vào trường hợp kết ln đúng? Ví dụ 3: Một cạnh tam giác có chiều cao 3/4 cạch đáy Nếu chiều cao tăng thêm 3cm cạch đáy giảm 5cm diện tích tam giác 9/10 diện tích ban đầu Tính chiều cao cạch đáy tam giác lúc đầu? - Phân tích: Dù chiều cao cạch đáy tam giác có thay đổi diện tích (S) tam giác ln tính theo công thức: S = 1/2 (cạch đáy chiều cao) - Giải: Gọi cạnh đáy tam giác lúc đầu là: x (cm) (x>5) � Chiều cao tam giác là: x (cm) Diện tích tam giác ban đầu là: S1 = 3 x x  x2(cm2) Khi tăng chiều cao lên 3cm chiều cao là: x + (cm) Khi giảm cạnh đáy 5cm cạnh đáy là: x - (cm) Diện tích tam giác là: S2 = ( x  3).(x  5) Theo ta có: � ( x  3).(x  5)  x2 10 � 3 ( x 3) (x  5)  x 10 (3x  12).(x  5) �  x 10 9x2 � (x  4).(x  5)  10 � 10(x2  4x  5x  20)  9x2 � x2  10x  200  x1 = 20 ( thỏa mãn điều kiện ) x2 = - 10 ( loại ) Vậy cạnh đáy tam giác lúc ban đầu 20cm Chiều cao tam giác là: 20 = 15 (cm) 4 Yêu cầu 4: Lời giải toán phải đơn giản phù hợp với kiến thức trình độ học sinh; đại đa số học sinh hiểu áp dụng Ví dụ 4: Một xưởng may phải may xong 3000 áo thời gian quy định Để hoàn thành sớm kế hoạch, ngày xưởng may nhiều áo so với số áo phải may ngày theo kế hoạch Vì thế, ngày trước hết thời hạn xưởng may 2650 áo Hỏi theo kế hoạch xưởng phải may thời gian ngày xưởng phải may xong áo? - Giải: Gọi số áo phải may ngày theo kế hoạch x (x ê N; x > 0) Thời gian quy định may xong áo 3000 (ngày) x Số áo thực tế may ngày là: x + (áo) Thời gian may xong 2650 áo là: 2650 (ngày) x Vì xưởng may xong 2650 áo trước hết hạn ngày nên ta có phương trình: 3000 2650  5 x x x2- 64x – 3600 = x1= 100 (thỏa mãn điều kiện) x2= -36 (loại) Vậy: Theo kế hoạch, ngày xưởng phải may xong 100 áo Thời gian quy định may xong 3000 áo là: 3000 = 30 (ngày) 100 Yêu cầu 5: Lời giải phải trình bày khoa học, mối liên hệ bước giải tốn phải lơgíc, chặt chẽ với nhau, bước sau suy luận từ bước trước kiểm nghiệm, chứng minh biết trước Ví dụ 5: Chiều cao tam giác vuông 9.6 m chia cạnh huyền làm đoạn 5,6 m Tính độ dài cạnh huyền tam giác - Phân tích: Xét tam giác vng ABC Giả sử AC > AB � CH > BH Cần ý rằng: AH2 = BH CH C H A - Giải: Gọi dộ dài BH x (m) (x>0) � Độ dài CH x+ 5,6 (m) Theo công thức hệ thức lượng tam giác, ta có phương trình: x.(x + 5,6) = 9,62 x2 + 5,6 x - 92,16 = x1 = 7,2 (thỏa mãn điều kiện) x2 = - 12,8(loại) Vậy: BH = 7,2 m B CH = 7,2 + 5,6 = 12,8 m Độ dài cạnh huyền : BC = BH + CH = 7,2 + 12,8 = 20 (m) Yêu cầu 6: Lời giải phải rõ ràng, đầy đủ Các bước cần lập luận không chồng chéo, phủ định lẫn Muốn cần rèn cho học sinh có thói quen sau giải xong cần thử lại kết tìm nghiệm tốn, tránh bỏ sót nghiệm phương trình bậc hai, hệ phương trình Ví dụ 6: Độ dài cạnh huyền tam giác 25, tổng độ dài hai cạnh góc vng 35 Tìm độ dài cạnh tam giác - Giải: Gọi độ dài cạnh góc vng tam giác x; y (x > 0; y > 0) Ta có hệ phương trình: x + y = 35 x2 +y2 = 252 = 625 x + y = 35 x + y = 35 (x + y)2 – 2xy = 625 x y = 300 � x, y nghiệm phương trình: a2 – 35 a + 300 = a1 = 20; a2 = 15 (thỏa mãn điều kiện) Vậy độ dài cạnh góc vng tam giác vng 20 15 Nhận xét: Ở tốn này, tìm kết 20 15, học sinh phân vân: hay đáp số? (x = 15; y = 20) ; (x = 20; y = 15) Trên thực tế tam giác vuông Giáo viên cần xây dựng cho học sinh có thói quen đối chiếu kết với điều kiện đầu bài, đảm bảo nghiệm dều hợp lí (Một tốn khơng thiết có kết quả) CHƯƠNG II : PHÂN LOẠI BÀI TOÁN GIẢI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI MỘT BÀI TOÁN I – PHÂN LOẠI BÀI TỐN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Trong tập lớp 9, giải tập cách lập phương trình hệ phương trình phân loại sau: Loại toán chuyển động Loại toán liên quan đến số học Loại toán suất lao động (tỷ số phần trăm) Loại tốn cơng việc làm chung, làm riêng (tốn quy đơn vị) Loại toán tỉ lệ chia phần (thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỉ số chúng) Loại tốn có liên quan đến hình học Loại tốn có nội dung vật lí, hóa học II CÁC GIAI ĐOẠN GIẢI BÀI TOÁN BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH Phần giai đoạn: - Với toán bậc ẩn số: Là dạng tốn sau xây dựng phương trình, biến đổi tương đương dạng ax + b = (a  0) - Với toán: Giải tốn phương trình bậc dạng tốn sau xây dựng phương trình, biến đổi tương đương dạng: ax2 + bx + c = (a,b  0) - Với toán: Giải toán hệ phương trình bậc hai ẩn dạng tốn sau biến đổi tương đương dạng nguyên (như mẫu số) có dạng: ax + by = c a,x + b,y = c, ( Trong a, b, a,, b, không đồng thời ) Để đảm bảo yêu cầu toán bước quy tắc giải tốn cách lập phương trình (hệ phương trình) phần I trình bày giải tốn chia làm giai đoạn cụ thể bước quy tắc giải tốn lập phương trình (hệ phương trình) * Giai đoạn 1: Đọc kỹ đề bài, phân tích hết giả thiết, kết luận toán giúp học sinh hiểu tốn cho kiện gì? Cần tìm gì? (Nêú mơ tả hình vẽ) * Giai đoạn 2: Nêu rõ vấn đề có liên quan đến lập phương trình Tức chọn ẩn số cho phù hợp, điều kiện cho thỏa mãn * Giai đoạn 3: Lập phương trình, dựa vào quan hệ ẩn số đại lượng biết, dựa vào cơng thức, tính chất để xây dựng phương trình, biến đổi tương đương để đưa phương trình xây dựng phương trình dạng biết, giải * Giai đoạn 4: Giải phương trình , vận dụng kí thuật giải phương trình biết để tìm nghiệm phương trình * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phương trình, để xác định lời giải toán tức xét nghiệm phương trình với điều kiện đặt tốn, với thực xem có phù hợp khơng? * Giai đoạn 6: Trả lời tốn kết luận xem có nghiệm, sau thử lại * Giai đoạn 7: Phân tích, biện luận cách giải, phần thường mở rộng cho học sinh tương đối khá, giỏi Sau giải xong gợi ý cho học sinh biến đối tốn thành tốn khác, ta có thể: - Giữ nguyên ẩn số, thay đổi yếu tố khác (dữ kiện giả thiết) - Giữ nguyên kiện, thay đổi yếu tố khác (ẩn số hay giả thiết) nhằm phát triển tư cho học sinh - Giải tốn cách khác, tìm cách giải hay CHƯƠNG III: NHỮNG LOẠI BÀI TOÁN VÀ HƯỚNG DẪN HỌC SINH GIẢI PHÂN LOẠI BÀI TOÁN I DẠNG TOÁN CHUYỂN ĐỘNG: Bài toán 1: Nhà Nam Lan nằm đường quốc lộ cách m Nếu Lan Nam xe đạp lúc ngược chiều sau 25 phút họ gặp Tính vận tốc người? Biết vận tốc Lan Nam 10 vận tốc Chưa bình phương x Bình phương Chưa bình phương Bình phương 17 – x x x (17 – x) y x2 y2 x2 + (17 – x)2 = 157 x + y = 17 x2 + y2 = 157 - Giải: Gọi số thứ x => số thứ 17 – x Tổng bình phương hai số 157 Ta có phương trình: x2 + (17 – x)2 = 157  x2 – 17x + 66 = x1 = 11 x2 = t/m Số thứ 11 số thứ 17 – 11 = Số thứ hai số thứ 17 – = 11 Vậy số phải tìm 11 Bài tốn 2: Tìm số có hai chữ số biết tổng chữ số viết thêm chữ số vào hai chữ số số lớn số ban đầu 360 đơn vị - Phân tích: Với số có hai chữ số: ab  10a  b Với số có ba chữ số: abc  100a  10b  c Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số số có hai chữ số số trở thành số có ba chữ số, chữ số hàng chục số ban đầu chữ số hàng trăm số mới, chữ số hàng đơn vị số ban đầu chữ số hàng đơn vị số - Giải: Gọi chữ số hàng chục số ban đầu x ( x  N, 0 Chữ số hàng đơn vị số ban đầu – x Số ban đầu 10x + (9 – x) = 9x + Khi viết thêm chữ số vào hai chữ số số là: 100x + 90 + (9 – x) = 99x + Số lớn số ban đầu 360 đơn vị Ta có phương trình: (99x + 99) – (9x + 9) = 360 90x = 270 x = (t/m đk) Chữ số hàng chục 15  Chữ số hàng đơn vị – = Vậy số cần tìm 36 Bài tốn 3: Cho số có hai chữ số Tìm số biết tổng hai chữ số nhỏ số lần, thêm 25 vào tích chữ số chữ số viết theo thứ tự ngược lại với số cho - Phân tích: Chú ý sử dụng ab  10a  b Ngoài cần ý viết số theo thứ tự ngược lại vai trò chữ số hàng chục hàng đơn vị hoán đổi cho nhau: - Giải: Gọi chữ số hàng chục số ban đầu x ( x  N, 0 x   5(t / m) + Với y = => x   25 (loại) Vậy số cần tìm 54 Tóm lại: Với dạng tốn liên quan đến số học cần cho học sinh hiểu mối quan hệ số đặc biệt số hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm, biểu diễn dạng tắc nó: ab  10a  b 16 abc  100a  10b  c Khi đổi chỗ vị trí chữ số thay đổi giá trị chữ số có thay đổi tương ứng với vị trí Ngồi cần ý điều kiện cho ẩn số phải phù hợp III DẠNG TOÁN VỀ NĂNG SUẤT LAO ĐỘNG (Tỷ số phần trăm) Bài toán 1: Trong tháng đầu hai tổ sản xuất 400 chi tiết máy, tháng sau tổ đạt vượt mức 10%, tổ đạt vượt mức 15% nên tổ sản xuất 448 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất chi tiết máy - Phân tích: + Đã biết suất chung tổ tháng đầu 400 chi tiết máy Nếu biết tổ ta tính tổ (chọn ẩn) + Gỉa sử biết suất tháng đầu tính tổng chi tiết máy sản xuất tháng sau + Tính suất tổ tháng sau để xây dựng phương trình - Giải: Cách 1: Gọi x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu (x  Z, < x < 400 ) Như tổ sản xuất 400 – x (chi tiết máy) Tháng sau tổ làm vượt mức 10%x (chi tiết máy) tổ làm vượt mức (400 – x ).15% (chi tiết máy) Do tổ vượt được: 448 – 400 = 48 (chi tiết máy) Theo ta có phương trình: 10%.x + (400 – x).15% = 48 x = 240 (t/m điều kiện) Vậy: Tháng đầu tổ sản xuất 240 chi tiết máy, tổ sản xuất 400 – 240 = 160 chi tiết máy Cách 2: Gọi số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu x số chi tiết máy tổ sản xuất tháng đầu y (x  Z , < x < 400 , y  Z , < y < 400 ) Ta có : x + y = 400 (1) Trong tháng sau tổ làm vượt mức 10%.x chi tiết máy 17 tổ làm vượt mức 15%.y chi tiết máy Ta có phương trình: 10%.x + 15%.y = 48 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x + y = 400 (1) 10%.x + 15%.y = 48 (2) Giải hệ phương trình ta có x = 240; y = 160 (t/m điều kiện)  Kết luận Bài tốn 2: Một tỉnh có tỷ lệ tăng dân số trước 2% với số dân đầu năm 2002 triệu dân Do tỷ lệ tăng dân số giảm 1,8% vùng thành thị giảm 1000 người so với số đạt với tỷ lệ 2% vùng nông thơn, nên số dân đầu năm 2003 tỉnh 2038400 người Tính số dân vùng thành thị tỉnh vào đầu năm 2003 - Giải: Gọi số dân vùng thành thị; vùng nông thôn tỉnh đầu năm 2002 x ; y (triệu dân) (x > ; y > 0) Ta có: x + y = (1) Số dân tăng vùng thành thị là: 1,8%.x (triệu dân) Số dân tăng vùng nông thôn : 2%.y – 0,001 (triệu dân) Số dân tăng tỉnh : 2,0384 – = 0,0384 (triệu dân) Ta có phương trình : 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình : (2) x + y = (1) 1,8%.x + 2%.y – 0,001 = 0,0384 Giải hệ ta x= 0,3 ; y = 1,7 (2) ( t/m diều kiện ) Số dân đầu năm 2002 tỉnh vùng thành thị 300000 người Số dân tăng : 1,8%.300000 = 5400 ( người ) Vậy: số dân tỉnh vùng thành thị đầu năm 2003 : 300000 +5400 = 305400(người) Tóm lại : Với loại tốn học sinh phải xác định tỷ lệ tăng suất lao động ( tăng dân số , … )so với mốc ban đầu từ đố lập phương trình IV DẠNG TỐN VỀ CƠNG VIỆC LÀM CHUNG , LÀM RIÊNG (Tốn quy đơn vị) 18 Bài toán : Hai vịi nước chảy vào bể khơng chứa nước sau h bể đầy Mỗi lượng nước vòi chảy lượng nước vòi chảy Hỏi vòi chảy sau đầy bể - Phân tích : Trong loại tốn cần lưu ý thời gian để vòi chảy đầy bể phần bể mà vòi chảy hai đại lượng nghịch đảo - Giải : Cách : Gọi thời gian để vịi chảy đầy bể x (h) ( x > Trong vòi chảy Trong vòi chảy Trong hai vòi chảy ) ( bể ) x 3  (bể ) x 2x  ( bể ) x 2x 4 Do hai vịi chảy sau h bể đầy ; ta có phương trình : (  )  5 x 2x � 24  x = 12 (t/m điều kiện ) 2x Vậy : Vòi chảy sau 12 h đầy bể Một vịi chảy :  ( bể ) 2.12  Vịi chảy sau h đầy bể Cách : Gọi thời gian để vịi chảy đầy bể x (h) Gọi thời gian để vòi chảy đầy bể y (h) ( x;y > Một vòi chảy ( bể ) x Một vòi chảy ( bể ) y 19 ) Theo ta có hệ phương trình : 31  x y 1 (  )  x y Giải hệ ta x = ; y = 12 (t/m điều kiện ) => Kết luận Bài tốn : Hai đội cơng nhân làm cơng việc 16 ngày xong Nếu đội thứ làm ngày đội thứ làm ngày 25% cơng việc Hỏi đội làm hồn thành cơng việc - Giải : Gọi thời gian để đội làm xong cơng việc x ( ngày ) Gọi thời gian để đội làm xong cơng việc y ( ngày ) ( x > 16 ; y > 16 ) Một ngày đội làm ( công việc ) x Một ngày đội làm ( công việc ) y Do đội làm 16 ngày xong cơng việc nên ta có phương trình : ( 1 + ).16 = (1) x y Đội làm ngày được: ( công việc ) x Đội làm ngày được: ( cơng việc ) y Khi đội làm 25% ( = 1 ) công việc ; ta có phương trình :   x y 4 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình : ( 1 + ).16 = (1) x y   (2) x y Giải hệ phương trình ta có x = 24 ; y = 48 ( t/m điều kiện ) Vậy đội làm sau 24 ngày hồn thành cơng việc 20 Vậy đội làm sau 48 ngày hồn thành cơng việc Tóm lại: Với loại tốn cần làm cho học sinh thấy rõ quan hệ thời gian suất làm việc: Nếu công việc làm x ngày (giờ) ngày ( ) làm cơng việc x V DẠNG TỐN VỀ TỶ LỆ CHIA PHẦN (Thêm, bớt, tăng, giảm, tổng, hiệu, tỷ số chúng ) Bài toán : Một đội xe cần phải chuyển 12 hàng Khi làm việc xe cần điều nơi khác nên xe phải chở thêm 16 hàng Hỏi lúc đầu đội có xe - Phân tích: Có thể minh họa toán bảng sau: Dự định Số xe x Số hàng ( ) 12 Số hàng xe chở ( ) 12 x Thực tế x–2 12 12 x - Giải : Gọi số xe đội lúc đầu x (xe ) ( x  N ; x > ) Theo dự định xe phải chở : 120 (tấn hàng) x Số xe thực tế : x – (xe) Khi xe phải chở : 120 (tấn hàng) x Theo ta có phương trình : 120 120 =16 x x x2 – 2x – 15 = x1 = - (loại) x2 = (t/m điều kiện) Vậy đội xe lúc đầu có xe VI DẠNG TỐN CĨ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH HỌC Bài tốn 1: Cho tam giác vng, tăng cạnh góc vng lên cm; cm; diện tích tam giác tăng thêm 50 cm2 Nếu giảm cạnh góc vng 2cm 21 diện tích tam giác giảm 32 cm2 Tính cạnh góc vng tam giác vng - Phân tích: Cần lưu ý dù cạnh thay đổi diện tích tam giác vng ln nửa tích hai cạnh góc vng - Giải: Gọi cạnh góc vng tam giác vng x ; y (cm) ( x > ; y > ) Diện tích tam giác lúc đầu xy (cm2) Khi tăng cạnh góc vng tam giác vng lên cm; 3cm diện tích tam giác (x  2).(y  3) (cm2) 1 (x  2).(y  3) - xy =50 (1) 2 Ta có phương trình: Khi giảm cạnh góc vng tam giác vng cm diện tích tam giác (x  2).(y  2) (cm2) 1 xy - (x  2).(y  2) = 32 (2) 2 Từ (1) (2) ta có hệ phương trình : Ta có phương trình : 1 (x  2).(y  3) - xy =50 (1) 2 1 xy - (x  2).(y  2) = 32 (2) 2 3x + 2y = 94 x + y = 34 Giải hệ ta x = 26; y = (t/m điều kiện ) Vậy : cạnh góc vng tam giác vng 26 cm cm Bài toán : Cho tam giác vng ABC ( �A = 900 )có cạnh AB = cm ; AC = cm M điểm AB Qua M kẻ đường thẳng song song với AC , BC chúng cắt BC , AC P Q Hãy xác định vị trí điểm M để diện tích hình bình hành MNCD diện tích tam giác ABC 22 - Phân tích : B Chú ý : SABC = AB.AC M P SMNCP = AM.NC - Giải : A Gọi độ dài AM x (cm) N C (0 < x < ) áp dụng định lý Ta lét tam giác ABC với MN // BC ta có : AM AN X AN 3x  �  � AN  (cm) AB AC  NC = AC – AN = - 3x (cm) SMNCP =AM.NC = x.(6 - 3x ) (cm2) SABC = 1 AB.AC = 6.8 = 24 (cm2) 2 Theo ta có phương trình: x.(6 - 3x ) = 24 x2 – 8x + 12 = x1 = ; x2 = ( t/m điều kiện ) Vậy: Điểm M cách A cm cm Tóm lại: loại tốn liên quan đến hình học cần làm cho học sinh liên hệ tính chất hình vào tốn Nếu tốt nên cho học sinh vẽ hình minh họa dựa hình vẽ để phân tích kiện mà đầu cho 23 VII DẠNG TỐN CĨ NỘI DUNG VẬT LÍ; HĨA HỌC Bài tốn 1: Dùng nhiệt lượng, nhiệt lượng 168 KJ để đun nóng khối nước kg, khối nước nhỏ có nhiệt độ lớn khối nước lớn 0C Tính xem khối nước nhỏ đun nóng thêm độ - Phân tích: Cần cho học sinh hiểu kĩ kiến thức vật lí học Ở cần sử dụng cơng thức tính nhiệt lượng Q = Cm.( t2 – t1 ); t2 – t1 nhiệt độ tăng thêm => m = Q C(t2  t1) Cần nhớ : nhiệt dung riêng nước C = 4,2 KJ / kg.độ - Giải : Gỉa sử khối nước nhỏ đun nóng thêm x độ ( x > ) Như khối lượng khối nước nhỏ là: m = Q 168 kg = C(t2  t1) 4,2x Vì khối nước lớn đun nóng khối nước nhỏ 20C nên khối lượng khối nước lớn là: 168 kg 4,2(x 2) Vì hai khối nước kg nên ta có phương trình: 168 168 +1= 4,2x 4,2(x 2) Giải phương trình ta x1 = 10 (t/m điều kiện) x2 = - (loại) Vậy :khối nước nhỏ đun nóng thêm 100C Bài tốn :Có loại dung dịch chứa loại a xít: loại chứa 30% a xít, loại chứa 5% a xít Muốn có 50 g dung dịch a xít 10% cần pha trộn lẫn g loại - Phân tích: Cần ý cơng thức C% = mchat tan 100% mdungdich - Giải: Gọi lượng dung dịch axit 30% cần đổ x (g) lượng dung dịch axit 5% cần đổ y(g) (0 < x < 50; < y < 50 ) Ta có phương trình : x + y = 50 (1) Số g a xít ngun chất có x g dung dịch a xít 30% x.30% (g) Số g a xít nguyên chất có y g dung dịch a xít 5% y.5% (g) Số g a xít ngun chất có 50 g dung dịch a xít 10% 50.10% (g) 24 Ta có phương trình: x.30% + y.5% = 50.10% 30x +5y = 500 (2) Từ (1) (2) ta có hệ phương trình: x + y = 50 (1) 30x +5y = 500 (2) Giải hệ phương trình ta x = 10; y = 40 (t/m điều kiện ) Vậy: cần đổ 10 g dung dịch a xít 30% 40 g dung dịch a xít 5% Tóm lại: Trong loại tốn có nội dung liên quan đến vật lí; hóa học học sinh cần nắm vững kiến thức vật lí; hóa học có liên quan từ áp dụng để thiết lập phương trình theo u cầu VII DẠNG TỐN CĨ CHỨA THAM SỐ Bài tốn 1: Một hình trịn có diện tích S = 3,14 R2 với R bán kính a, Khi R tăng lần S tăng hay giảm lần Khi R giảm lần S tăng hay giảm lần b, Khi S tăng lần R tăng hay giảm lần Khi S giảm 16 lần R tăng hay giảm lần - Phân tích: Trong toán học sinh phải xác định mối tương quan tỷ lệ độ dài bán kính đường kính Độ tăng diện tích bình phương độ tăng bán kính ngược lại - Giải : Gọi R = a S = 3,14 a2 a, Nếu R tăng lần R1 = 2R = 2a => S1 = 3,14 (2a)2 = 4.3,14.a2 = 4.S => Diện tích tăng lần Tương tự : R giảm lần diện tích giảm lần b, Nếu S giảm 16 lần S1 = 1 S => 3,14.R12 = 3.14.R2 =>R12 = R2 16 16 16 => R1 = R Vậy bán kính giảm lần Tương tự: S tăng lần R tăng lần Bài tốn 2: Một ô tô từ A đến B Cùng lúc ô tô thứ từ B đến A với vận tốc vận tốc ô tô thứ Sau h chúng gặp Hỏi ô tô quãng đường AB 25 - Phân tích: Khi tơ gặp tổng quãng đường mà chúng = quãng đường AB Trong toán quãng đường AB chưa biết; ta coi AB tham số tìm cách biểu diễn đại lượng lại theo AB - Giải: Gọi thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB x (h) ( x > ) Ta có: vận tốc tơ thứ vận tốc ô tô thứ hai Mỗi ô tô AB (km/ h) x AB 2AB  (km/h) x 3x AB 2AB  (km) x 3x Sau h hai ô tơ gặp , ta có phương trình : AB 2AB  = AB x 3x ) = x = (t/m điều kiện ) x 3x (  Vậy thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB h 2AB 2AB  (km/ h) Vận tốc ô tô thứ 25 3.8 Thời gian ô tô thứ hết quãng đường AB AB : 26 2AB 25   12 (h) 25 2 KẾT LUẬN CHƯƠNG Trên dạng tốn thường gặp chương trình THCS lớp Mỗi dạng tốn có đặc điểm khác cịn chia thành dạng nhỏ cho dạng Việc chia dạng chủ yếu dựa vào lời văn để phân loại, chung sở bước giải “Giải tốn cách lập phương trình, hệ phương trình” Mỗi dạng, tơi chọn số tốn điển hình có tính chất giới thiệu hướng dẫn em việc xây dựng phương trình theo loại: - Bài tốn đưa phương trình bậc ẩn - Bài tốn đưa phương trình bậc hai ẩn - Bài tốn đưa hệ phương trình Đó loại phương trình (hệ phương trình) học làm quen với cách giải THCS Với ví dụ tơi khơng có ý thiên hướng dẫn em cách giải phương trình; hệ phương trình mà chủ yếu gợi ý cho em xây dựng phương trình; hệ phương trình từ tốn thực tế để từ giúp em dễ dàng việc nhận dạng giải toán thực tế cách lập phương trình; hệ phương trình TÀI LIỆU THAM KHẢO Tên tài liệu SGK Toán SBT Toán SGV Toán Nâng cao phát triển Toán Toán nâng cao chuyên đề đại số Rèn luyện kỹ giải tốn THCS Ơn luyện tốn THCS Chủ biên Phan Đức Chính – Tơn Thân Phan Đức Chính – Tơn Thân Phan Đức Chính – Tơn Thân Vũ Hữu Bình Vũ Dương Thụy Lê Thống Nhất Hàn Liên Hải - Đào Ngọc Nam ĐÁNH GIÁ KẾT QUẢ THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM: Kiểm tra 20 làm học sinh nhận theo cách cũ kết sau: 27 Điểm – – 5% Điểm – 30% Điểm – 40% Điểm – 25% Điểm - 10 0% Kiểm tra 20 làm học sinh nhận theo cách kết sau: Điểm – – 0% Điểm – 15% Điểm – 35% Điểm – 35% Điểm - 10 15% Như vậy, ta thấy dẫn dắt học sinh theo giai đoạn việc giải toán cách lập phương trình, học sinh nắm biết cách phân tích tốn để lập phương trình theo điều kiện toán cho Việc áp dụng đề tài khă thi 28 KẾT LUẬN Trong thời gian giảng dạy thân thu nhiều điều bổ ích, thiết thực cho trình cơng tác giảng dạy thân tơi mạnh giạn chọn đề tài Qua thực nghiệm tơi thấy đề tài có tác dụng tốt việc giảng dạy học tập thầy giáo trò trường THCS Dựa vào hệ thống tập đại diện cho dạng toán, kết hợp với tài liệu tham khảo nỗ lực phấn đấu học hỏi người chắn giúp ích cho người dạy phần giải tốn cách lập phương trình lớp THCS để phát huy tính sáng tạo, độc lập nhận thức học sinh em giỏi Trong trình viết đề tài ,do điều kiện thời gian lực hạn chế mong đóng góp bảo thầy giáo bạn đồng nghiệp để làm kinh nghiệm quý báu cho thân công tác giảng dạy Xin chân thành cảm ơn bạn đồng nghiệp! Mời quý thầy cô tham khảo thêm: Thư viện Giáo Án điện tử VnDoc 29 ... đổi với đồng nghiệp kinh nghiệm trình giảng dạy dạng toán ? ?Giải toán cách lập phương trình hệ phương trình? ?? Vì tơi chọn đề tài “Dạy giải toán cách lập phương trình hệ phương trình. ” Trong thời... bảo yêu cầu toán bước quy tắc giải toán cách lập phương trình (hệ phương trình) phần I trình bày giải tốn chia làm giai đoạn cụ thể bước quy tắc giải tốn lập phương trình (hệ phương trình) * Giai... đoạn 4: Giải phương trình , vận dụng kí thuật giải phương trình biết để tìm nghiệm phương trình * Giai đoạn 5: Nghiên cứu nghiệm phương trình, để xác định lời giải toán tức xét nghiệm phương trình