Một số phương pháp giải phương trình có ẩn dưới dấu căn ở đại số lớp 10

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CHỨA ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O I MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI: Dạy học theo hướng đổi học sinh làm trung tâm, giáo viên chủ đạo; em học sinh tự giác tích cực tìm hiểu lĩnh hội kiến thức Số lượng cơng thức dạng tốn học hệ thống mơn Tốn trường phổ thơng lớn Vì giáo viên truyền thụ kiến thức cho học sinh phải làm cho học sinh thấy dạng toán bản, có định hướng, nguyên tắc biến đổi để học sinh thấy khơng có q nhiều dạng tập, giáo viên có vai trị để học sinh thấy học sinh cần nắm đâu toán bản, học sinh gặp tập khó tốn gốc ban đầu từ đâu, tư phát triển tư sáng tạo học sinh, dạng tốn phương trình vô tỷ, dạng f ( x ) = g ( x) (1), sau đặt điều kiện cho hai vế khơng âm, bình phương hai vế phương trình, dẫn đến phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn, phương trình chứa ẩn dấu biến đổi phương trình dạng (1) Trong q trình dạy Tốn trường Trung học phổ thơng nói chung, dạy tốn đại số lớp 10 nói riêng, tơi cố gắng truyền thụ kiến thức Tốn cách đơn giản cho học sinh, cố gắng tránh áp đặt truyền thụ máy móc, hướng dẫn học sinh thuộc nhớ cơng thức tốn mà giảm tối đa phương pháp học thuộc lòng Học sinh khơng cần nhớ nhiều dạng tốn, mà từ dạng tốn ta cần biết biến đổi toán gốc ban đầu nó, tốn mà ta cần hướng đến, để học sinh thấy thú vị giải tốn dù khó, hiểu ngun tắc toán trở nên đơn giản Riêng chương III đại số lớp 10 (ban bản) chương thuận lợi cho việc dạy học theo xu hướng Đã nhiều năm, thực theo cách Nay ghi lại gọi chút kinh nghiệm, giải bày đồng nghiệp quí bạn đọc Đề tài gọi tên là: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” ĐỀ TÀI: a Mục tiêu: Giáo viên làm nỗi bật vấn đề phương trình chứa ẩn dấu biến đổi dạng gốc, toán bản, để học sinh chủ động lĩnh hội kiến thức chương phương trình cách đơn giản, nhanh chóng đầy đủ Dạy - học bảo đảm nội dung kiến thức cần truyền thụ chương, sau học sinh lĩnh hội dạng tập khó b Nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực tốt nhiệm vụ dạy học nâng cao chất lượng giáo dục, giúp cho học sinh hình thành tư lơgic kỹ phân tích để đến hướng giải thích hợp gặp tốn giải phương trình vơ tỷ từ phức tạp đưa dạng đơn giản, giải cách dễ dàng Giải số dạng tập phương trình chứa ẩn dấu căn, mà với phương pháp giải cần đến kiến thức lớp 10 giải mà chưa cần đến kiến thức lớp 12 Tức học sinh tự tìm cách biến đổi để đưa dạng học, phần có phương pháp cần đến kiến thức lớp 12, nhiên dạng toán giải với kiến thức học lớp 10 Trong viết này, tơi trình bày chi tiết đầy đủ cách giải tốn, sau tơi trình bày theo phương pháp mà tơi lựa chọn có tốn giải theo phương pháp tơi trình bày cách chi tiết, sau có tập giải phương pháp nêu Đề tài sử dụng phù hợp để bồi dưỡng cho học sinh khối 10 có học lực trở lên Bài viết có ba phần chính: Giải phương trình chứa ẩn dấu phương pháp đổi biến khơng hồn tồn Giải phương trình chứa nhiều bậc hai phương pháp nhẩm nghiệm nguyên, sau đưa phương trình tích Phương trình chứa ba bậc hai, có bậc hai tích hai bậc hai lại ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương trình chứa ẩn dấu PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn dấu PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU: a Nghiên cứu lý thuyết: Cơ sở để tìm hiểu chương phương trình Tốn lớp 10 đại số cao cấp Tìm hiểu phương pháp dạy học, chuẩn kiến thức kỹ mơn tốn trường phổ thơng, Tài liệu bồi dưỡng giáo viên - Toán lớp 10, Sách giáo viên đại số 10, Sách giáo khoa Đại số 10 b Nghiên cứu thực tế: Thông qua học sinh làm thi kỳ đại học, cao đẳng Thăm dò ý kiến học sinh đồng nghiệp II NỘI DUNG THỰC TRẠNG: 1.1 Thuận lợi: - Các kiến thức không phức tạp, dễ tiếp thu, kiến thức gắn liền với phương trình đại số mà học sinh học lớp dưới, thông qua phép biến đổi tương đương để giải phương trình có chứa ẩn dấu bậc hai, bậc ba Khó khăn: Bài tập để rèn luyện cho học sinh khá, giỏi 1.2 GIẢI PHÁP, BIỆN PHÁP: a Nội dung giải pháp: Giải phương trình chứa ẩn dấu Dạng 1: Giải phương trình dạng: f ( x) = g ( x) (1) Giải phương trình (1) cách sử dụng phép biến đổi tương đương biến đổi hệ Giải phương trình (1) phép biến đổi tương đương sau: (1)  g ( x) ≥ ⇔  f ( x ) =  g ( x )  Ở dạng g(x) hàm số bậc nhất, sau thực phép biến đổi tương đương học sinh dễ dàng giải phương trình (1) Một vấn đề đặt gặp dạng f ( x) = g ( x ) mà g(x) hàm số bậc hai sau đặt điều kiện cho hai vế phương trình khơng âm bình phương hai vế phương trình gặp phương bậc cao, khó giải nghiệm phương trình nghiệm vơ tỉ; sau tơi trình bày ví dụ thể nhiều cách giải, kinh nghiệm nhỏ tơi trình bày phương pháp giải phương trình dạng (1) cách đổi biến khơng hồn tồn Bài tốn 1: Giải phương trình sau: x − x − = x + (1) Giải: Phương pháp 1:  x ≤ −  x − x − ≥   ⇔ Phương trình (1) ⇔    x ≥ + 2  x + = ( x − x − 3)   x − x + 10 x + 23 x + =  x ≤ −    x ≥ +  x ≤ −      ⇔   x ≥ + ⇔  x = −    x = ( x + 1) ( x − ) ( x − x − 1) =   ± 29  x =    Vậy: S= −1;  + 29   nghiệm phương trình  Phương pháp 2: Sử dụng máy tính ta tìm nghiệm nguyên x = − Khi ta thực sau: x − x − = ( x + 1) ( x − ) + Phương trình (1) viết sau: x + − = ( x + 1) ( x − ) (1) Đk: x ≥ − (1) ⇔ x +1 = ( x + 1) ( x − ) x+5 +2 x = −1 ⇔  = x − (2)  x + + t ≥ Giải phương trình (2): Đặt t = x + ⇔  t = x + Phương trình (2) có dạng: = t −10 t+2 ⇔ t + 2t − 10t − 21 = t = − ⇔  ± 29 t =  So sánh với điều kiện: t = Với t = + 29 + 29 + 29 ta có: x = 2 Phương pháp 3: Đk: x ≥ − Phương trình (1) ⇔ ( x − ) − = x + Đặt: y − = x +  y≥2 ⇔  ( y − ) = x + y ≥0   Ta có hệ phương trình: ( x − ) = y +   ( y − ) = x + y ≥2  ⇔ ( x − ) = y +  ( x − y ) ( x + y + ) = ( x − ) = y +   y = x   + 29 ( x − ) = y + x= ⇔  ⇔   y = − x −  x = − y≥2    Phương pháp 4: Đặt t = x + t ≥ t ≥ ⇔ ⇔ t = x + t = x + + t ≥ ⇔ 3 = t − x − Phương trình (1) có dạng: t + t − x + x − = t = x − ⇔ t = − x + Với t = − x +1 ta có: x + = − x +1  x ≤1 ⇔  x − 3x − = Với t = x − ta có: ⇔ x = −1 x+5 = x−2 x ≥ ⇔  x − x −1 = ⇔ x= + 29 Nhận xét thông qua phương pháp giải toán sau:Phương pháp 1: Dạng quen thuộc học sinh, học sinh theo phương pháp 1, nhiên sau bình phương hai vế phương trình dẫn đến phương trình bậc cao, nghiệm vơ tỷ, khó khăn giải Phương pháp 2: Sau sử dụng máy tính tìm nghiệm ngun ta giải tốn cách đưa phương trình tích, phương pháp cách hay, tơi trình bày dạng toán Phương pháp 3: Sau đặt ẩn phụ cách thích hợp ta chuyển tốn phương trình chứa bậc thành hệ phương trình đối xứng loại hai, nhiên việc chuyển hệ phương trình đối xứng loại nhiều tốn đưa hệ phức tạp Phương pháp 4: Giải “phương pháp đổi biến khơng hồn tồn”, phương pháp sau đặt ẩn phụ ta phương trình theo ẩn phụ, nhiên data phải đẳng thức, học sinh phải khéo léo để tách, sau giải theo ẩn gặp phương trình có phương pháp giải đưa phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai ẩn Sau tơi trình bày số tốn mà giải theo phương pháp đổi biến khơng hồn toàn giải ngắn gọn dễ dàng mà chưa cần đến kiến thức lớp 12 Bài toán 2: Giải phương trình sau x + = x + x − (1) Giải: Đặt: t = x + t ≥ ⇔ (*) t = x + Vấn đề đặt dạng biến đổi: = – = + Ở ta nên biến đổi = + để hệ số x t2 trái dấu với toán hầu hết giải được, toán giải sau: t ≥ (*) ⇔  t = x + + t ≥ ⇔ 1 = t − x − Phương trình (1) có dạng: t = x + x − t + x + ⇔ t + t − x − 5x − = t = x + ⇔ t = − x − Với t = x + ta có: x+7 = x+2 x ≥ − ⇔  x + 3x − = x ≥ −    x = −3 − 21 ⇔      x = −3 + 21   Với t = − x − ta có: x ≤ − ⇔  x + 5x + = x ≤ −    x = −5 − 17 ⇔      x = −5 + 17    −3 + 21 −5 − 17  ;  tập nghiệm phương trình 2   Vậy: S =  Bài toán 3: Giải phương sau: x + = x − x + (1) Giải: (1) ⇔ 12 x + = x − x + Đặt t = 12 x + t ≥ ⇔ (*) t = 12 x + Để hệ số t2 x2 trái dấu ta tách: 4= 12 – hay = 12 – t ≥ (*)   = t − 12 x Khi phương trình (1) có dạng: t = x − x + 12 − t + 12 x ⇔ t + t − x − x − 12 = t = x + ⇔ t = − x − Với t = x + ta có: 12 x + = x + x ≥ − ⇔ x − 6x + = x ≥ −  ⇔   x =1  x =  Với t = − x − ta có: 12 x + = − x − x ≤ − ⇔ (ptvn)  x − x + 12 = Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S = { 1;5} Bằng cách đặt ẩn phụ để đưa phương trình ẩn giải đơn giản hơn, tương tự biến đổi tơi trình bày thêm số toán sau Bài toán 4: Giải phương trình sau: x + 3x + = ( x + 3) x + (1) Giải: Đặt: t = x +1 Phương trình (1) có dạng: t + t − x3 − x = ⇔ ( t − x ) ( t + xt + x + 1) = t = x ⇔ 2 t + xt + x + = (2) Với t = x ta có : 2x +1 = 2x x ≥ ⇔ 4 x − x −1 = x ≥   1± x =   1 +        Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S =  Bài tốn 11: Giải phương trình: x3 − x − x + = x + x − (1) Giải: Phương trình (1) ⇔ ( x + 1) + x + = ( x + x − ) + x + x − Đặt: t = x + x − ⇔ t = x2 + x − Khi phương trình (1) có dạng: t + t − ( x + 1) − ( x + 1) = t = x + ⇔ 2 t + ( x + 1)t + ( x + 1) + = (2) Phương trình (2) vơ nghiệm Với t = x + ta có: x + x − = x +1 ⇔ x3 − x − x + = x =5 ⇔  −1 + x =   −1 +     Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S = 5; Dạng 2: Dạng nhiều bậc hai: f ( x) + g ( x) = h( x) (1) Phương pháp giải:  f ( x) ≥  Đặt điều kiện cho có nghĩa:  g ( x ) ≥  h ( x ) ≥ Chuyển vế cho vế không âm, sau thực phép biến đổi tương đương cách bình phương hai vế phương trình đưa dạng f ( x) = g ( x ) biết cách giải Dạng tốn phương trình (1) f ( x); g ( x); h( x) hàm số bậc hai đặt ẩn phụ để đưa dạng (1) với giải phương pháp Bài tốn 1: Giải phương trình: x + = − 3x + (1) Giải: Đk: x≥− Phương trình (1) ⇔ x + + 3x + =  31 x ≤ ⇔ x =8   x −128 x + 960 =  f ( x ); g ( x ); h ( x ) hàm số bậc So sánh với điều kiện: Vậy x = nghiệm phương trình Bài tốn 2: Giải phương trình x −1 + x + = − x (1) Giải: Phương pháp 1: Đk: ≤ x≤4 Phương trình (1) ⇔ ( x − 1) ( x + 3) = − x ⇔ x =1 Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S = { 1} Phương pháp 2: Đk: x ≥ Sử dụng máy tính ta tìm nghiệm ngun x = Khi thực sau: – x = -(x - 1) + Phương trình (1) viết lại sau: x −1 + x + = − ( x −1) + Sau số tách cách hợp lý cho sau nhân lượng liên hợp phương trình đưa phương trình tích có nghiệm x =   x +1 ⇔ ( x − 1)  + + 1÷=  x −1 + x2 + + ÷    x =1  x +1 ⇔ + + = (2)  x −1 + x +3 +2 Đk: x ≥ phương trình (2) vơ nghiệm Vậy: x =1 nghiệm phương trình Nhận xét thơng qua hai phương pháp giải sau: Ở dạng 2, tơi trình bày phương pháp giải phương trình chứa nhiều cách sử dụng máy tính tìm nghiệm ngun sau đưa phương trình tích, tốn có nhiều cách giải, nhiên với cách giải cho giải số toán dạng chứa nhiều bậc hai mà giải theo phương pháp giải đơn giản, tơi trình bày số toán mà cách giải cách nhẩm nghiệm nguyên sau nhân lượng liên hợp đưa phương trình tích Bài tốn 3: Giải phương trình x +12 + = x + x + (1) Giải: TXĐ: D = ¡ Phương trình (1) ⇔ x +12 − x + = x − Với x = nghiệm phương trình: x − = 3( x − 2) +1 x +12 − + − x + = x −  x+2 x+2 ⇔ ( x − 2)  + − 2  x +5 +3 x + 12 +  x =  x+2 x+2 ⇔ 3+ − = (2) 2  x +5 +3 x + 12 + ⇔ x=2  ÷= ÷  Phương trình (2) vơ nghiệm Vậy: x = nghiệm phương trình Bài tốn 4: Giải phương trình: 3x + − − x + x − 14 x − = Giải: Đk: − ≤ x ≤ Sử dụng máy tính có x =5 nghiệm phương trình: x − 14 x − = ( x − 5).(3 x + 1) − Phương trình có dạng: 3x + − − x + ( x − 5)(3 x + 1) − = ⇔ 3x + − + − − x + ( x − ) (3 x + 1) =   ⇔ ( x − 5)  + + x + 1÷=  3x + + + − x ÷   x =5 ⇔  + + x + = (2)  x + + + − x Ta có:   + + x + > ∀x ∈  − ;6  3x + + 1+ − x   Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài tốn 5: Giải phương trình: x − + − x = x −13 x + 17 (1) Giải: Đk: ≤ x ≤ Sử dụng máy tính ta x = nghiệm phương trình, đó: x − 13 x + 17 = ( x − 5)(2 x − 3) + Phương trình (1) biến đổi sau: x − + − x = ( x − 5)(2 x − 3) + ⇔ x − − + − x − = ( x − 5)(2 x − 3)   1 ⇔ ( x − 5)  − − (2 x − 3) ÷=  x − +1 ÷ − x +1   x =5 1 ⇔  − − (2 x − 3) =  x − + − x +1 Ta có: 1 − − (2 x − 3) < ∀x ∈[ 4;6 ] x − +1 − x +1 Vậy nghiệm phương trình x = Bài tốn 6: Giải phương trình: 3x + + x + = x − x + (1) Giải: Đk: x ≥ − Sử dụng máy tính ta x =1 x = nghiệm phương trình Khi ta biến đổi: 3x − x + = 3( x − x) + x + Phương trình (1) ⇔ 3x + − ( x + 1) + x + − ( x + 2) = 3( x − x)   1 ⇔ ( x2 − x )  + + =0 ÷  ÷ x + + x + x + + x +    x2 − x =  ⇔ 1 3+ + = (2)  x + + x + x + + x + Ta có: + x +1+ 3x +1 + x + + 5x + > 0∀ x ≥ − Vậy nghiệm phương trình x = x = Bài tốn 7: Giải phương trình: x2 + = x + x −1 (1) Giải:  Đk phương trình là:  −∞; −     ;+ ∞÷ ÷∪  2   Phương trình (1) ⇔ x + − x = ⇔ x −1 x +3 + x = x −1 ⇔ x −1 = x + + x ⇔ x x + =16 x −12 ⇔ x ( x + 3) = ( 16 x −12 )  x = ±1 ⇔ x = ±   Vậy tập nghiệm phương trình là: S = 1; −    7 Bài tốn 8: Giải phương trình: x + + x + = − x (1) Giải: Đk: x ≥ − Ta có x = nghiệm phương trình Phương trình (1) ⇔ x + − + x + − = − x   ⇔ x + + ÷=  x +1 +1 9x + + ÷   x = ⇔  + + 3=  x + + 9x + + Ta có: + + > ∀x ≥ − 4 x +1 +1 9x + + Vậy nghiệm phương trình là: x = Bài tốn 9: Giải phương trình: x − = + x − x (1) Giải: Đk: x ≥1 Sử dụng máy tính x = nghiệm phương trình, ta biến đổi: − x + x − = ( x − 2)(− x − 1) + Phương trình (1) ⇔ x −1 − = ( x − 2)( − x − 1)   ⇔ ( x − 2)  + x + 1÷=  x −1 +1 ÷   x = ⇔  + x + 1=  x − + Ta có: + x + > ∀ x ≥1 x −1 + Vậy nghiệm phương trình là: x = Dạng 3: Phương trình chứa ba bậc hai có bậc hai tích hai bậc hai cịn lại, dạng tốn có cách giải khác nhau, dạng tập tơi trình bày theo nhiều cách giải sau đưa cách giải mà thông thường học sinh thường lựa chọn đưa nhận xét để nhận dạng tập dạng này: Dạng: f ( x) + h ( x) + f ( x).h( x) = g ( x) (1) Đặt: t = f ( x ) + h ( x ) ta biểu thị bậc hai cịn lại theo t , phương trình (1) đưa phương trình bậc hai theo t , sau giải t , quay lại cách đặt giải ẩn x Bài tốn 1: Giải phương trình: =1 + + x − x (1) x +1 + − x Giải: Cách 1: Đk: −1≤ x ≤ Đặt: t = x + + − x ; t ∈  2; 2  ⇔ + x − x2 = t − (1) ⇔ = + + 2x − x2 x +1 + − x Phương trình (1) có dạng: =t − t ⇔ ( t − ) ( t + 2t + ) = ⇔ t − 2t − = ⇔t =2 Với t = ta có: x +1 + − x = ⇔ + x − x2 =  x = −1 ⇔ x = Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S = { −1;3}  x + = a ≥ Cách 2: Đặt:   − x = b ≥ (a + b2 > ) ⇔ a + b2 = Phương trình trở thành: =1 + a.b a +b ⇔ = + 2ab a +b ⇔ = a + b − + 2ab a +b ⇔ ( a + b ) − 2(a + b) − = ⇔a +b =2 Ta có: ⇔ + x − x2 =  x = −1 ⇔ x = Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S = { −1;3} Nhận xét thông qua hai cách giải sau: Với cách giải 1, sau đặt ẩn phụ, phải tìm điều kiện ẩn phụ với toán phức tạp học sinh khối 10 chưa làm được, tốn có chứa tham số giải theo cách hợp lý, cách 2, phương trình ẩn, sau đặt ẩn phụ ta chuyển phương trình có hai ẩn , nhiên ẩn dễ dàng biễu diễn qua ẩn mà khơng cần tìm điều kiện ẩn phụ phức tạp, từ phương trình chứa ba bậc hai sau đặt ẩn phụ đưa toán giải phương trình chứa hai bậc hai, sau biến đổi tương đương phương trình bậc nhất, bậc hai ẩn Vì tơi trình bày giải cụ thể số phương trình dạng theo cách sau: Bài tốn 2: Giải phương trình: + x − − x + 4 − x =10 − x (1) Giải: Đk: −2 ≤ x ≤  3 + x = a ≥ Đặt:   6 − x = b ≥ Phương trình (1) ⇔ a − b + ab = a2 + b2 ⇔ 9( a −b) = ( a −b) a = b ⇔ a − b = Với a = b ta có: + x = − x ⇔ 2+ x =6 2− x ⇔ x= Với a − b = ta có: + x − − x = ⇔ + x = 3+ 2 − x ⇔ 12 − x = x − 15 vô nghiệm ∀x ∈[ −2; 2] 6  5  Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S =   Bài tốn 3: Giải phương trình: x − + x −1 = x − + x − x + (1) Giải: 1≤ x ≤   3x − = a ≥ Đặt:    x −1 = b ≥ ⇔ a + b2 + = x Phương trình (1) có dạng: a + b = a + b2 + − + 2ab ⇔ ( a + b ) − ( a + b) − = a + b = ⇔ a + b = − Với a + b = Ta có : 3x − + x − = ⇔ 3x − x + = − x x ≤ ⇔ ⇔ x=2  x − 29 x + 34 = Vậy phương trình là: x = Bài tốn 4: Giải phương trình: x + + x + = x −16 + 2 x + x + (1) Giải: Đk: x ≥ −   2x + = a ≥ Đặt:    x +1 = b ≥ ⇔ a + b2 − = 3x Phương trình (1) có dạng: a + b = a + b − − 16 + 2ab ⇔ ( a + b ) − (a + b) − 20 = a + b = ⇔ a + b = − Với a + b = Ta có: 2x + + x +1 = ⇔ 2 x + x + = 21 − x x ≤ ⇔  x − 146 x + 417 =  x ≤ ⇔ ⇔ x = 73 − 307  x = 73 ± 307 Bài toán 5: Giải phương trình: ) ( ( x + − x −1) x − + x + x − = (1) Giải: Đk: x ≥1 Phương trình (1) ⇔ 4( x − + x + x − 3) = 4( x + + x −1)  x + = a ≥ ⇔ a + b2 = x + Đặt:   x − = b ≥ Phương trình (1) trở thành: a + b2 − − + ab = a + b ⇔ ( a + b ) − (a + b) − = a + b = ⇔ a + b = − Với a + b = ta có: x + + x −1 = ⇔ x2 + 2x − = − x x ≤  ⇔  14 x=   13  4 Vậy: Tập nghiệm phương trình là: S =   a Điều kiện thực giải pháp, biện pháp Đối với học sinh có học lực trở lên dễ dàng tiếp thu phương pháp giải dạng tập trên, thông qua phương pháp học sinh giải phương trình chứa ẩn dấu cách ngắn gọn b Quan hệ giải pháp, biện pháp Thông qua phương pháp mà tơi trình bày, học sinh thấy tốn có nhiều cách giải, với tốn nên lựa chọn cách giải phù hợp KẾT QUẢ THU ĐƯỢC: Mặt mạnh: Thông qua phương pháp giải số dạng toán học sinh giải dạng tập tương đối khó Mặt yếu: Các dạng tập phù hợp với học sinh khá, giỏi, học sinh trung bình, yếu khó tiếp thu III KẾT LUẬN KẾT LUẬN: Giải phương trình chứa ẩn dấu phương pháp đổi biến khơng hồn tồn Giải phương trình chứa nhiều bậc hai cách nhẩm nghiệm nguyên, sau đưa phương trình tích Phương trình chứa ba bậc hai, có bậc hai tích hai bậc hai cịn lại Sáng kiến kinh nghiệm: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CÓ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” kinh nghiệm tổng hợp giảng dạy nhỏ thân, giúp cho học sinh có thêm tài liệu để tham khảo, từ em có cách giải hợp lý q trình ơn tập luyện thi Sáng kiến kinh nghiệm không tránh khỏi thiếu sót, mong góp ý chân thành từ đồng nghiệp bạn đọc giúp tơi hồn thiện Tôi xin chân thành cảm ơn KIẾN NGHỊ: (Một số kiến nghị có liên quan đến đề tài) ... nghiệm: “MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH CĨ ẨN DƯỚI DẤU CĂN Ở ĐẠI SỐ LỚP 1O” kinh nghiệm tổng hợp giảng dạy nhỏ thân, giúp cho học sinh có thêm tài liệu để tham khảo, từ em có cách giải hợp... đưa phương trình tích Phương trình chứa ba bậc hai, có bậc hai tích hai bậc hai lại ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU: Phương trình chứa ẩn dấu PHẠM VI NGHIÊN CỨU: Một số phương pháp giải phương trình chứa ẩn. .. giải theo ẩn gặp phương trình có phương pháp giải đưa phương trình bậc nhất, phương trình bậc hai ẩn Sau tơi trình bày số tốn mà giải theo phương pháp đổi biến khơng hồn tồn giải ngắn gọn dễ