Rút gọn mô hình cho một số hệ điều khiển tuyến tính258

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI ——————————- CHU BÌNH MINH RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO MỘT SỐ HỆ ĐIỀU KHIỂN TUYẾN TÍNH LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn học Mã ngành: 9460101 TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS HÀ BÌNH MINH TS PHAN XUÂN THÀNH Hà Nội - 2019 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hướng dẫn thầy TS Hà Bình Minh TS Phan Xuân Thành Tất kết trình bày luận án hoàn toàn trung thực, đồng ý đồng tác giả chưa công bố công trình khác Hà Nội, ngày 24 tháng 12 năm 2019 Thay mặt Tập thể hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh Tác giả Chu Bình Minh i LỜI CẢM ƠN Luận án thực hướng dẫn khoa học TS Hà Bình Minh, TS Trần Xuân Tiếp TS Phan Xuân Thành, người thầy mẫu mực tận tình giúp đỡ tơi đường khoa học Các thầy hướng dẫn phương pháp nghiên cứu khoa học, giúp tơi tiếp cận lĩnh vực tốn học đầy đam mê thú vị mà gương cho tơi học tập tính nghiêm túc trung thực khoa học Các thầy tạo cho thử thách, giúp tơi tự học hỏi, tìm tịi sáng tạo Đó tơi may mắn tiếp nhận từ người thầy đáng kính Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy Trong thời gian làm nghiên cứu sinh Trường Đại học Bách khoa Hà Nội, nhận nhiều tình cảm giúp đỡ từ thầy Bộ mơn Tốn bản, thầy Viện Tốn ứng dụng Tin học Tơi xin chân thành bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thầy cô Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến GS.TSKH Đinh Nho Hào - chủ trì seminar Phương trình vi phân, Viện Tốn học, Viện Hàn lâm Khoa học Cơng nghệ Việt Nam, GS.TSKH Phạm Kỳ Anh - chủ trì seminar Tốn học tính tốn, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG Hà Nội, PGS.TSKH Nguyễn Thiệu Huy - chủ trì seminar Dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân ứng dụng, Trường Đại học Bách khoa Hà Nội Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn đến thành viên seminar tạo điều kiện cho báo cáo kết luận án góp nhiều ý kiến q báu giúp cho luận án tơi hồn thiện Đặc biệt, xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Hà Tiến Ngoạn, người động viên giúp đỡ nhiều trình viết luận án Nhân dịp này, bày tỏ cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Khoa Khoa học Trường Đại học Kinh tế - Kỹ thuật Công nghiệp tạo điều kiện thuận lợi cho học tập nghiên cứu Cuối cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến gia đình tồn thể bạn bè, người bên cạnh suốt q trình học tập nghiên cứu Chính niềm tin, khuyến khích, động viên gia đình bạn bè giúp tơi vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả ii MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT vi DANH SÁCH BẢNG viii DANH SÁCH HÌNH VẼ ix MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 10 1.1 Một số phép phân tích ma trận 10 1.2 Một số không gian hàm 11 1.3 Hệ động lực tuyến tính liên tục 12 1.3.1 Hệ động lực tuyến tính liên tục 12 1.3.2 Hàm truyền hệ tuyến tính liên tục 13 1.3.3 Tính điều khiển tính quan sát hệ tuyến tính liên tục 15 Phương trình ma trận Lyapunov 18 1.4 Hệ tuyến tính rời rạc 19 1.5 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính 20 1.5.1 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục 20 1.5.2 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc 22 1.3.4 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH ỔN ĐỊNH ĐỐI XỨNG 23 2.1 Phương pháp chặt cân 23 2.1.1 Biểu diễn cân hệ tuyến tính liên tục ổn định 23 2.1.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định theo phương pháp chặt cân 2.1.3 25 Rút gọn hệ tuyến tính rời rạc ổn định theo phương pháp chặt cân iii 26 2.2 2.3 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt modal 29 2.2.1 Biểu diễn modal hệ tuyến tính liên tục ổn định 29 2.2.2 Rút gọn hệ tuyến tính liên tục theo phương pháp chặt modal 30 2.2.3 Hệ tuyến tính liên tục ổn định đối xứng mở rộng SISO 30 2.2.4 So sánh phương pháp chặt cân phương pháp chặt modal 35 2.2.5 Ví dụ minh họa So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân phần 38 2.3.1 Phương pháp chặt cân phần 38 2.3.2 So sánh phương pháp chặt cân phương pháp chặt cân phần 2.4 36 42 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 45 2.4.1 Ánh xạ phân tuyến tính 45 2.4.2 Phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 47 2.4.3 So sánh phương pháp chặt cân với phương pháp chặt cân kết hợp ánh xạ phân tuyến tính 49 2.4.4 Phương pháp GSP 50 2.4.5 Các ví dụ minh họa 52 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH KHƠNG ỔN ĐỊNH 61 3.1 Hệ tuyến tính khơng ổn định 61 3.1.1 Hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định 62 3.1.2 Hệ tuyến tính liên tục β -ổn định 63 Một số phương pháp rút gọn cho hệ tuyến tính khơng ổn định 65 3.2.1 Phương pháp phân rã 65 3.2.2 Phương pháp rút gọn Zhou 66 3.2.3 Phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính rời rạc khơng 3.2 ổn định 3.2.4 3.3 68 Phương pháp chặt cân cho hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định 71 Phương pháp BGSP cho hệ tuyến tính khơng ổn định 74 3.3.1 74 Phương pháp α-BGSP cho hệ tuyến tính rời rạc không ổn định iv 3.3.2 Phương pháp β -BGSP cho hệ tuyến tính liên tục khơng ổn định 76 3.3.3 Phép biến đổi phân tuyến tính hệ α-ổn định hệ β -ổn định 78 Sai số phương pháp BGSP 84 Ví dụ minh họa 85 3.3.4 3.4 Chương BÀI TỐN RÚT GỌN MƠ HÌNH CHO HỆ TUYẾN TÍNH TẠI LÂN CẬN MỘT VÀI TẦN SỐ 91 4.1 Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận tần số 91 4.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số 92 4.2.1 Giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số 93 4.2.2 Phương pháp chặt cân lân cận tần số 94 4.2.3 Đánh giá sai số 95 4.2.4 Ví dụ minh họa 96 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 99 4.3.1 Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 99 4.3.2 Ví dụ minh họa 100 4.3 KẾT LUẬN 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 104 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN 109 v DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT Z+ Đơn vị ảo, j = −1 Tập số nguyên không âm R Tập số thực C Tập số phức C+ Tập số phức có phần thực dương C− Tập số phức có phần thực âm α, d , z, D, h ∞ Sử dụng cho trường hợp rời rạc β, c , s, C , H ∞ Sử dụng cho trường hợp liên tục j Các ma trận hệ số A, B, C, I Ma trận đơn vị AT Ma trận chuyển vị A A∗ Ma trận chuyển vị liên hợp phức A A>0 A ma trận đối xứng xác định dương eAt Ma trận mũ xác định eAt = X ∞ k=0 (At) k! λ(A) Tập hợp giá trị riêng ma trận A σ(A) Tập hợp giá trị kỳ dị ma trận A σmax (A) Giá trị kỳ dị lớn ma trận A T race(A) Vết ma trận A diag(a 1, , a n ) Ma trận đường chéo cỡ n với a , , a n phần tử đường chéo kAk = kAk kAk F x, y, b, c, x≺ w y k Chuẩn Euclidean ma trận A Chuẩn Frobenius ma trận A Các vectơ Vectơ x yếu vectơ y vi x≺y Vectơ x yếu hẳn vectơ y L [0, ∞) Khơng gian Lebesgue bình phương khả tích [0, ∞) H2 Khơng gian hàm giải tích C+ bình phương khả tích trục ảo L ∞ (j R) Không gian hàm phức bị chặn trục ảo H∞ Các hàm L ∞ (j R) giải tích C + Dα Tập hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định D Tập hệ tuyến tính rời rạc ổn định Cβ Tập hệ tuyến tính liên tục β -ổn định C Tập hệ tuyến tính liên tục ổn định G d (z) ∼ (A d , B d , C d , D d ) Biểu diễn (A d , B d , C d , D d ) hệ rời rạc G d (z) G c(s) ∼ (A c , B c , C c , D c ) Biểu diễn (A c , B c , C c , D c ) hệ liên tục G c (s) G(s) ∼ (A b, B b , C b, D b) Biểu diễn cân hệ G(s) G α (z) Hàm truyền hệ tuyến tính rời rạc α-ổn định G β (s) Hàm truyền hệ tuyến tính liên tục β -ổn định kG d kh ∞ Chuẩn h ∞ Gd (z) ∈ D kG d kh ∞,α Chuẩn h ∞,α Gd (z) ∈ Dα kG c kH ∞ Chuẩn H ∞ Gc (s) ∈ C kG c kH ∞,β Chuẩn H ∞,β G c (s) ∈ Cβ A B C D Ký hiệu cho biểu thức C(sI − A) −1 B+D SISO Hệ tuyến tính đầu vào, đầu MIMO Hệ tuyến tính nhiều đầu vào, nhiều đầu GSP Nhiễu kỳ dị suy rộng BGSP Nhiễu kỳ dị suy rộng cân vii DANH SÁCH BẢNG Bảng Bảng so sánh tín hiệu đầu hệ rút gọn bậc thu phương pháp chặt trực tiếp với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng Bảng so sánh tín hiệu đầu hệ rút gọn bậc thu phương pháp chặt kết hợp đổi biến với tín hiệu đầu hệ gốc bậc Bảng 2.1 Bảng giá trị R i , σ i hệ đối xứng bậc 10 b Bảng so sánh sai số Thuật toán Thuật toán cho hệ Truyền 37 nhiệt 58 Bảng 2.2 Bảng 2.3 Bảng so sánh sai số Thuật toán Thuật toán cho hệ Orr- Sommerfeld Bảng 3.1 59 Bảng ma trận hệ số A c = diag(λ , , λ 50 ), B c C c hệ tuyến tính bậc 50 86 Bảng chuẩn H ∞,β hệ sai số phương pháp Thuật toán 9, Thuật toán 10, Thuật toán 12 Thuật toán 14 88 Bảng 3.2 viii Thuật toán 16 Thuật toán chặt cân lân cận tần số ω0 Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D) ω ∈ R+ cho λ(A) ∩ {ω + j R} = ∅, bậc hệ rút gọn r Đầu ra: Hệ rút gọn ổn định G(s) ∼ ( A, B, C, D) xấp xỉ G(s) lân cận tần số ω b thu b b Gb b 1: Áp dụng Thuật toán 15 , B , C , 0), G + (A − , B − , C − , D), Σ ω0 = diag(Σ 2: + (s) ∼ (−A + + + − (s) ∼ , Σ − ) Lấy r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ ω0 Gọi r r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ+ Σ − r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ ω0 cho r + r = r 3: Áp dụng phương pháp chặt cân cho G+ (s) cách giữ lại r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ + Làm tương tự cho G− (s) cách giữ lại r giá trị kỳ dị Hankel lớn Σ− Ta thu hai hệ rút gọn ổn định sau: G + (s) ∼ (− A b+ , B b+ , C b+ , 0) với bậc r , b b b b G − (s) ∼ ( A b− , B b− , C b− , D b) với bậc r b b b b b { Chú ý A b+ ma trận không ổn định nên − A b+ ma trận ổn định.} b , B, C, D) khối ma trận dạng b 4: Ta thu (A b b b b A0 ← b A b+ b A b− , B← b B b+ B b− , C ← h C b+ b b Cb i , D ← D − b b { Chú ý A ma trận không ổn định nên A b+ ma trận ổn định.} 5: Chuyển ngượcb lại A ← A − ω I ta thu hệbổn định G(s) ∼ ( A, B, C, D) b b b b b b b từ Thuật toán 16 xấp xỉ tốt hệ gốc G(s) dải tần [ω1, ω2 ] Điều có nghĩa Thuật tốn 16 giải tốn rút gọn mơ hình dải tần hữu hạn Ta minh họa ý Ví dụ 4.2.6 4.2.3 Đánh giá sai số Trong Thuật tốn 16, ta dùng chuẩn H∞ để đánh giá sai số G(s) − G(s) b Tuy nhiên, dùng chuẩn H ∞ để đánh giá sai số khơng ý nghĩa ta cần xấp xỉ lân cận ω0 khơng phải cần xấp xỉ tồn tần số Do đó, chúng tơi xây dựng chuẩn để đánh giá cho hệ mà tập trung vào lân cận tần số ω0 95 Định nghĩa 4.2.3 (Chuẩn L ∞,ω ) Cho G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω + j R} = ∅ Đặt A := (A + ω I) G (s) ∼ (A , B, C, D) Chuẩn L ∞,ω G(s) định nghĩa sau: kGk L∞,ω := kG kL ∞ Với chuẩn xác định dựa vào công thức [10], công thức đánh giá sai số cho phương pháp Thuật toán 16 cho định lý sau Định lý 4.2.4 Giả sử G(s) ∼ (A, B, C, D) hệ tuyến tính liên tục ổn định ω0 ∈ R+ tần số cho λ(A) ∩ {ω + j R} = ∅ Gọi G(s) ∼ ( A, B, C, D) hệ rút b giá saub b b b gọn ổn định thu từ Thuật tốn 16 Khi ta có đánh kG − GkL ∞,ω với σ+r1 +1 , , σ n+1 ≤ 2(σ + r +1 + + · · · + σ n ) + 2(σ − r +1 + · · · + σ n ), − b σ−r2 +1 , , σ −n2 tương ứng giá trị kỳ dị Hankel nhỏ Σ + Σ − thu từ Thuật toán 15 Chứng minh Đánh giá Định lý [10] áp dụng vào Thuật tốn 16 4.2.4 Ví dụ minh họa Để kiểm tra, ta áp dụng Thuật toán 16 cho hai trường hợp, áp dụng lân cận tần số ω0 thấp áp dụng lân cận tần số ω0 cao Ví dụ 4.2.5 tương ứng với tần số ω0 thấp Ví dụ 4.2.6 tương ứng với tần số ω0 cao Ví dụ 4.2.5 (Hệ FOM-2 [50]) Xét hệ FOM-2 [50] có hàm truyền: G(s) = 2s + 11.5s + 57.75s + 178.625s + 345.5s + 323.625s + 94.5 s + 10s + 46s + 130s + 239s + 280s + 194s + 60 Từ Hình 4.1 ta thấy có cực có phần thực −1, biên độ đỉnh hệ đạt lân cận tần số ω = Nếu ta muốn ước lượng hệ gốc lân cận tần số ω0 = 0.7, ta chuyển A → (A + 0.7I) áp dụng Thuật toán 16 Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 = 0.7 (đường màu đỏ) giá trị kỳ dị Hankel phương pháp Gawronski-Juang [14] khoảng tần số [10−1 , 2] (đường màu xanh lam) minh họa Hình 4.2 Hình 4.3 minh họa đồ thị Bode hệ gốc (xanh lam), hệ rút gọn bậc r = thu Thuật toán 16 (xanh 96 Hình 4.1: cực hệ FOM-2 Hình 4.2: Các giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 = 0.7 (đỏ) giá trị Hankel phương pháp Gawronski-Juang [14] (xanh) áp dụng cho hệ FOM-2 Hình 4.3: Đồ thị Bode đoạn [10−1 , 2] Hình 4.4: Đồ thị Bode đoạn [10−1 , 2] hệ gốc (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu hệ sai số thu bằng Thuật toán Thuật toán 16 lân cận tần số 16 lân cận tần số ω0 = 0.7 (xanh cây), ω0 = 0.7 (xanh cây), phương pháp phương pháp chặt cân (màu đỏ) chặt cân (màu đỏ) phương pháp phương pháp Gawronski-Juang (màu Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) xanh lơ - cyan) cây), phương pháp chặt cân Thuật toán (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang [14] dải tần [10−1 , 2] (màu xanh lơ - cyan) Quan sát đồ thị Bode hệ sai số Hình 4.4 cho thấy, phương pháp đề xuất tốt lân cận tần số ω0 = 0.7 Ví dụ 4.2.6 Thuật tốn 16 sử dụng để giải tốn rút gọn mơ hình dải tần số cách chọn tần số ω0 thích hợp Chúng ta kiểm tra cách áp dụng Thuật toán 16 cho hệ CD player [38], hệ SISO bậc 120 Ta chọn dải tần số cần xấp xỉ cho hệ đoạn [ω1, ω2 ]=[5 × 103 , 105] bậc hệ rút gọn Để đánh giá phương pháp Thuật toán 16, ta so sánh phương pháp với phương 97 pháp rút gọn khác sau: (a) Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = (ω + ω )/2; (b) phương pháp chặt cân Thuật toán 2; (c) phương pháp Gawronski-Juang Hình 4.5 minh họa đồ thị Bode hệ CD player (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc thu Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh cây), phương pháp chặt cân (màu đỏ) phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) Hình 4.5: Đồ thị Bode hệ CD player Hình 4.6: Đồ thị Bode đoạn [ω1 , ω 2] (xanh lam) hệ rút gọn bậc thu hệ sai số thu Thuật toán 16 Thuật toán 16 lân cận tần số ω0 = lân cận tần số ω0 = 52500 (xanh cây), 52500 (xanh cây), phương pháp chặt phương pháp chặt cân (màu đỏ) cân (màu đỏ) phương pháp phương pháp Gawronski-Juang (màu xanh lơ Gawronski-Juang (màu xanh lơ - cyan) - cyan) áp dụng cho hệ CD player Từ Hình 4.5 ta thấy phương pháp chặt cân Thuật toán phương pháp Gawronski-Juang xấp xỉ hệ gốc tốt toàn dải tần phương pháp đề xuất Thuật toán 16 xấp xỉ tốt đoạn [ω1 , ω2 ] Hệ rút gọn xấp xỉ nhanh hai biên độ đỉnh hệ CD player dải tần này, chí với bậc hệ rút gọn nhỏ r = Hình 4.6 minh họa đồ thị Bode hệ sai số ba phương pháp (a)-(c) dải tần [ω1 , ω2 ] Rõ ràng phương pháp đề xuất cho sai số nhỏ dải tần số lớn 98 4.3 Rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số 4.3.1 Thuật toán lặp rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số Ta mở rộng tốn rút gọn hệ tuyến tính liên tục ổn định lân cận tần số ω0 tốn rút gọn hệ tuyến tính dãy tần số sau: Bài tốn rút gọn mơ hình lân cận vài tần số: Cho hệ tuyến tính liên tục ổn định G(s) dãy tần số {ω 1, , ω k }, tìm hệ rút gọn G(s) bậc r cho b kG(jω) − G(jω)k nhỏ ω lân cận dãy tần số {ω1 , , ωk } Trong bmục trên, ta thấy phương pháp Thuật toán 16 xấp xỉ tốt hệ gốc lân cận tần số cần xấp xỉ ω0 nên ý tưởng đưa để giải toán lặp Thuật toán 16 tần số ωi , i = 1, , k Tại bước lặp, hệ sai số G(s) − G i (s) sử dụng để tính hệ rút gọn lân cận tần số ω Phương pháp tínhbtốn i qua Thuật tốn 17, đó, ta chọn dãy bậc rút gọn r1, , r k tương ứng với dãy tần số {ω1 , , ω k } Thuật toán 17 Thuật toán lặp cho phương pháp chặt cân Đầu vào: Hệ ổn định G(s) ∼ (A, B, C, D); dãy tần số {ω , , ω k} dãy bậc rút gọn {r 1, , r k } cho r = r + · · · + r k Đầu ra: Hệ rút gọn: G(s) b 1: G(s) ← b i ∈ {1, , k } 2: for 3: Chạy Thuật toán 16 cho hệ G(s) ta thu hệ rút gọn Gi (s) bậc r i xấp xỉ G(s) b lân cận tần số ωi 4: G(s) ← G(s) + G i (s) b b b G(s) ← G(s) − G i (s) 5: 6: 7: end for b Ta thu hệ rút gọn G(s) sau vòng lặp for b Nhận xét 4.3.1 (i) Do khối lượng tính tốn Thuật tốn 16 tìm giá trị kỳ dị Hankel lân cận tần số ω0 nên độ phức tạp tính tốn Thuật tốn 16 O(n ) 99 (ii) Do Thuật toán 17 lặp k lần Thuật toán 16 nên độ phức tạp tính tốn Thuật tốn 17 O(kn ) 4.3.2 Ví dụ minh họa Ví dụ 4.3.2 (Hệ CD player [38]) Ta áp dụng Thuật toán 17 cho hệ CD player [38], hệ SISO bậc 120, với ω1 = 0, ω = × 10 r1 = 8, r = để thu hệ rút gọn bậc 14 Lần lặp thứ nhất, ta áp dụng Thuật toán 16 cho G(s) ω1 = ta thu hệ rút gọn G1 (s) bậc hệ sai số G(s) − G 1(s) bậc 128 Để minh họa cho b toán 17, ta vẽ đồ thị Bode b hệ gốc CD player G(s) (màu xanh bước lặp Thuật lam) hệ sai số sau lần lặp thứ G(s) − G1 (s) (màu đỏ) Hình 4.7 b Hình 4.7: Đồ thị Bode hệ CD player G(s) với bậc 120 (màu xanh lam) hệ sai số G(s) − G (s) bậc 128 thu Thuật toán 17 sau bước lặp thứ b Ta thấy hệ sai số G(s) − G1 (s) có hai biên độ đỉnh lân cận tần số 10 Ta b thực bước lặp cách áp dụng Thuật toán 16 cho hệ sai số G(s) − G1 (s) lân cận tần số ω2 = × 10 , ta thu hệ rút gọn G 2(s) bậc Khi đó, hệbrút gọn G(s) = G (s) + G 2(s) thu Thuật toán 17 cóbbậc 14 Để đánh giá hệ rút gọn b(s) thu bđược, tabso sánh hệ rút gọn với hệ rút gọn bậc 14 thu phương G b pháp chặt cân Thuật toán Ta vẽ đồ thị Bode hệ gốc CD player G(s) 100 (màu xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu Thuật toán (màu xanh cây) hệ rút gọn G(s) = G1(s) + G2 (s) thu Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω = × 10 } b b b {r = 8, r = 6} Hình 4.8 Hình 4.8: Đồ thị Bode hệ CD player bậc Hình 4.9: Đồ thị Bode hệ sai số bậc 134 120 (mà xanh lam), hệ rút gọn bậc 14 thu thu phương pháp chặt cân phương pháp chặt cân (màu (màu xanh cây) hệ sai số bậc 134 thu xanh cây) hệ rút gọn bậc 14 thu Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω = × 105} {r = 8, r = 6} (màu đỏ) Thuật toán 17 với {ω1 = 0, ω = × 10 } {r = 8, r = 6} sau lần lặp thứ hai Từ Hình 4.8 ta thấy hệ rút gọn thu phương pháp lặp Thuật toán 17 xấp xỉ hệ gốc tốt so sánh với phương pháp chặt cân Thuật toán dải tần số cao đôi chút dải tần số thấp Điều minh họa Hình 4.9 Hình 4.9 minh họa đồ thị Bode hệ sai số (bậc 134) nhận phương pháp chặt cân Thuật toán (màu xanh cây) hệ sai số (bậc 134) thu phương pháp Thuật toán 17(màu đỏ) Ta thấy phương pháp đề xuất Thuật toán 17 cho sai số nhỏ dải tần số cao Kết luận Chương Dựa vào tính chất phương pháp rút gọn cho hệ không ổn định [10], chương đạt kết sau: 101 Đưa phương pháp chặt cân lân cận tần số cho trước (Thuật toán 16) Đánh giá sai số phương pháp chặt cân lân cận tần số theo chuẩn L ∞,ω (Định lý 4.2.4) Đưa phương pháp lặp để rút gọn hệ tuyến tính lân cận vài tần số (Thuật tốn 17) 102 KẾT LUẬN Luận án đưa số phương pháp rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính ổn định khơng ổn định Những kết luận án đạt là: Đối với hệ tuyến tính ổn định đối xứng, chúng tơi đưa so sánh cho bốn phương pháp rút gọn: phương pháp chặt cân bằng, phương pháp chặt modal, phương pháp chặt cân phần phương pháp chặt cân kết hợp với ánh xạ phân tuyến tính Đối với việc rút gọn hệ tuyến tính khơng ổn định, đưa phương pháp BGSP, đồng thời đánh giá sai số cho phương pháp theo chuẩn H ∞,β /h ∞,α Đối với việc rút gọn cho hệ tuyến tính ổn định quanh lân cận vài tần số cho trước, đưa phương pháp mới, đồng thời đưa đánh giá sai số theo chuẩn L ∞,ω Luận án tiếp tục theo số chủ đề sau: Mở rộng phương pháp Zhou [10] cho trường hợp hệ tuyến tính rời rạc Áp dụng phương pháp Chương cho hệ rời rạc Chứng minh việc bảo tồn tính điều khiển được, tính quan sát phương pháp Chương 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Mullis, C.T., Roberts, R.A (1976), “ Synthesis of minimum roundoff noise fixed point digital filters”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol 23, No 9, pp 551–562 [2] Moore, B.C (1981), “Principal component analysis in linear systems: controllability, observability,and model reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 26, No 2, pp 17–32 [3] Pernebo, L., Silverman, L.M (1982), “ Model reduction via balanced state space representations”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 2, pp 382–387 [4] Enns, D.F (1984), “ Model reduction with balanced realizations: An error bound and a frequency weighted generalization”, Proceedings of the 23rd Control and Decision Conference (Las Vegas), pp 127–132 [5] Fernando, K.V., Nicholson, H (1982), “Singular perturbational model reduction in the frequency domain”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 27, No 4, pp 969–970 [6] Clapperton, B., Crusca, F., Aldeen, M (1996), “Bilinear transformation and generalized singular perturbation model reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 41, No 4, pp 589–593 [7] Zhou, K., Doyle, J.C., Glover, K (1996), “ Robust and Optimal Control”, Prentice-Hall, New Jersey [8] Rommes, J (2007), “Methods for eigenvalue problems with applications in model order reduction”, PhD thesis, Utrecht University [9] Vandendorpe, A., Van Dooren, P (2008), “Model reduction of interconnected systems”, Model Order Reduction: Theory, Research Aspects and Applications, Springer, Berlin-Heidelberg, pp 305–321 104 [10] Zhou, K., Salomon, G., Wu, E (1999), “Balanced realization and model reduction for unstable systems”, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol 9, No 3, pp 183–198 [11] Boess, C., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2010), “Model reduction for truncation discrete unstable approach”, control Preprint MPS, systems using University a of balanced Reading https://www.reading.ac.uk/web/FILES/maths/Preprint_10_06_Nichols.pdf [12] Kien, V.N (2015), “Researching model order reduction algorithm and applying to control problem”, PhD thesis, Thai Nguyen University of Technology [13] Du, X., Benner, P (2016), “Balanced truncation of linear time-invariant systems over finite-frequency ranges”, http://arxiv.org/abs/1602.04402 [14] Gawronski, W., Juang, J (1990), “Model reduction in limited time and frequency intervals”, International Journal of Systems Science, Vol 21, No 2, pp 349–376 [15] Du, X., Benner, P., Yang, G., Ye, D (2013), “Balanced truncation of linear timeinvariant systems at a single frequency”, Preprint MPIMD/13-02, Max Planck Institute Magdeburg, http://www.mpi-magdeburg.mpg.de/preprints [16] Ghafoor, A.L., Sreeram, V (2008), “ Model reduction via limited frequency interval gramians”, IEEE Transactions on Circuits and Systems, Vol 55, No 9, pp 2806–2812 [17] Nagar, S.K., Singh, S.K (2004), “An algorithmic approach for system decomposition and balanced realized model reduction”, Journal of Franklin Institude, Vol 341, No 7, pp 615–630 [18] Boess, C., Lawless, A.S., Nichols, N.K., Bunse-Gerstner, A (2011), “State estimation using model order reduction for unstable systems”, Computers and Fluids, Vol 46, No 1, pp 155160 [19] Benner, P., Kăurschner, P., Saak, J (2016), “Frequency-limited balanced truncation with low-rank approximations”, SIAM Journal on Scientific Computing, Vol 38, No 1, pp 471–499 105 [20] Gugercin, S., Antoulas, A (2004), “ A survey of model reduction by balanced truncation and some new results”, International Journal of Control, Vol 77, No 8, pp 748–766 [21] Polderman, J.W., Willems, J.C (2012), “Introduction to Mathematical Systems Theory : A Behavioral Approach”, Springer, New York [22] Zabczyk, J (1995), “Mathematical Control Theory: An Introduction, Birkhăauser Base, Boston [23] Datta, B.N (2004), “Numerical Methods for Linear Control Systems: Design and Analysis”, Elsevier Academic Press [24] Liu, Y., Anderson, B.D.O (1989), “Singular perturbation approximation of balanced systems”, Internation of Journal Control, Vol 50, No 4, pp 1379–1405 [25] Antoulas, A.C (2005),“Approximation of Large-Scale Dynamical Systems”, SIAM Press, Philadelphia [26] Obinata, G., Anderson, B.D.O (2001), “ Model Order Reduction for Control System Design”, Springer, Berlin [27] Sandberg, H., Murray, R.M (2009), “Model reduction of interconnected linear systems”, Optimal Control Applications and Methods, Vol 30, No 3, pp 225– 245 [28] Laub, A., Heath, M., Paige, C., Ward, R (1987), “Computation of system balancing transformations and other applications of simultaneous diagonalization algorithms”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 2, pp 115– 122 [29] Glover, K (1984), “All optimal Hankel-norm approximations of linear multivariable systems and their L ∞ -error bounds”, International Journal of Control, Vol 39, No 6, pp 1115–1193 [30] Al-Saggaf, U.M., Franklin, G.F (1987), “An error bound for a discrete reduced order model of a linear multivariable systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 9, pp 815–819 106 [31] Liu, W.Q., Sreeram, V., Teo, K.L (1998), “Model reduction for state space symmetric system”, Systems and Control Letters, Vol 34, No 4, pp 209–215 [32] Green, M., Limebeer, D.J.N (1995), “Linear Robust Control”, Prentice-Hall, New Jersey [33] Minh, B.H., Batlle, C., Fossas, E (2014), “A new estimation of the lower error bound in balanced truncation method”, Automatica, Vol 50, No 8, pp 2196– 2198 [34] Ober, R (1991), “Balanced parametrization of classes of linear systems”, SIAM Journal on Control and Optimization, Vol 29, No 6, pp 1251–1287 [35] Zhang, F (1999), “Matrix Theory: Basic Results and Techniques”, Springer, New York [36] Lin, M., Wolkowicz, H (2012), “An eigenvalue majorization inequality for positive semidefinite block matrices”, Linear and Multilinear Algebra, Vol 60, No 11, pp 1365–1368 [37] Muscato, G (2000), “Parametric generalized singular perturbation approximation for model order reduction”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 45, No 2, pp 339–343 [38] Chahlaoui, Y., Van Dooren, P., “A collection of Benchmark examples formodel reduction of linear time invariant dynamical systems”, SLICOT Working Note 2002-2 http://eprints.maths.manchester.ac.uk/1040/ [39] Farrell, B.F., Ioannou, P.J (2001), “Accurate low-dimensional approximation of the linear dynamics of fluid flow”, Journal of the Atmospheric Sciences, Vol 58, No 18, pp 2771–2789 [40] Ahuja, S (2009), “Reduction methods for feedback stabilization of fluid flows”, PhD thesis, Princeton University [41] Magruder, C., Beattie, C.A., Gugercin, S (2009), “L -optimal model reduction for unstable systems using iterative rational Krylov algorithm”, Technical Report, Department of Mathematics at Virginia Tech 107 [42] Kubalinska, D (2009), “Optimal interpolation based model reduction”, PhD thesis, University of Bremen [43] Yang, J., Chen, C.S., De Abreu-Garcua, J.A., Xu, Y (1993), “Model reduction of unstable systems”, International Journal of Systems and Sciences, Vol 24, No 12, pp 2407–2414 [44] Zilouchian, A., Wang, D (1991), “Balanced structures and model reduction of unstable systems”, IEEE Proceedings of the SOUTHEASTCON ’91, Vol 2, pp 1198–1201,Williamsburg,VA, USA [45] Keney, C., Hewer, G (1987), “Necessary and sufficient conditions for balancing unstable systems”, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol 32, No 1, pp 157–160 [46] Golub, G.H., Van Loan, C.F (2013), “Matrix Computations”, The Johns Hopkins University, Maryland [47] Kailath, T (1980), “Linear Systems”, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey [48] Minh, B.H., Minh, B.C., Phung, D.P., Sreeram, V (2019), “Model reduction problems at specific frequencies”, (Preprint) [49] Barrachina, S., Benner, P., Quintana-Ortí, E.S., Quintana-Ortí, G (2005), “Parallel algorithms for balanced truncation of large-scale unstable systems” , Proceedings of the 44th IEEE Conference on Decision and Control (Spain), pp 2248–2253 [50] Lepschy, A., Mian, G.A., Pinato, G., Viaro, U (1991), “Rational L approximation: A non-gradient algorithm”, Proceedings of the 30th IEEE Conference on Decision and Control (UK), pp 2321–2323 108 DANH MỤC CƠNG TRÌNH ĐÃ CÔNG BỐ CỦA LUẬN ÁN [1 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2014), “Comparison between balanced truncation and modal tr uncation techniques for linear state-space-symmetric systems”, IET Control Theory & Applications Vol 9, No 6, pp 900–904 [2 ] Minh, B.H., Minh, B.C., Sreeram, V (2017), “Balanced generalized singular perturbation method for unstable linear time invariant continuous systems”, Acta Mathematica Vietnamica, Vol 42, No 4, pp 615–635 109 ... cho hệ tuyến tính 20 1.5.1 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính liên tục 20 1.5.2 Bài tốn rút gọn mơ hình cho hệ tuyến tính rời rạc 22 1.3.4 Chương BÀI TOÁN RÚT... mơ hình cho hệ (1)-(2): Với hệ động lực tuyến tính cho, ta thu hệ động lực tuyến tính rút gọn bậc cách bỏ số trạng thái hệ gốc Chẳng hạn, với hệ (1)-(2), ta bỏ trạng thái x ta thu hệ rút gọn. .. bốn hệ rút gọn tương ứng Như vậy, ta tạm kết luận rằng, hệ (11)-(12) hệ rút gọn bậc xấp xỉ tốt hệ gốc (1)-(2) Từ ví dụ ta thấy có nhiều phương pháp tìm hệ rút gọn cho hệ động lực tuyến tính cho