Sách lý thuyết toán cao cấp 1 dành cho sinh viên đại học, cao đẳng, giúp học tốt, qua môn toán cao cấp dễ hiểu
TRƯỜNG ĐẠI HỌC NGOẠI THƯƠNG BỘ MƠN TỐN- KHOA CƠ BẢN Th.S Nguyễn Thị Toàn (Chủ biên) TS Vương Thị Thảo Bình ThS Phùng Duy Quang SÁCH THAM KHẢO LÝ THUẾT TỐN CAO CẤP (ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC- 2010 Lời mở đầu Theo chương trình khung Bộ Giáo dục & Đào tạo quy định cho chương trình mơn học Tốn Cao cấp sinh viên khối Kinh tế trường Đại học, nhóm Giảng viên thuộc Bộ mơn Tốn trường Đại học Ngoại Thương biên soạn sách tham khảo “lý thuyết Toán Cao cấp1” Học phần Toán Cao cấp (hay cịn gọi Đại số tuyến tính) giảng dạy trường đại học Ngoại Thương cho sinh viên ngành: Kinh tế & Kinh doanh Quốc tế, Tài Ngân hàng, Kinh tế Quốc tế, Quản trị Kinh doanh Quốc tế Cuốn sách cung cấp cho độc giả kiến thức có hệ thống phần Đại số tuyến tính mơn học Tốn Cao cấp; giúp sinh viên trường Đại học & Cao đẳng nói chung trường Đại học Ngoại Thương nói riêng đạt mục tiêu mơn học đề Ngồi sách cịn cung cấp cho độc giả phần kiến thức Toán học Cao cấp làm sở để lĩnh hội môn khoa học khác ứng dụng giải số tốn thực tiễn, chẳng hạn như: tốn tìm phương án tối ưu hàm tuyến tính với ràng buộc tuyến tính, xây dựng vài mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế, Cấu trúc sách bao gồm: lời mở đầu, bảng ký hiệu, bảng chữ viết tắt, mục lục, nội dung, tài liệu tham khảo Phần nội dung bố cục thành chương phân công sau: ThS Phùng Duy Quang phụ trách viết chương chương 5; T.S Vương Thị Thảo Bình phụ trách viết chưong 2, Th.S Nguyễn Thị Toàn phụ trách viết chương chương Nội dung cụ thể chương sau: Chương 1: Tập hợp ánh xạ - trình bày kiến thức tổng quan tốn học như: Tập hợp, ánh xạ, phép tốn hai ngơi, số cấu trúc đại số Chương 2: Ma trận định thức - trình bày khái niệm ma trận, định thức; phép toán ma trận, hạng ma trận, ma trận nghịch đảo ma trân vng; tính chất định thức phương pháp tính định thức Chương 3: Khơng gian véc tơ - trình bày khái niệm, tính chất, mối quan hệ tuyến tính vectơ khơng gian vectơ tổng quát; không gian vectơ Rn, không gian khơng gian vectơ; tích vơ hướng khơng gian Euclid En Chương 4: Hệ phương trình tuyến tính - trình bày khái niệm hệ phương trình tuyến tính; phương pháp giải hệ phương trình tuyến tính có hệ thống vài mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế Chương 5: Ánh xạ tuyến tính dạng tồn phương – trình bày khái niệm ánh xạ tuyến tính, ma trận ánh xạ tuyến tính; vectơ riêng giá trị riêng phép biến đổi tuyến tính; khái niệm dạng toàn phương phương pháp đưa dạng tồn phương dạng tắc Từ kinh nghiệm đúc rút qua thực tiễn việc tham khảo kinh nghiệm giảng dạy đồng nghiệp giảng dạy mơn Tốn cao cấp nhiều năm trường đại học; biên soạn sách đặc biệt quan tâm đến mối quan hệ lý thuyết việc thực hành giải tập Sau khái niệm có ví dụ minh họa, tính chất, định lý hệ quả, Đặc biệt sau chương cịn có số tập nhằm giúp độc giả củng cố lý thuyết, rèn luyện kỹ thực hành giải tập Chúng hy vọng sách mang đến cho độc giả kiến thức bổ ích, đồng thời mong nhận sáng tạo từ phía bạn đọc Tập thể tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Ban Giám Đốc Quản lý Dự án FTUTRIP, Phòng Quản lý Khoa học trường Đại học Ngoại Thương cám ơn ban Biên tập Nhà xuất tạo điều kiện cho việc đời sách Chúng xin cám ơn thầy giáo Bộ mơn Tốn- Khoa Cơ Bản trường đại học Ngoại Thương có nhiều ý kiến đóng góp quý báu cho nội dung sách Cuốn sách lần xuất nên khơng tránh khỏi thiếu sót Tập thể tác giả mong nhận ý kiến đóng góp từ phía độc giả để sách hồn thiện lần tái sau Mọi góp ý xin gửi Bộ mơn Tốn- Khoa Cơ Bản- Trường Đại học Ngoại Thương Trân trọng cám ơn! Hà nội, ngày 15 tháng năm 2010 Các tác giả BẢNG CÁC KÝ HIỆU A =[aij]m xn A a ij m x n : ma trận cấp m x n A =[aij]n x n A a ij n x n : ma trận vuông cấp n m x n (0)m x n : ma trận không cấp m x n : vectơ không En: ma trận đơn vị cấp n det(A) A : định thức ma trận vuông A Trường K truờng số thực R trường số phức C Matmxn(K): tập ma trận cấp m x n với phần tử trường K Mat n(K): tập ma trận vuông n với phần tử trường K 1 n 1 n : hoán vị n số tự nhiên 1, 2, 3, … , n N( ): số nghịch hốn vị Di (Ci): dịng (cột) thứ i ma trận A D i D j (C i C j ) : hốn vị dịng (cột) i cho dòng (cột) j kDi (kCi) : nhân dòng (cột) i lên k lần kDi + Dj (kCi + Cj) : nhân dòng (cột) i lên k lần cộng vào dòng (cột) j AT : ma trận chuyển vị ma trận A A : ma trận phụ hợp ma trận vuông A Mij : định thức cấp n- có từ định thức ma trận vng A cách bỏ dịng i cột j Aij = (-1)i + i.Mij : phần phụ đại số phần tử aij A-1 : ma trận nghịch đảo ma trận vuông A r(A) : hạng ma trận A dimE: chiều không gian véc tơ E L[U]: bao tuyến tính U không gian véc tơ sinh hệ véc tơ U ~ A A : B : ma trận bổ sung hệ phương trình A.X = B Dn: định thức cấp n E : không gian riêng ứng với giá trị riêng det(A - E ): đa thức đặc trưng ma trận vuông A : tích vơ hướng vectơ x vectơ y x : chuẩn vectơ x Pn(x): tập hợp đa thức có bậc nhỏ hay n (n N ) x, với hệ số thực P* x : tập hợp đa thức có bậc tùy ý biến x, với hệ số thực S X 1, X 2, , X m : tập S có m phần tử: X 1, X 2, , X m Rn: tập hợp phần tử có n thành phần thực Rank(f): hạng ánh xạ f Ker(f): nhân ánh xạ f Dim(f): ảnh ánh xạ f BẢNG CÁC CHỮ VIẾT TẮT Đltt: độc lập tuyến tính Đltttđ: độc lập tuyến tính tối đại Pttt: phụ thuộc tuyến tính Đpcm: điều phải chứng minh MỤC LỤC Nội dung Trang CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm 1.1.2 Các phép toán tập hợp 10 1.2 Ánh xạ 11 1.2.1 Khái niệm ánh xạ 11 1.2.2 Phép toán ánh xạ 11 1.3 Cấu trúc đại số 12 1.3.1 Cấu trúc nhóm 12 1.3.2 Cấu trúc vành 13 1.3.3 Cấu trúc trường 13 1.4 Trường số thực 13 1.5 Trường số phức 14 1.5.1 Khái niệm 14 1.5.2 Các phép toán trường số phức 15 1.5.3 Giải phương trình 18 Bài tập chương 18 CHƯƠNG MA TRẬN - ĐỊNH THỨC 21 2.1 Một số khái niệm ma trận 21 2.2 Các phép toán ma trận 23 2.2.1 Phép cộng hai ma trận cấp 23 2.2.2 Phép nhân vô hướng ma trận với số thực 24 2.2.3 Tích hai ma trận 24 2.3 Định thức 26 2.3.1 Hoán vị 26 2.3.2 Định thức ma trận vuông 28 2.3.3 Các tính chất định thức 31 2.3.4 Một số phương pháp tính định thức 35 2.3.5 Định thức ma trận tích 42 2.4 Hạng ma trận 43 2.4.1 Khái niệm 43 2.4.2 Một số phương pháp tính hạng ma trận 44 2.4.2.1 Phương pháp biến đổi sơ cấp 44 2.4.2.2 Phương pháp định thức 45 2.5 Ma trận nghịch đảo 47 2.5.1 Khái niệm 47 2.5.2 Sự ma trận nghịch đảo 47 2.5.3 Sự tồn ma trận nghịch đảo 47 2.5.4 Một số phương pháp tìm ma trận nghịch đảo 48 Bài tập chương 52 CHƯƠNG KHÔNG GIAN VECTƠ 56 3.1 Khái niệm không gian vectơ 56 3.1.1 Không gian vectơ tổng quát 56 3.1.2 Không gian vectơ Rn 58 3.2 Tính chất khơng gian vectơ 59 3.3 Mối quan hệ tuyến tính vectơ khơng gian vectơ V 60 3.3.1 Các định nghĩa 60 3.3.2 Các tính chất 62 3.4 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ 63 3.4.1 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ V 63 3.4.2 Hạng hệ vectơ – số chiều không gian vectơ Rn 71 3.5 Không gian vectơ 74 3.6 Tích vơ hướng không gian Rn 77 Bài tập chương 81 CHƯƠNG HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH 85 4.1 Khái niệm hệ phương trình tuyến tính 85 4.1.1 Các định nghĩa 85 4.1.2 Các phép biến đổi đương đương hệ phương trình: 86 4.2 Cách giải hệ phương trình 88 4.2.1 Hệ phương trình dạng tam giác dạng bậc thang 88 4.2.1.1 Hệ phương trình dạng tam giác 88 4.2.1.2 Hệ phương trình dạng bậc thang 89 4.2.2 Hệ Cramer 90 4.2.3 Hệ phương trình tuyến tính tổng quát 93 4.2.3.1 Điều kiện cần đủ để hệ phương trình có nghiệm 93 4.2.3.2 Phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính 94 4.2.4 Hệ phương trình tuyến tính 97 4.2.4.1 Các tính chất nghiệm hệ phương trình tuyến tính 97 4.2.4.2 Mối liên hệ nghiệm hệ phương trình tuyến tính hệ phương trình tuyến tính tương ứng 100 4.3 Một số mơ hình tuyến tính phân tích kinh tế 101 4.3.1 Mơ hình cân thị trường n hàng hóa có liên quan 101 4.3.2 Mơ hình cân đối liên ngành (mơ hình Input-Output Leontief ) 103 Bài tập chương 107 CHƯƠNG ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH VÀ DẠNG TỒN PHƯƠNG 111 5.1 Ánh xạ tuyến tính 111 5.1.1 Các khái niệm 111 5.1.2 Ma trận ánh xạ tuyến tính 113 5.1.2.1 Khái niệm 113 5.1.2.2 Ma trận chuyển sở 114 5.1.2.3 Ma trận biến đổi tuyến tính chuyển sở 115 5.2 Giá trị riêng véc tơ riêng 116 5.2.1 Các khái niệm 116 5.2.2 Chéo hố ma trận vng 118 5.2.2.1 Các khái niệm 118 5.2.2.2 Điều kiện chéo hoá 119 5.2.2.3 Chéo hoá ma trận đối xứng thực ma trận trực giao 121 5.3 Dạng toàn phương 124 5.3.1 Các khái niệm 124 5.3.2 Đưa dạng tồn phương dạng tắc 125 5.3.2.1 Phương pháp Lagrange 125 5.3.2.2 Phương pháp Jacobi 127 5.3.2.3 Phương pháp biến đổi trực giao 128 5.3.2.4 Luật quán tính dạng toàn phương 129 Bài tập chương 132 TÀI LIỆU THAM KHẢO 134 CHƯƠNG TẬP HỢP VÀ ÁNH XẠ 1.1 Tập hợp 1.1.1 Các khái niệm Trong ngôn ngữ hàng ngày, ta thường dùng đến khái niệm tập hợp: tập hợp sinh viên có mặt lớp học, tập hợp câu hỏi trắc nghiệm mơn Tốn cao cấp 1, … Ở ta không định nghĩa tập hợp mà mơ tả dấu hiệu hay tính chất cho phép ta nhận biết tập hợp phân biệt với tập hợp khác Ta coi tập hợp khái niệm nguyên thuỷ giống khái niệm điểm, đường thẳng, mặt phẳng hình học Các đối tượng lập nên tập hợp gọi phần tử tập hợp Người ta thường dùng chữ A, B, C, …để ký hiệu tập hợp phần tử tập hợp thường ký hiệu a, b, c, … Nếu a phần tử tập hợp A ta ký hiệu: a A (đọc là: a thuộc A) Nếu a không phần tử tập hợp A ta ký hiệu : a A (đọc : a không thuộc A) Lực lượng tập hợp: Số phần tử tập hợp người ta gọi lực lượng tập hợp Một tập gọi hữu hạn gồm số định phần tử Một tập hợp gồm vô hạn phần tử gọi tập hợp vô hạn Người ta phân biệt: Tập hợp vô hạn đếm tập hợp số phần tử vơ hạn song đánh số thứ tự phần tử Tập hợp vơ hạn khơng đếm tập có vơ số phần tử khơng có cách đánh số thứ tự phần tử Tập hợp khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu: Ví dụ 1.1 Tập A x R : x 3x 1, 2 tập hữu hạn Tập số tự nhiên N tập vô hạn đếm Tập số thực [0 ; 1] tập vô hạn không đếm Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp A, B Nếu phần tử A phần tử B tập A gọi tập B, ký hiệu A B (A bao hàm B B chứa A) Quan hệ bao hàm có tính chất bắc cầu : A B B C A C Ví dụ 1.2 N Z Q R Quy ước tập rỗng tập tập hợp Định nghĩa 1.2 Nếu A tập B B tập A ta nói A B Ký hiệu A = B Cách cho tập hợp: Người ta thường cho tập hợp cách: Liệt kê tất phần tử tập hợp Nêu tính chất đặc trưng phần tử tập hợp 1.1.2 Các phép tốn tập hợp Giả sử A, B, C, … tập tập hợp E Có thể xây dựng E tập hợp dựa tập hợp phép tốn sau: Định nghĩa 1.3 (hợp hai tập hợp) Hợp hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A B ) gồm tất phần tử thuộc hai tập x A x B Mô tả phần tử tập A B x : Định nghĩa 1.4 (giao hai tập hợp) Giao hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A B ) gồm phần tử thuộc đồng thời hai tập x A x B Mô tả phần tử tập A B x : Nếu A B ta nói tập hợp A, B không giao hay rời Định nghĩa 1.5 (hiệu hai tập hợp) Hiệu hai tập A B tập hợp (ký hiệu A\B) gồm phần tử thuộc A không thuộc B x A x B Mô tả phần tử tập A \ B x : Đặc biệt, hiệu E\A gọi phần bù A E, ký hiệu A Định nghĩa 1.6 (Tích đề hai tập hợp) Tích đề hai tập hợp A B tập hợp (ký hiệu A x B) gồm phần tử có hai thành phần, thành phần thứ thuộc tập A thành phần thứ hai thuộc tập B Mô tả phần tử tập A x B (a; b) : a A; b B Đặc biệt, A2 = A x A = {(a ; b) : a, b A} Tương tự, ta mở rộng cho tích đề n tập hợp Các tính chất phép toán tập hợp: Giả sử A, B, C tập hợp tập E Các phép toán hợp, giao, bổ sung có tính chất sau : k 0 A 0 0 a 1s1 k a 2s1 k a ss 1 a ns 1 Do đa thức đặc trưng ma trận A có dạng PA ( ) k s Q() ; Q() đa thức ẩn Từ suy k nghiệm bội s đa thức đặc trưng Suy đpcm Định lý 5.5 Cho A ma trận vuông cấp n A chéo hoá bội đại số giá trị riêng A bội hình học Chứng minh: Giả sử A có giá trị riêng phân biệt ; ; ; s với bội hình học tương ứng 1 ; ; ; s bội đại số tương ứng 1 ; ; ; s Ta có 1 s 1 s n Dấu xảy i i ; i 1, 2, , s Nên không gian véc tơ M sinh véc tơ riêng A có số chiều (cơ sở M hợp tất sở không gian véc tơ riêng ứng với giá trị riêng ; ; ; s ) Do A chéo hố dim(M) = n n i i ; i 1, 2, , s Đpcm Định lý sở để ta giải toán chéo hoá ma trận vng 1 Ví dụ 5.9 Cho ma trận A 1 Chứng tỏ A chéo hoá chéo hoá A 1 Giải: Xét đa thức đặc trưng A: 2 det(A E ) 1 ( 1) 2 1 x3 2 x Với (đơn) Xét hệ x x x X1 . , Khi khơng gian x x 2 riêng E1 ứng với giá trị riêng 1 sinh véc tơ (1 ; ; - 2)T dim(E1) = x x 0 X . , Khi Với (bội 2) Xét hệ x x x x 1 không gian riêng E2 ứng với giá trị riêng sinh hệ véc tơ {(0 ;1; 0)T ; (1; ;-1)T} dim(E2) = 1 1 P 1 Khi 1 Theo định lý 5.5 suy A chéo hoá 0 0 P AP 0 0 0 1 Chú ý 5.6 Từ việc chéo hố ma trận vng ta có ứng dụng quan trọng Giả sử A chéo hoá được, tức tồn ma trận khả nghịch P cho P-1AP = D = diag( 1 ; ; ; n ) Khi đó, với số tự nhiên k ta có (P-1AP)k = Dk P 1 A k P D k A k PD k P 1 k1 P. 0 k2 1 P kn 5.2.2.3 Chéo hoá ma trận đối xứng thực ma trận trực giao Định nghĩa 5.12 Ma trận A =[aij]n xn gọi ma trận đối xứng thực : a ij R ; i; j Điều kiện thứ định nghĩa A = AT a ij a ji ; i; j 4 Ví dụ 5.10 Ma trận A 5 ma trận đối xứng thực 3 Đối với ma trận đối xứng thực ta có tính chất quan trọng Định lý 5.6 Mọi ma trận đối xứng thực A có giá trị riêng số thực Chứng minh: Giả sử o C trị riêng A, tức nghiệm đa thức đặc trưng det(A E ) Khi hệ (A o E)X có nghiệm khơng tầm thường Xo C n T T Ta có AX o o X o X o AX o o X o X o (5 13) Mà AX o X T T o o T T T X o A o X o T T Do A A; A T A nên ta có X o AX o o X o X o (5.14) T T Từ (5.13) (5.14) ta có ( o o )X o X o Do X o X o nên o o Hay o R Định nghĩa 5.13 Ma trận vuông P gọi ma trận trực giao P không suy biến thoả mãn điều kiện PT = P-1 Chú ý 5.7 Từ định nghĩa ta có số tính chất ma trận trực giao: i) Ma trận trực giao thoả mãn điều kiện: PTP = P.PT = E ii) det(P) 1 n iii) n p ij2 p ij2 1(i, j 1, 2, 3, , n) véc tơ dịng (cột) có độ dài i 1 j1 iv) dòng (cột) P véc tơ trực giao với Điều kiện iii) iv) véc tơ dòng (cột) P người ta gọi véc tơ trực chuẩn Ví dụ 5.11 Các ma trận sau ma trận trực giao cos sin P sin cos 1 P 6 2 3 3 3 Ta thừa nhận định lý sau Định lý 5.7 Với ma trận đối xứng thực A, tồn ma trận trực giao P cho PTAP ma trận chéo Hơn nữa, 1 , , , n trị riêng A chọn ma trận trực giao P (các cột P véc tơ riêng trực chuẩn ứng với giá trị riêng đó) cho 0 T P AP 0 2 n Hệ 5.3 Mọi ma trận đối xứng thực đồng dạng trực giao với ma trận chéo 1 Ví dụ 5.11 Chéo hố trực giao ma trận đối xứng thực A 1 Giải: 1 1 Đa thức đặc trưng det(A E) ( 3) 1 1 Bây ta tìm véc tơ riêng ứng với giá trị riêng trực chuẩn chúng 2 x x x 1 1 Với ta có x 2x x X 1 Chọn u 1 x x x 1 1 x x x Với ta có x x x x x x Suy ta có véc tơ riêng x x x 1 1 u 1; u 0 1 Khi ta có hệ véc véc tơ riêng U = {u1, u2, u3} Bây ta trực giao hoá Gram – Schmidt hệ véc tơ U : Đặt y1 = u1 1 1 1 0 u ; y1 y1 1 1 1 y2 = u y1 ; y1 1 1 1 1 1 0 1 1 u ; y1 u3; y2 y1 y 1 1 y3 = u3 y1 ; y1 y2 ; y2 1 1 1 Trực chuẩn hoá hệ véc tơ {y1, y2, y3} hệ véc tơ {P1, P2, P3} với P1 1 2 3 2 1 1 ; P2 ; P 3 3 2 0 3 Do ma trận P 1 1 3 0 0 2 T ma trận trực giao P AP 0 0 3 0 3 1 5.3 Dạng toàn phương 5.3.1 Các khái niệm Định nghĩa 5.14 Dạng toàn phương f(x1, x2, … , xn) n biến x1, x2, …, xn biểu n n thức có dạng f ( x , x , , x n ) a ij x i x j ; a ij K (5.15) i 1 j1 Trong aij = aji, với i, j Nếu K = R (5.15) gọi dạng tồn phương thực Nếu K = C (5.15) gọi dạng toàn phương phức Nếu đặt A = [aij] n x n X = (x1 x2 xn)T (5.15) viết dạng f = XTAX (5.16) Ma trận A gọi ma trận dạng toàn phương f Rõ ràng A ma trận đối xứng Hạng ma trận A gọi hạng f ký hiệu rank(f) Ví dụ 5.12 Biểu thức f = x12 – 2x1x2 + 4x1x3 + 2x2x3 – x32 dạng toàn phương 1 biến x1, x2, x3 Ma trận A 1 rank(f) = rank(A) = 1 Định nghĩa 15 Cho dạng toàn phương thực f(X) = XTAX i) f gọi dạng toàn phương xác định dương f (X) X R n ; f (X) X ii) f gọi dạng toàn phương xác định âm – f(X) dạng xác định dương iii) f gọi bán xác định dương f (X) X R n X cho f(X) = iv) f gọi bán xác định âm –f(X) bán xác định dương v) trường hợp lại gọi khơng xác định Ví dụ 5.13 f = x12 + 2x22 + x32 xác định dương f = - x12 – 2x22 – x32 xác định âm f = (x1 + x2)2 bán xác định dương f = - (x1 – x2 + x3)2 bán xác định âm f = x12 – x22 không xác định Định nghĩa 5.16 Xét dạng tồn phương (5.15) Phép biến đổi tuyến tính dạng tồn phương biến đổi có dạng x p11 y1 p12 y p1n y n x p y p y p y 21 22 2n n x n p n1 y1 p n y p nn y n (5.16) Hay X = PY với X = (x1 x2 … xn)T ; Y = (y1 y2 … yn)T, P = [pij]n x n Nếu P khơng suy biến (5.16) gọi phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Chú ý 5.8 Với phép biến đổi tuyến tính (5.16) dạng tồn phương ban đầu chuyển sang dạng toàn phương Thực với phép biến đổi (5.16) (5.15) có dạng f = XTAX = (PY)TA(PY) = YT(PTAP)Y = YTBY với B = PTAP ma trận đối xứng Định nghĩa 5.17 Dạng toàn phương (5.15) gọi dạng tắc có dạng n f ( x , x , , x n ) i x i2 i 1 Ma trận dạng tồn phương tắc có dạng A = diag( 1 , , , n ) Trong biểu thức có dạng bình phương Như rút gọn dạng tồn phương đưa dạng tắc, điều có nghĩa đưa ma trận dạng chéo Định nghĩa 5.18 Dạng toàn phương (5.15) gọi dạng chuẩn tắc có dạng r f ( x , x , , x n ) i x i2 với r n; k 1 i 1 5.3.2 Đưa dạng toàn phương dạng tắc Ma trận A dạng tồn phương ma trận đối xứng nên ma trận thực ln chéo hố trực giao Do đó, ln tồn phép biến đổi tuyến tính (hay phép đổi sở) để đưa dạng toàn phương dạng tắc 5.3.2.1 Phương pháp Lagrange n n Cho dạng toàn phương f ( x , x , , x n ) a ij x i x j (5.17) ; a ij R ; A =[aij]n x n đối i 1 j1 xứng Ta chứng minh tồn phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến để đưa dạng tồn phương dạng tắc Ở ta giả thiết hệ số aii (5.17) khác khơng Cịn hệ số khơng ln thực phép biến đổi tuyến tính để đưa trường hợp có hệ số aii khác Định lý 5.8 Tồn phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến để đưa f dạng tắc Chứng minh: Với n = 1, định lí hiển nhiên Giả thiết định lý với dạng toàn phương với số biến số nhỏ n, ta chứng minh định lý với n biến Viết (5.17) dạng f (a 11 x a 12 x a 1n x n ) g ( x , x , , x n ) (5.18) a 11 Trong g(x2, x3, , xn) dạng toàn phương n – biến x2, x3, , xn y1 a 11 x a 12 x a 1n x n Mà ma trận y i x i ; i 2, 3, , n Thực phép đổi biến số a 11 0 P1= 0 a 12 a 1n có định thức a11 0, nên không suy biến Do 1 f a 11 y1 g( y ; y ; y n ) P1X = Y với X = (x1 x2 … xn)T ; Y = (y1 y2 … yn)T Theo giả thiết quy nạp phép biến đổi tuyến tính không suy biến Y1 = P2Z1 (với Y1=(y2 y3 … yn)T ; Z1 = (z1 z2 … zn)T P2 ma trận vuông cấp n – không suy biến) ta đưa g dạng tắc c2z22 + c3z32+ … + cnzn2 1 Đặt P3 = thực phép biến đổi tuyến tính khơng suy biến Y = P3Z (với Z = P2 (z1 z2 … zn) ) ta đưa dạng toàn phương dạng tắc f = a 111 z12 + c2z22 + c3z32+ … + cnzn2 Đpcm Ví dụ 5.14 Đưa dạng tồn phương dạng tắc f(x1, x2, x3) = 2x1x2 – 6x2x3 + 2x3x1 Giải: Vì aii = 0; i = 1, 2, nên ta thực phép đổi biến số x y1 y 1 0 x y1 y với ma trận P1 1 0 Khi f đưa dạng x y 0 1 f = 2y12 – 2y22 – 4y1y3 – 8y2y3 Hệ số y12 nên thực phép đổi biến số z y y với ma trận Q1 = z y z y 2 0 Đặt P = Q -1 0 Với phép biến đổi tuyến tính Y = P2Z ta đưa f dạng f z1 2z 22 z 33 8z z Hệ số z 22 nên lại thực phép biến đổi tuyến tính t z1 1 -1 t 2z 4z với ma trận Q 0 4 Đặt P3 = Q2 t z 0 3 Với phép biến đổi tuyến tính Z = P3T ta đưa f dạng f 2 t t t 32 2 3 1 / / Đặt P = P1P2P3 = 1 / / 1 0 Như với phép biến đổi tuyến tính X = PT ta đưa dạng tồn phương f dạng 2 tắc f t 12 t 22 6t 32 Chú ý 5.9 Dạng tắc dạng tồn phương không 2 1 Thật vậy, với phép biến đổi tuyến tính X = QU Q 1 2 ta đưa 0 dạng toàn phương f dạng tắc f = 2u 12 6u 22 8u 32 5.3.2.2 Phương pháp Jacobi Phương pháp áp dụng cho dạng toàn phương f(X) = XTAX mà ma trận A =[aij]n x n a 11 a thoả mãn tính chất : i 21 a i1 a 12 a 22 a i2 a 1i a 2i 0; i 1, 2, , n (5.19) a ii Ta thừa nhận định lý sau Định lý 5.9 Xét dạng tồn phương (5.15) thoả mãn điều kiện (5.19), thực phép đổi biến số PX = Y với X = (x1 x2 … xn)T ; Y = (y1 y2 … yn)T đưa dạng tồn phương dạng tắc f y12 2 y n y 2n với i ; i 1, 2, , n xác định (5.19) 1 n 1 Phương pháp giải Để đưa dạng tồn phương f dạng tắc người ta thường dùng phép biến đổi tuyến tính không suy biến x y1 21 y 31 y n1 y n x y 32 y n y n (5.20) x n yn Với ji (1) i j D j1, i j1 (5.21), j1, i định thức det(A) tạo dòng 1, 2, … , j – cột 1, 2, … , i -1, i + 1, … , j Ví dụ 5.15 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phương pháp Jacobi f ( x , x , x ) x 12 3x x 4x x x 22 x 33 Giải: / 2 Ma trận dạng toàn phương A 3 / 0 2; 3/ 1 17 ; det(A ) 3/ 4 Phép biến đổi tuyến tính (5.20) có dạng x y1 21 y 31 y y 32 y x x y3 Tính hệ số phép biến đổi theo cơng thức (5.21) 21 (1) 21 32 (1) 2 3/ 2 D11 D 3 ; 31 (1) 31 21 2 8 ; 1 1 1/ 2 3/ D 22 12 1 1/ x y1 y y Vậy phép biến đổi tuyến tính x y 12 y Khi f có dạng tắc x y3 f ( y1 ; y ; y ) y12 y 22 17 y 32 5.3.2.3 Phương pháp biến đổi trực giao Xét dạng toàn phương (5.15) : f(X) = XTAX với A ma trận đối xứng thực Do A ma trận đối xứng thực nên theo mục 5.2.2.3 A đồng dạng trực giao với ma trận chéo, nghĩa tồn ma trận trực giao P (mà cột véc tơ riêng trực chuẩn ma trận A ứng với giá trị riêng tương ứng) cho P-1AP = PTAP = diag( 1 , , , n ) ( i , i 1, 2, , n giá trị riêng A) Từ với phép biến đổi X = PY ta đưa dạng tồn phương f dạng tắc Thật f = XTAX = (PY)TA(PY) = YT(PTAP)Y = YTdig( 1 , , , n )Y = y12 y 22 n y 2n Phương pháp gọi phương pháp đưa dạng toàn phương thực dạng tắc phép biến đổi trực giao Ví dụ 5.16 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc phép biến đổi trực giao f ( x , x , x ) 4 x x x x 3x 22 x x 3x 32 Giải: 2 Ma trận f có dạng A 1 Đa thức đặc trưng A có nghiệm 2 (bội 1) (bội 2) 2 Với 2 thu véc tơ riêng u 1 1 2 Với thu véc tơ riêng u ; u 0 Bây ta trực giao hoá Gram – Schmidt hệ véc tơ U = {u1, u2, u3} Đặt y1 = u1 y2 = u2 u1 trực giao với u2 2 2 1 28 / 15 1 4 u ; y1 u3; y2 y1 y 1 1 14 / 15 y3 = u y1 ; y1 y2 ; y2 1 14 / Trực chuẩn hoá hệ véc tơ {y1 ; y2 ; y3} hệ véc tơ {P1 ; P2 ; P3 } 2/ 1/ / 30 với P1 1 / ; P2 / ; P3 / 30 1 / 0 / 30 2 / Do đó, ta có ma trận trực giao P 1 / 1 / / 30 / 30 với phép biến đổi tuyến / 30 tính X = PY ta đưa f dạng tắc : f 2 y12 y 22 y 32 1/ 2/ 5.3.2.4 Luật quán tính dạng tồn phương Như ta biết dạng tồn phương đưa dạng tắc nhiều phương pháp dạng tắc khác Tuy nhiên, người ta chứng minh định lý sau, gọi luật quán tính dạng toàn phương Định lý 5.10 Nếu dạng toàn phương đưa dạng tắc nhiều cách khác số hệ số dương số hệ số âm dạng tắc (chỉ sai khác cách xếp) Ví dụ 5.17 Xem ví dụ 5.14 ý 5.9 ta đưa dạng tồn phương f hai dạng tắc có số hệ số dương 2, số hệ số âm Chú ý 5.10 Hiệu số hệ số dương số hệ số âm dạng tắc dạng tồn phương f gọi kí số f Đối với dạng tồn phương xác định dấu, ta có kết sau: n n Định lý 5.11 Dạng toàn phương thực f ( x , x , , x n ) a ij x i x j xác định dương i 1 j1 n có phép biến đổi tuyến tính đưa dạng chuẩn f y i2 dạng i 1 n tắc f i y i2 ( i 0; i 1, 2, 3, , n i 1 Định lý 5.12 (Tiêu chuẩn Sylvester) Dạng toàn phương thực n n f ( x , x , , x n ) a ij x i x j = XTAX xác định dương định thức i 1 j1 a 11 a A dương, tức i 21 a i1 a 12 a 22 a i2 a 1i a 2i 0; i 1, 2, , n a ii Ví dụ 5.18 Khảo sát tính xác định dạng tồn phương f ( x , x , x ) 5x 12 x 22 5x 32 x x 8x x x x Giải: 4 5 2 Ta có a11 = > ; Ma trận f A 1 ; 4 nên theo tiêu chuẩn Sylvester dạng toàn phương f xác định dương 4 2 Chú ý 11 Dạng toàn phương f xác định âm – f xác định dương Nếu ma trận f A ma trận – f – A Do theo tiêu chuẩn Sylvester f xác định a 11 a âm (1) i i (1) i 21 a i1 a 12 a 22 a i2 a 1i a 2i 0; i 1, 2, , n a ii Ví dụ 5.19 Khảo sát tính xác định dạng tồn phương f ( x , x , x ) 3x 12 x 22 5x 32 x x 8x x x x Giải: 4 3 Ma trận f A 2 Ta có a11 = > ; 1 theo tiêu chuẩn Sylvester kết hợp với ý 5.11 f không xác định dương không xác định âm Ví dụ 5.20 Cho dạng tồn phương f ( x , x , x ) 5x 12 x 22 mx 32 x x 2x x x x Với giá trị m dạng tồn phương f xác định âm Giải: 5 2 Ma trận f A 1 Ta có a11 = -(- 5) > ; (1) 1 ; 1 1 m (1) det(A) m Vậy để f xác định âm m – > hay m > Chú 5.12 Việc khảo sát dạng toàn phương, đưa dạng toàn phương dạng tắc ứng dụng trực tiếp vào giải toán khảo sát, nhận dạng phân loại đường mặt bậc hai hình học giải tích mà khn khổ giáo trình khơng đề cập đến Độc giả quan tâm đến vấn đề tham khảo hầu hết giáo trình Đại số tuyến tính Hình học giải tích trường ĐHKHTN – ĐHQG Hà nội, ĐHSP Hà nội Bài tập chương Bài 5.1 Trong ánh xạ sau, ánh xạ tuyến tính a) f : R R , f(x1, x2, x3) = (x2 – x3; x1 + x3; 3x1 – x2 + 2x3) b) f : R R , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; x2 + 2; x3 + 3) c) f : R R , f ( x , x ) x x d) f : R R , f(x1, x2, x3) = (x1 + x2; 2x2; x3 + m) (m tham số) 1 Bài 5.2 Cho ma trận A 2 1 Xét ánh xạ tuyến tính f : R R xác định 1 f(X) = A.X Tìm Im(f) Ker(f) Bài 5.3 Cho biến đổi tuyến tính f : R R có biểu thức toạ độ xác định sở tắc Tìm ma trận f sở U = {(2 ; 5) ; (1 ; 3) } a) f(x, y) = (2y ; 3x – y) b) f(x ; y) = (3x – 4y ; x + 5y) Bài 5.4 Tìm giá trị riêng véc tơ riêng ma trận sau 1 1 c) 1 1 1 1 4 a) b) 2 3 1 1 1 1 Bài 5.5 Tìm ma trận khả nghịch P chéo hoá ma trận sau 5 1 a) 3 3 1 b) 2 2 1 3 a a c) 0 a (a số thực) 0 a Bài 5.6 Chéo hoá trực giao ma trận sau 1 a) 2 2 b) 1 2 2 2 2 3 c) 1 Bài 5.7 Tính 1 2 n a) (n N; n 2) b) 2 3 3 1 2 1 3 20 Bài 5.8 Cho ánh xạ f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; x1+x2; x1 + x3) Tìm dim(Im(f)) dim(Ker(f)) Bài 5.9 Cho ánh xạ f : R R xác định f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 +x3; 2x1+3x2; x1 +2x2+mx3) (m tham số) Tìm m để Im(f) có chiều lớn Bài 5.10 Viết ma trận tìm hạng dạng toàn phương sau a) f = 3x12 – 4x1x2 – x22 b) f = x12 – 2x1x2 – x1x3 c) f = 2x12 – 2x22 + 5x32 – 8x1x2 – 16x1x3 + 14x2x3 Bài 5.11 Đưa dạng tồn phương sau dạng tắc a) f = 2x12 + 3x22 + 4x32 – 2x1x2 + 4x1x3 b) f = x12 + 5x22 + 2x32 + 4x1x2 + 2x1x3 + 4x2x3 c) f = 2x1x2 + 2x3x4 Bài 5.12 Cho dạng toàn phương f = 2x12 + 2x22 + x32 + 2x1x2 + mx1x3 ( m tham số) a) Đưa dạng toàn phương dạng tắc phương pháp Lagrange b) Tìm m để f xác định dương; nửa xác định dương Bài 5.13 Chứng minh tất nghiệm đa thức đặc trưng ma trận đối xứng thực A thuộc đoạn [a; b] dạng tồn phương với ma trận A – tE xác định âm t > b xác định dương t < a Bài 5.14 Dùng phép biến đổi trực giao đưa dạng tồn phương sau dạng tắc f = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn a b Chứng minh c d Bài 5.15 Cho ma trận A a) A chéo hoá (a –d)2 + 4bc > b) A không chéo hoá (a –d)2 + 4bc < a b (b 0) b a Bài 5.16 Tìm ma trận làm chéo hố trực giao A TÀI LIỆU THAM KHẢO Khu Quốc Anh, Nguyễn Anh Kiệt, Nguyễn Doãn Tuấn, Bài tập Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 Alpha C Chiang, Fundamental Methods of Mathematical Economics, Mc.Graw-Hill Book Copany, 1984 P.Gabriel, Martizen, Geometrie, Linerae Algebra, Birkhauser – Verlag, Basel – Boston – Berlin 1996 Lê Tuấn Hoa, Đại số tuyến tính: Các ví dụ tập, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 Nguyễn Huy Hồng, Tốn cao cấp- Tập (Đại số tuyến tính), Nhà xuất giáo dục Việt Nam, 2009 Nguyễn Huy Hồng (chủ biên), Bài tập Tốn cao cấp cho nhà kinh tế - Phần (Đại số tuyến tính), NXB Thống kê, 2008 Ngơ Thúc Lanh, Đại số tuyến tính, NXB ĐH THCN, Hà nội, 1970 Jean – Marie Monier, Giáo trình Tốn - Tập + : Đại số I + II, NXB Giáo dục 2006 Nguyễn Văn Mậu (chủ biên), Toán Olympic Sinh viên Đại học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2006 10 Đồn Quỳnh (Chủ biên), Giáo trình Đại số tuyến tính hình học giải tích, NXB ĐHQG Hà Nội, 2007 11 Hồng Xn Sính, Đại số, Giáo trình đại học đại cương, NXB Giáo dục, 1990 12 Phan Doãn Thoại, Nguyễn Hữu Hoan, Đại số số học, NXB ĐHSP Hà Nội, 2008 13 Lê Đình Thuý (chủ biên), Toán cao cấp cho nhà kinh tế - Phần 1, NXB ĐH KTQD Hà Nội, 2008 14 Đoàn Trọng Tuyển, Bài giảng Đại số, NXB Đại học Kinh tế Quốc dân, 2008 15 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Toán cao cấp - Tập 1, NXB Giáo dục 2007 16 Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Bài tập Tốn cao cấp - Tập 1, NXB Giáo dục 2007 17 Ngô Việt Trung, Giáo trình Đại số tuyến tính, Bộ sách Cao học - Viện Toán học, NXB ĐHQG Hà Nội, 2002