Tớnh chất của khụng gian vectơ

Cho V là khụng gian vectơ trờn trường K, cỏc vectơ trong V cú cỏc tớnh chất sau:

Tớnh chất 3.1. Phần tử  trong tiờn đề 3 của phộp cộng là duy nhất

Chứng minh: Trong khụng gian vectơ V sự tồn tại phần tử  đó được khảng định trong tiờn đề 3. Giả sử trong V cũng tồn tại phần tử '

 cú tớnh chất: ,

; V

     , ta chứng minh cho  ' . Theo tớnh chất của 'ta cú:     ' , mặt khỏc theo tớnh chất của  ta cũng cú: , ,

    mà ' ,

  là hai phần tử trong V nờn thỏa món tớnh chất giao hoỏn

, '

       do đú

'   .

Phần tử  tồn tại duy nhất thỏa món tiờn đề 3 của phộp cộng được gọi là phần tử trung hũa của phộp cộng.

Tớnh chất 3.2. Với mỗi vectơ  V tồn tại duy nhất vectơ , cũng thuộc V thỏa món:

,

    

Chứng minh: Trong khụng gian vectơ V, với mỗi vectơ  V, sự tồn tại phần tử ,

 đó được khảng định trong tiờn đề 4. Giả sử ,,

 Vcũng cú tớnh chất ,,     . Ta sẽ chứng minh cho , ,,    . Thật vậy: Ta xột , ,, (,) ,, , ( ,, ) ,, ,                        . Với mỗi  V, phần tử ,

 tồn tại duy nhất trong V thỏa món: ,

   (tiờn đề 4 của phộp cộng) được gọi là phần tử đối của  ký hiệu 

Tớnh chất 3.3. Với hai vectơ bất kỳ  , trong V luụn tồn tại duy nhất vectơ xV để

x    .

Chứng minh: Trước tiờn ta chỉ ra sự tồn tại của vectơ x; vỡ  V   V, đặt ( )

    

x V ta cú:  x                  ( )  ( ) . Do đú tồn tại vectơ x để  x . Vectơ x là duy nhất vỡ giả sử  x' Vcũng thỏa món:  x'  ta sẽ chứng minh cho x x '. Thật vậy từ  x  và ,

' ' ' '

( ) ( )

x x x x x x x x

                        . Phần tử x duy nhất thỏa món  x  được gọi là hiệu của vectơ  và , ký hiệu:

x   .

Tớnh chất 3.4. Phộp nhõn một số trong trường K cú tớnh chất phõn phối với hiệu của hai

vectơ.

Chứng minh: Giả sử  k K;  , V, ta phải chứng minh cho k(      ) k k . Thật vậy: Xột k(     ) k k[      ( ) ] k dođó k(            ) k ( k ) k ( k )

( )

k       k k .

Tớnh chất 3.5. Phộp nhõn hiệu hai phần tử trong K cú tớnh chất phõn phối với một vectơ

trong V.

Chứng minh: k l K,  ; V ta chứng minh cho (k l     ) k l . Thật vậy xột (kl)l(k l l) k(kl) kl ta cú điều phải chứng minh.

Tớnh chất 3.6. Với mọi phần tử k K và với mọi vectơ  V; nếu k   thỡ cần và đủ là: k=0 hoặc   .

Chứng minh:

Điều kiện cần: Với k K và  V cú k   ta phải chứng minh cho k=0 hoặc   . Thật vậy, giả sử k0thì 1 K

k , ta cú 1

. .k        1. k

Điều kiện đủ: Nếu k=0 hoặc  0 ta phải chứng minh cho k   Thật vậy nếu k=0     k 0 (l l         ) l l ; l K.

Nếu    ; k K    k k k   ( ) k           k k ; V. Ta cú điều phải chứng minh.

Tớnh chất 3.7. Vectơ đối của một vectơ bất kỳ trong V bằng chớnh vectơ đú nhõn với -1.

Chứng minh: Với  là một vectơ bất kỳ trong V, ta xột:    

( 1). 1 ( 1) 1 1 0. ( 1).

                    ta cú điều phải chứng minh.