SKKN Khai thác bất đẳng thức Cauchy bồi dưỡng học sinh giỏi lớp 10

Phụ lục Trang A Mục đích, cần thiết B Phạm vi triển khai thực C Nội dung 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1.Một số bất đẳng thức thông dụng 2.2 KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 2.2.1 Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số : 2.2.3 Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số : 2.2.4.Dạng sử dụng phép nhóm abel 2.2.5.Dạng Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy Tài liệu tham khảo 23 30 KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY BỒI DƢỠNG HỌC SINH GIỎI LỚP 10 Tác giả: Hán Văn Sơn Giáo viên THPT chuyên Lê Quý Đôn A Sự cần thiết, mục đích việc thực sáng kiến: - Sự cần thiết việc thực sáng kiến: + “Bất đẳng thức Cauchy” phần kiến thức đƣợc đề cập chƣơng IV: Bất đẳng thức.Bất phƣơng trình - Phần Đại số lớp 10 mơn Tốn Các dạng toán bất đẳng thức Cauchy chuẩn kiến thức, kĩ cần đạt đƣợc chƣơng trình Tốn lớp 10, thƣờng xun đƣợc đề cập đến kiểm tra định kì, thi THPT quốc gia thi chọn học sinh giỏi cấp + Tâm lí đa số học sinh cho học bất đẳng thức khó nên ngại học, gặp tốn có u cầu khác biệt so với chƣơng trình sách giáo khoa học sinh thƣờng lúng túng, khơng có khả tƣởng tƣợng, khơng định hƣớng đƣợc dẫn đến khơng có phƣơng pháp tƣ để giải tốn Hơn chƣơng trình sách giáo khoa viết theo yêu cầu giảm tải dẫn đến thiếu số cơng cụ giải tốn, số lƣợng tập bất đẳng thức Cauchy không nhiều có dạng nên học sinh khơng nhận diện đƣợc tất dạng toán chƣa đƣợc hƣớng dẫn cách hệ thống phƣơng pháp để giải tốn …Bởi việc giải số tốn gặp nhiều khó khăn - Mục đích thực sáng kiến: + Với việc nghiên cứu đề tài này, thân đƣợc nâng cao trình độ chun mơn, nghiệp vụ + Với mong muốn giúp em học sinh rèn luyện kĩ tƣ giải toán liên quan đến bất đẳng thức nói chung bất đẳng thức Cauchy nói riêng, đặc biệt dạng tốn thƣờng xuất đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh quốc gia B Phạm vi triển khai thực hiện: - Kiến thức: Bất đẳng thức Cauchy chƣơng trình tốn 10 - Học sinh: Khối 10 trƣờng THPT Chuyên Lê Quý Đôn, đặc biệt học sinh lớp chun tốn 10 1.Tình trạng giải pháp biết -Bất đẳng thức Cauchy quen thuộc với thầy cô em học sinh Nội dung bất đẳng thức Cauchy đƣợc phát biểu lời đơn giản:” trung bình cộng ln lớn trung bình nhân” - Đã hệ thống kiến thức bất đẳng Cauchy thức nhƣng chƣa đầy đủ, chƣa bổ sung đƣợc phần đơn vị kiến thức nâng cao - Chỉ đƣa số dạng toán chứng minh bất đẳng thức Với số dạng toán phƣơng pháp giải chƣa “tự nhiên” làm cho em học sinh cảm thấy lung túng học tốn, chƣa phân tích đƣợc cho học sinh nhận thấy phƣơng pháp tối ƣu để giải toán - Hệ thống tập rèn luyện kĩ cho học sinh chƣa nhiều 2.Nội dung giải pháp 2.1 KIẾN THỨC CƠ BẢN 2.1.1.Một số bất đẳng thức thông dụng * Bất đẳng thức Cauchy cho hai số Cho số thực khơng âm a,b đó: * Bất đẳng thức Cauchy ba số: Cho số thực khơng âm a,b,c đó: ab  ab Dấu = xảy a=b abc  3 abc Dấu = xảy a=b=c * Bất đẳng thức Cauchy tổng quát: Cho n số thực không âm a1 , a2 , a3 , , an đó: a1  a2  a3    an n  a1.a2 a3 an n Dấu = xảy a1  a2    an *Các bất đẳng thức liên quan hay dùng: 1) a2 + b2  2ab ; Dấu = xảy a=b 2) a  b a  b  2 ; Dấu = xảy a=b a  b2 3) ab  ; Dấu = xảy a=b  a  b2 ; Dấu = xảy a=-b 4) ab  5) Nếu a,b  a  b  ab ; Dấu = xảy a  b   a b   ; Dấu = xảy a  b b a b2 7) Nếu a,b>0 a   2b ; Dấu = xảy a  b a a2 8) Nếu a,b>0 b   2a ; Dấu = xảy b 6) Nếu a,b>0 a b 9) Nếu a,b > 0.thì: (a + b)(  )  4.Dấu „=‟ xảy a  b 1 ; Dấu = xảy a  b   a b ab ; Dấu = xảy a=b>0 a  b 11) Nếu a,b>0  ab  a  b 2 10).Nếu a,b>0 12) a2 + b2 + c2  ab + ac + bc Dấu „=‟ xảy a  b  c 13) a2 + b2 + c2  (a + b + c)2  ab + ac + bc Dấu „=‟ xảy a  b  c a 14) Nếu a,b,c > thì: (a + b + c)(  1  )  b c Dấu „=‟ xảy a  b  c a 15) Nếu a,b,c > thì:  1 Dấu „=‟ xảy a  b  c   b c a b  c 2.2 KHAI THÁC BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY 2.2.1 Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số :  a, b  : a+b  ab ; đẳng thức xảy : a = b 1 + + = a b c 1 + +  Chứng minh : 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c Ví dụ : Cho a, b, c số dƣơng thỏa : Ta có với (TSĐH - Khối A - Năm 2005) x+y 1 1     +  x+y 4xy x+y 4 x y Dấu (=) xảy  x  y  x, y : ( x  y)2  xy   Áp dụng kết trên, ta có : 1 1  1 1  1   1    + +  +  =  + +     2a + b + c  2a b + c  2a  b c   a 2b 2c  (1) Tƣơng tự : 1 1    + +  a + 2b + c  2a b 2c  (2) 1 1 1 + +  (3)   a + b + 2c  2a 2b c  1 11 1 + +    + +  =1 2a + b + c a + 2b + c a + b + 2c 4 a b c a = b = c  Dấu (=) xảy    a=b=c= 1  a + b + c = Nhận xét: Dấu “=” sảy a = b = c = Bài tốn khơng cịn tính đối xứng giải nào? Ví dụ : Cho x, y, z số dƣơng thỏa : + + = Tìm GTNN x y z biểu thức : P=x+y+z 1 9 + +  y z x z   9y 4z   9x + +  + +  z x z y    9y 4z = 14 + + + 12 = 36 z y  Ta có :P = x + y + z = (x + y + z)   4x y +  x  y 4x y 9x z  14 + +2 +2 y x z x = 14 +  1 + + =1 x = x y z     y = 12  Dấu (=) xảy   z = 18  4x = y , 9x = z , 9y = 4z   y x z x z y  Vậy : Pmin = 36 x = 6, y = 12, z = 18 Nhận xét: Dấu “=” sảy x  6; y  12; z  18 Bài tốn khơng cịn tính đối xứng giải Bài tốn giải đượcliên quan chặt chẽ tới dấu “=” đẳng thức Bài tập tương tự : Cho a, b, c độ dài cạnh tam giác Chứng minh : 4a 9b 16c + +  26 b+c-a c+a-b a+b-c Cho x, y, z > thỏa : xyz = Tìm GTNN biểu thức : P= yz zx xy + + 2 x y+x z y z+y x z x + z2y *Hƣớng dẫn: 1. Đặt : x  b  c  a; y  c  a  b; z  a  b  c( x, y, z  0)  a= Khi : y+z z+x x+y ,b= ,c= 2 VT  4(y + z) 9(z + x) 16(x + y)  4y 9x   4z 16x   9z 16y  + + = + + + + +  x y z y   x z   y z   x Áp dụng bđt Cauchy ,  (đpcm) 2. Đặt : a  yz; b  zx; c  xy( x, y, z  0; abc  1) a2 b2 c2  P= + + b+c c+a a+b  Áp dụng bđt Cauchy , ta có : a2 b+c a2 b + c +  =a, b+c b+c b2 c+a tƣơng tự : +  b , c+a  Cộng bđt vế theo vế, suy : P   c2 a+b +  c a+b Kết luận : MinP = x =y=z=1 2.2.3 Dạng sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho số :  a, b, c  : a+b+c  3 abc ; đẳng thức xảy :a = b = c Ví dụ : Cho a, b, c số dƣơng thỏa : abc = 1 + a + b3 + ab Chứng minh : + b + c3 + c3 + a + bc ca  3 (TSĐH - Khối D - Năm 2005) Tacó : + a + b  1.a b = 3ab  3 Tƣơng tự : 3 + b + c3  bc bc 1+a +b  , ab  + c3 + a  ca  Cộng bất đẳng thức vế theo vế , ta có : + a + b3 + ab  Lại có : + ab ca 1   3 + +  bc ca   ab = = abc = abc (abc)2 + b + c3 + c3 + a + bc ca 1 +  33 bc ca + a + b3  ab   Từ (1) (2) suy : (đpcm) Dấu (=) xảy  a = b = c = Ví dụ : Cho x, y, z số dƣơng thay đổi Tìm GTNN biểu thức : x z    y P = x +  + z +  + y +  yz   zx  2  xy  ab x2 y2 z2 x + y2 + z  Ta có : P = + + + 2 xyz x2 y2 z2 xy + yz + zx  x   y2   z2 1 ≥ = + + + + + + + +  2 xyz x  y  z  x2 x2 1 x2 1 3  Ngoài : + = + +  = x 2x 2x 2x 2x 2 y z Tƣơng tự : +  ; +  y 2 z Dấu (=) xảy  x = y = z = x = y = z =  Vậy : Pmin = Suy : P ≥ Nhận xét: Dấu “=” sảy số hạng Bài tốn có tính đối xứng việc chọn dấu sảy đơn giản *Bài tập tương tự : Cho a, b, c > thỏa a + b + c = Chứng minh : 1 1 + + +  30 2 a +b +c ab bc ca 2 Cho x, y, z > thỏa : x + y + z ≥ Tìm GTNN biểu thức : P= x3 y3 z3 + + y+z z+x x+y Hướng dẫn : Ta có : (VT) = 1 1  + + + + a + b2 + c2 ab bc ca a + b2 + c2 ab.bc.ca =  + 2 a +b +c ab + bc + ca 1   = + + + 2 ab + bc + ca ab + bc + ca  ab + bc + ca a +b +c 21 + (a + b + c ) + (ab + bc + ca) + (ab + bc + ca) 3(ab + bc + ca) 21 30  +   30 (a + b + c)2 (a + b + c) (a + b + c) x3 y+z + +  3x ,  Áp dụng bđt Cauchy , ta có : y+z  2 y3 z+x z3 x+y + +  3y , + +  3z z+x x+y  Cộng bđt vế theo vế, suy : P  2(x + y + z) -  2.6 - = Kết luận : MinP =  x  y  z  2.2.4.Dạng sử dụng phép nhóm abel Khi chứng minh bất đẳng thức hay nhiều dãy số có thứ tự ngƣời ta thƣờng sử dụng phép nhóm abel để sử dụng dễ dàng điều kiện thứ tự Phép nhóm Abel đƣợc cho đẳng thức mà chứng minh dƣới Cho hai dãy số thực a1, a2, , an b1, b2 , , bn Kí hiệu sk  đẳng thức n 1  s , k  1, n ta có i 1 i n 1 n  a b   s b  b   s b i 1 i i i 1 i i 1 i n n Chứng minh Kí hiệu s0  ta có n n  a b    s  s b i 1 i i i 1 n i i 1 i n   s i bi   si 1bi i 1 n i 1 n 1 i 1 i 1   sibi   sibi 1 n 1   si  bi  bi 1   snbn i 1 Để có đƣợc phƣơng pháp giải bất đẳng thức sử dụng nhóm Abel trƣờng hợp cụ thể xây dựng toán tổng quát Sử dụng phƣơng pháp giải toán tổng quát ta giải đƣợc tốn khó trƣờng hợp riêng Ví dụ 1: Với       0, a   , ab   , abc   Chứng minh a  b  c     Giải Ta có a b c a b a a  b  c                             abc ab a  3  2             Áp dụng điêu kiện cho toán ta thu đƣợc a  b  c  3                  ( đpcm) Áp dụng kết ta giải dễ dàng tập sau: Ví dụ 2: Với   3, ab  6, abc  Chứng minh a bc  Giải Ta có a b  a b a a  b  c     c      3   2 abc ab a 2    1 6 Ví dụ 3: Với  a  b  c  3, bc  6, abc  6, chứng minh abc6  33 Giải Ta có  3  3     a      b  a     c  b c a b c b c Suy  3a 6  2b  a    c  b  abc bc c   3a   b  a    c  b   a  b  c (đpcm) Nhận xét Từ ví dụ cụ thể ta xây dựng phương pháp giải cho bất đẳng thức dạng Bước Xác định dấu bất đẳng thức xảy cách chuyển điều kiện cho thành đẳng thức Bước Viết lại đẳng thức cần chứng minh dạng đối xứng vế Bước Áp dụng phép nhóm Abel cho vế bất đẳng thức theo điều kiện thứ tự Chúng ta trình bày giải mẫu sau: Ví dụ 4: với a,b,c số thực thỏa mãn điều kiên a  b  1, a  3, ab  6c chứng minh abc  Giải Bất đẳng thức cần chứng minh đƣợc viết dƣới dạng a  b 1   c Ta có 3 c  2   c        b  1      a  b   a b 1 a b Suy 6c   b  1   a  b ab ab a   c    b  1   a  b    c  33 Suy    c  a  b 1 Đối với số dạng hệ bất đẳng thức Cosi dễ dàng xây dựng đƣợc bất đẳng thức tƣơng tự trƣờng hợp tổng quát đặc biệt Ví dụ Với       0; a, b, c  0; c   ; b   c   2; a   b   c  3 Chứng minh 1 1 1      a b c    Giải Ta có  1        1      1                       a b c    a b c      b c      c Sử dụng điều kiện toán ta thu đƣợc  a Tƣơng tự   b  b    c  c  a   b   c   a   b  c 3 2 Suy  1  1  1 1            a b c               (đpcm) b a b  c  ,   c  , c  Chứng minh 1 11    a b c Ví dụ với a, b, c  0, Giải Ta có 10  P3n  1     n  n a b c       n    b n   c  n   n   1 1 1  1;   2;   3 c b c a b c 1 Chứng minh a  b  c    7.Với       0; a,b,c>0;    *Hƣớng dẫn Ta có: 1 1  1   b   c      c        1 9  3 Ta có  a   b   c     1 a b c a  b   c  a  b  c    a   b   c    b   c  1 b  1 c  b  4  2  c1 Suy  1 1  1            (đpcm)            Những tập sau trƣờng hợp đăc biệt với  ,  ,  cụ thể 1 1 Với a, b, c  0; c  1;   2;    2b c 3a 2b c  a  b  c  Chứng minh abc *Hƣớng dẫn 11  a  b  c    3a  2b  c    1  1    2b  c   1   c  3  2 1 9      3, Ta có: 3a  2b  c  1 1 1   3a 2b c 3a 2b c 1 4 2b  c     2 1 1  2b c 2b c Suy 18 11 1 1  1 1 a  b  c         1        3  2 1 1 Với a, b, c  thỏa mãn c  1;   2;    Chứng minh 2b c 3a 2b c 1   6 a b c *Hƣớng dẫn     1  1 1  3a  2b  c       2b  c      c a b a c b Ta có 1 9      3, 1 1 1   3a 2b c 3a 2b c 1 4 2b  c     2 1 1  2b c 2b c 3a  2b  c  Thu đƣợc 1 1 1 1 1            (đpcm) a b a c b a b c 1 1 10 với a, b, c  thỏa mãn c  1;   2;    2b c 3a 2b c 6 Chứng minh *Hƣớng dẫn 1  b a c 1 1  3a  b  c       2b  c       c a 2 a c 2 1 1 1 1 1   b 1 3             a 2 a c 2 a c 1    b  (đpcm) a c 1  1;   2; 11 Với       ; a,b,c>0; c  b c 1    Chứng minh a b c 1       a b c Ta có  b   Hƣớng dẫn 19  1 1 1           a b c a b c               b    c         c      1   1 a b  c   3 3 a b c Ta có 1  1 b  c  2 2 b c Suy 1   3  2 a b c               Những tập sau trƣờng hợp đặc biệt  ,  ,  cho gía trị cụ thể 1 1 1  1;   2;    Chứng minh 9c 4b 9c a 4b 9c 1   6 a b c 12 với a, b, c  0; *Hƣớng dẫn Ta có: 1  1              1    3  2 a b c  a 4b 9c  9c  9c  4b Ta có 1   1    a 4b 9c  3, a 4b 9c 1  1   4b 9c  2 4b 9c Suy 1       1   (đpcm) a b c 1 1 1  1;   2;    chứng minh 13 Với a  b  c  0; 9a 4b 9a 9a 4b c 20 a b c *Hƣớng dẫn 11  11  1  1       c     b  c  9 4b 9a   c  a b  3 c 2 b  c  a  b  a  9a 14.Với       ; a,b,c>0 thỏa mãn điều kiện 1 1 1    3;   2; 1 a b c b c c         1    4b 9a  b c Chứng minh 1   2  2  2 a b c Hƣớng dẫn Ta có  1 1 1            a   b 2  c 2  a b2 c2    1  2                 b   c    c    1    a  b  c  1    3 Ta có  3 2  a   b   c       2  b  Thu đƣợc   c      b c   2  2       1    3                   (đpcm) a b c 1 1 1    3;   2;  chứng minh 15 Với a, b, c  0; a 2b 3c 2b 3c 3c 1    14 a b2 c *Hƣớng dẫn Ta có 21  1 1 1         2  a  a b2 c2  2b   3c     1    22  12      32  22   2    2b   3c   c     Ta có  1     1     a 2b 3c   3, 2 a  2b   3c          2b 3c  1      2 2  2b   3c      Suy 1        14 (đpcm) a b2 c 1 1 1 16 Với  a  b  c;    3;   2; 1 a 2b 3c 2b 3c 3c Chứng minh a  b c  *Hƣớng dẫn Ta có:  49 36  49 1 1      a2      a  2b   3c   36    1  2 c b   b2  a           2b   3c    3c    Ta có 22  1       a 2b 3c   3     1   2 a  2b   3c   2b    3c     2b  3c   2  2     Suy 49  3a   b  a    c  b   a  b  c (đpcm) 36 17 Với a  3, a+b  5, a+b+c  Chứng minh a  b2  c2  14 *Hƣớng dẫn Ta có: c   c   1   c  1   c  1  11, 2 b   b      b     b    22 2 a   a   3   a  3   a  3  32 2 Suy a  b2  c   c  1   b     a  3  2 2  a  b  c     a  b  5   a  3  11  22  32 Suy a2  b2  c2  12  22  32  14 2.2.5.Dạng Làm mạnh bất đẳng thức Cauchy Xuất phát từ ý tƣởng đơn giản: Nếu có A  B ta thu đƣợc bất đẳng thức  A  B     1 mạnh tùy thuộc vào độ gần  Chúng ta xây dựng số bất đẳng thức mạnh nhờ việc đƣa tham số vào bất đẳng thức trƣờng hợp đặc biệt Ví dụ 1: Với   ,  ,   chứng minh 1, a  b2  2ab    a  b  ,  2, a  b2  c  ab  bc  ca  a  b   b  c     c  a   2.7.2 Giải Ta có  2.7.1  1    a  b   23 Cộng vế với vế bất đẳng thức a  b  2ab    a  b  , b  c  2bc    b  c  , c  a  2ca    c  a  , Ta thu đƣợc  2.7.2  Ví dụ 2: Với a, b, c  0;   , ,  1, chứng minh a b2 c    2     a  b  c    a  b    b  c    c  a   2.7.3 b c a b c c Giải Cộng vế với vế bất đẳng thức a2 a  b  2a   a  b  , b b  b  c  2b   b  c  , c c  c  a  2c   c  a  , a a Ta thu đƣợc  2.7.3 Ví dụ 3: Với m,n số tự nhiên, a, b, c  chứng minh a m n  b m n  Trong    1 m  a  bm  a n  bn    a m  bm  a n  bn   2.7.4   2 Giải  Ta có  2.7.4   1    a m  bm  a n  bn   hiển nhiên Ví dụ Với a, b  0; m, n số tự nhiên, chứng minh a m n  b mn  a  b      m n   a m  bm  a n  bn   2.7.5 Giải Ta có a m n  b m n  m  a  bm  a n  bn    a m  bm  a n  bn   2 24 Suy m n  m m n n a m n  b m n  a  b      a  b  a  b  (đpcm)   Ví dụ 5: Với a, b  0; 0