Tài liệu Lý thuyết mạch - Chương 3 ppt

Định lý về Topo mạch Nhắc lại, một mạch gồm B nhánh cần 2B phương trình độc lập để giải, trong đó B phương trình là hệ thức v - i của các nhánh, vậy còn lại B phương trình phải được thi

 Chương 3

PHƯƠNG TRÌNH MẠCH ĐIỆN

’ KHÁI NIỆM VỀ TOPO

ƒ Một số định nghĩa

ƒ Định lý về topo mạch

’ PHƯƠNG TRÌNH NÚT

ƒ Mạch chứa nguồn dòng điện

ƒ Mạch chứa nguồn hiệu thế

’ PHƯƠNG TRÌNH VÒNG

ƒ Mạch chứa nguồn hiệu thế

ƒ Mạch chứa nguồn dòng điện

’ BIẾN ĐỔI VÀ CHUYỂN VỊ NGUỒN

ƒ Biến đổi nguồn

ƒ Chuyển vị nguồn

Trong chương này, chúng ta giới thiệu một phương pháp tổng quát để giải các mạch điện tương đối phức tạp Đó là các hệ phương trình nút và phương trình vòng Chúng ta cũng

đề cập một cách sơ lược các khái niệm cơ bản về Topo mạch, phần này giúp cho việc thiết lập các hệ phương trình một cách có hiệu quả

Trong một mạch, ẩn số chính là dòng điện và hiệu thế của các nhánh Nếu mạch có B nhánh ta có 2B ẩn số và do đó cần 2B phương trình độc lập để giải Làm thế nào để viết và giải 2B phương trình này một cách có hệ thống và đạt được kết quả chính xác và nhanh nhất,

đó là mục đích của phần Topo mạch

Topo mạch chỉ để ý đến cách nối nhau của các phần tử trong mạch mà không để ý đến bản chất của chúng

3.1.1 Một số định nghĩa

ƒ Giản đồ thẳng

Để vẽ giản đồ thẳng tương ứng của một mạch ta thay các nhánh của mạch bởi các đoạn thẳng (hoặc cong) và các nút bởi các dấu chấm

(a) (b)

(H 3.1)

Trong giản đồ các nhánh và nút được đặt tên hoặc đánh số thứ tự Nếu các nhánh được định hướng (thường ta lấy chiều dòng điện trong nhánh định hướng cho giản đồ ), ta có giản

đồ hữu hướng

(H 3.1b) là giản đồ định hướng tương ứng của mạch (H 3.1a)

ƒ Giản đồ con

Tập hợp con của tập hợp các nhánh và nút của giản đồ

ƒ Vòng

Giản đồ con khép kín Mỗi nút trong một vòng phải nối với hai nhánh trong vòng đó

Ta gọi tên các vòng bằng tập hợp các nhánh tạo thành vòng hoặc tập hợp các nút thuộc vòng

đó

Thí dụ:

(H 3.2a): Vòng (4,5,6) hoặc (a,b,o,a)

(H 3.2b): Vòng (1,6,4,3) hoặc ( a,b,o,c,a)

(a) (b)

(H 3.2)

ƒ Cây

Giản đồ con chứa tất cả các nút của giản đồ nhưng không chứa vòng

Một giản đồ có thể có nhiều cây

Thí dụ:

(H 3.3a): Cây 3,5,6 ;

(H 3.3b): Cây 3,4,5

(a) (b)

(H 3.3)

* Cách vẽ một cây: Nhánh thứ nhất được chọn nối với 2 nút, nhánh thứ hai nối 1

trong hai nút này với nút thứ 3 và nhánh theo sau lại nối một nút nữa vào các nút trước Như vậy khi nối N nút, cây chứa N-1 nhánh

Thí dụ để vẽ cây của (H 3.3b) ta lần lượt làm từng bước theo (H 3.4)

(H 3.4)

Để phân biệt nhánh của cây với các nhánh khác trong giản đồ, người ta gọi nhánh của

cây là cành và các nhánh còn lại gọi là nhánh nối Cành và nhánh nối chỉ có ý nghĩa sau khi

đã chọn cây

Gọi L là số nhánh nối ta có:

B = (N - 1) + L

Trong đó B là số nhánh của giản đồ, N là số nút

Trong giản đồ trên hình 3.1 : B = 6, N = 4 vậy L = 6 - 4 + 1 = 3

Nhận thấy, một cây nếu thêm một nhánh nối vào sẽ tạo thành một vòng độc lập ( là vòng chứa ít nhất một nhánh không thuộc vòng khác )

Vậy số vòng độc lập của một giản đồ chính là số nhánh nối L

3.1.2 Định lý về Topo mạch

Nhắc lại, một mạch gồm B nhánh cần 2B phương trình độc lập để giải, trong đó B

phương trình là hệ thức v - i của các nhánh, vậy còn lại B phương trình phải được thiết lập từ

định luật Kirchhoff

ƒ Định lý 1:

Giản đồ có N nút, có (N -1) phương trình độc lập do định luật KCL viết cho (N-1) nút của giản đồ

Thật vậy, phương trình viết cho nút thứ N có thể suy từ (N-1) phương trình kia

ƒ Định lý 2

Hiệu thế của các nhánh (tức giữa 2 nút) của giản đồ có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc lập nhờ định luật KVL

Thật vậy, một cây nối tất cả các nút của giản đồ, giữa hai nút bất kỳ luôn có một đường nối chỉ gồm các cành của cây, do đó hiệu thế giữa hai nút có thể viết theo hiệu thế của các cành của cây Một cây có (N - 1) cành, vậy hiệu thế của một nhánh nào của giản đồ cũng

có thể viết theo (N-1) hiệu thế độc lập của các cành

Trong thí dụ của (H 3.1), cây gồm 3 nhánh 3, 4, 5 đặc biệt quan trọng vì các cành của

nó nối với một nút chung O, O gọi là nút chuẩn Hiệu thế của các cành là hiệu thế giữa các nút a, b, c (so với nút chuẩn) Tập hợp (N - 1) hiệu thế này được gọi là hiệu thế nút

Nếu mạch không có đặc tính như trên thì ta có thể chọn một nút bất kỳ làm nút chuẩn

ƒ Định lý 3

Ta có L = B - N +1 vòng hay mắt lưới độc lập với nhau, trong đó ta có thể viết phương trình từ định luật KVL

ƒ Định lý 4

Mọi dòng điện trong các nhánh có thể được viết theo L = B - N +1 dòng điện độc lập nhờ định luật KCL

Các vòng độc lập có được bằng cách chọn một cây của giản đồ, xong cứ thêm 1 nhánh nối vào ta được 1 vòng Vòng này chứa nhánh nối mới thêm vào mà nhánh này không thuộc một vòng nào khác Vậy ta có L = B - N + 1 vòng độc lập Các dòng điện chạy trong các nhánh nối họp thành một tập hợp các dòng điện độc lập trong mạch tương ứng

Thí dụ: Trong giản đồ (H 3.1b), nếu ta chọn cây gồm các nhánh 3,4,5 thì ta được các vòng độc lập sau đây:

(H 3.5) Một phương pháp khác để xác định vòng độc lập là ta chọn các mắt lưới trong một giản đồ phẳng (giản đồ mà các nhánh chỉ cắt nhau tại các nút) Mắt lưới là một vòng không chứa vòng nào khác Trong giản đồ (H 3.1b) mắt lưới là các vòng gồm các nhánh: (4,5,6), (2,3,4) & (1,2,6)

Một mắt lưới luôn luôn chứa một nhánh không thuộc mắt lưới khác nên nó là một vòng độc lập và số mắt lưới cũng là L

Các định lý trên cho ta đủ B phương trình để giải mạch :

Gồm (N-1) phương trình nút và (L = B - N + 1) phương trình vòng

Và tổng số phương trình là:

(N-1) + L = N - 1 + B - N + 1 = B

3.2 Phương trình Nút

3.2.1 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn dòng điện

Trong trường hợp ngoài điện trở ra, mạch chỉ chứa nguồn dòng điện thì viết phương trình nút cho mạch là biện pháp dễ dàng nhất để giải mạch Chúng ta luôn có thể viết phương trình một cách trực quan, tuy nhiên nếu trong mạch có nguồn dòng điện phụ thuộc thì ta cần

có thêm các hệ thức diễn tả quan hệ giữa các nguồn này với các ẩn số của phương trình mới

đủ điều kiện để giải mạch

ƒ Nguồn dòng điện độc lập:

Nếu mọi nguồn trong mạch đều là nguồn dòng điện độc lập, tất cả dòng điện chưa biết

có thể tính theo (N - 1) điện thế nút Ap dụng định luật KCL tại (N - 1) nút, trừ nút chuẩn, ta được (N - 1) phương trình độc lập Giải hệ phương trình này để tìm hiệu thế nút Từ đó suy ra các hiệu thế khác

Thí dụ 3.1:

Tìm hiệu thế ngang qua mỗi nguồn dòng điện trong mạch (H 3.6)

(H 3.6) Mạch có 3 nút 1, 2, O; N = 3 vậy N - 1 = 2, ta có 2 phương trình độc lập

Chọn nút O làm chuẩn, 2 nút còn lại là 1 và 2 v1 và v2 chính là hiệu thế cần tìm Viết KCL cho nút 1 và 2

Nút 1: 0

2 4

5+ 1 + 1− 2 =

6 3 2

2 2 1

v

Thu gọn:

5 2

1 2

1

4

1

2

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

2 6

1 3

1 2

1 2

1

2

⎠

⎞

⎜

⎝

+

Giải hệ thống (3) và (4), ta được :

v1 = 8 (V) và v2 = 2 (V)

ƒ Thiết lập phương trình nút cho trường hợp tổng quát

Xét mạch chỉ gồm điện trở R và nguồn dòng điện độc lập, có N nút Nếu không kể nguồn dòng điện nối giữa hai nút j và k, tổng số dòng điện rời nút j đến nút k luôn có dạng:

Gjk là tổng điện dẫn nối trực tiếp giữa hai nút j , k ( j ≠ k ) gọi là điện dẫn chung giữa hai nút j , k ; ta có:

Gọi ij là tổng đại số các nguồn dòng điện nối với nút j

Định luật KCL áp dụng cho nút j:

( )

k

j k j jk

G v v i (ij > 0 khi đi vào nút j )

k jk jk

Gjk

k

∑ : Là tổng điện dẫn của các nhánh có một đầu tại nút j Ta gọi chúng là điện dẫn riêng của nút j và ký hiệu:

(3.5)

∑

=

k jk

G

Phương trình (3.4) viết lại:

(3.6)

(j k G

k k jk j

Viết phương trình (3.6) cho (N - 1) nút ( j = 1, , N - 1 ), ta được hệ thống phương trình

Nút 1: G11v1 - G12v2 - G13v3 - G1(.N-1)vN-1 = i1

Nút 2: - G21 v1 + G22 v 2 - G23 v 3 - G2.(N-1) v N-1 = i2

:

:

:

Nút N -1: - G(N-1).1 v 1 - G(N-1).2 v 2 +G(N-1)(.N-1) v N-1 = iN-1

Dưới dạng ma trận:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

1 N

2 1

1 N

2 1

1 1.N N 1.2

N 1.1 N

1 2.N 22

21

1 1.N 12

11

: : : :

: :

G

G G

-: :

:

: :

:

: :

:

G

G G

-G

G G

i

i i

v

v v

Hay

[G]: Gọi là ma trận điện dẫn các nhánh, ma trận này có các phần tử đối xứng qua đường chéo

chính và các phần tử có thể viết một cách trực quan từ mạch điện

[V]: Ma trận hiệu thế nút, phần tử là các hiệu thế nút

[I]: Ma trận nguồn dòng điện độc lập, phần tử là các nguồn dòng điện nối với các nút, có giá

trị dương khi đi vào nút

Trở lại thí dụ 3.1:

G11 =

2

1 4

1 + ; G22 =

6

1 3

1 2

1 + + ; G12 =

2 1

i1 = 5A và i2 = - 2A

Hệ phương trình thành:

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

+ +

−

− +

2

5

6

1 3

1 2

1 2

1

2

1 2

1

4

1

2

1

v v

Ta được kết quả như trên

ƒ Nguồn dòng điện phụ thuộc :

Phương pháp vẫn như trên nhưng khi viết hệ phương trình nút trị số của nguồn dòng điện này phải được viết theo hiệu thế nút để giới hạn số ẩn số vẫn là N-1 Trong trường hợp này ma trận điện dẫn của các nhánh mất tính đối xứng

Thí dụ: 3.2

Tín hiệu thế ngang qua các nguồn trong mạch (H 3.7)

(H 3.7)

Ta có thể viết phương trình nút một cách trực quan:

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

+

−

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

3 2 1

2 1

3 6

1 3

1 2

1 2

1

5 2

1 2

1 4

1

i v v

v v

(1)

Hệ thống có 3 ẩn số, như vậy phải viết i3 theo v1 và v2

2

2 1

3

v v

i −

Thay (2) vào (1) và sắp xếp lại

5 2

1 4

3

2

2

1

2

v

⇒ v1 = - 20 (V) và v2 = - 40 (V)

Thí dụ 3.3

Tính v2 trong mạch (H 3.8)

(H 3.8)

Chọn nút chuẩn O, v1 & v2 như trong (H 3.8)

Hệ phương trình nút là:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

=

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ + +

−

+

=

−

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

⎛ +

3 2 1

3 2

1

9

1 1

4 1

2

1

i v v

i v

v

(1)

Ta được :

⎪

⎩

⎪

⎨

⎧

= +

=

−

−

0 9

10 4

4 2

7

2 1

2 1

v v

v v

(3)

Suy ra :

v2 = - 114 (V)

3.2.2 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế

ƒ Nguồn hiệu thế độc lập

Nếu một nhánh của mạch là 1 nguồn hiệu thế độc lập, dòng điện trong nhánh đó không thể tính dễ dàng theo hiệu thế nút như trước Vì hiệu thế của nguồn không còn là ẩn số nên chỉ còn (N-2) thay vì (N-1) hiệu thế chưa biết, do đó ta chỉ cần (N-2) phương trình nút, viết nhờ định luật KCL để giải bài toán Để có (N-2) phương trình này ta tránh 2 nút nối với nguồn hiệu thế thì dòng điện chạy qua nguồn này không xuất hiện

Cuối cùng, để tìm dòng điện chạy trong nguồn hiệu thế, ta áp dụng định luật KCL tại nút liên hệ với dòng điện còn lại này, sau khi tính được các dòng điện trong các nhánh tại nút này

Thí dụ 3.4

Tính v4 và điện trở tương đương nhìn từ 2 đầu của nguồn hiệu thế v1 trong (H 3.9)

(H 3.9)

Mạch có N = 4 nút và một nguồn hiệu thế độc lập Chọn nút chuẩn O và nút v1 nối với

nguồn v1 = 6 V nên ta chỉ cần viết hai phương trình cho nút v2 và v3

Viết KCL tại nút 2 và 3

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

− +

−

=

− + +

−

0 2 4

6 1

0 1 2

1

6

3 3

2 3

3 2 2 2

v v

v v

v v v v

(1)

Thu gọn:

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

−

=

−

2

3 4 7

6 2

5

3 2

3 2

v v

v v

(2)

Giải hệ thống (2):

v2 = 9

32

V và v3 =

9

26

V

⇒ v4 = v2 - v3 =

3

2

V

Dòng i1 là tổng các dòng qua điện trở 1Ω và 4Ω

9

29 9

7 9

22 4

6 1

Điện trở tương đương:

Rtđ =

29 54 9

296 = Ω

R tđ =

29

54Ω

Chúng ta chưa tìm được một phương pháp tổng quát để viết thẳng các phương trình nút trong những mạch có chứa nguồn hiệu thế

Trong thực tế nguồn hiệu thế thường được mắc nối tiếp với một điện trở (chính là nội trở của nguồn) nên ta có thể biến đổi thành nguồn dòng điện mắc song song với điện trở đó (biến đổi Thevenin, Norton)

Nếu nguồn hiệu thế không mắc nối tiếp với điện ta phải dùng phương pháp chuyển vị nguồn trước khi biến đổi (đề cập ở trong một phần sau )

Sau các biến đổi, mạch đơn giản hơn và chỉ chứa nguồn dòng điện và ta có thể viết hệ phương trình một cách trực quan như trong phần 3.2.1

Trong thí dụ 3.3 ở trên, mạch (H 3.9) có thể vẽ lại như ở (H 3.10a) mà không có gì thay đổi và biến các nguồn hiệu thế nối tiếp với điện trở thành các nguồn dòng song song với điện trở ta được (H 3.10b)

(H 3.10)

Và phương trình nút:

2

1

⎠

⎞

⎜

⎝

v v

2

1 4

1

3 =

⎟

⎠

⎞

⎜

⎝

v

Giải hệ thống ta tìm lại được kết quả trên

ƒ Nguồn hiệu thế phụ thuộc :

Ta cần một phương trình phụ bằng cách viết hiệu thế của nguồn phụ thuộc theo hiệu thế nút

Thí dụ 3.5

Tìm hiệu thế v1 trong mạch (H 3.11)

(H 3.11) Mạch có 4 nút và chứa 2 nguồn hiệu thế nên ta chỉ cần viết 1 phương trình nút cho nút

b Chọn nút O làm chuẩn, phương trình cho nút b là:

0 4 3

2 1

v

(1)

Với phương trình phụ là quan hệ giữa nguồn phụ thuộc và các hiệu thế nút:

1

b 24 v

Thay (2) vào (1), sau khi đơn giản:

v1 =2 (V)

3.3 Phương trình Vòng

Mạch có B nhánh, N nút có thể viết L = B - N + 1 phương trình vòng độc lập Mọi dòng điện có thể tính theo L dòng điện độc lập này

3.3.1 Mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế

ƒ Nguồn hiệu thế độc lập :

Nếu mạch chỉ chứa nguồn hiệu thế độc lập, các hiệu thế chưa biết đều có thể tính theo

L dòng điện độc lập

Áp dụng KVL cho L vòng độc lập (hay L mắt lưới) ta được L phương trình gọi là hệ phương trình vòng Giải hệ phương trình ta được các dòng điện vòng rồi suy ra các hiệu thế

nhánh từ hệ thức v - i

Thí dụ 3.6: Tìm các dòng điện trong mạch (H 3.12a)

(a) (b) (c)

(H 3.12) Mạch có N = 5 và B = 6

Vậy L = B - N + 1 = 2

Chọn cây gồm các đường liền nét (H 3.12b) Các vòng có được bằng cách thêm các nhánh nối 1 và 2 vào cây

Dòng điện i1 và i2 trong các nhánh nối tạo thành tập hợp các dòng điện độc lập Các

dòng điện khác trong mạch có thể tính theo i1 và i2

Mặt khác, thay vì chỉ rõ dòng điện trong mỗi nhánh, ta có thể dùng khái niệm dòng điện vòng Đó là dòng điện trong nhánh nối ta tưởng tượng như chạy trong cả vòng độc lập tạo bởi các cành của cây và nhánh nối đó (H 3.12c)

Viết KVL cho mỗi vòng:

(1)

⎩

⎨

⎧

0

= 24 + 4 + ) -6(

+

2

0

= 60 -3 + )

-6(

2 1 2 2

1 2 1

i i i i

i i i

Thu gọn:

(2)

⎩

⎨

⎧

−

= + +

6

-60

= 6

-3) +

6

(

2 1

2 1

i i

i i

Giải hệ thống ta được :

i1 = 8A và i2 = 2A

Dòng qua điện trở 6Ω: i1 - i2 = 6 (A)

ƒ Thiết lập phương trình vòng cho trường hợp tổng quát

Coi mạch chỉ chứa điện trở và nguồn hiệu thế độc lập , có L vòng

Gọi ij, ik là dòng điện vòng của vòng j, vòng k Tổng hiệu thế ngang qua các điện trở chung của vòng j và k luôn có dạng:

Dấu (+) khi ij và ik cùng chiều và ngược lại

Rjk là tổng điện trở chung của vòng j và vòng k Ta luôn luôn có:

Rjk = Rkj

vj là tổng đại số các nguồn trong vòng j, các nguồn này có giá trị (+) khi tạo ra dòng điện cùng

chiều ij ( chiều của vòng )

Áp dụng KVL cho vòng j:

( )

k

j k j jk

k jk k

jk

Rjk

k

∑ chính là tổng điện trở chung của vòng j với tất cả các vòng khác tức là tổng điện trở

có trong vòng j

Đặt Rjk = R

k

∑ jj và với qui ước Rjk có trị dương khi ij và ik cùng chiều và âm khi ngược lại,

ta viết lại (3.11) như sau:

k jk

R i =v

∑ Đối với mạch có L vòng độc lập :

Vòng 1 : R11i1 + R12i2 + R1LiL = v1

Vòng 2 : R21i1 + R22i2 + R2LiL = v2

: : : : :

: : : : :

Vòng L: RL1i1 + RL2i2 + RLLiL = vL

Dưới dạng ma trận

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

=

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎥

⎦

⎤

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎢

⎣

⎡

L

2 1 2 1

.2 L.1

2.

22 21

1.

12 11

: : : : : :

R

R R

: :

:

: :

:

: :

:

R

R R

R

R R

v

v v

i

i i

L LL L

L L

Hệ phương trình vòng viết dưới dạng vắn tắt:

[R]: Gọi là ma trận điện trở vòng độc lập Các phần tử trên đường chéo chính luôn luôn

dương, các phần tử khác có trị dương khi 2 dòng điện vòng chạy trên nó cùng chiều, có trị âm khi 2 dòng điện vòng ngược chiều Các phần tử này đối xứng qua đường chéo chính

[I] : Ma trận dòng điện vòng

[V]: Ma trận hiệu thế vòng