Các tập dễ KS hàm số x4 − 3x + 2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số Cho điểm M thuộc (C) có hồnh độ xM = a Viết phương trình tiếp tuyến (C) M, với giá trị a tiếp tuyến (C) M cắt (C) hai điểm phân biệt khác M Giải a 5 − 3a + 2/ + Vì M ∈ (C ) ⇒ M a ; 2 Bài Cho hàm số y = Ta có: y’ = 2x3 – 6x ⇒ y ' (a) = 2a − 6a Vậy tiếp tuyến (C) M có phương trình : y = (3a − 6a )( x − a) + a4 − 3a + 2 x4 a4 − x + = (3a − 6a )( x − a) + − 3a + ⇔ ( x − a ) ( x + 2ax + 3a − 6) = 2 2 x = a ⇔ 2 g ( x) = x + 2ax + 3a − = a − > | a |> ∆ ' > ⇔ ⇔ ⇔ YCBT pt g(x) = có nghiệm phân biệt khác a a ≠ g ( a) ≠ a ≠ ±1 + Xét pt : x (C) x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thi (C) hàm số Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng đồ thị (C) đến tiếp tuyến lớn Giải x0 ) ∈ (C ) mà tiếp tuyến với đồ thị có khoảng cách từ tâm đối xứng đến tiếp 2/ Giả sử M ( x0 ; x0 − tuyến lớn x ( x − x0 ) + Phương trình tiếp tuyến M có dạng : y = − ( x0 − 1) x0 − Bài Cho hàm số y = x02 x − y + =0 ( x0 − 1) ( x0 − 1)2 x0 − 1 Ta có d(I ;tt) = Đặt t = >0 x0 − 1 1+ ( x − 1) 2t (t > 0) Xét hàm số f(t) 1+ t4 (1 − t )(1 + t )(1 + t ) ta có f’(t) = (1 + t ) + t f’(t) = t = Bảng biến thiên từ bảng biến thiên ta có d(I ;tt) lớn t = hay ⇔− t f’(t) f(t) +∞ + - Các tập dễ KS hàm số x0 = x0 − = ⇔ x0 = + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x + Với x0 = ta có tiếp tuyến y = -x+4 Bài Cho hàm số y = 2x − x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm đồ thị (C) hai điểm đối xứng qua đường thẳng MN biết M(-3; 0) N(-1; -1) Giải 6 Gọi điểm cần tìm A, B có A a; − ÷; B b; − ÷; a, b ≠ −1 a +1 b +1 a+b a−2 b−2 ; + Trung điểm I AB: I ÷ a +1 b +1 Pt đường thẳng MN: x + 2y +3= uuur uuuu r AB.MN = a = A(0; −4) => Có : => I ∈ MN b = B (2;0) Bài Cho hàm số y = x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số cho k Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình x − x + = Giải y nằm phía Ox Đồ thị hàm số y = x − x + gồm phần nằm phía Ox đối xứng phần qua Ox đồ thị (C); y = 3k đường thẳng song song với Ox Từ ta có kết quả: * 3k < ⇔ k < : phương trình có nghiệm, * 3k = ⇔ k = : phương trình có nghiệm, * < 3k < ⇔ < k < : phương trình có nghiệm, * 3k = ⇔ k = : phương trình có nghiệm, * 3k > ⇔ k > : phương trình có nghiệm O x 2x − Bài Cho hàm số y = x +1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M cho khoảng cách từ điểm I (1; 2) tới tiếp tuyến (C) M lớn Gii (C ) tiếp tuyến M có phơng trình Nếu M x0 ; − x0 + −1 −1 3 = ( x − x0 ) hay 3( x − x0 ) − ( x0 + 1) ( y − 2) − 3( x0 + 1) = x0 + ( x0 + 1) Khoảng cách từ I (1;2) tới tiếp tuyến 3(−1 − x0 ) − 3( x0 + 1) x0 + d= = = Theo bất đẳng thức Côsi 9 + ( x0 + 1) + ( x0 + 1) + ( x0 + 1) 2 ( x0 + 1) + ( x0 + 1) ≥ = , vây d Khoảng cách d lín nhÊt b»ng ( x0 + 1) y−2+ Các tập dễ KS hàm số = ( x0 + 1) ⇔ ( x0 + 1) = ⇔ x0 = −1 ± ( x0 + 1) ( VËy cã hai ®iĨm M : M − + ;2 − ) ( hc M − − ;2 + ) x+ (C) x1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Cho điểm A(0;a) Xác định a đẻ từ A kẻ đợc hai tiếp tuyến tới (C) cho hai tiếp điểm tơng ứng nằm hai phía trục ox Gii Phơng trình tiếp tuyến qua A(0;a) có dạng y=kx+a (1) Bi Cho hàm sè y = x + x − = kx − a (2) §iỊu kiƯn cã hai tiÕp tuyÕn qua A: cã nghiÖm x ≠ − = k (3) (x − 1)2 Thay (3) vào (2) rút gọn ta đợc: (a 1)x2 − 2(a + 2)x + a + = (4) a ≠ a ≠ §Ĩ (4) cã nghiƯm x ≠ lµ: f (1) = −3 ≠ ⇔ ∆'= 3a + > a > Hoành độ tiếp điểm x1; x2 lµ nghiƯm cđa (4) x1 + x2 + Tung độ tiếp điểm y1 = , y2 = x1 − x2 − §Ĩ hai tiếp điểm nằm hai phía trục ox là: y1.y2 < ⇔ (x1 + 2)(x2 + 2) − VËy − < a thoả mÃn đkiện x1x2 (x1 + x2 ) + −3 3 to¸n Bài Cho hàm số y = x +1 x −1 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C ) hàm số 2.Biện luận theo m số nghiệm phương trình x +1 = m x −1 Giải Học sinh lập luận để suy từ đồ thị (C) sang đồ thị y = Suy đáp số m < −1; m > 1: phương trình có nghiệm m = −1: phương trình có nghiệm −1 < m ≤ 1: phương trình vơ nghiệm 2x − Bài Cho hàm số y = có đồ thị (C) x−2 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) x +1 ( C ') Học sinh tự vẽ hình x −1 Các tập dễ KS hàm số 2.Tìm (C) điểm M cho tiếp tuyến M (C) cắt hai tiệm cận (C) A, B cho AB ngắn Giải 1 y ' m = − ( ) ∈ C ( ) Lấy điểm M m; + Ta có : ÷ ( m − 2) m−2 Tiếp tuyến (d) M có phương trình : 1 y=− x − m) + + ( m−2 ( m − 2) Vậy điểm M cần tìm có tọa độ : (2; 2) Giao điểm (d) với tiệm cận đứng : A 2; + ÷ m−2 Giao điểm (d) với tiệm cận ngang : B(2m – ; 2) 2 ≥ Dấu “=” xảy m = Ta có : AB = ( m − ) + 2 ( m − ) Bài Cho hàm số y = x3 – 3x2+2 (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) Tìm điểm M thuộc đường thẳng y=3x-2 tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực trị nhỏ Giải Gọi tọa độ điểm cực đại A(0;2), điểm cực tiểu B(2;-2) Xét biểu thức P=3x-y-2 Thay tọa độ điểm A(0;2)=>P=-4P=6>0 Vậy điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y=3x-2, để MA+MB nhỏ => điểm A, M, B thẳng hàng Phương trình đường thẳng AB: y= - 2x+2 Tọa độ điểm M nghiệm hệ: x= y = 3x − 4 2 ⇔ => M ; ÷ 5 5 y = −2 x + y = m−x có đồ thị ( H m ) , với m tham số thực x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = Tìm m để đường thẳng d : x + y − = cắt ( H m ) hai điểm với gốc tọa độ tạo thành tam giác có diện tích S = Giải −x+m = −x + Hoành độ giao điểm A, B d ( H m ) nghiệm phương trình x+2 2 ⇔ x + x + 2(m − 1) = 0, x ≠ −2 (1) 17 ∆ = 17 − 16m > m < ⇔ 16 Pt (1) có nghiệm x1 , x phân biệt khác − ⇔ 2.(−2) − + 2(m − 1) ≠ m ≠ −2 Bài 10 Cho hàm số y = Ta có AB = ( x2 − x1 ) + ( y − y1 ) = ( x2 − x1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = 17 − 16m Các tập dễ KS hàm số Khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d h = 2 1 17 − 16m = ⇔ m = , thỏa mãn Suy S ∆OAB = h AB = 2 2 2 Bài 11 Cho hàm số y = − x + ( m − 1) x + (3m − 2) x − có đồ thị (C m ), m tham số 3 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho m = 2 Tìm m để (Cm ) có hai điểm phân biệt M ( x1 ; y1 ), M ( x2 ; y2 ) thỏa mãn x1.x2 > tiếp tuyến (Cm ) điểm vng góc với đường thẳng d : x − y + = Giải Ta có hệ số góc d : x − y + = k d = Do x1 , x2 nghiệm phương trình y ' = −3 , hay − x + 2(m − 1) x + 3m − = −3 ⇔ x − 2( m − 1) x − 3m − = (1) u cầu tốn ⇔ phương trình (1) có hai nghiệm x1 , x2 thỏa mãn x1 x2 > y ∆ ' = (m − 1) + 2(3m + 1) > m < −3 ⇔ − 3m − ⇔ − < m < − >0 2 − < m < − m < − Vậy kết toán 3 2 Bài 12 Cho hàm số y = x − x + Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho O Tìm m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt − | 2x − 4x + | = m2 − m + 2 Giải 1 2 2 Phương trình | x − x + | = m − m + có nghiệm phân biệt ⇔ Đường thẳng y = m − m + 2 cắt đồ thị hàm số y = | x − x + | điểm phân biệt Đồ thị y = | x − x + | gồm phần (C) phía trục Ox đối xứng phần (C) phía trục Ox qua Ox 1 ⇔ < m2 − m + < Từ đồ thị suy yêu cầu toán ⇔ m − m < ⇔ < m < 2 −1 Bài 13 Cho hàm số y = x − 3(m + 1) x + x − m , với m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho ứng với m = Xác định m để hàm số cho đạt cực trị x1 , x cho x1 − x ≤ Giải 2 Ta cã y ' = x − 6(m + 1) x + +) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu x1 , x phơng trình y ' = cã hai nghiƯm pb lµ x1 , x ⇔ Pt x − 2(m + 1) x + = có hai nghiệm phân biệt x1 , x x Các tập dễ KS hàm số m > −1 + ⇔ ∆' = (m + 1) − > ⇔ (1) m < +) Theo định lý Viet ta có x1 + x = 2(m + 1); x1 x = Khi ®ã x1 − x ≤ ⇔ ( x1 + x ) − x1 x ≤ ⇔ 4( m + 1) − 12 ≤ ⇔ (m + 1) ≤ ⇔ −3 ≤ m ≤ (2) Từ (1) (2) suy giá trị m lµ − ≤ m < −1 − vµ − + < m ≤ Bài 14 Cho hàm số y = x + (1 − 2m) x + (2 − m) x + m + (1) m tham số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) với m=2 Tìm tham số m để đồ thị hàm số (1) có tiếp tuyến tạo với đường thẳng d: x + y + = góc α , biết cos α = 26 Giải Gọi k hệ số góc tiếp tuyến ⇒ tiếp tuyến có véctơ pháp n1 = (k ;−1) d: có véctơ pháp n = (1;1) Ta có cos α = n1 n n1 n2 ⇔ 26 = k1 = k −1 ⇔ 12k − 26k + 12 = ⇔ 2 k +1 k = 2 Yêu cầu toán thỏa mãn ⇔ hai phương trình: y / = k1 (1) y / = k (2) có nghiệm x có nghiệm 3 x + 2(1 − 2m) x + − m = ∆/ ≥ ⇔ ⇔ / có nghiệm ∆ ≥ 3 x + 2(1 − 2m) x + − m = 1 8m − 2m − ≥ m ≤ − ; m ≥ 1 ⇔ ⇔ ⇔ m ≤ − m ≥ m ≤ − ; m ≥ 4m − m − ≥ 2x Bài 15 Cho hàm số y = (C) x−2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (C) Tìm m để đường thẳng (d ): y = x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt thuộc nhánh khác đồ thị cho khoảng cách điểm nhỏ Tìm giá trị nhỏ Giải 2x = x + m hay x2 + (m - 4)x -2x = (1) có nghiệm phân Để (d) cắt (C) điểm phân biệt pt x−2 ∆ = m + 16 ∀m (2) biệt khác Phương trình (1) có nghiệm phân biệt khác −4 ≠ Giả sử A(x1;y1), B(x2;y2) giao điểm x1, x2 nghiệm phương trình (1) Theo định lí viet ta có x1 + x2 = − m (3) , y1=x1+m, y2=x2+m x1 x2 = −2m Để A, B thuộc nhánh khác đồ thị A, B nằm khác phía đt x – = A, B nằm khác phía đt x – = (x1- 2)(x2 - 2) < hay Các tập dễ KS hàm số x1x2 – 2(x1 + x2) +4 < (4) thay (3) vào ta – < (5) mặt khác ta lại có AB = ( x1 − x2 ) + ( y1 − y2 ) = 2( x1 + x2 ) − x1 x2 (6) thay (3) vào (6) ta AB = ta có m = thoả mãn Bài 16 2m + 32 ≥ 32 AB = 32 nhỏ m = (7) Từ (1), (5), (7) 2x − x −1 Viết phương trình tiếp tuyến (C), biết khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến Giải M ( x ; f ( x )) ∈ ( C ) có phương trình Tiếp tuyến (C) điểm 0 y = f '(x0 )(x − x0 ) + f (x0 ) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = 2 Hay x + (x0 − 1) y − 2x0 + 2x0 − = (*) *Khoảng cách từ điểm I(1;2) đến tiếp tuyến (*) − 2x0 ⇔ = + (x0 − 1) 2 giải nghiệm x0 = x0 = *Các tiếp tuyến cần tìm : x + y − = x + y − = Bài 17 Cho hàm số y = - x3 + 3mx2 -3m – 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm giá trị m để hàm số có cực đại, cực tiểu Với giá trị m đồ thị hàm số có điểm cực đại, điểm cực tiểu đối xứng với qua đường thẳng d: x + 8y – 74 = Giải Ta có y’ = - 3x2 + 6mx ; y’ = ⇔ x = v x = 2m Hàm số có cực đại , cực tiểu ⇔ phương trình y’ = có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ Hai điểm cực trị A(0; - 3m - 1) ; B(2m; 4m3 – 3m – 1) Trung điểm thẳng AB I(m ; 2m3 – 3m – 1) uuur I đoạn r Vectơ AB = (2m; 4m3 ) ; Một vectơ phương đường thẳng d u = (8; −1) I ∈ d Hai điểm cực đại , cực tiểu A B đối xứng với qua đường thẳng d ⇔ AB ⊥ d m + 8(2m − 3m − 1) − 74 = ⇔ uuur r ⇔m = AB.u = Bài 18 Cho hàm số y = x − x + (1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Định m để phương trình sau có nghiệm thực phân biệt: x − x = m − 3m Giải Phương trình cho phương trình hoành độ giao điểm đồ thị (C’) hàm số: y = x − x + đường thẳng (d): y = m − 3m + ((d) phương với trục hoành) Xét hàm số: y = x − x + , ta có: + Hàm số hàm chẵn nên (C’) nhận trục Oy làm trục đối xứng, đồng thời ∀x > y = x − x + = x3 − x + y • • (d) −2 •1 −1 • −1 x • Các tập dễ KS hàm số + Dựa vào đồ thị (C’) ta suy điều kiện m để phương trình cho có nghiệm phân biệt là: −2 < m < − m3 − 3m < −1 < m − 3m + < ⇔ ⇔ 0 < m < m3 − 3m + > m x3 có đồ thị (C) x +1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Viết phơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số, biết tiếp tuyến cắt trục hoành A, cắt trục tung t¹i B cho OA = 4OB Giải OB 1 = ⇒ TiÕp tuyÕn AB cã hÖ sè gãc k = ± OA =4OB nªn ∆ OAB cã tan A = OA 4 x=3 = Phơng trình y = k ⇔ ( x + 1) x = −5 +) x = ⇒ y=0, tiÕp tuyÕn có phơng trình y = ( x 3) 1 13 +) x= -5 ⇒ y= 2, tiÕp tuyến có phơng trình y = ( x + 5) + ⇔ y = x + 4 x−1 Bài 20 Cho hàm số y = x+1 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Tìm a b để đường thẳng (d): y = ax + b cắt (C) hai điểm phân biệt đối xứng qua đường thaúng ( ∆ ): x − 2y + = Giải Phương trình (∆) viết lại: y = x + 2 Để thoả đề bài, trước hết (d) vuông góc với (∆) hay a = −2 Khi phương trình hoành độ giao điểm (d) (C): x−1 = −2x + b ⇔ 2x2 − (b − 3)x − (b + 1) = (1) x+1 Để (d) cắt (C) hai điểm phân biệt A, B ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆ > ⇔ b2 + 2b + 17 > ⇔ b tuyø ý Gọi I trung điểm AB, ta có xA + xB b − = xI = y = −2x + b = b + I I ton ∀b taiï A, B ⇔ a = −2 Vậy để thoả yêu cầu toán ⇔ AB ⊥ (∆) I ∈ (∆) x − 2y + = I I Bài 19 Cho hµm sè y = a = −2 a = −2 ⇔ b − ⇔ − (b + 3) + = b = −1 Các tập dễ KS hàm số x +1 ( ) có đồ thị (C ) x 1 Khảo sát vẽ đồ thị hàm số ( 1) Chứng minh đờng thẳng (d ) : y = x + m lu«n cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Gii Chứng minh ®êng th¼ng (d ) : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh khác Xác định m để đoạn AB có độ dài ngắn Để đờng thẳng (d) cắt ( C ) hai điểm phân biệt phơng trình x +1 = x + m cã hai nghiƯm ph©n biƯt víi mäi m vµ x1 < < x2 x −1 x + = ( x − 1)(2 x + m) ⇔ cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 < < x2 x ≠ Bài 21 Cho hµm sè y = 2 x + (m − 3) x − m − = (*) ⇔ cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 < < x2 x ≠ ∆ = (m + 1) + 16 > ∀m ∆ > ⇔ ⇔ f (1) < f (1) = + (m − 3) − m − = −2 < VËy với giá trị m thìđờng thẳng (d ) : y = x + m cắt (C) hai điểm phân biệt A, B thuộc hai nhánh kh¸c Gäi A( x1 ; x1 + m), B( x2 ; x2 + m) lµ hai điểm giao (d) (C).( x1 ; x2 hai nghiệm phơng trình (*)) uuur Ta có AB = ( x2 − x1 ; 2( x2 − x1 )) ⇒ AB = ( x2 − x1 ) + (2( x2 − x1 )) = 5( x2 − x1 ) (m + 1) + 16 ≥ ∀m AB = ⇔ m = −1 VËy víi m = -1 giá trị cần tìm (R) Theo Vi Ðt ta cã AB = Bài 22 Cho hàm số y = 3x + có đồ thị (C) x+2 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Gọi M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm tọa độ M cho đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giải 3a + ) ∈ (C ), a ≠ −2 Phương trình tiếp tuyến (C) M là: 2.Gọi M (a; a+2 y= 3a + ( x − a) + (∆) (a + 2) a+2 Đường thẳng d1:x+2=0 d2:y-3=0 hai tiệm cận đồ thị ∆∩d1=A(-2; 3a − ) , ∆∩d2=B(2a+2;3) a+2 Các tập dễ KS hàm số Tam giác IAB vuông I ⇒AB đường kính đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB ⇒diện tích hình trịn S= π AB π 64 = 4(a + 2) + ≥ 8π 4 (a + 2) Dấu xảy chi (a + 2) = a = 16 ⇔ (a + 2) a = −4 Vậy có hai điểm M thỏa mãn tốn M(0;1) M(-4;5) Bài 23 Cho hàm số y = f ( x) = 8x − 9x + 1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Dựa vào đồ thị (C) biện luận theo m số nghiệm phương trình 8cos x − 9cos2 x + m = với x ∈ [0; π ] Giải Xét phương trình 8cos x − 9cos x + m = với x ∈ [0; π ] (1) Đặt t = cosx , phương trình (1) trở thành: 8t − 9t + m = (2) Vì x ∈ [0; π ] nên t ∈ [−1;1] , x t có tương ứng đối một, số nghiệm phương trình (1) (2) Ta có: (2) ⇔ 8t − 9t + = − m (3) Gọi (C1): y = 8t − 9t + với t ∈ [−1;1] (D): y = – m Phương trình (3) phương trình hồnh độ giao điểm (C1) (D) Chú ý (C1) giống đồ thị (C) miền −1 ≤ t ≤ Dựa vào đồ thị ta có kết luận sau: 81 m> • : Phương trình cho vơ nghiệm 32 81 m= • : Phương trình cho có nghiệm 32 81 1≤ m < • : Phương trình cho có nghiệm 32 • : Phương trình cho có nghiệm < m −3 Bài 29 Cho hàm số y = x3 – 3x + có đồ thị (C) đường thẳng (d): y = mx + m + 1/ Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2/ Tìm m để (d) cắt (C) M(-1; 3), N, P cho tiếp tuyến (C) N P vng góc Giải Phương trình hịanh độ giao điểm (C) (d): x3 – (m + 3)x – m – = x = −1 , y = Hay : (x + 1)(x2 – x – m – 2) = x − x − m − = (*) (*) phải có hai nghiệm phân biệt ( m > − ) , xN xP nghiệm (*) −3+ 2 m = 2 Theo giả thiết: x N − x P − = −1 ⇔ 9m + 18m + = ⇔ −3−2 m = 2x + Bài 30 Cho hàm số y = 1− x 1) Khảo sát vẽ đồ thị ( C ) hàm số f(x) ( )( ) 12 Các tập dễ KS hàm số 2) Gọi (d) đường thẳng qua A( 1; ) có hệ số góc k Tìm k cho (d) cắt ( C ) hai điểm M, N MN = 10 Giải Từ giả thiết ta có: (d ) : y = k ( x − 1) + Bài toán trở thành: Tìm k để hệ phương trình sau có hai 2 nghiệm ( x1 ; y1 ), ( x2 ; y2 ) phân biệt cho ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = 90(*) 2x + kx − (2k − 3) x + k + = = k ( x − 1) + ( I ) Ta có: ( I ) ⇔ −x +1 y = k ( x − 1) + y = k ( x − 1) + Dễ có (I) có hai nghiệm phân biệt phương trình kx − (2k − 3) x + k + = 0(**) có hai nghiệm phân biệt Khi dễ có k ≠ 0, k < 2 Ta biến đổi (*) trở thành: (1 + k ) ( x2 − x1 ) = 90⇔ (1 + k )[( x2 + x1 ) − x2 x1 ] = 90(***) 2k − k +3 , x1 x2 = , vào (***) ta có phương trình: k k − − 41 − + 41 8k + 27k + 8k − = ⇔ (k + 3)(8k + 3k − 1) = ⇔ k = −3 ∨ k = ∨k = 16 16 KL: Vậy có giá trị k thoả mãn Theo định lí Viet cho (**) ta có: x1 + x2 = Bài 31 Cho hàm số y = x+2 2x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số cho Tìm điểm đồ thị (C) cách hai điểm A(2 , 0) B(0 , 2) Giải Pt đường trung trực đọan AB : y = x Những điểm thuộc đồ thị cách A B có hồng độ nghiệm pt : x+2 = x 2x −1 ↔ x2 − x −1 = 1− x = ↔ 1+ x = 1− 1− 1+ 1+ ; , , Hai điểm đồ thị thỏa ycbt : 2 2 2x − x− Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Cho M điểm (C) Tiếp tuyến (C) M cắt đường tiệm cận (C) A B Gọi I giao điểm đường tiệm cận Tìm toạ độ điểm M cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích nhỏ Giài −1 2x − 3 , x0 ≠ , y'(x0) = Ta có: M x0; ( x0 − 2) x0 − Bài 32 Cho hàm số y = Phương trình tiếp tuyến với ( C) M có dạng: ∆ : y = 13 −1 2x − (x − x0) + x0 − ( x0 − 2) Các tập dễ KS hàm số 2x − ; B( 2x0 − 2;2) Toạ độ giao điểm A, B ( ∆ ) hai tiệm cận là: A 2; x0 − y + yB 2x0 − x + xB + 2x0 − = = yM suy M trung điểm AB = = x0 = xM , A Ta thấy A x0 − 2 Mặt khác I = (2; 2) tam giác IAB vng I nên đường trịn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tích 2x0 − 2 − 2 = π(x0 − 2)2 + ≥ 2π S = πIM = π(x0 − 2) + (x0 − 2)2 x0 − x0 = 1 ⇔ (x0 − 2)2 x0 = Do có hai điểm M cần tìm M(1; 1) M(3; 3) 2x − Bài 33 Cho hàm số y = (C) x +1 Khảo sát hàm số Tìm m để đường thẳng d: y = 2x + m cắt đồ thị (C) điểm phân biệt A, B cho AB = Giải 2 Phương trình hồnh độ giao điểm: 2x + mx + m + = , (x≠ - 1) (1) d cắt (C) điểm phân biệt ⇔ PT(1) có nghiệm phân biệt khác -1 ⇔ m2 - 8m - 16 > (2) Gọi A(x1; 2x1 + m) , B(x2; 2x2 + m Ta có x1, x2 nghiệm PT(1) m x + x = − Theo ĐL Viét ta có m + x1 x2 = 2 AB = ⇔ ( x1 − x2 ) + 4( x1 − x2 ) = ⇔ ( x1 + x2 ) − 4x1 x2 = ⇔ m2 - 8m - 20 = ⇔ m = 10 , m = - ( Thỏa mãn (2)) y = x − 3mx + 3(m − 1) x − m3 + m (1) Bài 34 Cho hàm số 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1) ứng với m=1 2.Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại đồ thị hàm số đến góc tọa độ O lần khoảng cách từ điểm cực tiểu đồ thị hàm số đến góc tọa độ O Giải , 2 Ta có y = x − 6mx + 3(m − 1) Để hàm số có cực trị PT y , = có nghiệm phân biệt ⇔ x − 2mx + m − = có nhiệm phân biệt ⇔ ∆ = > 0, ∀m Cực đại đồ thị hàm số A(m-1;2-2m) cực tiểu đồ thị hàm số B(m+1;-2-2m) m = −3 + 2 Theo giả thiết ta có OA = 2OB ⇔ m + 6m + = ⇔ m = −3 − 2 Vậy có giá trị m m = −3 − 2 m = −3 + 2 Bài 35 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số : y = x3 – 3x2 + 2 Dấu “=” xảy (x0 − 2) = 2) Biện luận theo m số nghiệm phương trình : x − 2x − = Giải 14 m x− Các tập dễ KS hàm số 2 Ta có x − x − = m ⇔ ( x − x − ) x − = m,x ≠ Do số nghiệm phương trình số x −1 giao điểm y = ( x − x − ) x − ,( C' ) đường thẳng y = m,x ≠ f ( x ) x > Vẽ y = ( x − x − ) x − = nên ( C' ) bao gồm: − f ( x ) x < + Giữ nguyên đồ thị (C) bên phải đường thẳng x = + Lấy đối xứng đồ thị (C) bên trái đường thẳng x = qua Ox 1+ 1Dựa vào đồ thị ta có: + m < −2 : Phương trình vụ nghiệm; + m = −2 : Phương trình có nghiệm kép; -2 + −2 < m < : Phương trình có nghiệm phân biệt; + m ≥ : Phương trình có nghiệm phân biệt m Bài 36 2x + khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( C) hàm số: y = x−2 Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đồ thị (C ) hai điểm phân biệt cho tiếp tuyến (C ) hai điểm song song với Giải Phương trình hồnh độ giao điểm (d) (C) là: 2x + = x + m ⇔ x + (m − 6) x − 2m − = (x = khơng nghiệm p trình) x−2 (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song với ⇔ (1) có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn: y’(x1) = y’(x2) hay x1+x2= ∆ = (m − 6) + 8(2m + 3) > ⇔ 6 − m ⇔ m = −2 = Bài 37 Cho hàm số : y = (x – m)3 – 3x (1) 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) m = x − − 3x − k < 2) Tìm k để hệ bất phương trình sau có nghiệm: 1 log x + log ( x − 1) ≤ 2 Giải x − − 3x − k < (1) Ta có : Điều kiện (2) có nghĩa: x > 1 log2 x + log2 (x − 1) ≤ (2) 2 Từ (2) ⇔ x(x – 1)≤ ⇔ < x ≤ Hệ PT có nghiệm ⇔ (1) có nghiệm thoả < x ≤ (x − 1)3 − 3x − k < (x − 1)3 − 3x < k ⇔ ⇔ 1< x ≤ 1< x ≤ Đặt: f(x) = (x – 1) – 3x g(x) = k (d) Dựa vào đồ thị (C) ⇒ (1) có nghiệm x ∈(1;2] ⇔ k ≥ f (x) = f (2) = −5 Vậy hệ có nghiệm ⇔ k > – ( 1;2 Bài 38 Cho hàm số y = x + 2mx + 3(m − 1) x + (1), m tham số thực 15 Các tập dễ KS hàm số Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để đồ thị hàm số cắt đường thẳng ∆ : y = − x + điểm phân biệt A(0; 2) ; B; C cho tam giác MBC có diện tích 2 , với M (3;1) Giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị với (∆) là: x + 2mx + 3(m − 1) x + = − x + x = ⇒ y = ⇔ g ( x) = x + 2mx + 3m − = 0(2) Đường thẳng (∆) cắt dồ thị hàm số (1) ba điểm phân biệt A(0;2), B, C ⇔ Phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt khác % 2hoacm m − 3m + > ∆ ' > ⇔ ⇔ ⇔ g (0) ≠ 3m − ≠ m ≠ Gọi B ( x1 ; y1 ) C ( x2 ; y2 ) , x1 , x2 nghiệm (2); y1 = − x1 + y1 = − x2 + +1− 2 S MBC 2.2 = =4 h 2 2 2 Mà BC = ( x2 − x1 ) + ( y2 − y1 ) = ( x2 + x1 ) − x1 x2 = 8(m − 3m + 2) Ta có h = d ( M ;(∆) ) = ⇒ BC = Suy 8(m − 3m + 2) =16 ⇔ m = (thoả mãn) m = (thoả mãn) Bài 39 Cho hàm số y = x3 − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + có đồ thị (Cm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số m = Tìm m để hàm số đồng biến khoảng ( 2;+∞) Giải 2 y = x − 3(2m + 1) x + 6m(m + 1) x + ⇒ y ' = x − 6(2m + 1) x + 6m(m + 1) y’ có ∆ = (2m + 1) − 4(m + m) = > x = m y' = ⇔ x = m + Hàm số đồng biến ( 2;+∞) ⇔ y ' > ∀x > ⇔ m + ≤ ⇔ m ≤ x Bài 40 Cho hàm số y = x −1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết tiếp tuyến (C) M vng góc với đường thẳng qua điểm M điểm I(1; 1) (M(0 ; 0) ; M(2 ; 2) ) Giải x0 Với x0 ≠ , tiếp tuyến (d) với (C) M(x0 ; ) có phương trình : x0 − x0 x02 ( x − x ) + ⇔ x + y − =0 ( x0 − 1)2 x0 − ( x0 − 1) ( x0 − 1) r uuur 1 ) IM = ( x0 − 1; ) (d) có vec – tơ phương u = (−1; , ( x0 − 1) x0 − Để (d) vng góc IM điều kiện : r uuur x0 = 1 u.IM = ⇔ −1.( x0 − 1) + =0⇔ ( x0 − 1) x0 − x0 = + Với x0 = ta có M(0,0) 16 y=− Các tập dễ KS hàm số + Với x0 = ta có M(2, 2) 17 ... điểm song song với Giải Phương trình hoành độ giao điểm (d) (C) là: 2x + = x + m ⇔ x + (m − 6) x − 2m − = (x = không nghiệm p trình) x−2 (d) cắt (C ) hai điểm phân biệt mà tiếp tuyến song song... Biện luận theo tham số k số nghiệm phương trình x − x + = Giải y nằm phía Ox Đồ thị hàm số y = x − x + gồm phần nằm phía Ox đối xứng phần qua Ox đồ thị (C); y = 3k đường thẳng song song với Ox Từ... ; ) 2 2 2 Bài 25 Cho hàm số y = − x3 − 3x2 + mx + 4, m tham số thực Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số cho, với m = Tìm tất giá trị tham số m để hàm số cho nghịch biến khoảng (0 ; + ∞) Giải