88 BÀI TẬP TOÁN HÌNH LỚP 9 RÈN LUYỆN TỔNG HỢP

88 BÀI TẬP TỐN HÌNH LỚP RÈN LUYỆN TỔNG HỢP 1) Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) Gọi E giao điểm AB,CD F giao điểm AC BD Đường tròn ngoại tiếp tam giác BDE cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác FDC điểm K khác D Tiếp tuyến (O) B,C cắt M a) Chứng minh tứ giác BK CM nội tiếp b) Chứng minh E , M , F thẳng hàng Cho đường trịn (O ) đường kính AB Trên tiếp tuyến A 2) (O) lấy điểm C Vẽ cát tuyến CDE (tia CD nằm tia CA,CO , D, E Ỵ ( O ) , D nằm C , E ) Gọi M giao điểm CO BD , F giao điểm AM (O) , F ¹ A) a) Vẽ tiếp tuyến CN (O) Chứng minh CNMD tứ giác nội tiếp b) Vẽ AH ^ OC H Chứng minh ADMH tứ giác nội tiếp c) Chứng minh E ,O, F thẳng hàng Cho tứ giác ABCD nội tiếp (O) (AD < BC ) Gọi I giao điểm 3) AC BD Vẽ đường kính CM , DN Gọi K giao điểm AN , BM Đường tròn ngoại tiếp tam giác IBC cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác NOC điểm J khác C a) Chứng minh K BNJ tứ giác nội tiếp d) Chứng minh I , K ,O thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC (AB > AC ) Đường tròn (I ) đường kính 4) 5) BC cắt AB, AC F , E BE cắt CF H AH cắt BC D Chứng minh tứ giác BFHD, IFED nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC đường cao AD, BE ,CF cắt H Vẽ HI ^ EF I , HK ^ DE K , IK Ç AD = M , FM Ç DE = N Gọi S điểm đối xứng B qua D Chứng minh tứ giác FIMH , HMNK nội tiếp · · MAN = DAS 6) Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( 74 ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) ,Đường thẳng qua D song song với BE cắt BC , AB P ,Q Gọi K điểm đối xứng với B qua E Gọi H , I giao điểm BC với OA, DE a) Chứng minh OEDH tứ giác nội tiếp b) Ba điểm A, P , K thẳng hàng Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến AB, AC ( 7) B,C hai tiếp điểm) Từ điểm K nằm cung BC ( K , A nằm phía BC ) dựng tiếp tuyến cắt AB, AC M , N BC cắt OM ,ON P ,Q Gọi I giao điểm MQ, NP Chứng minh 8) MBOQ, NCOP tứ giác nội tiếp Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC ) Đường trịn (O) đường kính BC cắt AB, AC E , D BD cắt CE H , tiếp tuyến (O) B, D cắt K , AK Ç BC = M , MH Ç BK = N Vẽ tiếp tuyến AS (O) với (S thuộc cung nhỏ CD) , a) b) c) d) 9) K D Ç AH = I , MH Ç OA = L Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt AK T Chứng minh tứ giác T K DB, BELO nội tiếp Ba điểm N , E , I thẳng hàng Ba điểm M , E , D thẳng hàng Ba điểm M , S , H thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O) có hai đường cao BE , CD cắt H Gọi M trung điểm BC Giả sử (O) cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác AED N a) Chứng minh N , H , M thẳng hàng b) Giả sử AN cắt BC K Chứng minh K , E , D thẳng hàng Cho tam giác ABC ngoại tiếp (O) Gọi Q, R tiếp điểm 10) (O) với AB, AC Gọi M , N trung điểm BC , CA Đường thẳng BO cắt MN P a) Chứng minh ORPC tứ giác nội tiếp b) Ba điểm P, Q, R thẳng hàng 75 11) Cho tam giác ABC có ba đường cao AD, BE , CF cắt H Từ A ta dựng tiếp tuyến AM , AN đến đường trịn đường kính BC a) Chứng minh tứ giác AMDN , MNDO nội tiếp b) Chứng minh ba điểm H , M , N thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt 12) điểm H Gọi M , N trung điểm AH , BC Các phân giác góc ·ABH , ·ACH cắt P a) Chứng minh điểm B, C , E , P, F nằm đường tròn Điểm P trung điểm cung nhỏ EF b) Ba điểm M , N , P thẳng hàng Cho tam giác nhọn ABC có đường cao AD, BE , CF cắt 13) điểm H Đường thẳng EF cắt điểm M Gọi O trung điểm BC Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác OBF , OCE cắt giao điểm thứ P a) Chứng minh tứ giác EFPH , BCHP, MEPB tứ giác nội tiếp b) Chứng minh ∆OPM tam giác vng Cho tam giác nhọn ABC có trực tâm điểm H Gọi M , N 14) chân đường cao hạ từ B, C tam giác ABC Gọi D điểm cạnh BC Gọi ( w1 ) đường tròn qua điểm B, N , D gọi ( w2 ) đường tròn qua điểm C , D, M DP, DQ đường kính ( w1 ) , ( w2 ) Chứng minh P, Q, H thẳng hàng ( IMO − 2013) 15) Cho tam giác ABC có · góc lớn Các điểm P, Q BAC · · · · thuộc cạnh BC cho QAB Gọi M , N lần = BCA , CAP = ABC lượt điếm đối xứng A qua P, Q Chứng minh rằng: BN , CM cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC ( IMO − 2014) 76 Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm 16) P cung BC không chứa điểm A (O) Gọi ( K ) đường tròn qua A, P tiếp xúc với AC ( K ) cắt PC S khác P Gọi ( L) đường tròn qua A, P đồng thời tiếp xúc với AB ( L) cắt PB T khác P Gọi D điểm đối xứng với A qua BC a) Chứng minh BD tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác DPC b) Ba điểm S , D, T thẳng hàng Cho tam giác ABC , hai cạnh AB,AC lấy hai 17) điểm E , D cho ·ABD = ·ACE Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD cắt tia CE M , N Gọi H giao điểm BD, CE Đường tròn ngoại tiếp tam giác AEC cắt tia BD I , K a) Chứng minh điểm M , I , N , K nằm đường tròn b) Gọi F giao điểm thứ đường tròn ( ABD ) , ( AEC ) Chứng minh A, H , F thẳng hàng c) Chứng minh : Tam giác AMN cân A Cho tam giác ABC có (O), ( I ), ( I ) theo thứ tự tâm đường a 18) tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp đường tròn bàng tiếp đối diện đỉnh A tam giác Gọi D tiếp điểm ( I ) với BC; P điểm ¼ cung BAC (O) , PI a cắt ( O ) điểm K Gọi M giao điểm PO BC a) Chứng minh: IBI a C tứ giác nội tiếp b) Chứng minh NI a tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tam giác I a MP · · c) Chứng minh: DAI = KAI a Cho đường trịn tâm ( O ) bán kính R dây cung BC 19) cố định có độ dài BC = R Điểm A thay đổi cung lớn BC Gọi E , F điểm đối xứng B, C qua AC , AB Các đường tròn ngoại tiếp tam giác ABE , ACF cắt giao điểm thứ K 77 a) Chứng minh điểm K thuộc đường trịn cố định b) Xác định vị trí điểm K để tam giác KBC có diện tích lớn tìm giá trị lớn theo R c) Gọi H giao điểm BE , CF Chứng minh tam giác ABH #∆AKC đường thẳng AK qua điểm cố định Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến 20) AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến ADE đến (O) cho ( ADE nằm tia AO, AB , D, E Ỵ ( O ) , Gọi F điểm đối xứng D qua AO , H giao điểm EF , BC Chứng minh: A,O, H thẳng hàng Từ điểm A nằm ngồi đường trịn (O) Vẽ hai tiếp tuyến 21) AB, AC B,C hai tiếp điểm) cát tuyến AEF đến (O) · · cho ( AEF nằm tia AO, AB , F , E Ỵ ( O ) BAF ) < FAC Vẽ đường thẳng qua E vng góc với OB cắt BC M cắt BF N Vẽ OK ^ EF a) Chứng minh: EMK C nội tiếp b) Chứng minh đường thẳng FM qua trung điểm AB Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp (O) Các đường cao 22) AD, BE ,CF cắt H Tiếp tuyến B,C (O) cắt G GD Ç EF = S Gọi M trung điểm cạnh BC Giả sử EF Ç BC = T , AT Ç (O ) = K a) Chứng minh điểm A, K , F , E , H nằm đường tròn b) Chứng minh M , S, H thẳng hàng Cho (O) (d) không giao Vẽ OH ^ (d) lấy hai 23) điểm A, B thuộc (d) cho HA = HB Lấy điểm M thuộc đường tròn (O) Dựng cát tuyến qua H , A, B điểm M cắt đường tròn (O) C , D, E , DE Ç ( d) = S Dựng đường thẳng qua O ^ CE cắt tiếp tuyến E (O) K Dựng ON ^ DE N a) Chứng minh tứ giác HNCS tứ giác nội tiếp b) Ba điểm S,C , K thẳng hàng 78 24) Cho tam giác ABC có đường trịn nội tiếp (O) tiếp xúc với ba cạnh BC , AC , AB D, E , F Trên đoạn OD lấy điểm I dựng đường tròn tâm I bán kính I D Dựng BG,CH tiếp tuyến (I ) G, H Gọi M = BG Ç CH , N = EF Ç BC a) Chứng minh EHGF nội tiếp b) Ba điểm N ,G, H thẳng hàng Cho đường tròn (O),(O ),(O ) biết (O ),(O ) tiếp xúc 2 25) với điểm I (O1),(O2) tiếp xúc với (O) M 1, M Tiếp tuyến (O1) I cắt (O) A, A ' Đường thẳng AM cắt (O1) điểm N , đường thẳng AM cắt (O2) điểm N a) Chứng minh tứ giác M N N M nội tiếp OA ^ N N 1 2 b) Kẻ đường kính PQ (O) cho PQ ^ AI ( Điểm P nằm cung AM không chứa điểm M ) Chứng minh PM 1, PM khơng song song đường thẳng AI , PM 1,QM đồng quy Cho tam giác ABC khơng cân Đường trịn (O) nội tiếp tam 26) giác tiếp xúc với cạnh BC ,CA, AB M , N , P Đường thẳng NP cắt BO,CO E , F · · a) Chứng minh góc OEN ,OCA bù b) Chứng minh điểm B,C , E , F nằm đường tròn.Chứng minh O, M , K thẳng hàng Biết K tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác OEF 27) ( ) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O Kẻ AH ^ BC ( H Ỵ BC ) BE vng góc với đường kiính AD ( E Ỵ AD ) a) Chứng minh HE / / DC 79 b) Qua trung điểm K đoạn thẳng AB kẻ đường thẳng song song với AC cắt BC M Chứng minh D MHE cân 28) ( ) Cho tam giác nhọn ABC AB < AC Vẽ đường cao AD đường phân giác AO tam giác ABC ( D,O thuộc BC ) Vẽ đường tròn tâm O tiếp xúc với AB, AC M , N a) Chứng minh điểm M , N ,O, D, A thuộc đường tròn · · b) Chứng minh BDM = CDN c) Qua O kẻ đường thẳng vng góc với BC cắt MN I Đường thẳng AI cắt BC K Chứng minh K trung điểm cạnh BC 29) ( ) Cho nửa đường trịn O đường kính AB = 2R C , D hai điểm di động nửa đường tròn cho C · thuộc cung AD COD = 600 (C khác A D khác B ) Gọi M giao điểm tia AC BD , N giao điểm dây AD BC a) Chứng minh tứ giác CMDN nội tiếp đường trịn tính khoảng cách từ A, B đến đường thẳng CD b) Gọi H I trung điểm CD MN Chứng minh H , I ,O thẳng hàng DI = R c) Tìm giá trị lớn diện tích tam giác MCD theo R 30) ( ) Cho nửa đường trịn O;R đường kính AB Giả sử M điểm chuyển động nửa đường trịn này, kẻ MH 80 vng góc với AB H Từ O kẻ đường thẳng song song ( ) với MA cắt tiếp tuyến B với nửa đường tròn O K a) Chứng minh bốn điểm O, B, K , M thuộc đường trịn b) Giả sử C , D hình chiếu H đường thẳng MA MB Chứng minh ba đường thẳng CD, MH , AK đồng quy c) Gọi E , F trung điểm AH BH Xác định vị trí M để diện tích tứ giác CDFE đạt giá trị lớn 31) Cho hình vng ABCD , đường chéo BD lấy điểm I cho BI = BA Đường thẳng qua I vng góc với BD cắt AD E , AI cắt BE H a) Chứng minh AE = ID b) Đường trịn tâm E bán kính EA cắt AD điểm thứ hai F Chứng minh rằng: DF DA = EH EB ( ) Cho đường tròn O;R điểm M nằm ngồi 32) đường trịn Đường trịn đường kính OM cắt đường trịn (O;R ) hai điểm E , F a) Chứng minh giao điểm I đoạn thẳng OM với đường ( ) tròn O;R tâm đường tròn nội tiếp tam giác MEF b) Cho A điểm thuộc cung EF chứa điểm M đường tròn đường kính OM ( A khác E F ) Đoạn thẳng OA cắt đoạn thẳng EF B Chứng minh OAOB = R2 c) Cho biết OM = 2R N điểm thuộc cung EF ( ) chứa điểm I đường tròn O;R ( N khác E F ) Gọi d đường thẳng qua F vng góc với đường thẳng 81 EN điểm P , d cắt đường tròn đường kính OM điểm K ( K khác F ) Hai đường thẳng FN K E cắt điểm Q Chứng minh rằng: PN PK + QN QK £ R ( ) Cho tam giác ABC cân A nội tiếp đường tròn O 33) Gọi P điểm cung nhỏ AC Hai đường thẳng AP BC cắt M Chứng minh rằng: · · a) ABP = AMB b) MA.MP = BA.BM 34) J ( ) ( ) Cho hai đường tròn O;R O ';R ' cắt I ( R ' > R ) Kẻ tiếp tuyến chung hai đường trịn chúng cắt A Gọi B C tiếp điểm ( ) hai tiếp tuyến với O '; R ' , D tiếp điểm tiếp tuyến AB với ( O;R ) (điểm I điểm B nửa mặt phẳng ( ) bờ O 'A ) Đường thẳng AI cắt O ';R ' M (điểm M khác điểm I ) a) Gọi K giao điểm đường thẳng IJ với BD Chứng minh K B = K I K J , từ suy K B = K D b) AO ' cắt BC H Chứng minh bốn điểm I , H ,O ', M nằm đường tròn c) Chứng minh đường thẳng AM tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp VIBD Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB , nửa 35) đường tròn lấy điểm C (cung BC nhỏ cung AB ), qua C dựng tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt AB D Kẻ 82 CH vng góc với AB (H Ỵ AB ) , kẻ BK vng góc với CD ( K Ỵ CD ) ; CH cắt BK E · a) Chứng minh CB phân giác DCE b) Chứng minh BK + BD < EC c) Chứng minh BH AD = AH BD ( ) Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn O 36) Cho P điểm đoạn BC cho đường tròn ngoại tiếp tam giác OBP cắt đoạn AB N khác B đường tròn ngoại tiếp tam giác OCP cắt đoạn AC M khác C · · a) Chứng minh OPM = OAC · · · · b) Chứng minh MPN OBC + BAC = 900 = BAC c) Chứng minh O trực tâm tam giác PMN 37) ( ) Trên nửa đường trịn O đường kính AB = 2R ( R độ dài cho trước) lấy hai điểm M , N ( M , N khác A, B ) ¼ tổng khoảng cách từ A, B đến cho M thuộc AN đường thẳng MN R a) Tính độ dài đoạn thẳng MN theo R b) Gọi I giao điểm AN BM , K giao điểm AM BN Chứng minh bốn điểm M , N , I , K nằm đường trịn Tính bán kính đường trịn theo R c) Tìm GTLN diện tích tam giác K AB theo R M , N ( ) thay đổi nửa đường trịn O thỏa mãn giả thiết tốn 83 Ta có NA NA MA AQ NA = AQ Mặt khác = = = AB CD MD BD · NAQ = 600 nên tam giác NAQ Vậy phép quay tâm A góc quay 600 biến D thành B , N thành Q Do DN BQ tạo với góc 600 · Vậy BPD = 600 Do P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD Câu 51 Giải: Vì tứ giác BEPD, AQCB · · · nội tiếp nên CAQ = CBQ = DEP · · · Mặt khác AQC = 1800 - ABC = EPD (1).Áp dụng định lý Ptô –lê- mê cho tứ giác BEPD ta có PE BD + PD.EB + DE BP (2) Từ (1) (2) suy AQ.BD + QC EB = CA.BP Mặt khác BD = EB = CA nên AQ + QC = BP Câu 52 Giải: 1µ 1µ · · · a) Ta có NCE Do E nằm = IBN = B < A = NCM 2 µ > Cµ nên N C nằm · góc NCM (1) Do B phía AM Do E C nằm phía AM 141 (2) Từ (1) (2) suy E nằm · góc AMC Vậy Q thuộc cung nhỏ AC b) Vì QK = QA · · Q = 1A µ + 1B µ (3), suy QAK = AK 2 1µ · · · · · · Mặt khác CAQ nên Þ IAK + CAQ = B = IBK + CBQ = CBQ · CAQ = I·BK hay tứ giác AI K B nội tiếp Từ ta có 1µ · Q = BAI · · QM nên K I / / MQ IK = A =K Gọi L giao điểm K N MQ , K ILE hình bình hành Do N trung điểm K L Vậy BK CL hình bình hành Mặt khác ta có BK / / CL , BK = CL · · · (4) nên CL = QC (5) Từ (4) (5) suy CLQ = BLQ = CQM BK = CL (6) BQ = QA +QC Từ (3) (6) ta có Câu 53 Giải: Gọi T giao điểm (khác A ' ) đường tròn ngoại tiếp tam giác A 'B 'C ' tam giác A 'BC Tứ giác BA 'CT nội tiếp đường tròn · B = CT · A '+A · 'T B CT ( ) · · 'C 'B ' = CBA ' + 1800 - A 142 ( ) · · = 180 - ( ACB - CBA ') Gọi H · · = CBA ' + 1800 - ACB (do A 'C '/ / AC , BC / / B 'C ' ) giao điểm BA ' AC · · · · Khi ACB - CBA ' = BHC = CAB ' BH / / AB ' Suy · B = 1800 - CAB · CT ' Do tứ giác AB 'T C nội tiếp hay T thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác B 'CA Tương tự T thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác C 'AB Câu 54 Giải: a) Gọi K ,T hình chiếu vng góc M , N xuống BC H hình chiếu vng góc N xuống AC , L hình chiếu vng góc M xuống AB Đặt MK = ML = a;NT = NH = b; PN = c Dễ dàng tính được: PM PX = c c c c NT = ba ; PZ = ML = a; 1- c 1- c 1- c 1- c 1- c 1- c PY = 1 NH = b Do PY = PX + PZ 1- c 1- c b) Dễ dàng chứng minh D PZB : D PY C nên D PXB : D PY A nên PB PX Do = PA PY PB PB PX + PZ 1 + = = hay = + PC PA PY PB PA PC 143 PB PZ ; = PC PY Câu 55 Giải: · · Ta có OM = ON ROM nên D OMR = D ONR (c.g.c) = RON Vậy RM = RN Do N nằm đường trung trực MN nằm · phân giác MAN nên R ¼ điểm cung MN (cung khơng chứa A ) đường trịn ngoại tiếp tam giác AMN Vậy tứ giác AMRN nội tiếp đường tròn Giả sử đường tròn ngoại tiếp tam giác BMR cắt BC P khác B Do tứ giác AMRN , BMRP nội tiếp nên tứ giác CNRP nội tiếp Vậy hai đường tròn ngoại tiếp tam giác BMR,CNR cắt P thuộc BC Câu 56 Giải: Sử dụng tứ giác ABCD nội tiếp Ta chứng minh PA = PC Giả sử BP cắt AC E , DP cắt AC F Dễ dàng chứng minh cặp tam giác đồng dạng D BCE : D BDA, D DAF : D DBC suy 144 AF AD CE · · Do CE = AF Mặt khác PEF nên = = = PFE BC BD BC PE = PF Từ ta có D PEC = D PFA (c.g.c) Vậy PC = PA Ngược lại, giả sử PA = PC Gọi X ,Y tương ứng giao điểm CD, DP với đường tròn ngoại tiếp tam giác BCP Ta có cặp tam giác đồng dạng D ADB : D PDX , D ADP : D BDX nên BX BD XD = = AP AD PD (1) Mặt khác D DPC : D DXY nên XY XD (2) Từ (1) và(2) suy BX = XY = CP PD Do · · B = XPY · · · · · · DCB = XY = PDX + PXD = ADB + ABD = 1800 - BAD Vậy ABCD nội tiếp Câu 57 Giải: Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt đường thẳng I A, IB, IC điểm thứ hai M , N , P Gọi ( O;R ) , (O ';R ') đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , A 'B 'C ' Ta có: IA.I A ' = IB IB ' = I C I C ' ; IA.IM = IB IN = I C IP IA ' IB ' I C ' Suy hai tam giác A 'B 'C ' MNP có = = IM IN IP 145 cạnh tương ứng song song nên O 'C '/ / OP Mặt khác ta có OP R NP IP Vậy ba điểm O, I ,O ' thẳng hàng = = = O 'C ' R ' C 'B ' IC ' Câu 58 Giải: Khi A thay đổi cung lớn BC tam giác MNP có µ · khơng đổi 900 + A NMP µ Tam giác ANP ln cân, có A không đổi nên NP lớn AB + AC lớn nhất, A điểm cung lớn ¼ Gọi A0 điểm cung lớn BC , ứng với vị BC trí ta có tam giác M 0N 0P0 cân M ; · M P = NMP · Vậy chu vi D M 0N 0P0 ³ chu vi N 0P0 ³ NP ;N 0 D MNP Do chu vi tam giác MNP lớn A º A0 b) Gọi A ' giao điểm IA với NP , B ' giao điểm IB với MP , C ' giao I C với MN Các điểm O ',G ' tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm tam giác A 'B 'C ' Ta có IA.IA ' = IB IB ' = IC IC ' = Do theo câu suy ba điểm I ,O ',O thẳng hàng Mặt khác ba điểm I ,G ',O ' nằm đường thẳng Ơ-le tam giác MNP qua O cố định Câu 59) Giải: Gọi M , N , P 146 tiếp điểm cặp đường tròn ( O1) ,( O2 ) ;( O1) , (O ) ;( O2 ) , (O ) Đường thẳng MI cắt AB Q Ta có ba điểm O2, P ,O thẳng hàng Mặt khác O2M / / OB Tương tự O2M OB = r2 r = O2P OB nên QA MO2 r2 = = QB MO1 r1 PB PO r r MN = = = Do PM PO2 r2 NA r r r r QA PB NM = = Vậy đoạn thẳng AP , MQ, BN QB PM NA r1 r2 r đồng quy nên MQ đường cao tam giác MAB hay MQ ^ AB suy MQ ^ O1O2 Vậy I thuộc đường thẳng qua M vng góc với O1O2 Câu 60 Giải: Gọi E giao điểm thứ hai khác A AI với đường trịn ( O ) Khi E điểm cung BC (cung khơng chứa A ) Ta có EB = EI = EC = IA Theo định lý Ptơ-lê-mê ta có EA.BC = EC AB + EB AC 2BC = AB + AC Theo tính chất đường phân giác tam giác ta có: 147 AB AI AC AB + AC AB + AC = = = = = Vậy BD ID DC BD + DC BC AI AG AI = Gọi M trung điểm cạnh BC , = 2= AD GM ID Vậy GI / / BC Câu 61 Giải: ( R + R3 ) (Tính chất đường trung bình hình thang), Gọi O giao điểm AC BD Ta có dO / D = dO / D khoảng cách từ O tới D Tương tự dO/ D = 1 R1 + R3 ) ;dO / D = ( R2 + R4 ) = dO / D Vậy ( 2 dO / D = dO / D = dO / D Do D 1, D 2, D 3, D tiếp xúc với đường tròn tâm O Câu 62 Giải: Đường tròn ngoại tiếp tam giác SMN có tâm B tiếp xúc với AS S , AM M Đường tròn ngoại tiếp tam giác SPQ có tâm D tiếp xúc với AQ Q , AS S · · Ta có AMQ suy = AQM · · · · · · QME - FQM = AQF - AME = QPF - MNE (1) Ta có AE AN = AM = AF AP hay tứ giác NEFP nội tiếp Do ( ) ( · · · · · · FEM - EFQ = FEN + NEM - EFP + PFQ ) 148 ( ) ( ) ( é ù · · = ê1800 - FPN + NEM úê ú ë û ( ) é · ù · ê180 - ENP + PFQ ú ê ú ë û ) ( )( · · · · · · · · = ENP - FPN + NSM - PSQ = ENC - FPC NSM - PSQ ) (để ý CP = CS = CN ) ( ) ( é· · · · = êENS + NSC - FRS + SPC ê ë · · - PSQ ) ùúúû+ ( NSM ) ( · · - PSQ ) ( ) ùúúû+ ( NSM ) · · · · · · = ( NSC + NSM + PSQ - FPS ) - (CSP ) + ( NSM ) é ù · · · · = ê( 90 - SNM - ( 90 - SPQ ú+ ( ENS - FPS ) ) ) ê ú ë û · · · · = ( MSC - QSC - FPS ) + ( ENS ) · · · · · · = ( SPQ - FPS - ENS = MNE (2) ) - ( SNM ) = QPF é· · · · = êENS + NSC - FPS + CSP ê ë 0 · · · · Từ (1) (2) suy QME hay - FQM = FEM - EFQ · · · · Do tứ giác MEFQ nội tiếp QME + EFQ = EFM + FQM Câu 63 Giải: Đường thẳng qua D song song với AC cắt AB M Đường thẳng qua M song song với BC cắt AC N Gọi Q trung điểm NC Ta có AM DC AN = = nên = AB BC AC 149 QC DC Vậy CQ = NQ = AN Do = = suy DQ / / AB CA BC ¼ ¼ ¼ ¼ Vậy tứ giác BMPD tứ Do BAC nên BMD = BPD = BPD · · · · giác nội tiếp Do MPA suy tứ giác = MDB = ACB = MNA AMPN nội tiếp Vì BMPD, AMPN tứ giác nội tiếp nên CDPN tứ giác nội tiếp Hơn QD = QC = QN , nên Q tâm đường 1· 1· · tròn ngoại tiếp tứ giác CDPN Vậy DPC = DQC = BAC 2 Câu 64 Giải: Theo định lý Sim-sơn, ba điểm P ,Q, R thẳng hàng Từ hai bốn điểm (C , D, P ,Q ) ;( A, D,Q, R ) thuộc đường tròn ta suy D DCA : D DPR Tương tự ta cặp tam giác đồng dạng D DAB : D DQP , D DBC : D DRQ Do DC BC PQ = Suy DA BA QR DC BC Điều tương đương với chân = DA BA đường phân giác góc D tam giác ADC chân đường phân giác góc B tam giác ABC trùng nhau, hay phân giác góc ABC ADC cắt AC PQ = QR Û Câu 65 Giải: 150 Gọi H giao điểm MC với PQ Ta cần chứng minh H trung điểm MQ Ta có D K AC : D K MA suy Tương tự D K BC : D K MB suy MA KA = CA KC MB KB = CB KC Mặt khác K A = K B nên MA MB = CA CB AC BM = BC AM (1) Dễ dàng nhận thấy D BMP : D BCQ suy BC CQ = BM MP Từ (1) (2) ta có (2) CA MP = Sử dụng định lý Mê-lê-la –uyt CQ MA cho tam giác QPA với cát tuyến MCH ta có: Do HQ = HD Câu 66 Giải: T A,T B,T C cắt đường tròn ( O ') điểm thứ hai A1, B1,C Khi D A1B1C : D ABC , chúng có cạnh tương ứng song song Ta có 151 MP CA HQ =1 MA CQ HD AC 1 AC = B1C BC = A1B1 AB 2 æ æ T A1 ö TA12 T A12 T B12 TB1 ö T A1 T B1 ữ ữ ỗ ỗ ữ ữ ç ç = = = = = ÷ ÷.Do ç ç ÷ AA ' ÷ ç çBB 'ø AA ' BB ' AA1.AT BB1.BT èAA 'ø è Tương tự T A1 T A1 AA ' = T B1 T C1 CC ' T C1 TA TB TC (1) Theo = = AA ' BB ' CC ' AA ' BB ' CC ' định lý Ptô- lê-mê ta có T B.AC = T A.BC +T C AB (2) Từ (1) (2) ta có: BB '.AC = AA '.BC + CC '.AB Vậy = = Câu 67 Giải: Kẻ tiếp tuyến chung K H , LT ( O1) (O2 ) Giao điểm K H , LT với ( O ) B,C Kẻ tiếp tuyến chung EF ( O1) ( O2 ) cho E B nằm phía O1O2 Các điểm M , N tiếp điểm ( O1) ,( O2 ) với ( O ) EF cắt ( O ) P ,Q Ta chứng minh BC / / PQ Gọi A điểm cung PQ đường tròn ( O ) , kẻ tiếp tuyến AX , AY ( O1) ,( O2 ) Dễ dàng chứng minh ba điểm A, E , M thẳng hàng, ba điểm A, F , N thẳng hàng tứ giác MEFN nội tiếp Do AX = AE AM = AF AN = AY hay AX = AY 152 Áp dụng câu 66 cho tam giác ABQ nội tiếp đường tròn ( O ) đường tròn ( O1) tiếp xúc với ( O ) M , ta có: AX PQ = BK AC +CL AB Tương tự AY PQ = BH AC + CT AB Suy AC ( BH - BK ) = AB (CL - CT ) AC K H = AB T L hay AC = AB Vậy A trung điểm cung BC , PQ / / BC Câu 68 Giải: · · · · Lấy E , F thuộc đường tròn cho CDB = ADE , BDA = DCF Khi AE = BC , FD = AB, EC = AB, BF = AD Áp dụng định lý Ptô-lê-mê cho hai tứ giác nội tiếp AECD BCDF ta có: AC ED = AE CD + AD.EC = BC CD + AD.AB (1) Và BDCF = BC DF + BF CD = BC AB + AD.CD (2) · · · · · · · Mặt khác CDE = CDB + BDE = ADE + BDE = ADB = FCD · · · · · · Do FDC suy = FDE + EDC = FCE + FCD = ECD ED = FC (3) Từ (1),(2),(3) ta có điều phải chứng minh Câu 69 Giải: Tứ giác BC 'MA ' A 'MB 'C 153 nội tiếp nên · 'MC ' + B µ = Cµ + A · 'MB ' = 1800 A · 'A ' = MCA · µ = Cµ MB ' Mà B · 'MC ' = A · 'MB ' suy A CM MA ' suy D C 'MA ' : D A 'MB ' (c.g.c) Do = MA ' MB ' · ' B 'M + MCA · · 'A ' = MBA · C· 'A ' M = A ' Mặt khác MC ' nên · · 'MC ' = 1800 - B µ khơng D BMC : D C 'MA ' Do BCM =A Ta lại có đổi Vậy M thuộc đường tròn cố định Câu 70) Gọi H trực tâm AMN , I trung điểm cạnh MN Gọi · Az tia phân giác BAC · · Ta có HAM nên Az = OAN · tia phân giác OAH Gọi O ' đối xứng với O qua Az Khi O ' thuộc AH Khi O thay đổi BC O ' thay đổi đường thẳng D đối xứng với đường thẳng BC qua Az ON · · Tam giác OI N có $ I = 900, I ON = BAC không đổi nên OI không đổi Mặt khác AH = 2.OI nên OA không đổi Do OI AO ' khơng đổi O ' thuộc D cố định nên H thuộc AH đường thẳng D ' song song với D 154 155 ... BPC = 90 0 Thật ta có: · · · · PBC = PBE + EBC = ·ABE + EBC = ( ) ( µ 90 0 − µA + 90 0 − C ) · · · Tương tự ta có: PCB = PCF + FCB = ( ) ( ) µ Từ suy 90 0 − µA + 90 0 − B ( ) · · µ +C µ = 90 0 ⇒... Mặt khác OSA = 90 0 ⇒ OLS = 90 0 ⇒ MLO + OLS = 1800 ⇔ M , L, S thẳng hàng Mà H , M , N , L thẳng hàng nên suy M , H , S thẳng hàng Câu 9) Phân tích định hướng giải tốn: 103 Bài toán làm ta liên... EK Do ( ) · · · KIE = 1800 − IEK = 90 0 − IEH Mặt khác ta có · · · · Suy đpcm MHF = 90 0 − FAH = 90 0 − FEH = 90 0 − IEH · + Xét tứ giác HMNK ta có: HKN = 90 0 , mặt khác ta vừa chứng minh · ·