Một số bất đẳng thức cho p chuẩn và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO p-CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2021 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN NGUYỄN THỊ ÁNH NGỌC MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CHO p-CHUẨN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: PP Toán sơ câp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn: TS Lâm Thị Thanh Tâm Bình Định - Năm 2021 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan nội dung trình bày trung thực khơng trùng lặp với đề tài khác Tôi xin cam đoan kết nêu luận văn tài liệu tham khảo nội dung trích dẫn đảm bảo tính trung thực, xác Bình Định, tháng 07 năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Ánh Ngọc LỜI CẢM ƠN Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Quy Nhơn hướng dẫn TS.Lâm Thị Thanh Tâm Qua muốn dành lời cảm ơn chân thành sâu sắc đến Cô người giúp đỡ hướng dẫn tơi suốt q trình thực đề tài luận văn Cơ người định hướng, tạo điều kiện thuận lợi cho nhận xét quý báu để tơi hồn thành luận văn với hiệu cao Tôi xin phép gửi lời cảm ơn chân thành đến quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Phương pháp tốn sơ cấp khóa 22 trường Đại học Quy Nhơn toàn thể quý thầy Khoa Tốn - Thống kê trường Đại học Quy Nhơn, người cho kiến thức, quan tâm, động viên, nhiệt tình giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thời gian thực đề tài Cuối xin phép gửi lời cảm ơn đến gia đình người bạn ln quan tâm, giúp đỡ động viên suốt quãng đường học tập vừa qua Mặc dù cố gắng học hỏi, tìm tịi nghiên cứu q trình hồn thành luận văn, hạn chế thời gian trình độ nên luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Rất mong nhận góp ý q thầy bạn đọc để luận văn hoàn thiện Mục lục MỞ ĐẦU 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Hàm lồi 1.2 Một số bất đẳng thức Bất đẳng thức cho p-chuẩn áp dụng 2.1 2.2 Khái niệm chuẩn 10 10 Các bổ đề định lý liên quan 11 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn ứng dụng 3.1 28 Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn 28 3.2 Một số ứng dụng 42 Kết luận 48 Tài liệu tham khảo 49 MỞ ĐẦU Từ xưa đến nay, bất đẳng thức vấn đề khó, đa dạng, hấp dẫn thu hút quan tâm đông đảo người giảng dạy Tốn từ bậc phổ thơng đến đại học nhà nghiên cứu Toán Hiện nay, lý thuyết bất đẳng thức lý thuyết toán học đồ sộ, phát triển rộng phạm vi ứng dụng lớn Các bất đẳng thức công cụ quan trọng để phát triển nhiều lĩnh vực Toán học khác Ở Toán phổ thông, chủ đề bất đẳng thức gặp thường xuyên bất đẳng thức hay xuất kỳ thi học sinh giỏi để đánh giá tư học sinh giỏi Trong số bất đẳng thức kinh điển tiếng, bất đẳng thức cho p-chuẩn đóng vai trị quan trọng giải tích tốn học Trong năm gần đây, nhiều tác giả cải tiến mở rộng bất đẳng thức cho p-chuẩn theo nhiều hướng khác đưa ứng dụng thú vị chúng Theo mở rộng thế, bất đẳng thức p-chuẩn thiết lập công bố tạp chí tốn học uy tín giới Việc tìm hiểu kết hữu ích cho cơng việc giảng dạy nghiên cứu Toán học sơ cấp bậc Trung học Phổ thơng Với mong muốn tìm hiểu số bất đẳng thức cho p-chuẩn, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức cho p-chuẩn ứng dụng" Luận văn "Một số bất đẳng thức cho p-chuẩn ứng dụng" bao gồm: Mở đầu, Nội dung, Kết luận Tài liệu tham khảo Nội dung luận văn bao gồm ba chương Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, giới thiệu định nghĩa, định lý hàm lồi bất ng thc c bn: AG-GM, Cauchys, Hăolder, Minkowski, Hermite-Hadamard, Aczộl bất thức liên quan đến trung bình Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày số định lý bổ đề để bổ trợ cho chứng minh Chương Bất đẳng thức cho chuẩn p số ứng dụng Bất đẳng thức p-chuẩn kiến thức quan trọng thiếu nhắc đến bất đẳng thức Để biết rõ số bất đẳng thức p-chuẩn chương này, chúng tơi trình bày số định nghĩa, bổ đề liên quan đến p-chuẩn Từ ta có số bất đẳng thức cho p-chuẩn áp dụng vào toán Chương Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn ứng dụng Trong phần này, chúng tơi trình bày số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p-chuẩn số ứng dụng liên quan đến tốn Trung học Phổ thơng Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày số định nghĩa định lý quan trọng hàm lồi bất đẳng thức bn: AM-GM,Cauchy Schwarz, Hăolde, Minkowski, Hermite-Hadamard, Aczộl v bt ng thức liên quan đến trung bình Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày số định lý bổ đề để bổ trợ cho chứng minh Các kết tham khảo từ tài liệu [1], [4], [5], [6] 1.1 Hàm lồi Định nghĩa 1.1.1 ([4]) Tập D gọi tập lồi R với a, b ∈ D, λ ∈ R, ≤ λ ≤ λa + (1 − λ)b ∈ D Định nghĩa 1.1.2 ([4]) Giả sử D tập lồi R Hàm số f : D → R gọi hàm lồi (lồi dưới) tập D với x1 , x2 ∈ D với số λ ∈ R, ≤ λ ≤ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) (1.1) Nếu dấu đẳng thức (1.1) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lồi thực (chặt) D Định nghĩa 1.1.3 ([4],[5]) Giả sử D tập lồi R Hàm số f : D → R gọi hàm lõm (lồi trên) tập D với x1 , x2 ∈ D với số λ ∈ R, ≤ λ ≤ f (λx1 + (1 − λ)x2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) (1.2) Nếu dấu đẳng thức (1.2) xảy x1 = x2 ta nói hàm số f (x) hàm lõm thực (chặt) D Ngoài ra, f (x) gọi hàm lõm D −f (x) hàm lồi D Định lý 1.1.4 ([4],[5]) (Điều kiện đủ cho tính lồi, lõm hàm số) Cho hàm số f (x) xác định (a, b) có đạo hàm cấp hai x ∈ (a, b) (i) Nếu f ”(x) > với x ∈ (a, b) f (x) hàm lồi (a, b) (ii) Nếu f ”(x) < với x ∈ (a, b) f (x) hàm lõm (a, b) 1.2 Một số bất đẳng thức Định lý 1.2.1 ([4]) (Bất đẳng thức AM-GM) Giả sử a1 , a2 , , an (n ≥ 2) số thực không âm Khi √ a1 + a2 + + an ≥ n a1 a2 an n (1.3) Dấu đẳng thức xảy a1 = a2 = = an Định lý 1.2.2 Với số thực không âm a1 , a2 , , an (n ≥ 2) số n thực λ1 , λ2 , , λn cho λi > 1, i = 1, 2, , n = Khi i=1 λi n a1 a2 an ≤ i=1 aλi i λi (1.4) Định lý 1.2.3 ([4])(Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz) Cho a = (a1 , , an ) b = (b1 , , bn ) hai dãy số thực tùy ý Khi n n a2i i=1 n b2i i=1 ≥ bi i=1 (1.5) Dấu bất đẳng thức xảy a1 a2 an = = = b1 b2 bn Định lý 1.2.4 ([4])(Bất đẳng thức Cauchy - Schwarz dạng giải tích) Giả sử f , g hai hàm thực khả tích [a, b] Khi b b ≤ f (x)g(x)dx b g(x)2 dx f (x) dx a a (1.6) a Dấu đẳng thức xảy f = kg với k = Định lý 1.2.5 ([4])(Bất ng thc Hăolder) Gi s 0, bi với 1 i = 1, 2, , n + = p q (i) Nếu p >  p1   1q  n n n api   bqi   i=1 api   1q n n bqi   (1.7) b i (1.8) n ≤ i=1 i=1 b i ; i=1 i=1 (ii) Nếu p < q <   p1   ≥ i=1 Dấu đẳng thức xảy αapi = βbqi , ∀i = 1, 2, , n α β số thực khơng âm vơi α2 + β > Định lý 1.2.6 ([4]) Với aij > (i = 1, 2, , n; j = 1, 2, , m) m (i) Nếu λj > j=1 λj n ≥ m m n λ aijj aij ≤ i=1 j=1 j=1 λj ; (1.9) ; (1.10) i=1 (ii) Nếu λj < (j = 1, 2, , m) n m m n λ aijj aij ≥ i=1 j=1 j=1 i=1 λj 36 Chứng minh Dựa vào tài liệu [10], [11].Ta có x α α+β x−a b β f (t)dt + b−x a f (t)dt − f (x) x a+b β α x− f (x) − 2(α + β) x−a b−x b−a β a+b α + f (a) + f (b) − (α + β) x − f (x) x−a b−x − b = p(x, t) t − a+b f ”(t)dt (3.23) a với vế trái tương ng vi (3.21) p dng bt ng thc Hăolder (1.12) vào vế phải (3.23), ta b p(x, t) t − a+b f ”(t)dt a b |f ”(t)|p dt ≤ b p a |p(x, t)|q a+b q t− dt q a b = f” |p(x, t)|q p a+b q dt t− q (3.24) a Từ (3.23) (3.24), ta có x α α+β x−a b β f (t)dt + b−x a f (t)dt − f (x) x a+b α β x− f (x) − 2(α + β) x−a b−x b−a α β a+b + f (a) + f (b) − (α + β) x − f (x) x−a b−x − b ≤ f” |p(x, t)| p a q a+b q t− dt q (3.25) 37 Từ vế phải (3.25) ta định nghĩa b q |p(x, t)| I := a+b q t− dt a = x q α α+βx−a q (t − a) a+b q dt t− a + b q β α+βb−x q |t − b| a+b q t− dt (3.26) x để từ ta chia làm hai trường hợp riêng biệt a+b Trường hợp 1: x ∈ a, IA = x q α α+βx−a a+b −t q (t − a) q dt a β + α+βb−x a+b q q (b − t) a+b −t q dt x + β α+βb−x b q a+b t− q (b − t) q dt a+b Đánh giá ba tích phân riêng biệt, ta có x q (t − a) I1 = a+b −t q dt, a Đổi biến t = a + I1 = b−a b−a w, ta 2q+1 x1 q q w (1 − w) dw = b−a 2q+1 Bx1 (q + 1, q + 1) 38 với Bx1 (., ) hàm Beta khơng hồn chỉnh x1 = a+b (b − t) I2 = q a+b −t q 2(x − a) b−a dt, x Đổi biến t = I2 = b−a w, ta a+b − b−a x2 2q+1 q q w (1 + w) dw = 2q+1 b−a Ψx2 (q + 1, q + 1), với x2 wq (1 + w)q dw Ψx2 := x2 = a + b − 2x = − x1 b−a b a+b t− q (b − t) I3 = q dt, a+b Đổi biến t = I3 = b−a w, ta a+b + b−a 2q+1 q q w (1 − w) dw = b−a 2q+1 B(q + 1, q + 1) với B(., ) hàm Beta Khi đó, ta có IA = I1 +I2 + I3 = b−a + 2q+1 α α+βx−a β α+βb−x q Bx1 (q + 1, q + 1) q Ψx2 (q + 1, q + 1) 39 + với x ∈ a, q β α+βb−x B(q + 1, q + 1) a+b a+b ,b Trường hợp 2: x ∈ IB = q α α+βx−a a+b q a+b −t q (t − a) dt a α + α+βx−a x q q (t − a) a+b t− q dt a+b β α+βb−x + b q q (b − t) a+b t− q dt x Tương tự trường hợp 1, ta có a+b q (t − a) I4 = a+b −t q dt a Đổi biến t = a + I4 = b−a b−a w, ta 2q+1 q q w (1 − w) dw = 2q+1 b−a B(q + 1, q + 1), với B(., ) hàm Beta x q (t − a) I5 = a+b t− q dt a+b Đổi biến t = I5 = a+b b−a + w, ta 2 b−a 2q+1 x3 q q w (1 − w) dw = b−a 2q+1 Bx3 (q + 1, q + 1) 40 với Bx3 (., ) hàm Beta khơng hồn chỉnh x3 = x1 − b q (b − t) I6 = q a+b t− dt x Đổi biến t = b − I6 = b−a b−a w, ta x4 2q+1 q q w (1 − w) dw = b−a 2q+1 Bx4 (q + 1, q + 1) với Bx4 (., ) hàm Beta khơng hồn chỉnh x4 = − x1 Khi đó, ta có IB = I4 +I5 + I6 = b−a + + a+b ,b Từ (3.26), ta có với x ∈ I = IA + IB 2q+1 α α+βx−a α α+βx−a β α+βb−x q B(q + 1, q + 1) q Bx3 (q + 1, q + 1) q Bx4 (q + 1, q + 1) 41  q  α   Bx1 (q + 1, q + 1)   α + β x − a   q   β   + Ψx2 (q + 1, q + 1)    α+βb−x  q   a+b β   B(q + 1, q + 1) , x ∈ a, ; 2q+1 + b−a α+βb−x q α   B(q + 1, q + 1)    α + β x − a   q  α    Bx3 (q + 1, q + 1) +   α + β x − a   q  β a+b    ,b + α + β b − x Bx4 (q + 1, q + 1) , x ∈ = Áp dụng (3.25), ta (3.21) Áp dụng (3.23), ta phát biểu x α α+β x−a b β f (t)dt + b−x a f (t)dt − f (x) x a+b α β x− f (x) − 2(α + β) x−a b−x α b−a β a+b + f (a) + f (b) − (α + β) x − f (x) x−a b−x ≤ f ” K(x, t) ∞ , (3.27) − với K(x, t) ∞ = p(x, t) t − a+b Có thể dễ dàng thấy K(x, t) ∞ = α β (b − a)2 max , , với x ∈ [a, b] α+β x−a b−x suy (3.22) Nhận xét 3.1.8 ([2],[9],[10],[11]) Nếu đặt α = x − a, β = b − x (3.21) (3.22), ta có b f (t)dt − a f (a) + f (b) a+b f (x) + (b − a) + (b − a) x − f (x) 2 2 42 b−a ≤ 2     [B(q + 1, q + 1) + Bx1 (q + 1, q + 1)      a+b  +Ψx2 (q + 1, q + 1)] q , x ∈ a, ; f” p   [B(q + 1, q + 1) + Bx3 (q + 1, q + 1)      a+b   +Bx4 (q + 1, q + 1)] q , x∈ ,b , (3.28) 2+ 1q b f (t)dt − f (a) + f (b) a+b f (x) + ) (b − a) + (b − a) x − f (x) 2 2 a f” (b − a)2 ≤ 3.2 (3.29) Một số ứng dụng Phần chúng tơi trình bày ứng dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica bất đẳng thức Aczél-Bjeclica đảo ngược giải số toán trung học phổ thơng Bài tốn 3.2.1 Chứng minh với sáu số thực dương a, b, x, y, z ta ln có: ax + by + cz + (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) ≥ (a + b + c)(x + y + z) (3.30) Chứng minh Biển đổi bất đẳng thức cho: (3.30) ⇔ 3(ax + by + cz) + 9(a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) ≥ 2(a + b + c)(x + y + z) 43 ⇔ 9(a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (a + b + c)(x + y + z) ≥ (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) (3.31) Theo bất đẳng thức Cauchy-Schwarz ta có: 9(a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (a + b + c)(x + y + z) ≥ (ax + by + cz) + (ay + bz + cx) + (az + bx + cy) − (a + b + c)(x + y + z) = (3.32) Nếu ≥ (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) bất đẳng thức (3.31) hiển nhiên đúng, ta xét trường hợp: (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) ≥ Bình phương hai vế (3.31) áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = 2 (V T ) = 3(a2 + b2 + c2 ) 3(x2 + y2 + z2) − (a + b + c)(x + y + z) ≥ 3(a2 + b2 + c2 ) − (a + b + c)2 3(x2 + y + z ) − (x + y + z)2 = (a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 ≥ (a − b)(x − y) + (b − c)(y − z) + (c − a)(z − x) = (a + b + c)(x + y + z) − 3(ax + by + cz) 2 = (V P )2 Vậy bất đẳng thức đề cho chứng minh hồn tồn Bài tốn 3.2.2 Cho hai tam giác ABC XY Z với a, b, c x, y, z lần 44 lượt độ dài ba cạnh tam giác ABC XY Z Chứng minh (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 ≥ 16SABC SXY Z (3.33) Chứng minh Ta có đẳng thức 4SABC = (a + b + c)(a + b − c)(a + c − b)(b + c − a) = 2a2 b2 + 2b2 c2 + 2c2 a2 − a4 − b4 − c4 = (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a4 + b4 + c4 ); 4SXY Z = (x + y + z)(x + y − z)(x + z − y)(y + z − x) = 2x2 y + 2y z + 2z x2 − x4 − y − z = (x2 + y + z )2 − 2(x4 + y + z ) Khi bất đẳng thức cần chứng minh (3.33) trở thành (a2 + b2 + c2 )2 − 2(a4 + b4 + c4 ) (x2 + y + z )2 − 2(x4 + y + z ) ≤ (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 (3.34) Theo bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = (V T )3.34 ≤ (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) Ta cần chứng minh (a2 + b2 + c2 )(x2 + y + z ) − (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) ≤ (z + y − x2 )a2 + (x2 + z − y )b2 + (x2 + y − z )c2 ⇔ 2(a2 x2 + b2 y + c2 z ) ≤ (x4 + y + z )(a4 + b4 + c4 ) Tuy nhiên bất đẳng thức với bất đẳng tức Cauchy-Schwarz Vậy ta có điều phải chứng minh 45 Bài toán 3.2.3 Cho a, b số thực thỏa mãn < (a + 1)(b − 1) ≤ Tìm giá trị nhỏ biểu thức (3ab + a − b − 3)2 P = (a − 1)(b − 1) − 22 2 Chứng minh Ta có (a2 − 1)(b2 − 1) = (ab − 1)2 − (a − b)2 Áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = (ab − 1)2 − (a − b)2 (62 − 22 ) ≤ (6ab − − 2a + 2b)2 (6ab − − 2a + 2b)2 ⇔(ab − 1) − (a − b) ≤ 32 (3ab + a − b − 3)2 (6ab − − 2a + 2b) − P ≤ 32 22 6ab − − 2a + 2b 3ab + a − b − √ √ ⇔10P ≤ 32 22 2 √ 32 √ − 22 Tiếp tục áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = ta có 6ab − − 2a + 2b √ 32 3ab + a − b − √ 22 √ 32 − √ 22 ≤ (6ab − − 2a + 2b − 3ab − a + b + 3)2 = 3(a + 1)(b − 1) = 18 a = 1, b = a = −1, b = −2 a = 0, b = a = 3, b = Vậy GT LN = Bài toán 3.2.4 Cho a, b, c, d số thực dương cho a > b, c > d Chứng minh √ √ √ √ 3 2[( a − b)( c − d)]3 ≤ a2 + c2 − 2bd Chứng minh Ta có √ √ √ √ a2 + c2 3 3 (3.35) ⇔ [( a − b)( c − d)] ≤ − bd (3.35) 46 Với a, b, c, d số thực dương theo bất đẳng thức AM-GM, ta có a2 + c2 − bd ≥ ac − bd Khi ta cần chứng minh √ √ √ √ 3 [( a − b)( c − d)]3 ≤ ac − bd ⇔ a −b 3 c −d 3 ≤ ac − bd 1 1 Thật vậy, với < λ = ≤ a − b > 0, c − d > (vì a > b, c > d > 0) Như vậy, áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica λ = , ta có 1 a3 − b3 1 c3 − d3 ≤ ab − cd Suy điều phải chứng minh Bài toán 3.2.5 Cho a, b, c, d số thực dương cho a < b, c < d Chứng minh abcd ≥ ac − bd (b2 − a2 )(d2 − c2 ) Chứng minh Ta có abcd ab cd √ =√ = b2 − a2 d2 − c2 (b2 − a2 )(d2 − c2 ) = b − a2 a2 b2 − 12 d2 − c2 c2 d2 − 21 = 1 − a2 b2 − 12 a2 b2 b − a2 1 − c2 d2 c2 d2 d2 − a2 − 21 = (a−2 − b−2 )− (c−2 − d−2 )− Thật vậy, với λ = −2 < a−2 − b−2 > 0, c−2 − d−2 > (vì a < b, c < d −2 < 0) 47 Như vậy, áp dụng bất đẳng thức Aczél-Bjeclica đảo ngược λ = −2, ta có 1 (a−2 − b−2 )− (c−2 − d−2 )− ≥ ac − db Vậy suy abcd ≥ ac − bd (b2 − a2 )(d2 − c2 ) 48 Kết luận Trong luận văn thực công việc sau Giới thiệu định nghĩa định lý quan trọng hàm lồi bt ng thc: AG-GM,Cauchy - Schwarz , Hăolder, Minkowski, HermiteHadamard, Aczél bất thức liên quan đến trung bình Ngồi ra, chúng tơi cịn trình bày số định lý bổ đề để bổ trợ cho chứng minh Trình bày chi tiết kết số bất đẳng thức cho p-chuẩn áp dụng Trình bày chi tiết số kết dạng mở rộng liên quan đến bất đẳng cho p-chuẩn ứng dụng liên quan đến toán Trung học Phổ thông 49 Tài liệu tham khảo [1] U.S1 Kirmaci, M.Klaricic Bakula, M.E Ozdemir, J.E Pecaric, On some inequalities for p-norms, Journal of inequalities in pure and applied mathematics, 9, 1-15, 2008 [2] A Rafiq and Nazir Ahmad Mir, An Ostrowski type inequality for p-norms, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, volume 7, issue 3, article 112, 2006 Received 22 February, 2005;accepted 04 May, 2005 [3] G Farid, J Peăcaric and Atiq Ur Rehman, On Refinements of Aczộl, Popoviciu, Bellmans Inequalities and Related Results, Journal of Inequalities and Applications Volume 2010, Article ID 579567, 17 pages [4] J.E Pecaric, F Froschan, Y.L Tong, Convex function partial ordering and statistical applications, Mathematics in science and engineering, 187, 1992 [5] V Mascioni, A note on Aczél type iqualities, Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics, vol.3, issue 5, pages, 2002 [6] D.S Mitrinovíc P.M Vasíc Analytic Inequalities, Springer-Verlag New York, 1970 50 [7] G Farid, J Pecari´c and Atiq Ur Rehman, On Refinements of Aczél, Popoviciu, Bellmans Inequalities and Related Results, Journal of Inequalities and Applications Volume 2010, Article ID 579567, 17 pages [8] Cerone, S.S Dragomir and J Roumeliotis, An inequality of OstrowskiGră uss type for twice differentiable mappings and applicatios in numerical integration, Kyungpook Mathematical Journal, 39(2) (1999),331–341 [9] N.S Barnett, P Cerone, S.S Dragomir, J Roumeliotis and A Sofo, A survey on Ostrowski type inequalities for twice differentiable mappings and applications, Inequality Theory and Applications, (2001),33–86 [10] N.A Mir and A Rafiq, An integral inequality for twice differentiable bounded mappings with first derivative absolutely continuous and applications, submitted [11] S.S Dragomir and S Wang, Applications of Ostrowski’s inequality for the estimation of error bounds for some special means and some numerical quadrature rules, Appl Math Lett., 11 (1998), 105–109 ... bậc Trung học Phổ thông Với mong muốn tìm hiểu số bất đẳng thức cho p- chuẩn, chọn đề tài "Một số bất đẳng thức cho p- chuẩn ứng dụng" Luận văn "Một số bất đẳng thức cho p- chuẩn ứng dụng" bao gồm:... bày số định lý bổ đề để bổ trợ cho chứng minh Chương Bất đẳng thức cho chuẩn p số ứng dụng Bất đẳng thức p- chuẩn kiến thức quan trọng thiếu nhắc đến bất đẳng thức Để biết rõ số bất đẳng thức p- chuẩn. .. trình bày số định nghĩa, bổ đề liên quan đến p- chuẩn Từ ta có số bất đẳng thức cho p- chuẩn ? ?p dụng vào toán Chương Một số dạng mở rộng bất đẳng thức liên quan đến p- chuẩn ứng dụng Trong phần này,