Một số kết quả về điểm bất động của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC  - BÙI BÁ TÍCH MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TỐN TỬ HỒN TỒN NGẪU NHIÊN Chun ngành: Tốn ứng dụng Mã số: 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh THÁI NGUYÊN - 2021 i Mục lục Danh mục ký hiệu viết tắt ii Lời mở đầu Chương Một số kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm 1.1.1 Không gian xác suất 1.1.2 Biến ngẫu nhiên số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên 1.2 Toán tử ngẫu nhiên 12 1.3 Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên 16 Chương Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 22 2.1 Tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 22 2.2 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên 27 Kết luận 45 Tài liệu tham khảo 46 ii Danh mục ký hiệu viết tắt N Tập hợp số tự nhiên R Tập hợp số thực R+ Tập hợp số thực dương C[a; b] Không gian hàm số liên tục [a; b] L(X) Không gian tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X L0X (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị LXp (Ω) Không gian biến ngẫu nhiên X-giá trị khả tích cấp p A, F σ-đại số B(X) σ-đại số Borel X F σ-đại số tích σ-đại số A F 2X Họ tập hợp khác rỗng X C(X) Họ tập hợp đóng khác rỗng X H(A, B) Khoảng cách Hausdorff hai tập hợp đóng A, B Graph(T) Đồ thị toán tử ngẫu nhiên T P Độ đo xác suất p-lim Giới hạn hội tụ theo xác suất h.c.c Hầu chắn [x] Phần nguyên số thực x Chuẩn Lời mở đầu Trong năm đầu thể kỉ 20, nguyên lý điểm bất động tiếng đời phải kể đến là: nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912), nguyên lý ánh xạ co Banach (1922) định lý điểm bất động Schauder (1930) Các kết mở rộng lớp ánh xạ khác nhau, không gian khác ứng dụng nhiều lĩnh vực toán học Ta thấy ứng dụng việc giải vấn đề tồn lời giải phương trình (tốn tử, vi phân, tích phân, ), tốn xấp xỉ nghiệm, Tiếp theo kết trường hợp không ngẫu nhiên, nhiều vấn đề điểm bất động ngẫu nhiên nghiên cứu Vào thập niên 1950, O Hans A Spacek trường Đại học Tổng hợp Prague khởi xướng nghiên cứu điểm bất động toán tử ngẫu nhiên vấn đề liên quan1 Các tác giả đưa điều kiện đủ ban đầu để tốn tử ngẫu nhiên có điểm bất động ngẫu nhiên Sau cơng trình O Hans A Spacek, số dạng tương tự định lý điểm bất động tất định tiếng khác cho trường hợp ngẫu nhiên chứng minh Cùng với việc nghiên cứu vấn đề điểm bất động ngẫu nhiên, vấn đề phương trình toán tử ngẫu nhiên quan tâm đến Các nghiên cứu phương trình tốn tử ngẫu nhiên mở rộng, ngẫu nhiên hóa lý thuyết phương trình tốn tử tất định Tuy nhiên, phần lớn kết đạt lý thuyết phương trình tốn tử ngẫu nhiên tập trung vào việc đưa toán điểm bất động ngẫu nhiên để tồn nghiệm ngẫu nhiên Hans O (1957), "Random fixed point theorems", Trans 1st Prague Conf on Information Theory, Statist Decision Function, and Random process (Liblice, 1956), Czechoslovak Acad Sci., Prague, pp 105–125 Một cách tổng qt, xem tốn tử ngẫu nhiên ánh xạ biến phần tử không gian metric thành biến ngẫu nhiên Bên cạnh đó, ta coi phần tử không gian metric biến ngẫu nhiên suy biến nhận giá trị phần tử với xác suất Với cách quan niệm vậy, ta đồng khơng gian metric X tập (gồm biến ngẫu nhiên suy biến) không gian L0X (Ω) biến ngẫu nhiên X-giá trị Từ đó, với tốn tử ngẫu nhiên liên tục f từ X vào Y ta xây dựng ánh xạ Φ từ L0X (Ω) vào L0Y (Ω) mà hạn chế Φ X trùng với f Ngoài mối liên hệ tồn điểm bất động ngẫu nhiên f Φ thiết lập Với mục đích mở rộng miền xác định toán tử ngẫu nhiên, [3] tác giả đưa khái niệm toán tử hồn tồn ngẫu nhiên, ánh xạ biến biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric thành biến ngẫu nhiên nhận giá trị không gian metric Sử dụng tính tốn túy xác suất, tác giả chứng minh số kết ban đầu tương tự O Hadzic E Pap điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Trong phạm vi luận văn thạc sĩ Tốn học, tác giả tập trung trình bày lại kết nghiên cứu điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Nội dung luận văn bao gồm định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, sở để xét đến toán điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cấu trúc luận văn gồm chương Chương Tác giả trình bày số khái niệm không gian xác suất: biến ngẫu nhiên hội tụ dãy biến ngẫu nhiên; toán tử ngẫu nhiên điểm bất động toán tử ngẫu nhiên Các kết chương trích dẫn bỏ qua chứng minh chi tiết Chương Tác giả trình bày khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Tiếp theo, chương trình bày kết nghiên cứu điểm bất động số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Để hoàn thành luận văn cách hoàn chỉnh, nỗ lực học hỏi thân, em nhận hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình TS Trần Xuân Quý TS Đỗ Thị Phương Quỳnh Em xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy xin gửi lời tri ân em điều thầy dành cho em Em xin chân thành cảm ơn phịng Đào tạo, Khoa Tốn – Tin, q thầy giảng dạy lớp Cao học Tốn K13 (2019 - 2021) Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên tận tình truyền đạt kiến thức quý báu tạo điều kiện cho em hồn thành khóa học Tơi xin cảm ơn Ban Giám hiệu Trường THPT Hải Đảo, Huyện Vân Đồn, Quảng Ninh tạo điều kiện cho suốt trình học tập Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp, người động viên, hỗ trợ tạo điều kiện cho tơi suốt q trình học tập thực luận văn Thái Nguyên, ngày 21 tháng 05 năm 2021 Học viên Bùi Bá Tích Chương Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tơi nhắc lại khái niệm trình bày cách tổng quan kết điểm bất động toán tử tất định, điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên mà sử dụng làm tiền đề để xây dựng kết phần sau luận văn Các kết trích dẫn khơng chứng minh chi tiết 1.1 Các khái niệm Cho Ω tập khác ∅, gọi không gian mẫu Họ F tập Ω gọi σ-đại số thỏa mãn tính chất ∅ ∈ F , Ω \ A ∈ F với A ∈ F ∪∞ n=1 An ∈ F với An ∈ F , n = 1, 2, Mỗi phần tử σ-đại số F gọi tập đo Cặp (Ω, F ) gọi không gian đo 1.1.1 Không gian xác suất Định nghĩa 1.1.1 Cho Ω tập khác rỗng Một σ− đại số F Ω họ tập hợp Ω thỏa mãn (a) Tập ∅ ∈ F ; (b) Nếu A ∈ F phần bù A ∈ F ; (c) Nếu A1 , A2 , dãy đếm tập hợp F hợp chúng A1 ∪ A2 ∪ · · · thuộc F VÍ DỤ 1.1.2 R định nghĩa tập hợp số thực Họ tập Borel F = B(R) σ− đại số R B(R) σ− đại số chứa tất đoạn R Định nghĩa 1.1.3 (Không gian xác suất) Cho F σ− đại số Ω Độ đo xác suất P ánh xạ P : F −→ [0, 1] thỏa mãn (i) P(Ω) = 1; (ii) Nếu A1 , A2 , tập rời đôi (nghĩa Ai ∩ A j = ∅ với i j) ⊂ F P(A1 ∪ A2 ∪ ) = P(A1 ) + P(A2 ) + · · · (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Tập hợp thuộc F gọi biến cố Biến cố A xảy hầu chắn P(A) = σ-đại số F gọi đầy đủ với độ đo xác suất P tập tập có xác suất tập đo Bộ ba (Ω, F , P) gọi không gian xác suất Cho (Ω, A) không gian đo X không gian metric Ánh xạ ξ : Ω → X gọi A-đo ξ−1 (B) = {ω ∈ Ω|ξ(ω) ∈ B} ∈ A với B ∈ B(X) Nếu (Ω, A, P) không gian xác suất, ξ : Ω → X ánh xạ A-đo ξ gọi biến ngẫu nhiên nhận giá trị X hay biến ngẫu nhiên X-giá trị Tập hợp biến ngẫu nhiên X-giá trị ký hiệu L0X (Ω) Một không gian xác suất gọi đầy đủ F σ-đại số đầy đủ Không gian metric khả ly đầy đủ gọi không gian Polish VÍ DỤ 1.1.4 Chúng ta đưa khoảng cách có độ dài đơn vị Ω = [0, 1] với σ− đại số F = B([0, 1]) tập hợp tập Borel B ⊂ [0, 1] độ đo Lebesgue P = Leb [0, 1] Khi (Ω, F , P) không gian xác suất Nhắc lại Leb độ đo định nghĩa tập Borel cho với [a, b] Leb[a, b] = b − a Định lý 1.1.5 Nếu A1 , A2 , dãy tăng biến cố, nghĩa A1 ⊂ A2 ⊂ · · · , P(A1 ∪ A2 ∪ · · · ) = lim P(An ) n→∞ Tương tự, A1 , A2 , dãy giảm biến cố, nghĩa A1 ⊃ A2 ⊃ · · · , P(A1 ∩ A2 ∩ ) = lim P(An ) n→∞ Bổ đề 1.1.6 (Borel- Cantelli) Cho A1 , A2 , dãy biến cố cho P(A1 ) + P(A2 ) + · · · < ∞ đặt Bn = An ∪ An+1 ∪ · · · P(B1 ∩ B2 ∩ · · · ) = 1.1.2 Biến ngẫu nhiên số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Định nghĩa 1.1.7 (Biến ngẫu nhiên) Nếu F σ− đại số Ω hàm ξ : Ω −→ R gọi F − đo {ξ ∈ B} ∈ F với tập Borel B ∈ B(R) Nếu (Ω, F , P) không gian xác suất hàm ξ gọi biến ngẫu nhiên CHÚ Ý 1.1.8 Để cho ngắn gọn, ta ký hiệu {ξ ∈ B} thay viết {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Định nghĩa 1.1.9 (a) σ− đại số σ(ξ) sinh biến ngẫu nhiên ξ : Ω −→ R định nghĩa lớp tất tập có dạng {ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B}, B tập Borel R (b) σ− đại số σ({ξi : i ∈ I}) sinh họ biến ngẫu nhiên {ξi : i ∈ I} định nghĩa σ− đại số nhỏ chứa tất biến cố có dạng {ω ∈ Ω : ξi (ω) ∈ B} B tập Borel R i ∈ I NHẬN XÉT 1.1.10 Ta gọi f : R −→ R hàm Borel nghịch ảnh f −1 (B) với tập Borel B R tập Borel Nếu f hàm Borel ξ biến ngẫu nhiên f (ξ) σ(ξ)− đo Thật vậy, B tập Borel R f : R −→ R hàm Borel f −1 (B) tập Borel Do { f (ξ) ∈ B} = {ξ ∈ f −1 (B)} thuộc σ− đại số σ(ξ) sinh ξ Vậy f (ξ) σ(ξ)− đo Bổ đề 1.1.11 (Doob - Dynkin) Cho ξ biến ngẫu nhiên Khi biến ngẫu nhiên σ(ξ)− đo η viết η = f (ξ) với f : R −→ R hàm Borel Định nghĩa 1.1.12 Giả sử ξ : Ω −→ R biến ngẫu nhiên, xác định độ đo xác suất sau Pξ (B) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} Trên R xác định σ− đại số tập Borel B ∈ B(R) Ta định nghĩa Fξ hàm phân phối ξ, ký hiệu Fξ : R −→ [0, 1] xác định Fξ (x) = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) x} Nhận xét cho ta biết số tính chất hàm phân phối biến ngẫu nhiên NHẬN XÉT 1.1.13 Hàm phân phối Fξ không giảm, liên tục phải thỏa mãn lim Fξ (x) = 0, x→−∞ lim Fξ (x) = x→+∞ Định nghĩa 1.1.14 Nếu hàm Borel fξ : R −→ R cho với tập Borel B∈R P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} = fξ (x)dx B ξ gọi biến ngẫu nhiên với hàm phân phối liên tục tuyệt đối fξ gọi hàm mật độ ξ Nếu dãy hữu hạn vô hạn số thực phân biệt x1 , x2 , cho với tập Borel B ⊂ R P{ω ∈ Ω : ξ(ω) ∈ B} = P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi } {ω∈Ω:ξ(ω)∈B} ξ gọi có phân phối rời rạc với giá trị x1 , x2 , P{ω ∈ Ω : ξ(ω) = xi } gọi hàm “khối lượng” xác suất ξ xi 33 E Φu0 − u0 =M Đặt r = n p p (q n p ) (q ) x với q < x < 1, ta có r > q 1 1 (r − 1)( + + + m ) + m = 1, ∀m r r r r Do với t > m, n ∈ N )t) rm > t(r − 1)/rm ) P( un+m − un > t) P( un+m − un > (1 − P( un+m − un+m−1 (2.23) + ··· + P( un+1 − un > t(r − 1)/r ) M (rm ) p (qn+m−1 ) p + + r p (qn ) p p [(r − 1)t] M = (qn ) p r p (qr) p(m−1) + + (qr) p + p [(r − 1)t] mp M n p p − (qr) = (q ) r [(r − 1)t] p − (qr) p Mr p < (q p )n (2.24) p p [(r − 1)t] [1 − (qr) ] tiến tới n → ∞ Điều dẫn đến (un ) dãy Cauchy L0X (Ω) Vì tồn ξ ∈ L0X (Ω) cho p-limn un = ξ Cho n → ∞ (2.20), Φ liên tục theo xác suất ta nhận ξ = Φξ h.c.c Giả sử η điểm bất động khác Φ Khi với t > P( ξ − η > t) = P( Φξ − Φη > t) P( ξ − η > t/q) ··· P( ξ − η > t/qn ) với n > Cho n → ∞ ta có P( ξ − η > t) = với t > 0, tức ξ = η h.c.c Vì Φ có điểm bất động 34 (2) Từ (2.24) cho m → ∞ P( un − ξ > t) (q p )n r p ( ) t p r − 1 − (qr) p (q p )n x p =M p t x − q − xp M với x ∈ (q; 1) Gọi f (x) hàm xác định (q; 1) công thức x p f (x) = Bằng tính tốn trực tiếp ta nhận x − q − xp f (x) = (q;1) Vì P( un − ξ > t) (1 − q p 1+p )1+p (q p )n p p (1 − q 1+p )1+p t M VÍ DỤ 2.2.6 Xét tốn tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) xác định công thức Φu = ku, < k < Khi Φ tốn tử ngẫu nhiên co xác suất, Φ có điểm bất động u(ω) = h.c.c VÍ DỤ 2.2.7 Cho λ(ω) ∈ L0X (Ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị khoảng (0; q), < q < Giả sử Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) với X = R tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên xác định công thức Φu (ω) = λ (ω) u (ω) (2.25) Khi P ( Φu − Φv > t) = P (λ(ω) u − v > t) P (q u − v > t) Do Φ tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất, Φ có điểm bất động u(ω) = h.c.c VÍ DỤ 2.2.8 Giả sử Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) với X = R tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên xác định công thức Φu (ω) = λ (ω) u (ω) , (2.26) λ biến ngẫu nhiên có phân bố đoạn [a; b], < a < b < Khi Φ tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất 35 VÍ DỤ 2.2.9 Cho Ω = [0; 1] X = R Giả sử Φ tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên L0R xác định Φu (ω) = ω2 − λ (ω) u (ω) (2.27) với λ (ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị (0; q), < q < Khi Φ tốn hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất, có điểm bất động u(ω) = ω2 λ(ω) + Trong phần này, xét đến dạng mở rộng khác định lý điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất, định lý điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ( f, q)-co xác suất Định nghĩa 2.2.10 Cho f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm liên tục, tăng thỏa mãn f (0) = 0, limt→+∞ f (t) = +∞ q số thực dương (a) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) gọi ( f, q)Lipschitz xác suất với cặp u, v ∈ L0X (Ω) P ( Φu(ω) − Φv(ω) > f (t)) P ( u(ω) − v(ω) > f (t/q)) (2.28) (b) Toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) gọi ( f, q)-co xác suất Φ ( f, q)-Lipschitz xác suất với q < NHẬN XÉT 2.2.11 Nếu Φ q-Lipschitz xác suất Φ ( f, q)-Lipschitz xác suất với f (t) = t Đặc biệt, Φ q-co xác suất Φ ( f, q)-co xác suất với f (t) = t Mệnh đề 2.2.12 Nếu Φ : L0X (Ω) → L0Y (Ω) ( f, q)-Lipschitz xác suất Φ liên tục theo xác suất Chứng minh Cho trước t > 0, gọi g = f −1 hàm ngược f Đặt s = g(t), với u, v ∈ L0X (Ω) P( Φu − Φv > t) = P( Φu − Φv > f (s)) P( u − v > f (s/q)) (2.29) (2.30) 36 = P(g( u − v ) > s/q) (2.31) Gọi r > đủ nhỏ cho s/r > q Khi ta có đánh giá P(g( u − v ) > s/q) P(g( u − v ) > r) = P( u − v > f (r)) (2.32) Từ ước lượng (2.29) (2.32) suy P( Φu − Φv > t) P( u − v > f (r)) Giả sử (un ) dãy L0X (Ω) cho p-limn un = u Vì P( Φun − Φu > t) P( un − u > f (r)), nên ta có lim P( Φun − Φu > t) = n Do Φ liên tục theo xác suất Định lý 2.2.13 Cho Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ( f, q)-co xác suất (1) Nếu Φ có điểm bất động có điểm bất động Hơn nữa, tồn biến ngẫu nhiên u0 ∈ L0X (Ω) p > cho M = sup t p P ( Φu0 − u0 > f (t)) < +∞ (2.33) t>0 (2) Giả sử tồn c ∈ (q; 1) cho ∞ f (cn ) < +∞ (2.34) n=1 Khi (2.33) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động (3) Giả sử với t, s > f (t + s) f (t) + f (s) Khi (2.33) điều kiện đủ để Φ có điểm bất động (2.35) 37 Chứng minh Gọi g = f −1 hàm ngược f Khi g : [0; +∞) → [0; +∞) hàm tăng, g(0) = 0, limt→+∞ g(t) = +∞ Điều kiện (2.28) tương đương với P (g ( Φu − Φv ) > t) P (g( u − v ) > t/q) (2.36) Giả sử u0 ∈ L0X (Ω) cho (2.33) Xác định dãy (un ) thuộc L0X (Ω) un+1 = Φun , n = 0, 1, (2.37) Từ bất đẳng thức (2.36) ta có P (g ( un+1 − un ) > t) = P (g ( Φun − Φun−1 ) > t) P (g( un − un−1 ) > t/q) Bằng phương pháp quy nạp ta nhận với n P (g ( un+1 − un ) > t) P (g( u1 − u0 ) > t/qn ) (2.38) (1) Gọi ξ, η hai điểm bất động Φ Với t > P ( ξ − η > f (t)) = P ( Φξ − Φη > f (t)) P ( ξ − η > f (t/q)) Bằng phương pháp quy nạp ta suy P ( ξ − η > f (t)) P ( ξ − η > f (t/qn )) , ∀n Vì limn f (t/qn ) = +∞ ta nhận P ( ξ − η > f (t)) = với t > Do g( ξ − η ) = h.c.c lý luận phần ta nhận ξ = η h.c.c Giả sử Φ có điểm bất động ξ Chọn u0 = ξ ta nhận M = (2) Từ (2.33) P (g( u1 − u0 ) > s) M sp (2.39) Mqnp (2.40) Từ (2.38) (2.39) ta nhận P (g ( un+1 − un ) > t) 38 Chọn t = cn , từ (2.40) ta nhận n P (g ( un+1 − un ) > c ) qnp M np c (2.41) P ( un+1 − un > f (c )) qnp M np c (2.42) tức n Vì ∞ ∞ P ( un+1 − un > f (c )) n M n=1 n=1 qnp < +∞, cnp theo Bổ đề Borel-Cantelli, tồn tập D với xác suất cho với ω ∈ D, tồn N(ω) f (cn ), ∀n > N(ω) un+1 (ω) − un (ω) ∞ Từ (2.34) ta kết luận un+1 (ω) − un (ω) < ∞ với ω ∈ D n=1 tồn limn un (ω) với ω ∈ D Từ dãy (un ) hội tụ hầu chắn tới ξ ∈ L0X (Ω) Vì Φ liên tục theo xác suất, từ (2.37) cho n → ∞ ta nhận ξ = Φξ h.c.c (3) Dễ dàng thấy với t, s > g(s + t) Từ với a = g(t) + g(s) m si i=1 P (g( un+m − un ) > a)     P g    P  m un+i − un+i−1 i=1 m g( un+i − un+i−1 i=1      > a   ) > a m P (g( un+i − un+i−1 ) > si ) i=1 Từ (2.40) P (g ( un+i − un+i−1 ) > si ) Mq(n+i−1)p sip (2.43) x với q < x < si = s(r − 1)/ri Lý luận tương tự q chứng minh Định lý 2.2.5 ta nhận Đặt r = lim P(g( un+m − un ) > s) = 0, ∀s > n 39 từ lim P( un+m − un > f (s)) = 0, ∀s > n Vì lim P( un+m − un > t) = 0, ∀t > n Do dãy (un ) hội tụ theo xác suất tới ξ ∈ L0X (Ω) Vì Φ liên tục theo xác suất, cho n → ∞ (2.37) ta nhận ξ = Φξ h.c.c NHẬN XÉT 2.2.14 Ta dễ dàng nhận thấy hàm f : [0; +∞) → [0; +∞) xác định công thức f (x) = e x − thỏa mãn điều kiện (2.35) Hai dạng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên f (t)-co yếu xác suất ( f, q)-co xác suất mở rộng tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên co xác suất Tuy nhiên hai định nghĩa khơng có định nghĩa mở rộng định nghĩa lại Sau ta xét ví dụ minh họa tồn điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ( f, q)-co yếu xác suất VÍ DỤ 2.2.15 Cho tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : L0X (Ω) → L0Y (Ω) xác định công thức Φu (ω) = λ (ω) (u (ω) − ξ(ω)) (2.44) ξ(ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị thực, λ(ω) biến ngẫu nhiên nhận giá trị (0; q2 ), < q < hàm f : [0; +∞) → [0; +∞) xác định công thức f (t) = t2 Dễ thấy f (x + y) ≥ f (x) + f (y) với x, y ≥ P ( Φu − Φv > f (t)) = P λ (ω) u − v > t2 t2 = P u−v > λ(ω) t2 P u−v > q = P ( u − v > f (t/q)) Từ ta thấy Φ tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên ( f, q)-co xác suất Dễ dàng nhận thấy u(ω) = (ξ(ω)λ(ω))/(λ(ω) − 1) điểm bất động Φ 40 Ngồi việc xét đến điều kiện phía bên biểu thức xác suất, phần điều kiện hàm xét đến Khi ta nhận định lý điểm bất động cho tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên f -tựa co, f -tiệm cận co xác suất Định nghĩa 2.2.16 ([13]) Hàm không giảm f : [0; +∞) → [0; +∞) gọi hàm so sánh (i) f (t) = t = 0; (ii) limn→∞ f n (t) = với t > với f n (t) = f ( f ( f (t) )) n lần Khi ta có bổ đề sau Bổ đề 2.2.17 ([13]) Nếu f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh f (t) < t với t > Tiếp theo ta xét đến khái niệm tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên tựa co chứng minh tồn điểm bất động toán tử dạng Định lý 2.2.18 Cho X không gian Banach khả ly Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giả sử toán tử Φ ( f, k)-tựa co theo nghĩa P Φk u − Φk v > t f (C (Φ, u, v, t)) (2.45) với u, v ∈ L0X (Ω), t > với C (Φ, u, v, t) = max p,q k,(p,q) (k,k) {P ( Φ p u − Φq v > t)} , (2.46) hàm so sánh f thỏa mãn ∞ f i (1) < +∞ (2.47) i=1 Khi Φ có điểm bất động thuộc L0X (Ω) dãy lặp (Φn u0 ) hội tụ theo xác suất đến điểm bất động Φ với biến ngẫu nhiên u0 ∈ L0X (Ω) 41 Chứng minh Cho u0 biến ngẫu nhiên thuộc L0X (Ω) un+1 = Φun , n = 0, 1, Với n ≥ k t > un+1 − un > t = P Φk (un+1−k ) − Φk (un−k ) > t P max f p1 ,q1 k,(p1 ,q1 ) (k,k) p1 ,q1 = max k,(p1 ,q1 ) (k,k) {P ( Φ p1 (un+1−k ) − Φq1 (un−k ) > t)} { f (P ( Φ p1 (un+1−k ) − Φq1 (un−k ) > t))} max f P un+p1 +1−k − un+q1 +1−k > t max k,( p j ,q j ) f i P un+p1 + +pi +1−ik − un+q1 + +qi +1−ik > t p1 ,q1 k,(p1 ,q1 ) (k,k) p j ,q j (k,k) f i (1) với i = [n/k] Vì P ( un+h − un > t) P ( un+h − un+h−1 + + un+1 − un > t) P ( un+h − un+h−1 > t/h) + +P ( un+1 − un > t/h) [n+h/k] f i (1) i=[n/k] [n+h/k] Từ (2.47) ta có limn i=[n/k] tồn ξ ∈ L0X (Ω) f i (1) = Vì (un ) dãy Cauchy L0X (Ω) cho (un ) hội tụ theo xác suất tới ξ Vì un+1 = Φun Φ liên tục theo xác suất, cho n → ∞ ta nhận Φξ = ξ tức ξ điểm bất động Φ Gọi η điểm bất động khác Φ Khi với t > 0, P ( ξ − η > t) > P ( ξ − η > t) = P Φk ξ − Φk η > t max p,q k,(p,q) (k,k) { f (P ( Φ p ξ − Φ p η > t))} = f (P ( ξ − η > t)) < P ( ξ − η > t) , từ dẫn đến mâu thuẫn Do P( ξ − η > t) = với t > tức ξ = η h.c.c Vì Φ có điểm bất động 42 Chọn hàm f (t) = λt với < λ < ta nhận hệ sau Hệ 2.2.19 Cho X không gian Banach khả ly, k số tự nhiên dương Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất cho với t > u, v ∈ L0X (Ω) P Φk u − Φk v > t λC (Φ, u, v, t) (2.48) với < λ < Khi Φ có điểm bất động thuộc L0X (Ω), dãy lặp (Φn u0 ) hội tụ theo xác suất đến điểm bất động Φ u0 ∈ L0X (Ω) VÍ DỤ 2.2.20 Giả sử (Ω, F , P) không gian xác suất với Ω = [0; 1], F σ-đại số Lebesgue tập [0; 1] P độ đo Lebesgue [0; 1] Với X = R xét tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) xác định     qu (2ω) ω 1/2 Φu (ω) =    0 1/2 < ω q ∈ (0; 1) số thực Đặt A = {ω : Φu (ω) − Φv (ω) > t} = {ω : u (2ω) − v (2ω) > t/q, ω ∈ [0; 1/2]} B = {ω : u (ω) − v (ω) > t/q} Khi B giãn A, B = 2A Do P(B) = 2P(A) P ( Φu (ω) − Φv (ω) > t) = P ( u (ω) − v (ω) > t/q) P ( u (ω) − v (ω) > t) với u, v ∈ L0X (Ω), t > Vì P( Φu (ω) −Φv (ω) > t) max P ( u (ω) − v (ω) > t) , P ( u (ω) − Φv (ω) > t) , P ( Φu (ω) − v (ω) > t) 43 ta nhận Φ ( f, k)-tựa co với f (t) = t/2, k = Dễ dàng nhận thấy biến ngẫu nhiên u(ω) = điểm bất động Φ Ta nhớ lại A tập R đo Lebesgue với độ đo Lebesgue λ số δ > 0, giãn tập A δ kí hiệu δA = {δx : x ∈ A} đo Lebesgue với độ đo δλ(A) Định lý 2.2.21 Cho X không gian Banach khả ly Φ : L0X (Ω) → L0X (Ω) toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên liên tục theo xác suất f : [0; +∞) → [0; +∞) hàm so sánh Giả sử Φ thỏa mãn điều kiện f -tiệm cận co theo nghĩa tồn dãy hàm liên tục fn : [0; +∞) → [0; +∞) cho fn hội tụ tới f với u, v ∈ L0X (Ω) , t > P ( Φn u − Φn v > t) fn (P ( u − v > t)) (2.49) Khi Φ có điểm bất động dãy lặp (Φn u0 ) hội tụ theo xác suất tới điểm bất động Φ với u0 ∈ L0X (Ω) Chứng minh Gọi u, v biến ngẫu nhiên thuộc L0X (Ω) Từ (2.49), với n ≥ t > P ( Φn u − Φn v > t) fn (P ( u − v > t)) Vì lim supn P ( Φn u − Φn v > t) lim supn fn (P ( u − v > t)) = f (P ( u − v > t)) Giả sử lim supn P ( Φn u − Φn v > t) = P Φn+k u − Φn+k v > t > Từ (2.49), ta có fn P Φk u − Φk v > t Từ lim sup P Φn+k u − Φn+k v > t n lim sup fn P Φk u − Φk v > t n = f P Φk u − Φk v > t Vì lim supk lim supn P Φn+k u − Φn+k v > t lim supk f P Φk u − Φk v > t 44 Do < f ( ) < , ta nhận mâu thuẫn Giả sử ta có lim supn P ( Φn u − Φn v > t) = Chọn u = Φh u0 , v = u0 ta suy lim sup P Φn+h u0 − Φn u0 > t = n Đặt un = Φ u0 , ta suy (un ) dãy Cauchy L0X (Ω) Khi tồn ξ ∈ n L0X (Ω) cho (un ) hội tụ theo xác suất đến ξ Vì un+1 = Φun Φ liên tục theo xác suất Cho n → ∞, ta nhận Φξ = ξ tức ξ điểm bất động Φ Gọi η điểm bất động khác Φ Khi với t > 0, P ( ξ − η > t) > P ( ξ − η > t) = P ( Φn ξ − Φn η > t) fn (P ( ξ − η > t)) với n Cho n → ∞ ta nhận P ( ξ − η > t) < f (P ( ξ − η > t)) < P ( ξ − η > t) , từ xảy mâu thuẫn Vì P( ξ − η > t) = với t > tức ξ = η h.c.c Do Φ có điểm bất động 45 Kết luận Luận văn “Một số kết điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên” trình bày nội dung sau: (a) Một số kết không gian xác suất: biến ngẫu nhiên, số dạng hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Một số kết toán tử ngẫu nhiên Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên số kết (b) Trình bày định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, đưa tiêu chuẩn liên tục theo xác suất tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên (c) Trình định lý điều kiện đủ, điều kiện cần đủ để tồn điểm bất động ngẫu nhiên 46 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Nguyễn Duy Tiến, Vũ Việt Yên (2000), Lý thuyết xác suất, Nhà xuất Giáo dục [2] Hồng Tụy (2005), Hàm thực Giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia HN Tiếng Anh [3] Anh T N (2010), "Random fixed points of probabilistic contractions and applications to random equations", Vietnam J Math 38, pp 227–235 [4] Beg I., Shahzad N (1993), "Random fixed points and approximations in random convex metric spaces", J Appl Math Stochastic Anal 6(3) , pp 237-246 [5] Beg I., Shahzad N (1994), "Random fixed point theorems for nonexpansive and contractive-type random operators on Banach spaces", J Appl Math Stoc Anal 7(4) , pp 569–580 [6] Beg I., Abbas M (2006), "Iterative procedures for solutions of random operator equations in Banach spaces", J Math Anal Appl 315 (1), pp 181–201 [7] Bharucha Reid A T (1972), Random integral equations, Academic Press, New York 47 [8] Bharucha Reid A T (1976), "Fixed point theorems in probabilistic analysis", Bull Amer Math Soc 82(5), pp 641–657 [9] Engl H W (1978), "Some random fixed point theorems for strict contractions and nonexpansive mappings", Nonlinear Anal (5), pp 619–626 [10] Itoh S (1977), "A random fixed point theorem for a multivalued contraction mapping", Pacific J Math 68(1), pp 85–90 [11] Itoh S (1979), "Random fixed-point theorems with an application to random differential equations in Banach spacess", J Math Anal Appl 67(2), pp 261–273 [12] Lin T C (1988), "Random approximations and random fixed point theorems for non-self-maps", Proc Amer Math Soc 103 (4), pp 1129–1135 [13] Matkowski J (1977), "Fixed point theorems for mappings with a contractive iterate at a point", Proc Amer Math Soc 62 (3), pp 344–348 [14] Shahzad N (1995), Random fixed points and approximations, Ph.D thesis, Quaid-I-Azam University, Islamabad Parkistan [15] Shahzad N (2005), "On random coincidence point theorems", Topol Methods Nonlinear Anal., 25(2), pp 391-400 [16] Tan K K., and Yuan X Z (1993), "On deterministic and random fixed points", Proc Amer Math Soc 119(3), pp 849–856 [17] Thang D.H., T.N Anh (2010), "On random equations and applications to random fixed point theorems", Random Oper Stoch Equ 18(3), pp 199–212 [18] Thang D H., Anh P T (2013), "Random fixed points of completely random operators" Random Oper Stoch Equ., 21(1), pp 1–20 [19] Thang D H., Anh, P T (2014), "Some results on random fixed points of completely random operators.", Vietnam J Math., 42(1), pp 133–140 ... hội tụ dãy biến ngẫu nhiên Một số kết toán tử ngẫu nhiên Điểm bất động toán tử ngẫu nhiên số kết (b) Trình bày định lý thác triển tốn tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn toàn ngẫu nhiên, đưa tiêu chuẩn... thác triển toán tử ngẫu nhiên thành tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Tiếp theo kết điểm bất động toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên xét đến Chú ý định lý điểm bất động toán tử hồn tồn ngẫu nhiên khơng suy cách... xác suất 2.2 Điểm bất động tốn tử hồn tồn ngẫu nhiên Cho f : Ω × X → X toán tử ngẫu nhiên Nhớ lại (xem [5, 8]) biến ngẫu nhiên X-giá trị ξ gọi điểm bất động ngẫu nhiên toán tử ngẫu nhiên f f (ω,