GIẢI TÍCH 11 CHUONG 1

Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác MỤC LỤC Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác CHƯƠNG I HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC BÀI HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC A CƠ SỞ LÝ THUYẾT y = sinx Hàm số  Có tập xác định  Là hàm số lẻ; D=¡ ;  Là hàm số tuần hồn với chu kì 2π sin( x + k2π ) = sin x , ; y = sin x  Do hàm số hàm tuần hoàn với chu kỳ sát hàm số đoạn có độ dài 2π 2π nên ta cần khảo , chẳng hạn đoạn  −π ;π   −π ;π  y = sinx Khi vẽ đồ thị hàm số đoạn ta nên để ý : Hàm số y = sin x hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ O làm tâm đối xứng y = sin x Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên: y = sin x Đồ thị hàm số đoạn đoạn  0;π   0;π  y = sinx Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số đoạn  −π ;π  Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác 2π ,4π ,6π , Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài y = sin x ta toàn đồ thị hàm số Đồ thị gọi đường hình sin y = sin x Hàm số  π 3π   ; ÷ 2  khoảng đồng biến khoảng  π π − ; ÷  2 Từ tính tuần hồn với chu kì  π  π  − + k2π; + k2π ÷   y = cosx 2π nghịch biến khoảng y = sin x , hàm số nghịch biến khoảng đồng biến π  3π + k2π ÷  + k2π ; 2  Hàm số  Có tập xác định  Là hàm số chẵn; D=¡ ; 2π  Là hàm số tuần hồn với chu kì ; y = cosx 2π  Do hàm số hàm tuần hoàn với chu kỳ nên ta cần khảo sát hàm số đoạn có độ dài 2π , chẳng hạn đoạn Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133  −π ;π  Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  −π ;π  y = cosx Khi vẽ đồ thị hàm số đoạn ta nên để ý : Hàm số Oy y = cosx hàm số chẵn, đồ thị nhận trục làm trục đối xứng Vì vậy, ta vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên: Đồ thị hàm số y = cosx đoạn y = cosx đoạn  0;π   0;π  Oy Lấy đối xứng phần đồ thị qua trục đoạn lập thành đồ thị hàm số y = cosx  −π ;π  2π,4π,6π, Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài ta y = cosx tồn đồ thị hàm số Đồ thị gọi đường hình sin Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác ( −π ;0) y = cosx Hàm số ( 0;π ) đồng biến khoảng nghịch biến khoảng y = sin x 2π Từ tính tuần hồn với chu kì , hàm số đồng biến khoảng ( −π + k2π; k2π ) ( k2π ; π + k2π ) nghịch biến khoảng y = tanx Hàm số  Có tập xác định  Có tập giá trị  Là hàm số lẻ; ¡ π  D = ¡ \  + kπ | k ∈ ¢  2  ; ;  Hàm số tuần hoàn với chu kỳ π tan( x + kπ ) = tan x , y = tanx Do hàm số hàm tuần hoàn với chu kỳ số đoạn có độ dài π π , chẳng hạn đoạn y = tanx Khi vẽ đồ thị hàm số đoạn ; nên ta cần khảo sát hàm  π π − ;     π π − ;    ta nên để ý : Hàm số y = tanx hàm số lẻ, đồ thị nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng Vì y = tan x vậy, ta vẽ đồ thị hàm số Bảng biến thiên: đoạn Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133  π  0;    Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác y = tan x Đồ thị hàm số  π  0;    y = tanx Lấy đối xứng phần đồ thị qua gốc tọa độ lập thành đồ thị hàm số đoạn  π π − ;    π ,2π ,3π , Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài ta y = tan x tồn đồ thị hàm số Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  π π − ; ÷ y = tan x  2 Hàm số đồng biến khoảng Từ tính tuần hồn với chu kỳ π y = tan x nên hàm số đồng biến khoảng x= y = tan x Đồ thị hàm số cận (đứng) nhận đường thẳng  π  π  − + kπ; + kπ ÷   π + kπ làm đường tiệm y = cotx Hàm số  Có tập xác định  Có tập giá trị  Là hàm số lẻ; ¡ D = ¡ \ { kπ |k ∈ ¢ } ;  Hàm số tuần hồn với chu kỳ y = cot x Do hàm số ; π cot( x + kπ ) = cot x , hàm tuần hồn với chu kỳ hàm số đoạn có độ dài Bảng biến thiên: π ; π , chẳng hạn đoạn Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 nên ta cần khảo sát  0; π  Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác y = cotx Đồ thị hàm số  0;π  π,2π,3π, Tịnh tiến phần đồ thị sang trái, sang phải đoạn có độ dài ta y = cot x toàn đồ thị hàm số ( 0; π ) y = cotx Hàm số kỳ π nghịch biến khoảng Từ tính tuần hồn với chu ( kπ ; π + kπ ) y = cotx nên hàm số đồng biến khoảng y = cot x x = kπ Đồ thị hàm số nhận đường thẳng làm đường tiệm cận (đứng) B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP Dạng Tìm tập xác định hàm số Phương pháp: Để tìm tập xác định hàm số ta cần lưu ý điểm sau y = u( x)  có nghĩa u( x) u(x) ≥ xác định Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác y= u(x) v(x) u( x) có nghĩa  y= u(x) v(x) có nghĩa  v( x) , u( x) , v( x) y = sinx, y = cosx  Hàm số xác định −1≤ sinx ≤ ; v(x) ≠ xác định v(x) > xác định ¡ tập giá trị là: − 1≤ cosx ≤ y = sin u( x)  , y = cos u( x)  Như vậy, y = tanu( x)  y = cotu( x)  có nghĩa u( x) xác định u( x) u( x) ≠ xác định u( x) xác định π + kπ,k ∈ ¢ x ≠ kπ,k ∈ ¢ có nghĩa xác định CÁC VÍ DỤ RÈN LUYỆN KĨ NĂNG Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a)  5x  y = sin ÷  x2 − 1 y = cos − x2 ; ; y = sinx; b) c) y = − sinx d) Giải a) Hàm số Vậy  5x  y = sin ÷  x2 − 1 D = ¡ \ { ±1} xác định y = cos x2 − b) Hàm số Vậy D = { x ∈ ¡ | −2 ≤ x ≤ 2} xác định y = sinx c) Hàm số Vậy xác định ⇔ x2 − 1≠ ⇔ x ≠ ±1 ⇔ − x2 ≥ ⇔ x2 ≤ ⇔ −2 ≤ x ≤ ⇔ sinx ≥ ⇔ k2π ≤ x ≤ π + k2π,k ∈ ¢ D = { x ∈ ¡ |k2π ≤ x ≤ π + k2π,k ∈ ¢ } d) Ta có: −1≤ sinx ≤ 1⇒ − sinx > Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Do đó, hàm só ln ln xác định hay D=¡ Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: a)  π y = tan x − ÷ 6  ; b)  π y = cot x + ÷; 3  y= sinx ; cos(x − π) c) y= d) tanx − Giải a) Hàm số Vậy  π y = cot x + ÷ 3  ⇔ x+ xác định sinx cos(x − π) c) Hàm số π π ≠ kπ ⇔ x ≠ − + kπ,k ∈ ¢ 3 ⇔ cos( x − π ) ≠ ⇔ x − π ≠ xác định π 3π + kπ ⇔ x ≠ + kπ,k ∈ ¢ 2  3π  D = ¡ \  + kπ,k ∈ ¢  2  y= d) Hàm số Vậy xác định π π 2π ≠ + kπ ⇔ x ≠ + kπ,k ∈ ¢  −π  D = ¡ \  + kπ,k ∈ ¢    y= Vậy ⇔ x−  2π  D = ¡ \  + kπ,k ∈ ¢  3  b) Hàm số Vậy  π y = tan x − ÷ 6  tanx − tanx ≠ 1⇔ x ≠ xác định π + kπ,k ∈ ¢ π  D = ¡ \  + kπ,k ∈ ¢  4  Ví dụ Tìm tập xác định hàm số sau: y = cos2x + a) ; cosx y= b) 3cos2x sin3xcos3x Giải Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 10 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C π x = − + k2π; k ∈ ¢ D π 2π x = − + k ; k∈ ¢ 10 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: sin3x + = 2sin2 x ⇔ sin3x = 2sin2 x − ⇔ sin3x = − cos2x ⇔ sin ( −3x) = cos2x   π π  x = − − k2π  −3x = − 2x + k2π π  ⇔ sin ( −3x) = sin  − 2x ÷ ⇔  ⇔ ;k ∈ ¢ 2   x = − π − k 2π  −3x = π − π + 2x + k2π   10 π 2π ⇔ x = − + m , m∈ ¢ 10 (đặt k = −m Câu 38 Giải phương trình: A C π x = kπ; x = − + k2π; k ∈ ¢ π 2π x = kπ;x = − + k ; k ∈ ¢ ) 1+ sin3x − sinx = cos2x B D π 2π x = kπ; x = − + k ; k ∈ ¢ π 2π x = kπ; x = − + k ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: 1+ sin3x − sinx = cos2x ⇔ ( 1− cos2x) + ( sin3x − sinx) = sinx = sinx = ⇔ 2sin2 x + 2cos2xsinx = ⇔ sinx ( sinx + cos2x) = ⇔  ⇔ sinx + cos2x = sin ( − x) = cos2x    x = kπ  x = kπ  sinx =  x = kπ   π π    ⇔ π  ⇔ − x = − 2x + k2π ⇔ x = + k2π ⇔  π 2π , k ∈ ¢  sin ( − x) = sin  − 2x ÷  2 x= − + k     2  π π 2π x = − − k  − x = + 2x + k2π   Câu 39 Giải phương trình: A 4sin x + 4sin x = + 3sinx π π x = − + k2π; x = ± + kπ; k ∈ ¢ B π π x = − + k2π; x = ± + k2π; k ∈ ¢ Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 166 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C π π x = − + kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ D π π x = − + kπ; x = ± + k2π; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: ( ) 4sin3 x + 4sin2 x = + 3sinx ⇔ 4sin2 x ( sinx + 1) = 3( sinx + 1) ⇔ 4sin2 x − ( sinx + 1) =  π  x = ± + k2π   π  x = 2π + k2π  x = ± + kπ   4sin2 x =  sinx = ± 3 ⇔ ⇔ , k∈ ¢ ⇔  , k ∈ ¢ ⇔  π π   sinx + 1= sinx = −1 x = + k2π x = − + k2π     π  x = − + k2π  Câu 40 Giải phương trình: A C π x = kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ π x = kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ tan3 x − tanx = B D π x = k2π; x = ± + kπ; k ∈ ¢ π x = kπ; x = ± + k2π; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có:  π  tanx = ±1  x = ± + kπ tan x − tanx = ⇔ tanx tan x − = ⇔  ⇔ ,k ∈ ¢   tanx = x = k π  ( ) Câu 41 Giải phương trình: A C π π x = − + kπ; x = + kπ; k ∈ ¢ π π x = + kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ tan3 x + tan2 x − 3tanx − = B D π π x = − + kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ π π x = − + kπ; x = ± + kπ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 167 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Ta có: ( ) tan3 x + tan2 x − 3tanx − = ⇔ tan2 x ( tanx + 1) − 3( tanx + 1) = ⇔ ( tanx + 1) tan2 x − =  π  x = − + kπ  tanx = −1 ⇔ ⇔ ,k ∈ ¢  tanx = ±  x = ± π + kπ  Câu 42 Giải phương trình: A C x π cos( x + π ) = 1+ sin  + ÷  2 4π x = π + k2π; x = ± + k4π; k ∈ ¢ 2π x = π + kπ; x = ± + k2π; k ∈ ¢ B D 4π x = π + k2π; x = ± + k2π; k ∈ ¢ 4π π x = π + k2π; x = ± + k ; k∈¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: x π x x x cos( x + π ) = 1+ sin  + ÷ ⇔ − cosx = 1+ cos ⇔ 2cos2 + cos = 2  2 x π  x  x = π + k2π  = + kπ cos = ⇔ ⇔ 2 ⇔ ,k ∈ ¢  x = ± 4π + k4π cos x = −  x = ± 2π + k2π   2  Câu 43 Giải phương trình: A C π x = k ; k∈¢ tan5x − tanx = π x = k ; k ∈ ¢ ;k ≠ + 4m;m ∈ ¢ B D π x = k ; k∈¢ x = kπ; k ∈¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: tan5x − tanx = ⇔ tan5x = tanx Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 168 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác  π  x ≠ + mπ cos5x ≠  π π   ⇔ cosx ≠ ⇔ x ≠ + m ; m,k ∈ ¢ 10 5x = x + kπ, k ∈ ¢   π  x = k  Xét π π k ≠ + mπ ⇔ k ≠ 4m + 2, ∀m ∈ ¢ π π π 4m k ≠ +m ⇔k≠ + 10 5 Vậy (ln Câu 44 Giải phương trình: C ∀m ∈¢ ) π x = k ; k ∈ ¢ , k ≠ 4m + Chú ý: Thực ra, ta cần đặt A π x = + kπ; k ∈ ¢ π x = + kπ; k ∈ ¢ cosx ≠ π  π  cot  − x ÷ = − tan  − 2x ÷ 6  6  B D π x = − + kπ; k ∈ ¢ π x = + kπ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: π  π  π   π cot  − x ÷ = − tan  − 2x ÷ ⇔ tan  + x ÷ = tan  2x − ÷ 6 6  6  3   Điều kiện: Khi đó: ( *)  π  sin  − x ÷ ≠  6   cos π − 2x  ≠  ÷  6  ( *) ⇔ π3 + x = 2x − π6 + kπ ⇔ x = π2 + kπ, k ∈ ¢ (thỏa mãn điều kiện) Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 169 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Câu 45 Giải biện luận phương trình: A π m = 1;x = − + k2π;k ∈ ¢ sin2 x + 2msinx + 2m2 − 2m + = B C Phương trình vơ nghiệm ∀m D π m = 1;x = + k2π;k ∈ ¢ π m = 1;x = − + kπ;k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: sin2 x + 2msinx + 2m2 − 2m + = ⇔ ( sinx + m ) + ( m − 1) =  π sinx + m −  x = − + k2π , k ∈ ¢ ⇔ ⇔ m − 1= m =  Câu 46 Giải phương trình: sinx + 3cosx = A C π 5π x = − + k2π; x = + kπ; k ∈ ¢ 12 12 π 5π x= + k2π; x = − + k2π; k ∈ ¢ 12 12 B D π 5π x = − + k2π; x = − + k2π; k ∈ ¢ 12 12 π 5π x = − + k2π; x = + k2π; k ∈ ¢ 12 12 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có:  π π sinx + 3cosx = ⇔ sinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = sin 2 3   π x + = ⇔ x + π =  π  π + k2π x = − + k2π  12 ⇔ , k∈¢ 3π π  + k2π x= + k2π  12 Câu 47 Giải phương trình: A x = k2π; x = 2α + k2π ; với 3sinx + 4cosx = tan α = ;k ∈ ¢ B x = kπ; x = 2α + kπ Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 ; với tan α = ;k ∈ ¢ Page 170 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C x = k2π; x = 2α + k2π ; với tan α = ;k ∈ ¢ D x = kπ; x = 2α + kπ ; với tan α = ;k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Đặt t = tan Với x  x  cos ≠ ⇔ x + k2, k  ữ   x = π + k2π , không thỏa phương trình Ta có phương trình: t = 1− t2  + = ⇔ 4t − 3t = ⇔ 2 t = 1+ t 1+ t  6t Vậy Với x = kπ; x = 2α + k2π; k ∈ ¢ tan α = Câu 48 Giải phương trình: sinx + 3cosx = A C π x = k2π; x = + k2π; k ∈ ¢ B π x = k2π; x = ± + k2π; k ∈ ¢ D 2π x = kπ; x = + k2π; k ∈ ¢ π x = kπ; x = − + k2π; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: sinx + 3cosx = ⇔  π x + = ⇔ x + π =  3  π π sinx + cosx = ⇔ sin  x + ÷ = sin 2 3  π  x = k2π + k2π ⇔ , k∈¢  x = π + k2π 2π + k2π  3 Câu 49 Giải phương trình: cosx − sinx = 2sin2x Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 171 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A C 3π π x= + kπ; x = + k2π; k ∈ ¢ 12 3π π 2π x= + k2π; x = + k ; k∈¢ 12 B D 3π π 2π x= + k2π; x = − + k ; k ∈ ¢ 12 3π π 2π x= − + k2π; x = + k ; k∈¢ 12 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có: cosx − sinx = 2sin2x ⇔ cosx −   π 2π π  x = 12 + k  2x = − x + k2π ⇔ ⇔ , k∈¢  x = 3π + k2π  2x = 3π + x + k2π   π  sinx = sin2x ⇔ sin  − x ÷ = sin2x 4  Câu 50 Giải phương trình: cosx − 3sinx = 2cos3x A C π π x = + kπ; x = − + kπ; k ∈ ¢ 12 π π x = + k2π; x = − + kπ; k ∈ ¢ 12 B D π π π x = + kπ; x = − + k ; k ∈ ¢ 12 π π π x = + kπ; x = + k ; k∈¢ 12 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có:  π cosx − 3sinx = 2cos3x ⇔ cosx − sinx = cos3x ⇔ cos x + ÷ = cos3x 2 3   π  π  3x = x + + k2π  x = + kπ ⇔ ⇔ , k∈¢  3x = − x − π + k2π x = − π + k π   12 Câu 51 Giải phương trình: A π π π x= + k ; x= + k2π; k ∈ ¢ 12 cos3x − sinx = 3( cosx − sin3x) B π π x = + kπ; x = + kπ; k ∈ ¢ 12 Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 172 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C π π x = + kπ; x = + k2π; k ∈ ¢ 12 D π π π x= + k ; x= + kπ; k ∈ ¢ 12 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: cos3x − sinx = ( cosx − sin3x) ⇔ cos3x + 3sin3x = 3cosx + sinx ⇔ 3  π  π cos3x + sin3x = cosx + sinx ⇔ cos 3x − ÷ = cos x − ÷ 2 2 3 6    π π  π  3x − = x − + k2π  x = 12 + kπ ⇔ ⇔ , k∈¢  3x − π = − x + π + k2π x = π + k π   Câu 52 Giải phương trình: sin3x + sin5x + cos5x = 2 A C B x = 75o + k180o ; x = −3o75'+ k45o ; k ∈ ¢ x = 75o + k180o ; x = −3o75'+ k90o ; k ∈ ¢ D x = 75o + k360o ; x = −3o75'+ k45o ; k ∈ ¢ x = 75o + k180o ; x = −3o75'+ k180o ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: sin3x + ( ) ( ) sin5x + cos5x = ⇔ sin3x + sin 5x + 30o = ⇔ sin 5x + 30o = sin ( −3x) 2  5x + 30o = −3x + k360o  x = −3o75'+ k45o ⇔ ⇔ ,k ∈ ¢  5x + 30o = 180o + 3x + k360o  x = 75o + k180o Câu 53 Giải phương trình: sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x A C π π x= + k ; x = kπ; k ∈ ¢ 16 π π x= + k ; x = kπ; k ∈ ¢ 16 B D π π x= + k ; x = k2π; k ∈ ¢ 16 π π x= + k ; x = kπ; k ∈ ¢ 16 Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 173 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN D Ta có: sin9x + 3cos7x = sin7x + 3cos9x ⇔ sin9x − 3cos9x = sin7x − 3cos7x ⇔ 3  π  π sin9x − cos9x = sin7x − cos7x ⇔ sin  9x − ÷ = sin  7x − ÷ 2 2 3 3    π π  x = kπ  9x − = 7x − + k2π ⇔ ⇔ , k∈¢ x = π + k π  9x − π = 2π − 7x + k2π  16  3 Câu 54 Giải phương trình: 4cosx = 3cotx + A C π 2π 2π x = + k2π; x = + k ; k∈¢ π 2π 2π x = + kπ; x = + k ; k∈¢ B D π 2π x = + k2π; x = + k2π; k ∈ ¢ π 2π 2π x = + k2π; x = − + k ; k∈¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Ta có: ( *) 4cosx = 3cotx + Điều kiện: sinx ≠ ⇔ x ≠ kπ, k ∈ ¢ Khi đó: cosx + 1⇔ 4cosxsinx = 3cosx + sinx sinx  π ⇔ sin2x = cosx + sinx ⇔ sin2x = sin  x + ÷ 2 3  ( *) ⇔ 4cosx =  π  π n)  2x = x + + k2π  x = + k2π (nhậ ⇔ ⇔ ,k ∈ ¢  2x = 2π − x + k2π 2π 2π  n)   x = + k (nhaä Câu 55 Giải phương trình: ( sinx + ) 3cosx  π = + cos 4x + ÷ 3  Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 174 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A C π π x = + k ; k∈¢ π x = + k2π; k ∈ ¢ B D π x = + kπ; k ∈ ¢ π x = ± + kπ; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: ( sinx + Xét vế trái: 3cosx )  π  π  π = + cos 4x + ÷ ⇔ 4sin2  x + ÷ = 5+ cos 4x + ÷ 3 3 3     π  π ≤ sin2  x + ÷ ≤ 1⇔ ≤ 4sin2  x + ÷≤ 3 3   Xét vế phải:  π  π −1≤ cos 4x + ÷ ≤ 1⇒ ≤ + cos 4x + ÷ ≤ 3 3   Dấu “=” xảy  2 π  π π sin  x + ÷ = x + = + kπ 3 π    ⇔ ⇔ ; k,n ∈ ¢ ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ cos 4x + π  = −1 4x + π = π + n2π  ÷    3  Câu 56 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: A B m ≤1 1− < m < 1+ C ( m − 1) cosx + ( m + 1) sinx = 2m D 1− ≤ m ≤ 1+ 1− < m < − Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Điều kiện có nghiệm: ( m − 1) + ( m + 1) ≥ ( 2m) ⇔ m ≤ ⇔ m ≤ 2 1− 1+ ≤ m≤ 2 B Câu 57 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: A msinx + ( m − 1) cosx = 1− m≤ Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 1+ m≥ Page 175 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác C 1− 1+ ≤ m≤ 4 D 1− m≤ 1+ m≥ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Điều kiện có nghiệm:  1+ m≥  2 m2 + ( m − 1) ≥ ⇔ 2m2 − 2m − ≥ ⇔ m2 − m − ≥ ⇔   1− m ≤  Câu 58 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y= A C B D maxy = 1; miny = −2 maxy = 2; miny = −1 sinx + 2cosx + sinx + cosx + maxy = 1; miny = −3 maxy = 3; y = −1 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Xét: y= sinx + 2cosx + sinx + cosx + ( *) Vì − ≤ sinx + cosx ≤ ⇔ sinx + cosx + > 0, ∀x ∈ ¡ Vậy: ( *) ⇔ ( y − 1) sinx + ( y − 2) cosx = 1− 2y Ta xét phương trình bậc có nghiệm: ( y − 1) sinx cosx + ( y − 2) ≥ ( 1− 2y ) ⇔ y + y − ≤ ⇔ −2 ≤ y ≤ 2 Giá trị nhỏ y 59 Tìm giá −2 , đạt tại, chẳng hạn trị lớn Vậy giá trị lớn y 1, đạt tại, chẳng hạn Câu ; y tham số Điều kiện nhất, nhỏ x= x = 2α , với tan α = −3 hàm y = ( 3sinx + 4cosx) ( 3cosx − 4sinx) + Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 176 số: Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A C 27 23 maxy = ; miny = − 4 23 27 maxy = ; miny = − 2 B D 27 23 maxy = ; miny = − 2 23 27 maxy = ; miny = − 4 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: y = ( 3sinx + 4cosx) ( 3cosx − 4sinx) + ⇔ y = − sin2x + 12cos2x + ( *) ⇔ 2y − = −7sin2x + 24cos2x Phương trình Vậy ( *) có nghiệm 23 27 ⇔ ( −7) + 242 ≥ ( 2y − 2) ⇔ − ≤ y ≤ 2 27 23 maxy = ; miny = − 2 (Dấu “=” ln xảy ra) Câu 60 Tìm tập xác định hàm số y= A C ¡ sinx + cosx − sinx − cosx + B  π  ¡ \ ± + k2π;k ∈ ¢    D  π ¡ \ ±   3  π  ¡ \ ± + k2π;k ∈ ¢    Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN A Điều kiện: sinx − cosx + ≠ Ta có: sinx − cosx ≤ ⇒ sinx − cosx + > 0, ∀x ∈ ¡ Vậy tập xác định hàm số Câu 61 Giải phương trình: D=¡ 4sin2 x + 3sinx.cosx − 2cos2 x = Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 177 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác A C π π x = + kπ; x = + kπ; k ∈ ¢ π π x = + k2π; x = + kπ; k ∈ ¢ B D π π x = + kπ; x = + kπ; k ∈ ¢ π π x = + kπ; x = + k2π; k ∈ ¢ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: 4sin2 x + 3sinx.cosx − 2cos2 x = • • π cosx = ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ π cosx ≠ ⇔ x ≠ + kπ, k ∈ ¢ ( *) (là nghiệm phương trình (*)) Chia hai vế phương trình (*) cho (thỏa mãn điều kiện tanx = π ⇔ x = + kπ, k ∈ ¢ Câu 62 Giải phương trình: cosx ≠ cos2 x ≠ , ta được: ) 3cos x + 2sinx.cosx − 3sin x − = A C 5π π x= + k2π; x = − + k2π; k ∈ ¢ 12 12 5π π x= + kπ; x = − + kπ; k ∈ ¢ 24 24 B D 5π π x= + k2π; x = − + k2π; k ∈ ¢ 24 24 5π π x= − + kπ; x = + kπ; k ∈ ¢ 24 24 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Ta có:  π π 3cos2 x + 2sinx.cosx − 3sin2 x − = ⇔ 3cos2x + sin2x = ⇔ cos 2x − ÷ = cos 6   5π  x = 24 + kπ ⇔ , k∈¢  x = − π + kπ  24 Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 178 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Câu 63 Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số: y= A C B D maxy = 2; miny = − 11 maxy = ; miny = −2 11 2cos2 x + 4sinx.cosx + − sin2x − 4sin2 x maxy = 2; miny = 11 maxy = 1; miny = 11 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Ta có: y= cos2x + 2sin2x + 2cos2x − sin2x + Tập xác định: ( 1) (vì D=¡ ) 2cos2x − sin2x ≤ 5, ∀x ( 1) ⇔ ( y + 2) sin2x + ( 1− 2y ) cos2x = 4y − Phương trình có nghiệm ⇔ ( y + 2) + ( 1− 2y ) 2 ymax = 2; ymin = 11 2 ≥ ( 4y − 3) ⇔ 11y2 − 24y + ≤ ⇔ ≤ y ≤ 11 Dấu “=” ln xảy Câu 64 Tìm m để phương trình sau vơ nghiệm: A C 1< m < m D m m>3 Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B Phương trình viết lại sau: cos2x − 3sin2x = m − Phương trình có nghiệm ( ) ⇔ 12 + − ≥ ( m − 3) ⇔ m2 − 6m + ≤ ⇔ 1≤ m ≤ Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 Page 179 Chương I: Hàm số lượng giác phương trình lượng giác Vậy phương trình vơ nghiệm m >  m < Câu 65 Tìm m để phương trình sau vô nghiệm: A B −1− −1+ ≤ m≤ 4 −1− ≤ m ≤ −1+ C msin2 x + 2msinx.cosx − = D −1− −1+ ≤ m≤ 2 m≤ −1− m≥ Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN C Phương trình viết lại sau: 2msin2x − mcos2x = − m Phương trình ⇔ ( 2m) + ( −m) ≥ ( − m) ⇔ m2 + m − 1≤ ⇔ 2 −1+ có −1− −1+ ≤ m≤ 2 Ths Trần Đình Cư GV THPT Gia Hội SĐT: 01234332133 nghiệm Page 180 ... −4 ≤ 4cos x ≤ Với y = 1? ?? cosx2 − Câu Giá trị nhỏ lớn hàm số −2 2? ?1 2? ?1 ? ?1 C A B Hướng dẫn giải ĐÁP ÁN B D ? ?1 ? ?1? ?? cosx2 ≤ 1? ?? ≤ 1? ?? cosx2 ≤ ⇒ ≤ 1? ?? cosx2 ≤ ⇒ ? ?1? ?? 1? ?? cosx2 − 1? ?? − Câu Cho hàm số A... dấu ta thấy: f ( t) = 2t2 − mt + 1> 0,∀t ∈  ? ?1, 1 ⇔ t1 > t1 > 1? ?? Với t2 < m > m − m2 − > 1? ?? m2 − < m − ⇔  ( Vônghiệm) m < t2 < ? ?11 ? ?? Với  m < −4 m + m2 − < ? ?1? ?? m2 − < −m − ⇔  ( Vônghiệm)... ) ≥ ( 4y + ) ⇔ 14 y + 6y − ≤ ⇔ 2 max y = ¡ Vậy −3 − 15 −3 + 15 ≤y≤ 14 14 −3 + 15 −3 − 15 ; y = ¡ 14 14 BT Tìm GTLN, GTNN hàm số : y = f ( x ) = 2sin x + 3sin x.cos x + 5cos x Giải Ta có: y =