KHAI THÁC từ một số bất ĐẲNG THỨC cổ điển

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - NGUYỄN THỊ BÍCH NGỌC KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ KIỀU NGA HÀ NỘI - 2014 LỜI CẢM ƠN Đề tài khóa luận tốt nghiệp: “Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển” hoàn thành với nỗ lực thân giúp đỡ tận tình thầy bạn bè Qua em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn – TS Nguyễn Thị Kiều Nga tận tình giúp đỡ em q trình hồn thành khóa luận Đồng thời em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ thầy cô tổ Đại số trường ĐHSP Hà Nội tạo điều kiện cho em hồn thành khóa luận tốt nghiệp Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc LỜI CAM ĐOAN Khóa luận hồn thành với nỗ lực thân hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Thị Kiều Nga Khóa luận kết nghiên cứu em, khơng trùng với đề tài khác Tất kết trình bày khóa luận hồn tồn trung thực Em xin chịu trách nhiệm kết nghiên cứu Hà Nội, ngày, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Bích Ngọc MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .3 1.1 Quan hệ thứ tự bất đẳng thức 1.2 Tính chất bất đẳng thức .3 1.3 Hàm số lồi, hàm số lõm 1.3.1 Định nghĩa tập lồi 1.3.2 Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm 1.3.3 Tính chất hàm lồi 1.3.4 Hàm afin CHƢƠNG KHAI THÁC TỪ MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC CỔ ĐIỂN .6 2.1 Bất đẳng thức Cauchy(AM – GM) 2.1.1 Định nghĩa .6 2.1.2 Chứng minh .6 2.1.3 Khai thác từ bất đẳng thức Cauchy 2.2 Bất đẳng thức Bunhiacopski 25 2.2.1 Định nghĩa 25 2.2.2 Chứng minh 26 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 27 2.3 Bất đẳng thức Jensen 35 2.3.1.Định nghĩa 35 2.3.2 Chứng minh 36 2.3.3 Khai thác từ bất đẳng thức Jensen 37 2.4.1 Định nghĩa .54 2.4.2 Chứng minh 55 2.4.3 Khai thác từ bất đẳng thức Chebyshev 56 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỘT SỐ KÍ HIỆU SỬ DỤNG TRONG KHĨA LUẬN  a j = a1a2 + a1a3 + + a1an + a2 a3 + a2 a4 + + a2 an + + an −1an 1≤i < j ≤n  f ( a1 , a2 , , an ) : tổng hoán vị theo n biến số a1, a2, , an cyc  f ( a , b, c ) = f (a , b, c ) + f (b, c, a ) + f (c , a , b) cyc Ví dụ: ∑a 2b = a 2b + b c + c 2a cyc GTLN: Giá trị lớn GTNN: Giá trị nhỏ MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Nói chung, sống người ln có tìm kiếm khẳng định giá trị thân Mỗi vật có chỗ đứng giới thay đổi nhờ giá trị người ta thường khơng nhận vật nhận giá trị quan hệ so sánh Chính quan hệ tạo bất đẳng thức sống Thực tế dù câu nói “mọi so sánh khập khiễng” có đắn đến mức người khơng ngừng đánh giá – so sánh Các toán so sánh đặtravề sau ngày khó với mở rộng phép toán Tất nhà toán học có chung quan điểm “Các kết toán học thường biểu thị bất đẳng thức đẳng thức” Điều giống sống người ta gặp khác vật tượng thân vật tượng biến đổi theo giây phút Mặt khác, đời sống xã hội sử dụng tư bất đẳng thức để đánh giá hoạt động doanh nghiệp, hoạt động xuất nhập khẩu, thị trường chứng khốn, tài chính, ngân hàng Vì để phát triển tư đánh giá tốt biến đổi sống cần phải có tư tốt bất đẳng thức tốn học Nói riêng, chương trình tốn phổ thơng tốn bất đẳng thức thường toán đem lại cho học sinh nhiều thú vị song chúng tốn khó Chúng thường có mặt đề thi học sinh giỏi kỳ thi cao đẳng, đại học Để giải chúng đòi hỏi phải có sáng tạo, kiên trì, linh hoạt người u thích tốn Tất nhiên có nhiều phương pháp để giải toán việc lựa chọn phương pháp tối ưu cho lời giải hay ngắn gọn, đẹp mắt việc quan trọng Một phương pháp sử dụng bất đẳng thức kinh điển, nhờ mà hầu hết toán giải cách nhanh chóng Được động viên, bảo tận tình Nguyễn Thị Kiều Nga với say mê thân, em mạnh dạn nghiên cứu thực khóa luận với đề tài “Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển” Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác ứng dụng số bất đẳng thức cổ điển Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, so sánh, phân tích tổng hợp CHƢƠNG KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Quan hệ thứ tự bất đẳng thức Trên tập số thực xác định quan hệ “ a a ≤ b viết b ≥ a Ta có tổng tích số thực dương số thực dương Cho hai biểu thức A B Nếu xảy quan hệ A < B, A ≤ B, B > A, B ≥ A ta gọi bất đẳng thức A gọi vế trái, B gọi vế phải bất đẳng thức 1.2 Tính chất bất đẳng thức Với biểu thức A B theo định nghĩa ta có A < B B – A > A ≤ B B – A ≥ Cho A, B, C, D biểu thức Khi ta có tính chất sau đây: A < B B ≤ C A < C A < B C ≤ D A + C < B + D A < B A + C < B + C A < B mA < mB (m > 0) A < B mA > mB (m < 0) A < B − A > −B A < B C ≥ D A – C < B – D A < B C ≤ D, A, B, C , D > AC < BD A < B, A, B > 0, n ∈ * An < Bn A < B, A, B dấu A < B, A, B > 0, n ∈ *thì n 1.3 Hàm số lồi, hàm số lõm 1.3.1 Định nghĩa tập lồi Tập A ⊂ X gọi tập lồi nếu: ∀x1 , x2 ∈ A; ∀λ ∈ [ 0,1]⇒ λ x1 + (1− λ)x2 ∈ A Ví dụ: nửa khoảng, tam giác, đường trịn đơn vị mặt phẳng tập lồi 1.3.2 Định nghĩa hàm số lồi, hàm số lõm Hàm số f (x)được gọi lồi [a , b]nếu với x1 , x2 ∈[a , b]với α , β > thỏa mãn α + β =1 ta có f (α x1 + β x2 ) ≤ α f (x1 ) + β f (x2 ) Hàm f (x) gọi hàm lõm [a , b] − f (x) hàm lồi [a, b] 1.3.3 Tính chất hàm lồi Tính chất Cho D tập lồi Giả sử f1 (x), f2 (x), , fn (x)là hàm lồi xác định D Cho λi > , với i =1,2, , n Khi hàm số λ1 f1 (x) + λ2 f2 (x) + + λn fn (x)cũng lồi D Tính chất (Điều kiện để hàm số hàm lồi) Cho D tập lồi Hàm f : D → hàm lồi D (x1 , y1 ), (x2 , y2 )thuộc D  ( x) = f (λ x1 + (1 − λ ) x2 ; λ y1 + (1 − λ) y2 ) hàm lồi [0; 1] Tính chất Cho D ⊂ tập hợp lồi, hàm số f : D → hàm lồi D Khi với số thực α thuộc tập {(x , y )∈ D : f (x , y ) < α} Nα = {(x , y )∈ D : f (x , y ) ≤ α} Nαo = tập lồi Chú ý: Các tập Nαo , Nα gọi tập hợp mức hàm lồi quan niệm tập Φ tập lồi Tính chất Giả sử Đặt epif = đồ thị Hàm f lồi Tính chất Cho f (x)là hàm xác định [a, b] có đạo hàm cấp [ x∈ a,b Nếu f ′′(x) 1.3.4 Hàm afin Cho hàm số f : D → Hàm f hàm afin f (x)vừa hàm lồi, vừa hàm lõm Chú ý: Hàm f (x)có dạng f (x) = ax + b a, b số thực gọi afin Dẫn đến 61 hay Tương tự ta có: Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có a (b + c − 2a ) a + bc ≤ (b + c − 2a + c + a − 2b + a + b − 2c) Như bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy a = b = c Ví dụ Cho a, b, c > a + b + c = Chứng minh rằng: Giải: Suy c2 +a+b a2 Giả sử a ≥ b ≥ c a − ≥ b − ≥ c −1 Từ a + b + c = 3suy ab, bc, ca ≤ 3, ta có + 62 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev ta có a−1 b−1 + a−1+ b−1+ a Dấu “=” xảy a = b = c =1.Vậy ta có điều phải chứng minh Bài Cho a, b, c > n ∈ Bài Cho a, b, c, d > a + b + c + Chứng Bài Cho a, b, c, d > thỏa mãn ab + bc + cd + da =1 Chứng minh rằng: S= a3 b+c+d a+c+d a+b+d Bài Cho số thực a, b, c > thỏa mãn điều kiện a + b + c2 ≥1 Chứng minhrằng: Bài Chứng minh rằng: Cho a, b, c, d > thỏa mãn a + b + Bài 63 Bài Cho a, b, c > Chứng minh rằng: 2.4.3.2 Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev chứng minh bất đẳng thức hình học lượng giác Ví dụ Cho ABC tam giác có ba góc nhọn a,b,c độ dài ba cạnh Chứng minh rằng: a) π b) (a + b + c ) ≤ 3(aA + bB + cC)  a 3(a + b + c) ≤ π  +  ABC b + c   Giải: a) Gi ả sử a ≤ b ≤ c ⇒ A ≤ B ≤ C Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có ( A + B + C)(a + b + c) ≤ 3(aA + bB + cC)  π (a + b + c) ≤ 3(aA + bB + cC) b) Giả sử: Đặt f (x) = Do tan x > x với x ∈(0; Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy (1) (2) ta có: 64  sin A 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C)   ⇒ 3.2R (sin A + sin B + sin C ) ≤ ( A + B + C)   a  3(a + b + c ) ≤ ( A + B + C)  + b +  ABC c   a hay 3(a + b + c) ≤ π  A Vậy ta có điều cần chứng minh Ví dụ Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Chứng minh rằng: (1) Giải: Ta có: tan A + tan B + tan C = tan A tan B tan C Suy (1) tương đương với 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ (cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B + tan C) Giả sử A ≤ B ≤ C ⇒ tan A ≤ tan B ≤ tanC cos A ≥ cos B ≥ cosC Áp dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy trên, ta có 3(tan A cos A + tan B cos B + tan C cosC) ≤  (cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B + tanC) Suy 3(sin A + sin B + sin C ) ≤ ( cos A + cos B + cosC )(tan A + tan B + tan C ) Suy (2) Vậy (1) Ví dụ Cho tam giác ABC tam giác nhọn Chứng minh tan A + tan B + tan C ≥ (2) 65 Giải:   tan A ≥ tan B ≥ tan C Giả sử A ≥ B ≥ C ⇒ tan A ≥ tan B ≥ tan C  A B C Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số chiều ta có:  tan A + 3 A   3(tan A + tan B + tan C ) ≥ π  tan A + tan B  + tan C  A ABC Hay (tan A + tan B + tan C ) ≥ Vậy bất đẳng thức chứng minh Dấu “=” xảy tam giác ABC Ví dụ Chứng minh tam giác ABC ta ln có a cos A + b cos B + c cosC a+b+c Giải: Giả sử a ≤ b ≤ c ta có A ≤ B ≤ C ⇒ cos A ≥ cos B ≥ cosC Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy số ngược chiều ta có: 3(a cos A + b cos B + c cosC ) ≤ ( a + b + c )(cos A + cos B + cosC) mà tam giác ABC ta ln có bất đẳng thức bản: nên: Vậy bất đẳng thức chứng minh 66   Dấu “=” xảy ⇔ cos A = cos B = cosC hay ∆ABC   Bài tập tƣơng tự Bài Cho tam giác ABC Chứng minh rằng: sin 2A + sin 2B + sin 2C ≤ sin A + sin B + sin C Bài 2.Cho ∆ABC nhọn Chứng minh Bài 3.Cho đa giác n cạnh có độ dài tương ứng a1 , a2 , an ≥1 chu vi p thỏa mãn Chứng minh rằng: Bài Cho a1 , a2 , , an vi Chứng minh rằng: 67 KẾT LUẬN Bất đẳng thức phần kiến thức quan trọng Đại số, hay khó Bất đẳng thức thường gặp kỳ thi đại học, kỳ thi học sinh giỏi phổ thơng, olimpic tốn học Trong khóa luận em đưa số ứng dụng bất đẳng thức cổ điển như: Bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Bunhiacopski, bất đẳng thức Jenssen bất đẳng thức Chebyshev Do lần làm quen với công tác nghiên cứu khoa hoc Mặc dù cố gắng trình nghiên cứu thời gian lực thân cịn hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong nhận đóng góp ý kiến thầy bạn sinh viên để khóa luận em hoàn thiện 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kim Hùng, (2012), Sáng tạo bất đẳng thức, NXB Hà Nội Trần Đức Huyên, (2012),Chuyên đề bất đẳng thức toán – max, NXB Giáo Dục Việt Nam Trần Phương, (2009), Những viên kim cương giải tích tốn học, NXB Tri thức “Tạp chí tốn học tuổi trẻ” 69 ... khóa luận với đề tài ? ?Khai thác từ số bất đẳng thức cổ điển? ?? Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác ứng dụng số bất đẳng thức cổ điển Đối tƣợng nghiên cứu Một số tập bất đẳng thức Phƣơng pháp nghiên... dụng Cơ sở lý luận: Từ bất đẳng thức Cauchy ta xây dựng bất đẳng thức trung gian dạng phân thức Sử dụng bất đẳng thức trung gian chứng minh số bất đẳng thức khó Ví dụ 1.Với a,b,c số thực dương Chứng... dấu bất đẳng thức mà ta nhận phân số có mẫu số tổng n mẫu số vế trái Về mặt lịch sử bất đẳng thức có tên gọi Engel 2.2.3 Khai thác từ bất đẳng thức Bunhiacopski 2.2.3.1 Bài toán cực trị hàm số