Bài viết nghiên cứu sự song hành của những bài toán giải trí đi cùng với những phát minh của toán học, đôi khi một bài toán đố cũng có thể là đề bài mở đầu cho cả một lĩnh vực nghiên cứu. Mời các bạn tham khảo!
Tạp chí online cộng đồng người u Tốn TỐN HỌC GIẢI TRÍ VÀ CÁC BÀI TỐN ĐỘI NĨN Đặng Nguyễn Đức Tiến (Trento, Italy) Toán học giải trí Tốn học giải trí (Recreational Mathematics) thuật ngữ chung cho vấn đề toán học mà mục đích chủ yếu dùng để giải trí Đơi tốn giải trí xuất dạng giai thoại hay chủ đề có liên quan đến nghệ thuật toán, phổ biến dạng câu đố mà lời giải đa phần cần kiến thức tốn học sơ cấp Tuy khơng phải ngành nghiên cứu nghiêm túc, xuyên suốt chiều dài phát triển tốn học, ta ln thấy song hành tốn giải trí với phát minh tốn học, đơi tốn đố đề mở đầu cho lĩnh vực nghiên cứu Những ví dụ tiêu biểu kể đến tốn đốn tuổi Điơ-phăng (Diophantus, nhà tốn học Hi Lạp, kỷ thứ sau công nguyên) đời phương trình nghiệm ngun; hay tốn đếm thỏ Leonardo Bonacci mối liên hệ với dãy số mang tên ông: Fibonacci; trường hợp khỏc l bi toỏn by cõy cu Kăonigsberg (hay gọi bảy cầu Euler) với lý thuyết đồ thị; nhiều ví dụ khác Nguồn gốc từ xa xưa thế, toán học giải trí thật hệ thống phổ biến vào khoảng cuối kỷ 19 nhờ công người tiên phong Charles Lutwidge Dodgson (1832-1898), nhà văn, nhà toán học, nhà thần học, nhiếp ảnh gia người Anh nhiều người biết đến với bút danh Lewis Carroll, tác giả “Alice lạc vào xứ thần tiên”; Yakov Perelman (1882-1942), nhà tốn học Xơ-Viết, tác giả sách “Toán học vui” hay “Vật lý vui” quen 31 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn thuộc với độc giả Việt Nam; hay Samuel Loyd (1841-1911), nhà toán học, kỳ thủ cờ vua người Mỹ, có cơng tập hợp sáng tạo 5000 tốn giải trí; cuối khơng thể khơng nhắc đến Martin Gardner (1914-2010), nhà tốn học người Mỹ có cơng đóng góp nói quan trọng lịch sử phát triển toán học giải trí Hình 4.1: Tháp Hà Nội, tốn kinh điển tốn học giải trí, lần đăng nhà toán học người Pháp Franc¸ois-Édouard-Anatole Lucas (1842-1894), “Tốn học giải trí” (Récréatión Mathématiques) Các tốn đội nón Tốn học giải trí xuất rộng khắp nhánh toán học, ngành khoa học khác Trong chuyên mục mở đầu này, giới thiệu với độc giả nhóm tốn kinh điển, thường gọi nhóm “Bài tốn đội nón” Dạng thức chung tốn đội nón sau: số người đội nón Các nón có màu tập hợp màu cho trước Cá nhân người khơng biết màu nón mình, thấy nón người khác Nhiệm vụ họ phải đốn màu nón mình, khơng trao đổi thơng tin sau nón đội Bài tốn đơi xuất dạng trị chơi truyền hình 32 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn với người dẫn trị người tham gia trị chơi; có xuất dạng toán nhà logic; có cai ngục tù nhân cốt lõi tốn tìm chiến lược cho người trước đội nón, cho nhìn thấy màu nón người nhóm họ có chiến thuật để đốn nhiều màu nón tốt Có nhiều sở cho thấy toán lưu truyền dân gian từ lâu, kể từ năm 1961 nhóm tốn đội nón thức ghi nhận Martin Gardner Bài tốn sau phát triển với nhiều biến thể, với kết phương pháp giải khác Một phiên kinh điển toán đề xuất Konstantin Knop kỳ thi Olympic tốn tồn quốc Nga lần thứ 23, năm 1997 Sau đó, toán khảo sát chi tiết luận án tiến sĩ Todd Ebert vào năm 1998 Đến năm 2001, toán đăng lại bút Sara Robinson chuyên mục Khoa học thời báo New York số ngày 10 tháng Đến năm 2009, lần mở rộng toán đăng lại thời báo New York, số ngày 23 tháng Cho đến năm 2011, Lionel Levine làm tốn với trường hợp vơ hạn nón, thu hút nhiều phương pháp giải lạ Gần nhất, vào năm 2013, kỳ thi toán Nga, lần toán làm với phiên tuyệt đẹp Konstantin Knop Đây phiên mở rộng cuối mà ghi nhận tính đến thời điểm viết Với phát biểu vốn khơ khan, trị chơi truyền hình, hay chí phi lý thử thách cai ngục tù nhân, tốn giải trí đội nón lại thu hút quan tâm nhà toán học đến vậy? Vì hấp dẫn, tính sáng tạo thân tốn lời giải? Hay kết toán dẫn đến ứng dụng quan trọng, đặc biệt lý thuyết mã hóa? Chúng tơi xin mời độc giả tìm câu trả lời du ngoạn qua tốn đội nón 2.1 Bài tốn đội nón số 1: Hai chàng rể Đây có lẽ phiên cổ số tốn đội nón Ở đây, giới thiệu dị sau: Ngày xưa có nhà 33 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán đại gia kén rể cho hai cô gái Kén chọn hai chàng tuấn tú văn hay chữ tốt Người cha lần muốn thử tài trí hai chàng rể tương lai bày thách đố Ông cho người nón Mỗi người khơng nhìn thấy nón mà nhìn thấy nón người cịn lại Sau lúc hai phải viết màu nón cho người cha xem Nếu có người đốn đúng, ơng chọn hai chàng rể, hai đoán sai phải khơng Biết nón có hai màu, trắng đen Hai chàng trai trẻ vốn bạn Trước thách đố bắt đầu, họ ngấm ngầm trao đổi chiến thuật cuối cưới hai nàng tiểu thư xinh đẹp Theo độc giả, hai chàng trai nói với nhau? 2.2 Bài tốn đội nón số 2: Bách niên thượng thọ Bài toán số dạng mở rộng tốn số 1, có dị sau:Vào năm mừng thượng thọ trăm tuổi nhà vua, ngài mời đến trăm người khách, phát cho người nón có màu trắng đen bày trị chơi với nón Mỗi người thấy màu 99 người khác khơng thấy màu nón Cùng lúc họ phải đốn màu nón khơng có trao đổi với Ai đoán trúng ban bổng lộc Bổng lộc nhà vua lớn nên có người khách lạ ma mãnh nhanh chóng nắm bắt thời Hắn rỉ tai người khách khác cần làm theo cách số người 34 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn giành phần thưởng cao Và kẻ nhận thưởng phải chia phần tiền cho Kẻ Lạ Cách để có lời to nhất? Bạn đọc đoán thử xem 2.3 Bài tốn đội nón số 3: Mặt nạ cười quỷ Trong rừng sâu có quỷ năm bắt mười linh hồn sống Nó gom hết đám linh hồn lại với nhau, đeo cho linh hồn mặt nạ cười màu sắc rực rỡ Ln có mười màu, số lượng màu thay đổi theo năm Có năm mười mặt nạ có mười màu, có năm lại xen kẽ, có năm lại hồn tồn giống Đó mặt nạ dành cho trò chơi quỷ Trò chơi quy định kẻ đeo mặt nạ chẳng thể nhìn thấy màu mặt nạ mà nhìn thấy màu mặt nạ linh hồn xung quanh Và tất bắt đầu trị đốn Cùng lúc linh hồn phải nói lên màu mặt nạ Chỉ cần kẻ đốn tất tha, khơng tất linh hồn mãi phải trở thành nô lệ cho quỷ Một năm nọ, có nhóm linh hồn thơng minh, trước trị chơi bắt đầu, họ nói với Và linh hồn thắng Chiến thuật họ gì? Bạn đốn khơng? 2.4 Bài tốn đội nón số 4: Thử thách nón Đây phiên tiếng nhóm tốn Ở chúng tơi giới thiệu với độc giả phiên thời báo New York ngày 10 tháng năm 2001: Có người tham gia trị chơi, người đội ngẫu nhiên nón có màu đỏ xanh dương Họ nhìn thấy màu nón bạn khơng biết màu Mỗi người cần phải đốn màu nón mình, chọn bỏ qua khơng đốn Nếu người đốn màu nón người cịn lại khơng đốn sai, họ thắng trị chơi Họ thua có người 35 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn đoán sai chọn bỏ qua Họ trao đổi chiến thuật với trước chơi tham gia khơng trao đổi thơng tin Tìm chiến thuật có xác suất thắng cao 2.5 Bài tốn đội nón số 5: Bài ca 15 gã say Bài toán số trường hợp tổng quát toán số với dị sau: Quanh hịm cướp biển, có mười lăm gã say rượu đội nón ngồi cười Một gã vừa cười vừa hát màu nón kẻ kế bên Bài hát sau: Trắng đen hay im lặng Này gã say Hoặc nói câm lặng Ngồi biển khơi kho báu quỷ chờ Truyền thuyết nói hát câu đố Mỗi người thấy nón 14 người khác khơng thấy nón có ba lựa chọn để nói lên màu nón mình, trắng đen, bỏ qua Chỉ cần tất gã nói trúng màu nón hịm cướp biển mở Hãy tìm chiến thuật tốt cho mười lăm tên say 36 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn 2.6 Bài tốn đội nón số 6: Người dẫn trị chơi “Xảo quyệt” Ở tốn này, mời độc giả quay lại tốn đội nón số Với tốn này, người chọn ngẫu nhiên màu nón người lại chọn bỏ qua, họ thắng với xác suất 12 Tuy nhiên, luận án Ebert trình bày lời giải tốt hơn, người thấy bạn đội nón khác màu nhau, chọn bỏ qua bạn đội màu nón, người chọn màu lại Với chiến thuật này, xác suất thắng trò 34 Lời giải khởi nguồn cho tốn đội nón số 5: sau nhiều lần chơi chơi lại, người dẫn trò láu cá thấy người chơi thua đội nón màu, người dẫn trị chọn cách đội nón khơng thật ngẫu nhiên Liệu có chiến thuật để người chơi giữ khả chiến thắng 34 tình này? Cả tốn đội nón giới thiệu có điều kiện người chơi thấy màu nón tất người chơi khác, vậy, nhóm tốn cịn hay phát biểu dạng người chơi xếp thành vòng trịn Bài tốn cịn phát triển lời giải đẹp xuất trường hợp đặc biệt, ví dụ trường hợp tốn đội nón số Các trường hợp tổng quát với n người chơi m màu nón dừng mức xác định chặn khả chiến thắng Tiếp theo ba tốn đội nón mà đó, người chơi thấy nón số người khác, thông thường người đứng trước xếp thành hàng 2.7 Bài tốn đội nón số 7: Bài tốn 100 người Bài tốn với trường hợp màu màu lần đưa Konstantin Knop kỳ thi Olympic tốn tồn quốc Nga lần thứ 23, năm 1997 Phát biểu tốn sau: Có 100 người xếp thành hàng, người đội nón có màu trắng đen Mỗi người nhìn thấy màu nón người đứng trước mà khơng thấy nón người đứng sau Lần lượt người phải 37 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán đoán màu nón hơ to cho người khác nghe Người đứng cuối (là người thấy màu nón toàn 99 người trước) người bắt đầu phải đốn Người chơi khơng trao đổi thơng tin với ngoại trừ lắng nghe màu nón từ người đốn trước Đúng sai biết người cuối đốn xong Hãy tìm chiến chuật cho số người đốn sai Hãy giải toán với trường hợp 100 người chơi, màu nón Liệu tổng quát lên với N người chơi M < N màu nón? 2.8 Bài tốn đội nón số 8: Vào cổng thiên đàng thiên thần phải cài hoa! Tương tự với tốn đội nón số 6, tốn có tích chuyện thú vị với mười thiên thần xếp hàng vào cổng thiên đàng Mỗi thiên thần cài tóc đố hoa trắng đỏ thiên thần đứng sau nhìn thấy màu hoa tóc thiên thần đứng trước Để thử thách lịng nhẫn nhịn tính đồn kết thiên thần, nhà Trời lệnh cho họ đốn màu hoa tóc theo thứ tự từ sau trước Tuy nhiên thiên thần có quyền khơng đốn mà chọn bỏ qua Tất vào cổng thiên đàn đốn sai thiên thần đốn Trong q trình đốn màu thiên thần khơng trao đổi thơng tin với Những thiên thần qua cổng nhà Trời phương thức nào? 38 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn 2.9 Bài tốn đội nón số 9: Bài toán 101 màu 16 năm sau tốn đội nón với 100 người màu nón (bài tốn đội nón số 7) đời, Konstantin Knop lại làm toán với 101 màu, phát biểu sau: Có 100 người xếp thành hàng, người đội nón số 101 nón khác màu Mỗi người thấy nón người đứng trước khơng thấy nón người đứng sau Lần lượt người từ sau trước phải đốn màu nón hô to cho người nghe Màu hô không hô lại Người chơi khơng trao đổi thơng tin với Tìm chiến thuật cho khả tất đoán cao Trong tốn đội nón trước, người chơi tham gia với vai trò hỗ trợ cho Tiếp theo, xin giới thiệu dạng khác tốn, mà người chơi phải cạnh tranh với 2.10 Bài tốn đội nón số 10: Kho báu nhà vua Bài toán ghi nhận từ sớm Martin Gardner vào năm 1961 Một dị toán thuật lại sau: Ba người đào mộ thần chết bịt mắt dẫn vào vào hầm mộ tối Trên đầu người quấn băng đỏ băng đen Cuối đường hầm kho báu nhà vua 39 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Thần chết cho phép ba tên trộm mộ mở mắt Khi mở mắt bọn chúng thấy màu khăn hai đồng bọn không thấy màu Thần chết nói kẻ đốn sớm màu khăn giành kho tàng Bằng không bị giết Luật chơi thần chết cịn quy định có kẻ thấy khăn bịt đầu hai tên đồng bọn có màu đen phải giơ tay lên Theo bạn có tên trộm mộ lấy kho báu nhà vua khơng? 2.11 Bài tốn đội nón số 11: Qua ải tử thần Có 20 tử tù nhận hội để sống sót sau: 20 người xếp thành vòng tròn, bị che mắt người đội nón trắng đen Tử tù biết có nón đen số 20 nón đội Sau mở mắt, người thấy màu nón 19 người cịn lại Sau phút, có người nghiệm màu nón người phép đốn Nếu sau 20 phút, khơng đốn ra, toàn bị xử tử Nếu 20 phút có người đốn sai, họ bị xử tử Họ tự 20 phút phải có người đốn, tất người đốn phải đốn Hãy tìm chiến thuật cho tất sống sót Ở hai tốn đội nón tiếp theo, chúng tơi giới thiệu trường hợp mở rộng mà số lượng người chơi, số nón nâng lên vơ hạn (đếm được) 2.12 Bài tốn đội nón số 12: Vơ hạn người chơi Có vơ hạn (đếm được) người chơi xếp thành hàng, người đội nón có màu trắng đen người đứng sau thấy tồn nón người đứng trước Lần lượt người từ sau trước nói lên màu nón Hãy tìm chiến thuật để số người đốn cao Lưu ý, để có lời giải cho toán này, độc giả cần phải sử dụng tiên đề chọn 2.13 Bài tốn đội nón số 13: Vơ hạn nón Bài tốn đề Lionel Levine (đại học Cornell) vào năm 2011 sau: Bốn người tham gia trò chơi đốn 40 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn nón sau: Người dẫn trị đội vơ hạn nón có màu trắng đen lên đầu người với xác suất nón trắng đen 21 Các nón người đánh số 1, 2, Mỗi người chơi thấy toàn nón người khác nón họ không thấy Mỗi người phát tờ giấy họ phép ghi vào số, ứng với số nón họ mà họ đoán màu đen Sau nhận đủ trả lời, người dẫn trò kiểm tra số ghi giấy người Nếu người đoán (tức người ghi số ứng với nón màu đen mình), họ thắng trị chơi, ngược lại, cần người đốn khơng đúng, họ thua Bốn người thảo luận trước chiến thuật trước chơi khơng có trao đổi sau Họ khơng biết thời điểm mà người khác đưa giấy cho người dẫn trị Hãy tìm chiến thuật để xác suất thắng cao Ví dụ: họ ghi số 2015 vào mảnh giấy Khi đó, hội chiến xác suất nón thứ 2015 người 12 thắng 16 Tổng quát hóa cho N người liệu cách giải có khác? Những tốn đội nón khác: Trong trước, tất liên quan đến việc đốn màu nón, nhóm cuối giới thiệu với độc giả vài dạng khác tốn đội nón 2.14 Bài tốn đội nón số 14: Bài tốn nón Ba người chơi, người đội nón, nón có ghi số nguyên dương Mỗi người thấy số người chơi khác mà khơng biết số Họ cho biết 41 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán số tổng số lại Lần lượt người, đốn số mình, chọn bỏ qua Sau đoạn đốn số họ: • Người 1: bỏ qua • Người 2: bỏ qua • Người 3: bỏ qua • Người 1: bỏ qua • Người 2: bỏ qua • Người 3: bỏ qua • Người 1: bỏ qua • Người 2: bỏ qua • Người 3: số 60 Hỏi số nón cịn lại bao nhiêu? 2.15 Bài tốn đội nón số 15: Xếp hàng Có 10 người tham gia trò chơi sau: người đội nón, có số nguyên dương Người chơi không cho biết giới hạn số, họ biết 10 số phân biệt với Mỗi người số thấy số người cịn lại Sau quan sát xong số người khác, người phải chọn nón màu trắng đen Việc chọn màu không cho người chơi khác biết Sau chọn xong màu nón, người chơi vxếp thành hàng, theo thứ tự tăng dần giá trị số nón Nếu họ xếp thành hàng trắng/đen xen kẽ nhau, họ chiến thắng trị chơi, ngược lại họ thất bại Hãy tìm chiến thuật để xác suất chiến thắng cao 42 Tạp chí online cộng đồng người yêu Tốn Lời kết Bài tốn đội nón thứ 15 kết thúc chuyên mục kỳ Chúng hi vọng sau du ngoạn xuyên suốt nửa kỷ phát triển tốn đội nón, tạp chí chúng tơi giới thiệu với độc giả vẻ đẹp hấp dẫn nhóm tốn Bản thân tốn đội nón thường thử thách toán học hàng tuần, nên để tránh làm cảm xúc độc giả mong muốn thử sức, chọn đăng gợi ý đáp án vắn tắt trình bày lời giải chi tiết vào số Chúng tin với phần lời giải, độc giả tiếp tục chuyến hành trình kỳ thú ứng dụng thực tế từ nhóm tốn giải trí Chúng tơi hoan nghênh đóng góp quý vị độc giả lời giải phiên khác nhóm tốn đội nón Để thêm phần thú vị cho số toán, chúng tơi đặt lại phần lớn tình tiết đề giữ nguyên chất toán học Để tiện tra cứu tham khảo, độc giả truy tìm lại nguồn gốc thơng qua tài liệu sau: 1) A Dozen Hat Problems: Cho 1, 2, 3, 4, 5, 8, 10, 11 2) Colored Hats and Logic Puzzles: Cho 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10 11 3) A Line of Sages: Cho 4) An introduction to infinite hat problems: Cho 12, 13 5) Problem of the week 1179: Cho 13 6) The Three-Hat Problem: Cho 14 7) Another black and white hats puzzle: Cho 15 43 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán Gợi ý lời giải Bài Người chọn màu ngược lại với màu nón người 2; Người chọn màu người Bài Ghép thành cặp áp dụng Bài Gán số màu từ đến linh hồn từ đến Khi linh hồn thứ k đốn màu cho màu tổng màu khác k (mod 10) Bài Đáp án phát biểu từ Bài Dựa từ tưởng từ 3, liên kết với mã Hamming Bài Có trường hợp cho người với màu nón, chiến thuật thất bại trường hợp nón màu ĐỏĐỏ-Đỏ Xanh-Xanh-Xanh thành cơng trường hợp cịn lại Liệu có chiến thuật ln thất bại cặp trường hợp Xanh-Đỏ-Đỏ Đỏ-Xanh-Xanh thành công trường hợp lại? Với cặp lại (Xanh-Đỏ-Xanh, Đỏ-Xanh-Đỏ) (Xanh-Xanh-Đỏ, Đỏ-Đỏ-Xanh), liệu có chiến thuật tương ứng? Khi đó, ta ngẫu nhiên chọn chiến thuật xuất phát việc chọn giá trị ban đầu khơng ngẫu nhiên gặp thất bại Xác suất thành công bảo toàn 75% Bài Cho trường hợp màu: người cuối nói màu đen số nón đen thấy số lẻ nói trắng số nón đen chẵn Những người khác, vào đốn Với trường hợp M < N màu, người cuối chọn màu tổng (mod N) màu quan sát Bài Với lựa chọn bỏ qua, khả thắng lên đến tất nón màu trắng (hoặc đen) 1023 1024 Chỉ sai Bài Sử dụng tổ hợp thay modulo Chúng tơi phân tích ba 7, số Bài 10 Nếu tất nón trắng, khơng có tên giơ tay, bọn chúng suy nón màu trắng Nếu có nón đen, hai tên đội nón trắng lúc biết nón màu trắng tên cịn lại khơng giơ tay 44 Tạp chí online cộng đồng người u Tốn Nếu có hai nón đen, ba tên giơ tay Lúc này, tên đội nón đen biết đội nón đen, chúng suy luận: “nếu nón màu trắng, tên đội nón đen khơng thể giơ tay” Tình khơng thể đốn đội nón đen Nhưng sau chần chừ 3, đốn tất đội nón đen Bài 11 Nếu người thấy k nón trắng, đốn nón màu đen phút thứ (20 − k) Sau có người đốn khơng đốn Bài 12, 13 Chúng tơi phân tích chi tiết vào số Bài 14 Các đáp án có là: [25, 35, 60], [35, 25, 60], [42, 18, 60], [18, 42, 60] [10, 50, 60], [50, 10, 60], [44, 16, 60], [16, 44, 60] Bài 15 Tồn chiến thuật luôn thắng Hãy thử với trường hợp nhỏ 45 Tạp chí online cộng đồng người yêu Toán d 46 ... sử phát triển toán học giải trí Hình 4.1: Tháp Hà Nội, tốn kinh điển tốn học giải trí, lần đăng nhà toán học người Pháp Franc¸ois-Édouard-Anatole Lucas (1842-1894), “Tốn học giải trí? ?? (Récréatión... Mathématiques) Các tốn đội nón Tốn học giải trí xuất rộng khắp nhánh toán học, ngành khoa học khác Trong chuyên mục mở đầu này, giới thiệu với độc giả nhóm tốn kinh điển, thường gọi nhóm ? ?Bài tốn đội nón? ??... online cộng đồng người u Tốn 2.9 Bài tốn đội nón số 9: Bài toán 101 màu 16 năm sau tốn đội nón với 100 người màu nón (bài tốn đội nón số 7) đời, Konstantin Knop lại làm toán với 101 màu, phát biểu