Biểu diễn số nguyên dương dưới dạng tổng các số chính phương

Bài viết cung cấp cho bạn một số kiến thức về biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của hai số chính phương, biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của bốn số chính phương và biểu diễn một số nguyên dương dưới dạng tổng của ba số chính phương. Mời các bạn tham khảo!

BIỂU DIỄN SỐ NGUYÊN DƯƠNG DƯỚI DẠNG TỔNG CÁC SỐ CHÍNH PHƯƠNG Hồng Cao Phong Chun đề nghiên cứu toán Waring trường hợp k D Trong chuyên đề, ta chứng minh g.2/ D Để làm điều đó, ta cần có số số nguyên dương biểu diễn đước dạng tổng hai số phương, số số khơng thể biểu diễn dạng tổng ba số phương, số nguyên dương biểu diễn dạng tổng bốn số phương Ngồi ra, tìm đáp án cho câu hỏi: "Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng hai số phương ba số phương" Cuối cùng, xem xét toán Waring tổng quát vấn đề mở rộng cho hàm g.k/ Giới thiệu Việc tìm cách biểu diễn số nguyên dương dạng tổng số phương nhiều đối tượng quan tâm, từ người yêu toán nhà toán học Vào năm 1632, Albert Girard người đưa nhận định: số nguyên tố lẻ đồng dư với mod tổng hai số phương, điều công bố vào năm 1634, sau chết ông Fermat cho người đưa lời giải cho tốn, đưa vào thư ông gửi Marin Mersenne vào ngày 25 tháng 12 năm 1640 Tuy nhiên, thư, Fermat không đưa chứng minh cho khẳng định Lời giải tìm Euler vào năm 1747, ông 40 tuổi Một cách tự nhiên, Định lí Fermat tổng hai số phương dẫn đến câu hỏi: “Tìm giá trị nhỏ n cho số nguyên dương biểu diễn tổng khơng q n số phương" Đây trường hợp riêng toán Waring k D Trong chuyên đề, ta chứng minh n D số nguyên dương biểu diễn dạng tổng hai ba số phương Trong mục 2, ta chứng minh số nguyên tố biểu diễn dạng tổng hai số phương khơng đồng dư với mod trả lời câu hỏi: "Những số nguyên dương biểu diễn dạng tổng hai số phương?" Trong mục 3, ta chứng minh số nguyên tố biểu diễn dạng tổng bốn số phương qua chứng minh số nguyên dương biểu diễn dạng tổng bốn số phương 125 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Trong mục 4, ta chứng minh số nguyên dương biểu diễn dạng tổng ba số phương có dạng 4a 8n C 7/ Mục đề cập đến hình học số học định lí Minkowski Trong mục 5, ta đưa thêm thơng tin bình luận xoay quanh toán Waring tổng quát Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai số phương Trước hết, quan tâm đến tốn : “Những số ngun tố biểu diễn dạng tổng hai số phương?”, đáp án tốn dẫn đến định lí mang tên Fermat tổng hai số phương Bổ đề 2.1 p số nguyên tố cho trước Nếu p Á mod 4/ x C y chia hết cho p x chia hết cho p y chia hết cho p Chứng minh Giả sử x; p/ D y; p/ D 1, x Á y mod p/ dẫn đến x p Á 1/ p suy 1/ Á mod p/, suy Á mod p/ dẫn đến điều vơ lí p yp mod p/ Định lý 2.1 (Định lí Fermat tổng hai số phương) Số ngun tố p biểu diễn dạng tổng hai số phương p 6Á mod 4/ Chứng minh Giả sử p D 4k C biểu diễn dạng tổng hai số phương x; y Theo bổ đề 2, x chia hết cho p y chia hết cho p Suy p chia hết cho p Vô lý Nếu p D p D 12 C 12 Nếu p D 4k C số phương modulo p ([5]), tồn a N thỏa mãn a2 Á mod p/ p p , xét C q/2 số có dạng x C ay với x D 0; 1; : : : ; q y D 0; 1; : : : ; q Đặt q D Do q C 1/2 > p, tồn x1 ; y1 / Ô x2 ; y2 / tha x1 C ay1 Á x2 C ay2 mod p/ nên x1 x2 /2 Á y1 y2 /2 mod p/ p p Vì x1 x2 / Ä q < p y1 y2 / Ä q < p, ta có x1 x2 /2 C y1 y2 /2 D p Định lí 2.1 chứng minh Bây giờ, xem xét : ”Những số tự nhiên biểu diễn dạng tổng hai số phương?" Bổ đề 2.2 Tích hai số, với số tổng số phương, số phương Chứng minh Giả sử m D a2 C b n D c C d , suy mn D ac C bd /2 C ad bc/2 Y Y Định lý 2.2 Đặt n D 2r pisi qit i với pi Á mod 4/ qi Á mod 4/, n biểu diễn dạng tổng hai số phương ti chẵn với i 126 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Chứng minh Giả sử n biểu diễn dạng hai tổng hai số phương tồn ti lẻ: n D x C y D q t b; b; q/ D Theo bổ đề 2, x D qx1 ; y D qy1 Điều dẫn đến x12 C y12 D q t b Sau số hữu hạn bước lặp lại, ta thu được: q.xk C yk / D b; dẫn đến điều vô lí Gọi D tập hợp ˚ n j n N; n D x C y « Y s Giả sử ti chẵn với i Do 2 D; pi D, bổ đề 2.2 m D với m D 2r pi Y t Tồn x; E y N thỏa mãn x C y2 D m Do ti chẵn với i nên qi i D h2 Vì vậy, n D xh/2 C yh/2 Định lí 2.2 chứng minh Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng bốn số phương Trong mục tạm thời không xét đến vấn đề biểu diễn số nguyên dương thành tổng ba số phương khơng có lời giải hoàn toàn sơ cấp cho vấn đề Vả lại, lời giải cho định lí bốn số phương có phần tương tự với lời giải cho đính lí hai số phương nên ta quay lại sau chứng minh thành cơng định lí Lagrange tổng bốn số phương ˚ « Bổ đề 3.1 Đặt D D n j n D x C y C z C t I n; x; y; z; t N Nếu m; n D mn D Chứng minh Giả sử m D a2 C b C c C d n D e C f C g C h2 mn D aeCbf CcgCdh/2 C.af beCch dg/2 C.ag bh ceCdf /2 C.ahCbg cf de/2 Suy mn D Bổ đề 3.2 Giả sử p số nguyên tố lẻ cho trước, tồn Ä k < p cho kp D ˚ « p Chứng minh Xét hai tập A D x ; x D 0; 1; : : : ; B D ˚ y2 « p ; y D 0; 1; : : : ; 2 Hiển nhiên, phần tử A phân biệt theo modulo p, phần tử B Ta lại p có: jAj C jBj D p C Suy tồn x; y 0; 1; : : : ; cho x Á y mod p/ nên kp D x C y C 12 C 02 ) kp D 127 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Do kp D x C y C < p2 p2 C < p nên k < p 4 Đặt M D f1 Ä k < p; kp Dg Theo b 3.2, M Ô Gi s m l phần tử bé tập hợp M , Định lý 3.1 Ta chứng minh m D từ suy p D với số nguyên tố p Chứng minh Giả sử < m < p, mp D Ta có, mp D x C y C z C t Nếu m chẵn mp D x C y C z C t Á a 0; mod 4/ Trường hợp 1: Nếu x; y; z; t chẵn lẻ xCy x y zCt z t ; ; ; 2Z 2 2 x C y/2 x y/2 z C t/2 z t/2 m m C C C D p) 2M 4 4 2 Điều mâu thuẫn m phẩn tử nhỏ M Trường hợp 2: Nếu x; y chẵn z; t lẻ xCy x y zCt z t ; ; ; 2Z 2 2 Lập luận tương tự, ta suy mâu thuẫn với định nghĩa m m Nếu m lẻ: Xét S D 0; ˙1; ˙2; : : : ; ˙ Do S hệ thặng dư đầy đủ mod m, tồn a; b; c; d S cho x Á a mod m/; y Á b mod m/; z Á c mod m/; t Á d mod m/ Vì a2 C b C c C d Á mod m/ nên tồn k thỏa mãn a2 C b C c C d D km: Từ a2 C b C c C d < m2 suy Ä k < m Một lần nữa, xét hai trường hợp: Trường hợp 1: k D dẫn đến a D b D c D d D suy x Á y Á z Á t Á mod p/ nên m2 j x C y C z C t D mp đồng nghĩa với m chia hết p dẫn đến mâu thuẫn Trường hợp 2: Ä k < m Theo bổ đề 3.1, ta có: mp:km D axCbyCczCdt/2 C.bx ayCdz ct/2 C.cx dy azCbt/2 C.dxCcy bz at/2 : Do X D ax C by C cz C dt Á a2 C b C c C d Á mod m/ Y D bx ay C dz Z D cx dy T D dx C cy ct Á ab az C bt Á ca bz ab C dc C cd Á mod m/ db at Á da C cb ac C bd Á mod m/ bc ad Á mod m/ X C Y C Z C T D m2 X12 C Y12 C Z12 C T12 / D m2 kp kp D dẫn đến k M Vô lý Định lý 3.2 (Định lí Lagrange bốn số phương) Mọi số tự nhiên biểu diễn dạng tổng bốn số phương 128 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Chứng minh Áp dụng bổ đề 3.1 định lí 3.1, định lí Lagrange bốn số phương trở nên hiển nhiên dẫn đến g.2/ Ä Cho đến giờ, ta gần hồn thiện mục đích Điều cịn lại chứng minh có số tự nhiên biểu diễn tổng ba số phương Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng ba số phương Như nói trên, khơng có lời giải hồn tồn sơ cấp cho định lí Legendre tổng ba số phương Tuy nhiên, cách sử dụng định lí Minkowski: "bất kì tập lồi Rn đối xứng qua gốc tọa độ tích lớn 2n d.L/ chứa điểm nguyên khác không", dựa vào chứng minh Ankeny vào năm 1957, ta đưa lời giải đẹp cho toán Định lý 4.1 Số tự nhiên m biểu diễn dạng tổng ba số phương m khơng có dạng 4a 8n C 7/ Chứng minh Nếu m số nguyên dương có dạng 4a 8n C 7/ m khơng thể biểu diễn tổng ba số phương: Giả sử m biểu diễn dạng tổng ba số phương: 4a 8n C 7/ D m D x C y C z Bởi số phương đồng dư với 0; theo modulo nên m D x C y C z Á b 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6/ mod 8/ Nếu a > 0, ta có m Á mod 4/, x C y C z Á b 0; 4/ mod 8/ nên x Á y Á z Á mod 4/ suy x D 2x1 ; y D 2y1 ; z D 2z1 dẫn đến x12 C y12 C z12 D 4a 8k C 7/ Sau số hữu hạn lần lặp lại bước trên, ta thu được: xa2 C ya2 C za2 D 8k C Á mod 8/; Vô lý Sau chứng minh chiều "chỉ khi", Ta thành công việc g.2/ D Tuy nhiên, ta tiếp tục chứng minh chiều “khi" vốn phức tạp nhiều Nếu m khơng có dạng 4a 8n C 7/ m biểu diễn dạng tổng ba số phương: Ta cần chứng minh toán trường hợp m số phương tự (square free) (nếu khơng, ta coi m ) Do tổng ba số phương khơng thể đồng dư với mod 8/, Ta giải hai trường hợp riêng biệt: Trường hợp 1: m Á mod 8/ Theo định lí Dirichlet cấp số cộng ([3]), tồn số nguyên tố q thỏa mãn 2q Á 1.mod m/ q Á mod 4/ Công thức sau có sử dụng kí hiệu Jacobi ([5]) Ta có:  Ã à  à m m m /D D (Do q Á 1.mod 4/) q q q q 129 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 qÁ (Theo luật thuận nghịch bình phương) Âm à qÁ D (Do m Á mod 8/) m m 2q D / m D1 D Tồn số nguyên b thỏa mãn b Á m mod q/ hay b kh D m.k Z/ Do k Á mod 4/, k D 4k1 Dẫn đến b Á m mod 4q/ ˚ « Xét lưới nguyên: L D x; y; z/ Z3 j x Á y mod m/; y Á bz mod 2q/ Có thể tích đơn vị 2mq R3 vec-tơ x; y; z/ L thỏa mãn: 2qx C y C mz Á x C y mod m/ Á mod m/ Á bz/2 C mz mod 2q/ Á mod 2q/: p q m/3 2 Hình Ellipsoid E: 2qX C Y C mZ Ä 4mq tích , lớn 23 :2q m Theo p 2q m định lí Minkowski, tồn vec-tơ khác khơng x; y; z/ L \ E cho 2qx C y C mz Á mod 2q m/ nên 2qx C y C mz D 2q m Để chứng minh m biểu diễn dạng tổng ba số phương ta chứng minh y C mz biểu diễn dạng tổng hai số phương Định lí 2.2 giúp 2q giải điều Ta cần chứng minh: Tất số nguyên tố p thỏa mãn p > 2 p y C mz / D 2n C ([6]) đồng dư với mod 4/ Nếu p không chia hết m y C mz Á mod p/ dẫn đến y Á mz mod p/ Tồn z cho zz Á mod p/ nên z y/2 Á m mod p/ suy m số phương mod p/ Hơn nữa, x Á m mod p/ nên m số phương mod p  à  Ã à  à m m D D 1D p p p p suy p Á mod 4/ Nếu p chia hết m, p chia hết x y, dẫn đến mz Á 2q m mod p / Do m số phương tự nên 2q số phương mod p 2q Á mod p/, ta thu được: p Á mod 4/ y C mz Trong hai trường hợp, ta có p Á 1.mod 4/ nên biểu diễn 2q dạng tổng hai số phương dẫn đến m biểu diễn dạng tổng ba số phương Trường hợp 2: Nếu m 6Á mod 8/, Chứng minh gần tương tự ngoại trừ số thay đổi nhỏ 130 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Theo định lí Dirichlet cấp số cộng, tồn số nguyên tố q thỏa mãn: ˆ p y C mz / D y C mz 2n C đồng dư mod tương tự Cuối cùng, ta biểu diễn q dạng tổng hai số phương kết thúc tốn Trong hai trường hợp, m biểu diễn dạng tổng ba số phương Định lí 4.1 giải triệt để Qua chuyên đề này, ta n=4 số nguyên nhỏ thỏa mãn số nguyên dương biểu diễn tổng n số phương mà cịn biết nhữngY số nàoY r si biểu diễn dạng tổng hai ba số phương Cụ thể, n D pi qit i với pi Á mod 4/ qi Á mod 4/ biểu diễn tổng hai số phương ti chẵn với i ; m biểu diễn tổng ba số phương m khơng có dạng 4a 8n C 7/ Bài toán Waring Vào thể kỉ 18, Waring, nhà toán học lỗi lạc người Anh đưa nhận xét số nguyễn dương biểu diễn tổng lập phương tổng 19 lũy thừa bậc Ông mở rộng giả thuyết mình: Với k số nguyên dương cho trước, tồn m (phụ thuộc vào k) cho số nguyên dương biểu diễn tổng m lũy thừa bậc k Đấy toán Waring tổng quát Vào năm 1906, David Hilbert, nhà toán học tiếng người Đức chứng minh thành công giả thuyết lời giải vô phức tạp Gọi g.k/ số m nhỏ nhất, có nghĩa số nguyên dương biểu diễn dạng tổng g.k/ lũy thừa bậc k tồn số nguyên dương biểu diễn dạng tổng (g.k/ 1) lũy thừa bậc k Trong chuyên đề, ta thành công việc chứng minh g.2/ D Gần đây, người ta Ä chứng minh g.3/ D 9; g.4/ D 19; g.5/ D 37 k Ä 471600000 g.k/ D /k C 2k 2 Vẫn nhiều câu hỏi mở xung quanh hàm g.k/ đáng quan tâm khám phá Có thể xem [9] để biết thêm chi tiết tốn Waring 131 Tạp chí Epsilon, Số 08, 04/2016 Tài liệu tham khảo [1] Wikipedia, Albert Girard https://en.wikipedia.org/wiki/Albert Girard [2] Wikipedia, Pierre de Fermat https://en.wikipedia.org/wiki/Pierre de Fermat [3] PETE L Clark, Dirichlet’s Theorem on Primes Progressions Department of Mathematics -University http://math.uga.edu/ pete/4400DT.pdf in Arithmetic of Georgia [4] H Davenport, the geometry of number, Mathematical Gazette vol 31 (1947) (206-210) [5] Titu Andreescu and Dorin Andrica, 2009 Number Theory: Structures, Examples, and Problems (179-188) [6] Titu Andreescu and Gabriel Dospinescu, 2008 Problem from the Books (49-67) [7] Micheal Wong Representing integers as sum of squares University of Chicago: Department of Mathematics [8] N c Ankeny, 1957 Sums of three squares Proceedings of the AMS (316-319) [9] Hardy, Wright, 1954 An Introduction to the Theory of Numbers Oxford [10] Phan Huy Khai, 2004 Cac bai toan co ban cua so hoc (Number theory’s elementary problems) (255-282) 132 ... 4.1 Số tự nhiên m biểu diễn dạng tổng ba số phương m khơng có dạng 4a 8n C 7/ Chứng minh Nếu m số nguyên dương có dạng 4a 8n C 7/ m khơng thể biểu diễn tổng ba số phương: Giả sử m biểu diễn dạng. .. n=4 số nguyên nhỏ thỏa mãn số nguyên dương biểu diễn tổng n số phương mà cịn biết nhữngY số nàoY r si biểu diễn dạng tổng hai ba số phương Cụ thể, n D pi qit i với pi Á mod 4/ qi Á mod 4/ biểu diễn. .. luận xoay quanh toán Waring tổng quát Biểu diễn số nguyên dương dạng tổng hai số phương Trước hết, quan tâm đến toán : “Những số nguyên tố biểu diễn dạng tổng hai số phương? ”, đáp án tốn dẫn đến