Bai tap 3 diem thang hang TS 10 nam 2021 QC

Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 CÁC BÀI HÌNH THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 NĂM 2021 ĐIỂM THẲNG HÀNG, ĐỒNG QUY ĐẮK NÔNG Câu 4: Cho nửa đường trịn  O  đường kính AB Vẽ tia tiếp tuyến Ax phía với nửa đường trịn đường kính AB Lấy điểm M tia Ax Vẽ tiếp tuyến MC với nửa đường tròn  O  ( C tiếp điểm ) Vẽ AC cắt OM E , vẽ MB cắt nửa đường tròn D ( D khác B ) a) Chứng minh tứ giác MADE nội tiếp b) Chứng minh MA =MD.MB c) Vẽ CH vng góc AB Chứng minh MB qua trung điểm đoạn CH Lời giải M D C N E A B O H a) Ta có OA  OC nên O thuộc trung trực AC MA  MB ( tính chất tiếp tuyến cắt nhau) nên M thuộc trung trực AC   900 Suy OM trung trực AC  OM  AC  AEM   900 ( góc nội tiếp chắn nửa  O  )  ADM   900 Ta có ADB   ADM   900 Xét tứ giác ADME có AEM Nên tứ giác MADE nội tiếp b) Xét MAD MBA có Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268  AMBchung   MAB   900 MDA  MAD” MBA  g.g  MA MB   MA  MD.MB MD MA c) Gọi giao điểm MB CH N   AMD  Vì tứ giác AEDM nội tiếp nên DEC    DAB  ( Cùng phụ MAD  ) MÀ AMD   DAB  (1) Nên DEC   BNH  (2 góc đối đỉnh) Ta có DNC   NBH   900 BNH   DAB   DNC   DAB   2 Mà   BNH   DAB  NBH  90   DNC  Nên tứ giác DENC nội tiếp Từ (1) (2)  DEC   DCE  Mà DCE   DCA   DBA   DNE   DBA   DNE Mà góc vị trí đồng vị nên EN//AB hay EN / / AH Lại có: E trung điểm AC ( OM trung trực AC , OM cắt AC E ) Nên N trung điểm CH ( định lí đường trung bình ACH ) Vậy MB qua N trung điểm CH Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 ĐỒNG NAI Câu (3,0 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn ( AB  AC ) Ba đường cao AD , BE, CF cắt H 1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiểp tứ giác BFEC 2) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn (O ) 3) Vẽ CI cẳt đường tròn (O ) M ( M khác C ), EF cắt AD K Chứng minh ba điểm B, K , M thẳng hàng Lời giải A E I F H B D O C 1) Chứng minh tứ giác BFEC nội tiếp Xác định tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC   90 Vì CF  AB nên CFB   90 Vì BE  AC nên BEC Xét tứ giác BEFC có: E , F hai đỉnh kề nhìn cạnh BC   BEC   90 nên tứ giác BFEC nội tiếp CFB Tâm O đường tròn ngoại tiếp tứ giác BFEC trung điểm cạnh BC Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 2) Gọi I trung điểm AH Chứng minh IE tiếp tuyến đường tròn (O ) A E I F H B D O C Xét AEH vng H , có EI đường trung tuyến ứng với cạnh AH nên EI  AH  IH   IHE  Suy ra: IEH cân I  IEH   BHD  (Hai góc đối đỉnh) Mà IHE   BHD  (1) Suy ra: IEH Ta lại có: OB  OE  R  OEB cân O   OEB  (2)  OBE   OEB   BHD   OBE  Từ (1) (2), ta có: IEH   OBE   90 (vì BHD vng D ) Mặt khác: BHD   OEB   BHD   OBE   90 hay OEI   90 Suy ra: IEH  OE  EI Và E  (O) Do đó: IE tiếp tuyến đường trịn (O ) Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 3) Vẽ CI cắt đường tròn (O ) M ( M khác C ), EF cắt AD K Chứng minh ba điểm B, K , M thẳng hàng A E I M K F H B D O C Ta có: góc BMC góc nội tiếp chắn nửa đường trịn nên góc BMC = 90 độ  BM  IC Xét IEK IDE có:  góc chung; IDE   IEK  (  ECF ) EIK Do đó: IEK ∽ IDE (g.g)  IE IK   ID.IK  IE2 ID IE Mặt khác: IM.IC  IE2 (Bạn đọc tự chứng minh)  ID.IK  IM.IC  Xét tam giác IMK tam giác IDC có: Góc MIK góc chung;   CDI   90  KM  IC  IMK ∽ IDC  KMI BM  IC    B, M , K thẳng hàng KM  IC  IM IK  ID IC IM IK  ID IC Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 HÀ NỘI Bài IV (3,0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm C , bán kính CA Từ điểm B kẻ tiếp tuyến BM với đường tròn  C; CA ( M tiếp điểm, M A nằm khác phía đường thẳng BC ) 1) Chứng minh bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn 2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N khác A , N khác B ) Lấy điểm P thuộc tia đối tia MB cho MP  AN Chứng minh tam giác CPN tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP Lời giải 1) Chứng minh bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn   900 Xét  ABC vuông A nên ta có: BAC   900 Theo giả thiết BM tiếp tuyến  C; CA  BM  MC hay BMC   BMC   900  900  1800 Xét tứ giác ACMB có BAC  BMC  vị trí đối  tứ giác ACMB nội tiếp đường trịn (dấu Mà hai góc BAC hiệu nhận biết)  Bốn điểm A, C , M B thuộc đường tròn (đpcm) 2) Lấy điểm N thuộc đoạn thẳng AB ( N khác A , N khác B ) Lấy điểm P thuộc tia đối tia MB cho MP  AN Chứng minh tam giác CPN tam giác cân đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 Chứng minh tam giác CPN tam giác cân Xét  ACN  MCP có: AC  MC  bán kính  C ; CA       CMP   900 CAN    ACN   MCP (c.g.c)  AN  MP (gt)  (hai cạnh tương ứng tam giác nhau) Xét CPN có CN  CP suy CPN cân đỉnh C Chứng minh đường thẳng AM qua trung điểm đoạn thẳng NP Gọi I trung điểm PN , nối IM , IA CPN cân đỉnh C có CI đường trung tuyến nên CI đường cao CPN  CN  CP   CIN   900  CI  PN  CIP   CMP   900 , hai đỉnh kề I , M nhìn cạnh CP Xét tứ giác CIMP có CIP   MCP  (góc nội tiếp chắn góc 900 nên suy tứ giác CIMP nội tiếp  MIP  ) (1) cung MP   CIN   900  900  1800 , mà hai góc CAN  CIN  vị trí đối Xét tứ giác ACIN có CAN  tứ giác ACIN nội tiếp đường trịn   AIN   ACN (góc nội tiếp chắn cung  AN ) (2)  (hai góc tương ứng tam giác Ta có  ACN  MCP (cmt)   ACN  MCP nhau) (3)  Từ (1), (2) (3) suy MIP AIN   AIN   1800 (hai góc kề bù)  PIA   MIP   1800   Ta có PIA AIM  1800  ba điểm A, I , M thẳng hàng hay đường thẳng AM qua điểm I Vậy đường thẳng AM qua trung điểm I đoạn thẳng NP Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 HẢI PHÒNG Bài (3 điểm) Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O ) Các đường cao AD , BE CF ABC cắt H a) Chứng minh BCEF CDHE tứ giác nội tiếp  BFE đồng dạng với DHE b) Chứng minh EB tia phân giác FED c) Giao điểm AD với đường tròn (O ) I ( I  A) , IE cắt đường tròn (O ) K( K  I ) Gọi M trung điểm đọn thẳng EF Chứng minh ba điểm B, M , K thẳng hàng Lời giải a) Ta có: AD , BE, CF đường cao ABC  AD  BC    BFC   90   BE  AC   ADC  BEC CF  AB    BFC   90( cmt ) Xét tứ giác BCEF ta có: BEC  BCEF tứ giác nội tiếp (Tứ giác có hai đỉnh kề cạnh nhìn cạnh đối diện góc bẳng nhau)   CEH   90  90  180 Xét tứ giác CDHE ta có: CDH  BCEF tứ giác nội tiếp (Tứ giác có tổng hai góc đối diện 180 ) b) Ta có: BCEF tứ giác nội tiếp (cmt)   FCB  (hai góc nội tiếp chắn cung BF )  FEB Lại có: CEHD tứ giác nội tiếp (cmt)   HCD  (hai góc nội tiếp chắn cung HD )  HED   FCB  Hay FED   BED  (  FCB )  FEB  (dpcm)  EB tia phân giác FED Ta có: BCEF tứ giác nội tiếp (cmt) Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268   FCE  (hai góc nội tiếp chắn cung EF )  FBE Lại có: CEHD tứ giác nội tiếp (cmt)   HCE  (hai góc nội tiếp chắn cung EH )  HDE   HDE  Hay FCE   HDE  (  FCE )  FBE Xét BFE DHE ta có:   HDE  (cmt ) FBE   HED  ( cmt ) FEB  BFE ~ DHE( g  g )( đpcm ) c) Chứng minh: HI  HD BFE ∽ DHE  BF FE BF FM    DH HE HI HE  ) Suy BFM ∽ IHE c.g.c  FBM    IHE  (  180 o  BCA Lại có BFE     HIK   FBK   B , K , M thẳng hàng Mà HIK Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 PHÚ YÊN Câu 16 (2,00 điểm) Cho hình thang ABCD có Aˆ  Dˆ  90 , AD  AB , CD  AB Gọi M trung điểm AD , E hình chiếu vng góc M lên BC Tia BM cắt đường thẳng CD F   MBE  a) Chứng minh MAE b) Chứng minh ABDF hình bình hành c) Đường thẳng qua M vng góc với BF cắt cạnh BC N Gọi H hình chiếu vng góc N lên CD Chứng minh tam giác BNF cân d) Chứng minh đường thẳng MH qua trung điểm DE Lời giải   MBE  a) Chứng minh MAE Xét tứ giác ABEM có   90 (gt) MEB   90 ( E hình chiếu vng góc M lên BC ) MAB   MEB   90  90  180  MAB  Tứ giác ABEM nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bù nhau)   MBE  (hai góc nội tiếp chắn cung ME )  MAE b) Chứng minh ABDF hình bình hành Ta có: AB // CD ( ABCD hình thang)  AB // DF Áp dụng hệ định lý Ta-let, ta có: AB AM  DF MD Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 AB   AB  DF DF Xét tứ giác ABDF , ta có: AB // DF (cmt) AB  DF (cmt)  Tứ giác ABDF hình binh hành (tứ giác có cặp cạnh vừa song song vừa Mà AM  MD ( M trung điểm AD ) nên nhau) c) Chứng minh tam giác BNF cân Ta có: ABDF hình bình hành (cmt)  Hai đường chéo AD BF cắt trung điểm đường Mà M trung điểm AD (gt) nên M trung điểm BF Xét BNF có: NM đường trung tuyến ( M trung điểm BF ) NM đường cao ( MN  BF )  BNF cân N (tam giác có trung tuyến đồng thời đường cao) d) Chứng minh đường thẳng MH qua trung điểm DE Gọi K giao điểm MH DE Xét tứ giác MNHF có   90 ( MN  BF ) NHF   90 ( H hình chiếu vng góc N lên CD ) FMN   NHF   90  90  180  FMN  Tứ giác MNHF nội tiếp (tứ giác có tổng hai góc đối bù nhau)   HMN  (hai góc nội tiếp chắn cung HN ) (1)  HFN )   NBM  ( NBF cân N ) mà NBM   NME  (cùng phụ BME Ta có: NFM   NME  (2)  NFM Từ (1) (2), ta cộng vế theo vế, ta được:   NME   HFN   NFM   HME   HFM  HMN  Mà HFM ABM (so le AB // DF ) Mặt khác,  ABM   AEM (hai góc nội tiếp chắn  AM , ABEM nội tiếp)   HME AEM mà hai góc nằm vị trí so le nên AE // MH Xét AED có: M trung điểm AD (gt) AE // MK ( K  MH , AE // MH )  K trung điểm DE (định ly đường trung bình tam giác) Vậy MH ln qua trung điểm DE (đpcm) Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 QUẢNG TRỊ Câu (3,5 điểm) Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm F, vẽ FE vng góc với BC E Gọi (O) đường tròn ngoại tiếp tam giác CEF Đường thẳng BF cắt đường tròn (O) điểm thứ hai D, DE cắt AC H Chứng minh tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp   BDA  Chứng minh BCA Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Lời giải: Chứng minh tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp   FEB   900  900  1800 nên suy tứ giác ABEF tứ giác nội tiếp Ta có: FAB   BDA  Chứng minh BCA   BDC   900 nên tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp Ta có: CAB   BDA  (là góc chắn cung AB) Suy BCA Chứng minh hai tam giác AEO EHO đồng dạng   CBD   OEH  Trước hết ta chứng minh: OAE   FBE  (Vì chắn cung EF) Trong tứ giác nội tiếp ABEF ta có: FAE   CBD  1 Suy OAE o     180  EOD  90o  EOD , Trong tam giác cân ODE (cân O), ta có: OED Mà   ECD  EOD  EOD   BCD   ECD 2 (góc nội tiếp góc tâm chắn cung ED) Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268    90o  EOD  90o  BCD   CBD  Suy ra: OED  2   CBD   OEH  Từ (1) (2) suy ra: OAE Xét hai tam giác OAE tam giác OEH có: * Góc O chung;   OEH  (theo chứng minh trên) * OAE Vậy OAE  OEH  g.g  Đường thẳng AD cắt đường tròn (O) điểm thứ hai G, FG cắt CD I, CG cắt FD K Chứng minh I, K, H thẳng hàng Trong tam giác CKF ta có CD FG đường cao nên giao điểm chúng trực tâm tam giác CKF Vì để chứng minh I, K, H thẳng hàng ta cần chứng minh KH đường cao tam giác CKF cần chứng minh KH  CF   OAE  (Vì OEH  ) Thật vậy, trước hết ta có ODE Suy tứ giác ADOE tứ giác nội tiếp Từ suy  ADE   AOE (2 góc nội tiếp chắn cung AE)  (Trong tứ giác nội tiếp, góc ngồi góc đối diện) Mà  ADE  GCE  (3) Suy  AOE  GCE   OAE  (4) Vì tứ giác ABEH tứ giác nội tiếp nên suy CBK   1800  KCB   1800  GCE  (5) Trong tam giác KCB ta có: CKB    CBK     CBK    OHE   OEA  (theo chứng minh câu 3) Lại có DHA   1800    (6) Suy DHA  AOE  OAE    DHA  hay CKD   DHA  Từ (3), (4), (5) (6) suy CKB Suy tứ giác CKDH tứ giác nội tiếp   CDK   900 (2 góc nội tiếp chắn cung CK) Suy CHK Suy KH  CF Vậy I, K, H thẳng hàng Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 SƠN LA Câu (3,0 điểm) Cho tam giác ABC nhọn có đường cao AD H trực tâm tam giác Vẽ đường trịn tâm I đường kính BC , từ A kẻ tiếp tuyến AM , AN với đường tròn  I  ( M , N tiếp điểm) a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn b) Chứng minh  AMN   ADN  AHN   AND c) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng Lời giải a) Chứng minh tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn Theo giả thiết, AM , AN tiếp tuyến đường tròn  I  với M , N tiếp điểm   AMI   ANI  900 Xét tứ giác AMIN có  AMI   ANI  900  900  1800 , mà  ANI hai góc vị trí đối AMI  diện suy tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết) Vậy tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn b) Chứng minh  AMN   ADN  AHN   AND Theo giả thiết AD đường cao  ABC  AD  BC hay  ADI  900 Xét tứ giác ADIN có  ADI   ANI  900  900  1800 , mà hai góc  ANI vị trí đối ADI  diện  tứ giác ADIN nội tiếp đường tròn (dấu hiệu nhận biết)   ADN   AIN (góc nội tiếp chắn cung  AN ) (1) Theo câu (a), tứ giác AMIN nội tiếp đường tròn   AMN   AIN (góc nội tiếp chắn cung  AN ) (2) Từ (1) (2) suy  AMN   ADN Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 Gọi E chân đường cao hạ từ B xuống AC , BE  AC   AEH  900 Xét AEH ADC có   Chung DAC   AEH # ADC ( g  g )  AEH   ADC  900  AH AE   AH AD  AC AE (3) AC AD  Xét AEN ANC có: Chung EAN   ) ANE   ACN (góc nội tiếp góc tạo tia tiếp tuyến dây cung chắn cung EN  AEN  ANC ( g  g )  AE AN   AC AE  AN (4) AN AC Từ (3) (4) suy AH AD  AN  AH AN  AN AD Xét AHN AND có   Chung HAN    AHN  AND (c  g  c) AH AN  (cmt)  AN AD   AHN   AND (đpcm) c) Chứng minh ba điểm M , H , N thẳng hàng   I  ) Ta có  AMN   ANM (hai góc tạo tiếp tuyến dây cung chắn cung MN   ANM  ADN Theo câu (b), ta có AHN  AND   ANH   ADN  ANH   ANM , mà H , M nằm phía với AN  ba điểm H , M , N thẳng hàng Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 TRÀ VINH Câu (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O) Các đường cao AD ( D  BC ), BE ( E  AC ), CF ( F  AB ) cắt H Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường tròn  Chứng minh DA phân giác EDF Kẻ đường kính AK, gọi I trung điểm BC Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng Lời giải A E F O H B D C I K Chứng minh tứ giác BCEF nội tiếp đường trịn Tứ giác BCEF có   900 (BE đường cao) BEC   900 (CF đường cao) BFC   BFC   900  BEC Vậy tứ giác BCEF nội tiếp  Chứng minh DA phân giác EDF Tứ giác DHEC có   900 (BE đường cao); HDC   900 (AD đường cao) HEC   BFC   900  900  1800  BEC Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268   HCE  ( chắn cung HE)  Tứ giác DHEC nội tiếp  HDE   HBF  ( chắn cung HF) Tương tự, ta chứng minh HDF   HBF  ( chắn cung FE)  HDE   HDF  Mà HCE  Vậy DA phân giác EDF Chứng minh ba điểm H, I, K thẳng hàng   ACK   900 Vì AK đường kính (O) nên ABK KC  AC  KC / /BH BH  AC Ta có  Tương tự ta có BK / /HC Suy tứ giác BHCK hình bình hành Mà I trung điểm BC Suy I trung điểm HK Vậy ba điểm H, I, K thẳng hàng  ... thẳng hàng Mà HIK Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 PHÚ YÊN Câu 16 (2,00 điểm) Cho hình thang ABCD có Aˆ  Dˆ  90 , AD  AB , CD  AB Gọi M trung điểm... bình hành Ta có: AB // CD ( ABCD hình thang)  AB // DF Áp dụng hệ định lý Ta-let, ta có: AB AM  DF MD Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 AB   AB ... IK  ID IC IM IK  ID IC Khóa học Online Hình học nâng cao K5 luyện thi vào 10 Zalo đký: 0989.15.2268 HÀ NỘI Bài IV (3, 0 điểm): Cho tam giác ABC vuông A Vẽ đường trịn tâm C , bán kính CA Từ