CHÚC CÁC BẠN THI ĐỖ CẤP 3 NHA ^ = 2x +1 có đồ thị (C) x +2 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số b) Chứng minh đường thẳng d: y = - X + m luôn cắt đồ thị (C) hai điểm phân biệt A, B Tìm m để đoạn AB có độ dài nhỏ Câu Giải phưong trình: a) 2(V2 + b) + 3(V2 - \y-^ - = 0; sin'' 2x + cos''2x = cos x (k ( 7Ĩ \ tan -X tan —+ x u ; u ) Câu a) Tính ^ = j cos(lnx)í7x; I b) Tìm số phức z thỏa mãn: ' z+i ' = U -iy Câu Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho hai súc sắc xuất mặt chẵn tích số chấm súc sắc số chẵn Câu 5, Cho hình chóp S.ABCD có s c ± (ABCD), đáy ABCD hình thoi có cạnh í^^/3 ABC = \2(y Biết góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) 45” Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD khoảng cách hai đưòng thẳng SA, BD Câu Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x^ + y^ - 6x + 2y - 15 = Tìm tọa độ điểm M đưÒTig thẳng (d): 3x - 22y - = 0, cho từ điểm M kẻ tới (C) hai tiếp tuyến MA, MB (A, B tiếp điểm) mà đường thẳng AB qua điểm C (0;1) Câu Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz cho điểm 1(2; 3; -1) đường x + y- -2 _ z + Tìm toạ độ điểm r điểm đối thẳng (d) có phưcmg trình: -1 xứng với điểm I qua đưỊTig thẳng (d) Lập phương trình mặt phẳng (a) qua đường thẳng (d) vng góc với mặt phẳng (Oxy) Câu Tìm a để hệ phương trình sau có nghiệm: I ^ ^ ^ [x + _v = 2ữ + l Câu Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = Chứng minh rằng: 4a^ 4b^ 4c^ (l + 6)(l + c) (l + c)(l + ữ) (l + ữ)(l + ố) ^ Giải Câu a) Tập xác định: Z) = i?\{-2} Sự biến thiên: * Tiệm cận: 2x + l 2x + l ^ ^ +) Vì h m -= +CO , h m = -00 nên đường thăng X - - tiệm ^->-2“ x + x +2 cận đứng +) Vì lim 2jc+1 x +2 2jc ^ = 2, lim — = nên đưòng thăng y = tiệm cận ngang x +2 * Chiều biến thiên: +) Ta có: y' = r)0,Vx7^-2 (x + 2ý Hàm số ln đồng biến khoảng (-oo; -2 ) (-2; +oo) +) Bảng biến thiên X y' y l -00 +00 + + -^+00 ^ ^ ^ -00 Vẽ đồ thị: b) Hoành độ A, B nghiệm phưomg trình 2x + ỉ / \ ^ — = - x + w=>x + ( - m ) x + l - m = x +2 ^ ’ Để phưoTig trình có nghiệm phân biệt khác -2 A =[ - m f - { \ - m ) ) |w^+12)0 '- ( - m ) + l- /n ^ [-3 ^ Vm Khi AB^ = { x ^ - x ^ f +{ y 2~ y ị f =2{X2- X, f =2 {x^+x^f - 4x^x^ = r ( m -4 ) '- (l- /n ) = 2(m '+12) Suy AB ngắn 2 - ( - cos^4xỊ = 2cos''4x 11 = cos^ 4x; < t < sin^ 4x = cos''4x t =\ t =- - < | 2t ^ - / - l = kĩĩ Với t = 1=>cos 4x = 1sin4x = ^ X=-— Đối chiếu với điều kiện phương trình có nghiệm: x=— (n z ) Câu a) Đặt: \u = cos(lnx) \dv = dx du = sin(lnx)íủ: V = X e’' ^ e’' Vậy: / = Jcos(lnx)í/x = x.cos(lnx)p + Jsin(lnx)ííx = - ( e ''+ + J 1 Đặt: u = sin(lnx) \dv = dx du = —cos(lnx)ú?x V= X Vậy; J = |sin (ln x )íừ = x.sin(lnx)|'^ - j cos(lnx)íử = - / 1 D o đ ó ta đ ợ c : / = -(e'^ + l^ b) z+i \z -i) * Nếu ^ z + z^ ^ \z -i) = 1« \z -i) ^ 1= \z -i) e "+ l +1 = = -^-^ = ±1 o z = z -i / _ •\2 ^z + i^^ ' z+i ' + 1= « -i = 0« * Nếu \z -ì) U -iy '^z + i^ y z -\) ^z+ i^ +i = U -iy « z = ± Vậy z = 0; z = ±l Câu +) Gọi A biến cố “Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn” B biến cố “Con súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn” X biến cố “Hai súc sắc xuất mặt chẵn” Ta có A B hai biến cố độc lập P(A) = P(B) = — = —(Trong mặt thỉ có mặt chẵn) Do ta có; P(X) = P(AB) = P(A ) P(B) = = +) Gọi Y biến cố “Tích số chấm súc sắc số chẵn” Có khả xảy để tích số chấm súc sắc số chẵn: Con súc sắc thứ xuất mặt chẵn, súc sắc thứ hai xuất mặt lẻ Con súc sắc thứ xuất mặt lẻ, súc sắc thứ hai xuất mặt chẵn Cả hai súc sắc xuất mặt chẵn Và ta có Y “Tích số chấm súc sắc số lẻ” có khả hai súc sắc xuất mặt lẻ Như lần ta lại thấy ưu biến cố đối Ta có Y = AB Y A , B độc lập nên ta có: P( Y ) = P( A ).P( B ) = [ - P(A)] [ - P(B)] f f1—0l 2j l 2] Ị_ DođóP(Y )= - P (Ỹ )= - - =0,75 Câu Kẻ SK ± A B (K e AB) ^ C K I A B (định lí đường vng góc) Khi góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD)\à góc SK CK Do SKC nhọn nên ^ = 45°; Ấ s c = 120° ^ C B K = 60° Trong tam giác vuông CKB: CK = CB sin 60°0 = Tam giác SCK vng cân Cnên Ta có Do sc =~ ~ AB.BC sin 120 = SC = =i (đvtt) Gọi o = A C nB D ÍB D IA C T a c ó s => BD J_ (SAC) tai o [b d i s c Kẻ OI ± SA (I e SA) => OI đoạn vng góc chung SA BD Dùng hai tam giác đồng dạng AOI ASC suy OI = Vậy d(SA,BD) = 10 3yÍ5a 10 3\Í5a 7Õ~ A EBC vng B có EB = —AB= a; BC = 2a nên EC = ylBƠ+BE^ = Ậ a ý + a ^ = ữ^/5 + Vì SE J_ (ABC) nên HE hình chiếu SH mặt phẳng (ABC), SH1 CM nên EH1 CM Vậy tam giác CHE vuông H có ECH = ECM = a => CH = CErosECH = a\Ỉ5.cosa S afch = —CE.CH.sina - —.a\f5.a\Í5cosa.sma = ^ ^ s in a 2 Do I trung điểm CE nên s = —9 5a^ sin 2a Vây v= ^ ^ s in a 24 diện EHU lớn nhất: Ta có: 5a^ V— sin2a |x-l| (w + 2)x +AW> m > -2 x + -4 x + l (vì xe[0;2]) x+1 Xét hàm sô f { x ) = - đoạn [O; 2], ta có 245 Vậy bất phương trình cho có nghiệm /n > mi n / ( x ) = / Ị - +Vó j = 2V6 - Câu Vì số a,b,c dương nên áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta /—77 \ a + ịb + c) có: Ja(b + c ) < ^ I ã a 2a ■■= , > — -7-— Vb + C yjaịh + c) a + b + c Tương tự ta có: ' b 2b > \ c +a ữ + è + c ' c ^ 2c \a +b a + b+ c Cộng bất đẳng thức chiều ta có b +c c +a + a+b > 2a + 2b + 2c = a+b+c a = b +c Dấu xảy b - c + a a = b = c - Q, không thoả mãn c = a +b V ậ y , | i z : | i ã i + j i e >2 \ b +c \ c + a \ a +b Đe số 30 Câu Chuyên VP Cho hàm số y= 2jc+1 có đồ thị ( c ) x-1 a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị ( c ) hàm số b) Tìm giá trị mđể đường thẳng (í/|): >”= -3x + m cắt đồ thị (c) A B cho trọng tâm tam giác OAB thuộc đường thắng (^(/2): x - y + = (O gốc toạ độ) 246 Câu Giải phương trình: a) log^Cx -3 ) + log7(x - 1) = 3; b) sin^ ^X n J~ /-V tan x - c o s —= n ~ĩ Câu a) Tính tích phân: I - ị — sin2jc -dx cos x + 2sinx b) Cho Z], Z2 nghiệm phức phương trình 2z^ - 4z +11 = Tính I |2 I |2 giá trị biểu thức A = ' '' ' (z^+z^Ý Câu 4, Có hai hộp chứa cầu Hộp thứ có cầu đỏ, cầu xanh Hộp thứ hai có cầu đỏ, cầu xanh Từ hộp lấy ngẫu nhiên cầu Tính xác suất để cầu lấy màu đỏ xác suất để cầu lấy màu Câu Cho khối lăng trụ ABC.AiBiCi có đáy ABC tam giác vng cân với cạnh huyền AB = \Ỉ2 Cho biết mặt phẳng (AAiB) vng góc với mặt phẳng (ABC), AA, = V3, góc AịAB nhọn, góc mặt phẳng (A|AC) mặt phẳng (ABC) 60° Hãy tính thể tích khối lăng trụ Câu Trong hệ trục Oxy, cho đường tròn (C): x^+y^ -8x+12=0 điểm E(4; 1) Tìm toạ độ điểm M trục tung cho từ M kẻ tiếp tuyến MA, MB đến (C), với A,B tiếp điểm cho E thuộc đường thẳng AB Câu Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (-l; 0; 2), mặt x-3 _ y -2 _ z-6 phẳng (P): 2x - y - z +3 = đường thẳng (d); Tìm giao điểm đường thẳng d mặt phẳng (P) Viết phương trình mặt phang (Q) qua A song song (P) Viết phương trình mặt cầu (S) tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) ^/4x"-i^ + ^/2x"+ỹ = Câu Giải hệ phương trình < _ ^J2x + y +X + y = -2 247 Câu Cho số dưoTig a, b, c Chứng minh bất đẳng thức: a+b b+c c+a >4 a b c ■+—— + b + c c + a a +b Giải Câu a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị Tập xác định Rl{l} Sự biến thiên +/ = -3 đường thẳng X = tiệm cận đứng lim X —> -0 = lim y = ^ đường thẳng = tiệm cận ngang x —y+ oữ • Bảng biến thiên: -00 X y’ +00 - +00 y —00 A = (l + mỸ -1 (l + w ) > - ( l + w) + (l +w) íl + w < O v l + /n >12 m < -\ [1^0 m > 11 (•) Gọi X,,X2 nghiệm ( l ) Khi ^(xp-Sx, +mỴ,B{^X2,-l)X^ + m ) Gọi _ X, + + m + \ = ^ = -" ^ _ + _V2 + _ -3(x, + ) + 2/n _ m-1 ■ Xr G trọng tâm tam giác OAB; G e ((/2) -^C“ ^yc + = \ +m m -\ \ J J + 2= m = không thoả mãn (*) Vậy không tồn m thỏa mãn yêu cầu toán Câu a) log2(x - 3) + log2(x - 1) = (1) íx-3>0 Điêu kiện < o X > [x-l>0 Ta có (1) log2(x - 3)(x - 1) = C:> (x - 3)(x - 1) = 343 X = 2-2V86 _x = 2+2 Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm phưong trình X = 2+2 b) sin^ sin^ ^ = f\0 tan 2x -c o s 2— 2 T, X K X n tan x -c o s —= 2~4, Điều kiện: cosx^0 x ^ — + k7ri^k&z) 249 Khi phương trình trở thành: 1-cos ^ k '^ sin^x 1+ cosx ( l - s i n x ) ( l cos xj 1+ cosx V 2y — lí i r -:=0-^^ — - - - — -= cos^x ^1-sin^xỊ X - — (l-cosx) (l + cosx) 1+ cosx ^ 1+ cosx 1- cosx V— II— —— = 0— 1+ s inx (l + sinx) 2 1+ cosx = cosx=-l -cosx-sinx =0cỳ sinx+cosx=0 1+ s inx X = 7ĩ + k ĩ ' """ , n ,_(Ẩ:eZ) x - — -^kn L cosx=-l tanx = - l ^ , n K Câu a) Ta có / = f - — - dx = \ ị - c o s x + 2sinx sin x.cosx -dx sin^ x + 2sinx + l Đặt t = sinx=>cỉt = cosxdx Đổi cân: x = 0=>t = 0; x = —=>t = l = \ ^ ^ = f - ^ = | ^ ^ l ^ í / í = \ ^ - \ — ^ d t {e+2t +ì i ( í + l)' Ị / = = ị (t + l f [ ỉ í + ỉ ( t + l) * ln(t + l ) | ' + - Í - =21n2-l “ t + 0_ b) Giải phương trình cho ta nghiệm: 3V2_ 3V2_ Zj = ^—/, Z2 = 1H ^ Ì Suy |z, 1=1^2 \= ; z, + Zj = + V |2 I i2 Do l í i T i M {Z\+Z2Ỷ 250 y n Câu + Gọi: A biến cố “Quả cầu lấy tò hộp thứ màu đỏ” B biến cố “Quả cầu lấy từ hộp thứ hai màu đỏ” X biến cố “Hai cầu lấy màu đỏ” Ta có X = AB, P(A) = — , P(B) = — = - 12 10 Mặt khác A B độc lập nên P(X) = P(A)(B) = 12‘ 20' + Gọi: Y biến cố “Hai cầu lấy màu xanh” z biến cố “Hai cầu lấy màu” Ta có Y = AB Mặt khác A B độc lập nên P(Y) = P(Ã ).P(B ) = [1 - P(A)][1 - P(B)] = \ ' r,1 - 3^ V 12, Thấy z = X u Y, X n Y = nên P(Z) = P(X) + P(Y) Câu 5, Tính thể tích khối lăng trụ ABC.AiBiCi + Gt: (AịAB) (ABC) Từ A] dựng A i H l A B tạiH ^ A^fí ± (ABC) =>A ịH chiều cao lăng trụ Đặt AiH = h + Dựng H K I A C K (HK//BC) AAKH vng cân K HK hình chiếu AiK (ABC) mà AC1 HK nên AC1 AiK Vậy {(ẠAQ,(ABQ) = = 60“ Ị_ 20 ' 60 B, AA ịHK vuông H: ^ H K =A ,H coX Ấ ^ = h cot 60“ = S ' hsíĩ AAHK vng cân K=> AH = HKyĩĩ = — V3 AAiHK vuông H=> AịH^ + HA^ = A^A^ 2h^ ^5' v = s,„r -ẢH = - CA.CBM = - C4^ = ^ ^ ^ 2 Vs AABC, c = Iv ^ A + CB^ = AB^ ^ 2AC^ = Vậy V = 2^/5 (đvtt) Câu Đường tròn (C): ( x - ) ' + / =4=>/(4;0),i? = Gọi M(0;a) thuộc Oy A{x^;y^),B{x^;y^)e{C) Tiếp tuyến A B có phương trình là: ( x , - ) ( x - ) + y,y = 4, ( x - ) ( x - ) + y2T = Đe thỏa mãn tiếp tuyến qua M(0;a) C í> (x, - ) ( - ) + yiú! = ,( x - ) ( - ) + y,ứ Chứng tỏ (AB) có phương trình: -4(x-4)+ay=4 Nếu (AB) qua E(4;l); -4(0)+a.l=4 suy ra: a=4 Vậy Oy có M(0;4) thỏa mãn 252 = AC = \ Câu ^ x-3 y-2 +) Đặt ăt t = = z-( — X = + 2t; y = + 4t z = + Thay vào phưoTig trình mp(P) giải t - Từ tìm tọa độ giao điểm M(5; 6; 7) Do mặt phẳng (Q) qua A song song (P) nên có phương trình dạng x - y - z + d = Vì (Q) qua A (-l; 0; 2), nên có d = Vậy pt (Q); x - y - z + = +) Mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phang (P) có bán kính _ |2 (-l)-2 + 3|_ R = d(A, (P)) = V4+1+1 Vó Phương trình mặt cầu là: (x +1)^ + Câu Điều kiện: + (z - 2)^ = — |4x + y >0 12x + y > T a = J2x + y Đặt: , (a > 0, b > 0) Suy ra: x + y = —a ^ - — h ^y j4 x + y 2 Ta có hệ a^2 - ^- 02 = -2 a +— a +b = « +5a-6 = \b = - a a =1 a = -6 b =4 - a \a = ì [b = ịa = -6 = 10 Với điều kiện a > 0, b > 0, ta được: \a = \ l6 = J2x + y =1 Í2x + y = l , _