HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN

HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN THI THPTQG MÔN TOÁN

Trang 2

BÙI VĂN NGHỊ (Chủ biên)

TRAN QUANG VINH - LƯU BA THANG

CHU CAM THƠ - NGUYỄN TIẾN TRUNG

HƯỚNG DẪN ÔN LUYỆN

Trang 6

LỜI NÓI ĐẦU

Cuốn sách nham dap ung nhu cầu của học sinh trong việc ôn luyện thị trung hoel phé théng quéc gia va tuyén sinh dai học, cao đẳng hệ chính quy mơn Tốn theo định hướng của Bộ Giáo dục và Đào tạo

Nội dung cuốn sách gôm ba phan, được các tác giả biên soạn theo hướng đồi mới về hình thức và nội dung, đồng thời hướng tới những tài liệu bồi dưỡng giáo viên trong

những năm sau Phần một là định hướng chung của kì thi trung học phổ thông quốc gia va

tuyén sinh dai hoc, cao dang hé chinh quy mơn Tốn; Phẩn hai là các chủ đề ôn luyện, trong mỗi chủ đề giới thiệu một số bài toán chọn lọc kèm theo hướng dẫn giải, khái quát những nhận xét và một số bài tập ôn luyện có hướng dẫn giải hoặc đáp số; Phần ba giới thiệu

một số đề thi tham khảo có hướng dẫn giải

Nội dung Phần hai gồm 9 chủ đề: s Hàm số và ứng dụng của đồ thị hàm số; se Phương trình, bất phương trình và hệ phương trình; ® Nguyên hàm và tích phân; se Tô hợp và xác suất; e Số phức; se Hình học không gian;

e Phương pháp toạ độ trong mặt phẳng; e Phương pháp toạ độ trong không gian;

e Ứng dụng của phương pháp hàm số

Trong mỗi chủ đề, các tác giả trình bày thong nhất theo các mục: Kiến thức cần nhớ; GIới thiệu một số bài toán chọn lọc; Một số bài tập ôn luyện; Hướng dẫn giải - Đáp số

một số bài tập ôn luyện

Cuốn sách có thể xem là một tài liệu tham khảo cho các thầy cô giáo giúp học sinh ôn luyện mơn Tốn cho kì thi trung học phô thông quốc gia và tuyển sinh đại học, ca0 đắng hệ chính quy

Tập thể tác giả mong muốn nhận được những góp ý của độc giả dé nang cao chat lượn§

cuốn sách Các ý kiến góp ý cho cuôn sách xin gửi vê địa chỉ:

Phòng biên tập, Nhà xuất bản Đại hoc Su phạm, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội “

Số 136, Đường Xuân Thủy, Quận Cầu Giấy, Thành phố Hà Nội

Các tac gid

Trang 7

Phần một

ĐỊNH HƯỚNG CHUNG

KÌ THỊ TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA

VÀ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG HỆ CHÍNH QUY

MƠN TỐN

Ngày 02/9/2014, Bộ trưởng Bộ Giáo dục và Đào tạo đã ban hành Quyết định số 3538/QD-BGDDT về việc phê duyệt phương án thi tốt nghiệp trung học phổ thông và

tuyển sinh đại học, cao đăng từ năm 2015 (gọi là kì thi trung học phố thông quốc gia), trong đó quy định thí sinh phải thi bốn môn tối thiểu gồm: ba môn bắt buộc là Toán, Ngữ văn, Ngoại ngữ và một môn tự chọn trong các môn Vật lí, Hoá học, Sinh học,

Lịch sử và Địa lí Ngoài bốn môn thi nói trên, thí sinh có quyền đăng kí thi thêm các

môn thi còn lại của kì thi để sử dụng cho việc đăng kí tuyển sinh đại học, cao đăng theo yêu câu của các ngành đào tạo do từng trường đại học, cao đăng quy định trong Đề án tuyển sinh của trường đó

Đề thi trung học phố thông quốc gia và tuyển sinh đại học, cao đăng hệ chính quy

mơn Tốn về cơ bản như năm 2015, bám sát chương trình trung học phô thông, chủ yếu là lớp 12, tăng cường độ phân hoá và có nhiều câu hỏi mở, câu hỏi găn với thực tiễn và câu hỏi vận dụng Đê thi có phần kiêm tra kiến thức cơ bản, dùng để xét tốt nghiệp;

và phân nâng cao, dùng để sàng lọc thí sinh trong tuyển sinh vào các trường đại học,

cao đắng hệ chính quy

Đề thi nói chung sẽ đảm bảo cả bốn mức độ nhận biết, thông hiểu, vận dụng,

vận dụng cao Đề thì đồi hỏi học sinh vận dụng kiến thức tong hop, liên môn đễ làm bài,

giải quyết các vấn đề liên quan đến thực tiễn cuộc sống Công tác ra đề thi tiếp tục được

đổi mới theo hướng đánh giá năng lực người học, tăng dân các câu hỏi ở mức độ vận dụng,

các câu hỏi mở; nội dung câu hỏi chú trọng hình thành phẩm chất, năng lực của

học sinh; đề thi sẽ tăng dần yêu cầu vận dụng kiến thức tổng hợp, liên môn từ dễ đến khó

Đề thi mơn Tốn ở dạng tự luận với thời gian làm bài là 180 phút

Trang 8

Phần hai ry CAC CHU DE ON LUYEN J si Ve ; ayaa Lee a ORE Chu dé 1

HAM SO VA UNG DUNG CUA D6 THI HAM S6

KIEN THUC CAN NHG

EI Sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Định lí:

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng trong R

Cho hàm sô y = f(x) có đạo hàm trên K

— Nêu ƒ(x) > 0 với mọi x e K thì hàm số đồng biến trên K

— Nêu F(x) < 0 với mọi x e K thì hàm số nghịch biến trên K

— Nêu f(x) = 0 với mọi x e K thì hàm số không đổi trên K Mở rộng định lí:

— Nêu f(x) > 0 với moi x e K và f(x) = 0 chỉ tại một số hữu hạn điểm của K thị hàm sô đồng biên trên K

— Nếu f(x) < 0 voi moi x € K va f(x) = 0 chi tai mét số hữu hạn điểm cua K thj hàm sô nghịch biên trên K

Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số: Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Tính đạo hàm f(x) Tìm các điểm x; (ï= 1, 2 , n) mà tại dé dao ham bang)

hoặc không xác định

Bước 3: Sắp xếp các điểm x; theo thứ tự tang dan va lap bang biến thiên

Bước 4: Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số | Cực trị của hàm số Điều kiện cần để một hàm số có cực trị: Định lí 1: Giả sử hàm số y = f%) có cực trị tai diém xạ Khi đó nếu tôn tại đạo hàn f(;) thì f(xo) = 0 Điều kién du để một hàm SỐ có cực trị: Định lí 2: Cho ham sé y = f(x) liên tục trên khoảng K chứa xọ và có đạo hàm trời K\ {xo}

- Nếu f() đổi dau tir 4m sang dương khi x qua x thì f(x) đạt cực tiêu tại Xọ — Nếu f() đôi dấu từ dương sang âm khi x qua xọ thì f(x) đạt cực đại tại xo

~ Nếu f(x) không đổi dấu khi x qua Xo thi f(x) không có cực trị tai Xo

Trang 9

Điêm cực tiều jo | " Ỷ ee Điêm O ị X cực đại

Định lí 3: Cho hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng (a; b) chứa điểm xo

sao cho (xạ) = 0 và f'(xạ) # 0 Khi đó:

— Nếu f“(xạ) < 0 thì hàm số đạt cực dai tai xo; — Nếu f(xạ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại xo (c z 0, ad - bc z 0) | E] Tiệm cận của đồ thị hàm số y = ax +b | cx+d Tap xac dinh: R \ te] E a : “me ‘ wh a a a +) lim y=—, suy ra đường tiệm cận ngang của đô thị là y=— x—>‡œ C Cc +) lim y=to và lim y=-œ hoặc lim y=-œvà lim y=+œ suy ra đường _ + _— 2 x— X— X—>—— x— c c 6 C 2 N A Lá > <i A ` d tiệm cận đứng của đô thị là x=—— C Các bước khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Bước 1: Tìm tập xác định của hàm số

Bước 2: Xét sự biễn thiên của hàm SỐ:

~ Tính đạo hàm y', xét dấu đạo hàm để suy ra chiều biến thiên của hàm số

— Tim cuc tri (đối với hàm số bậc ba, bậc bốn)

— Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và các đường tiệm cận (đối với

hàm bậc nhât trên bậc nhât)

— Lập bảng biến thiên của hàm số Bước 3: Vẽ đồ thị của hàm số:

— Vẽ các đường tiệm cận của đô thị (đối với hàm số bậc nhất trên bậc nhất)

Trang 10

Scanned by CamScanner

— Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thi, chang han tim giao điểm của dg thị

các trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm tog 4

giao điểm phức tap thì bỏ qua phần này)

— Vẽ đỗ thị

— Nhận xét về do thị: Chỉ ra trục đối xứng (đối với đồ thị hàm bậc hai, bậc bá,

tâm đôi xứng (với đô thị hàm bậc ba hàm bậc nhất trên bậc nhất), hình dạng tông quát ọ

đồ thị hàm sô

GIỚI THIỆU MỘT SỐ BÀI TOÁN CHỌN LỌC

Bài toán 1 Khảo sát sự biên thiên và vẽ đô thị của hàm sô y = x” — 3x sa z 2 r Lk ea < ow el 8 sẽ Ñ A 3 +† 2

tiếp xúc với trục hoành tại điểm (1; 0) và cắt trục tung tại điểm (0; 2)

Hướng dẫn

1) Tập xác định: R

2) Sự biến thiên:

— Chiều biến thiên: y'=3x”—3 =3(x + I)(x—1);y'=0 ©x=+I

Trên các khoảng (-œ; —1) và (1; +œ), y' > 0 nên hàm số đồng biến; trên khoải

(—1; 1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến

— Cực trị: Hàm số đạt cue dai tai x =—-1, yep = y(-1) = 4; Ham số đạt cực tiêu tại x = 1, yer = y(1) = 0 —Gidihan: lim y=+o; lim y=—œ X—>+00 X—>—œ — Bảng biến thiên: x | —œ —] 1 +00 v + 0 — 0 SP” y 4 a ee, 0 _—œ 3) Đồ thị:

— Đồ thị cắt trục hoành tại điểm (2; 0); — Đề thị nhận điểm (0; 2) làm tâm đối xứng

Trang 11

Bài toán 2 Khảo sát sự biện thiên và vẽ đỗ thị của hàm sé y= -x`+2xŸ— 1 Nướng dẫn 1) Tập xác định: ]R 2) Sự biến thiên:

— Chiều biến thiên: y' =_4x3+ 4w = —4x(x — L)(x + l); y'= 0 x =0 hoac x= 41

Hàm số đồng biến trên các khoảng (—co; -1), (0; l)

Hàm số nghịch biến trên các khoang (—1; 0), (1; +00)

— Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại hai điểm: x =—] và x = Ì, Ycp= y(-1) = y(1) =0;

Ham sé dat cực tiểu tại x = 0, ycr = y(0) = —1

Trang 12

` , ẳ , i; ` k ce nÌ 1 £ 2x+1 Bài toán 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ dé thị của ham so y= X+ ] 4 Huong dan | 1) Tập xác định: IR \ {-1) 2) Sự biến thiên: — Chiều biến thiên: y'= >0VxelR\{-I} (x +1)

Hàm sô đông biến trên từng khoảng (—œ;—1), (-1;+s)

- liệm cận: lim y=2; lim y=2=> Tiệm cận ngang: y = 2; X—œ X—+œ

lim y=+œ; lim y=-œ= Tiệm cận đứng: x = -1 , x >-1 x>-1* — Bang bién thién: —œo -1 = ' + + y +00 7 3) Đồ thị:

— Đồ thị cắt Ox tại điểm (5: 0 va cat Oy tai diém (0; 1)

Trang 13

xs 4 , a’ suy 3 & i ` A 3À 4 ˆ

Bài toán 4 Xác định gia trị của tham số m để hàm số sau đồng biên trên ÏR: I y=2x +mx” +(m+2)x= (3m = D Hướng dẫn +) Tập xác định: R +) Ta có: y'=x” +2mx +(m+2)

Do y’ la tam thức bậc hai, có A'=mˆ -(m+2)=mˆ-m-2= (m+l1)(m—2) và hệ sốa=1 >0; y' =0 có tối đa hai nghiệm trên IR, nên hàm số đồng biến trên ÏR khi và chỉ khi y' >0, Vx € R, hay v' có A' <0

Taco: A'<0@(m+1)(m—2)<0@-l1<m<2

Vậy hàm số đồng biến trên IR khi và chỉ khi —1<m <2

Bài toán 5 Cho hàm số y = x' ~ 6mx” — 3m” + 1 Xác định giá trị của tham sé m dé

hàm sô đồng biến trên nửa khoảng [2;+00)

Hướng dẫn +) Tập xác định: R

+) Ta có: y'=4xÌ—12mx =4x(x7 —3m); y' = 0 có tối da ba nghiệm trên lR, nên

hàm số đồng biến trên [2 ; +œ) khi và chỉ khi y'>0, Vx e[2;+œ) Ta có: 4x(x” -3m)>0Vx>2<© x7 >3m Vx>2 emis ile ae 2;+© Vậy hàm số đã cho đồng biến trên |2: +œ) khi và chỉ khi 3m< 4© m< : Bài toán 6 Xác định giá trị của tham số m để hàm số y=xÌ—2x”+ mx + ] đạt cực tiêu tại x = Ì Hướng dẫn +) Tập xac dinh: R +) Ta có: y' =3x?— 4x +m; y(1)=3—4+m=m-—1

Nếu hàm số đã cho đạt cực tiêu tại điểm x = 1 thì y'(1) = 0 và y' đổi dẫu từ âm sang

dương khi đi qua điểm x = 1

y'(1)=0 © m=l

+) Khi đó y' = 3x2— 4x + 1 =(x— 1x — I); y' = 0 tại hai điểm x = 1; x = 3

y'>0ex< 2 hoặc X3 lịy'€0Œ 2<x<,

i

Scanned by Camscanner

Trang 14

ae , z 4° A ` + A aa ` A aa LÁ 45 Bài toán 4 Xác định giá trị của tham số m để hàm số sau đồng biến trén R: y =.x +mx? +(m+2)x —(3m-—1) Nướng dân +) Tập xác định: IR +) Ta có: y'=x” +2mx+(m+2)

Do y' là tam thức bậc hai, có A'=m?2 —(m+2)=m? —m-—2=(m+1)(m—2) va hé

số a= 1> 0; y' =0 có tối đa hai nghiệm trén R, nén ham sé đồng biến trên IR khi và chỉ

- khiy >0, Vx € R, hay y’ cd A’ < 0

Ta có: A'<0‹©(m+1)(m-2)<0<>—1<m<2

Vậy hàm số đồng biến trên IR khi và chỉ khi —1< m <2

Bài toán 5 Cho ham sé y = x* — 6mx? — 3m + 1 Xác định giá trị của tham số m để

hàm sô đồng biến trên nửa khoảng |2;+œ)

Hướng dẫn

+) Tập xác định: R

+) Ta có: y'=4x”—12mx =4x(x? —3m); y' = 0 có tối đa ba nghiệm trên R, nén hàm số đồng biến trên [2 ; +00) khi va chi khi y'>0, Vx e [2; +00) Ta có: 4x(x” -3m)>0 Vx>2« x? >3m Vx>2 ©h3m mẫn g C4 ;+oo Vậy hàm số đã cho đồng biến trên |2;+œ) khi và chỉ khi 3m<4>m< : Bài toán 6 Xác định giá trị của tham số m đề hàm số y=x`—2x” + mx + 1 đạt cực tiểu tại x = ] Hướng dẫn +) Tập xác định: ïR +) Ta có: y' = 3x”— 4x + m; y'(1)=3—4+m=m-1

Nếu hàm số đã cho đạt cực tiểu tại điểm x = 1 thì y'(1) = 0 và y' đồi dấu từ âm sang

dương khi đi qua điểm x = I

y'(l)=0 © m=l

+) Khi đó y/ = 3x2— 4x + Í =(x~ I)(3x — 1; y' = 0 tại hai điểm x = 1; x = v

y'>0x< 2 hoặc x3 1; y'<0€ 2<x<I,

iS

Trang 15

Ta co bang bién thiên: X —co wt

Từ bảng biên thiên Suy ra x = Ï là điểm cực tiêu của hàm sô Vay voi m= 1 thi hàm số đạt cực tiêu tại x = 1

“hân xét: Ngoài cách làm trên, có thể làm theo cách khác dua vao dinh li 3 “Hà

số đạt cực tiểu fqi x = ÏI khi y1) = 0 và 141) > 0” Giải hệ điều kiện này và thử lại |

cling tìm được giá trị của m thoả mãn yêu câu đề bài

¬^

Bài tốn 7 Cho hàm sơ y = 2xỶ —3mxˆ + mẺ

a) Tìm m đề hàm sô có cực đại và cực tiều |

b) Viết phương trình đường thăng đi qua hai điểm cực trị của d6 thi ham số và tín

độ dài đoạn thăng nôi hai điểm cực trị đó |

Hướng dẫn a) +) Tap xac dinh: R

+) y'=6x" —6mx = 6x(x-m); y'=0@x=0 hoacx=m

Hàm số đã cho có cực dai va cuc tiéu khi va chi khi y’ đổi dấu hai lần, hay phươn trình bậc hai y' = 0 có hai nghiệm phần biệt, suy ra m # 0

Vậy với m # 0 hàm số có cực đại và cực tiều

b) +) y'=0<©©x=0 hoặc x =m Hàm số đạt cực trị tại hai điểm x = 0 và x =m

+) y(0) =m; y(m) = 0; suy ra hai điểm cực trị của đô thị hàm số là: A(0; m°*); B(m; 0)

+) Phương trình đường thăng đi qua hai điểm cực trị: x y 4 3 —+—,=lom’x+y-nr =0(m#0) | mm | | Ơ LaF ô c 5 ating 4 +) Độ dài đoạn tháng nôi hai điểm cực trị là: AB =vmÝ + m® = |m|-V1 +m‘

Bai toan 8 Cho ham s6 y= x? —3(m+1)x* —3(m+1)x—1 Tim tham sé m dé hàm

đạt cực đại và cực tiêu tại các điểm x¡; xa thoả mãn zt 5 1

Xj) X2

14

Trang 16

Hướng dẫn +) Tập xác định: IR

+) Ta có: y'=3xŸ — 6(m+])x —3(m +]) =3) x? — 2(m+l)x- (m+ DỊ;

A'=(m+1)* +(m+1)=(m+1)(m+2)

Hàm số đã cho có cực đại, cực tiểu khi y' đổi dấu hai lần, hay phương trình bậc hai:

y’ = 0 co hai nghiệm phân biệt Điều này tương đương với A'>0<»>m>—l hoặc m < —2

Ta thấy x = 0 không là nghiệm của phương trình y' = 0 khi m e (—œ; —2) t2 (—l; +œ)

Khi đó gọi xị; x; là hai nghiệm của phương trình y' = 0 thì xạ; x; là các điểm cực trị của hàm số đã cho Theo Định lí Vị-ét ta có: " +X; =2(m+]) XI.X¿ =-(m +]) 2 yt 1 (+x) ~2XỊX _ 4m+6 + =5 © 4m+6 5 oa] x? X2 X/XZ m+l “xổ x2 m+l (thoả mãn điều kiện A' > 0), Vay m= 1 là giá trị cần tìm

Bai toán 9 Cho hàm số y =—xÏ + 3x° + m* — 3m Chứng minh ham số luôn có cực đại, cực tiểu với mọi m Tìm tham số m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thắng d:y=x + I1 Hướng dẫn +) Tập xác định: lR +) Ta có: y' =—3x” + 6x =-3x(x— 2); y'=0 €> x= 0 hoặc x= 2

Với mọi m, y' = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt và y' đổi dấu qua hai nghiệm đó, nên hàm sô đã cho luôn có cực đại vả cực tiêu

+) y(0) = m - 3m; y(2) = m” - 3m + 4

Goi A, B là các điểm cực trị của đô thị hàm số, ta có: A(0; mˆ— 3m); B(2; mˆ— 3m + 4) Phương trình đường thing d:y=x+1hayx-y+1=0

_I —3m+ |

v2

Các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số cách đều đường thăng d khi và chỉ khi: