NHÓM GIẢNG VIÊN TUÁN - ĐHSP HÀ NỘI VŨ VIỆT YÊN- TRIỆU KHUÊ
Trang 2NHÓM GIẢNG VIÊN TOẠN - ĐHSP HÀ NOI
Trang 3Chịu trách nhiệm xuất bản:
Giám đốc NGUYÊN VĂN THÓA
Tổng biên tập NGUYÊN THIỆN GIÁP
Biến tập:
TRƯỜNG GIANG
Trang 4MỤC LỤC
Lời nói đầu
Một số sai sót thường mắc của thí sinh qua các
ky thi tuyển sinh
Chủ để 1 Bất đẳng thức
1 Kiến thức cơ bản
Il, Cac bat toan
A Bai toan mmh hoa phuong phap giai
B Các bài toán chọn lọc trong bộ để
€ Các bài toán trong để thì tuyển sinh các
trường ĐH, CÐ từ 1999 đến 2001
THỊ: Hướng dẫn giải các bài toán của chủ đề 1
Chủ đề 3 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của
biểu thức đại số 1 Kiến thúc cơ bản
1L Các bài toán
A Bài toán mình họa phương pháp tìm
GTLN GTNN của biểu thức đại số
B Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức
đại số trong bộ đề
€ Các bài toán GTLN, GTNN của biểu thức
Trang 5THỊ: Hướng dân giải các bài toan cúa chu dé
Chủ đề 3 Phương trình, bát phương trình bậc
nhất 1 Kiến thức cơ bản
1L Các bài toán
A Bài toán mình họa phương pháp giải
B, Các bài toán chọn lọc trong bộ để
€ Các bài toán trong dé thi tuyển sinh của các trường ĐH, CÐ từ 1999 đến 2001
III, Hướng dẫn giải các bai toan cua chu dé WI
Chủ đề 4 Phương trình, bất phương trình bac 2
§1 Phương trình bạc 3
1L Kiến thức cơ bản
1I Các bài toán
A Bài toán mình họa phương pháp giải
B Các bài toán chọn lọc trong bộ đề
C Các bài toán trong để thị tuyển sinh của
các trường ĐH CÐ từ năm 1999 đến 3001
THỊ Hướng dân giải
§9 Hệ phương trình hữu tý bác 2 có 9 ẩn số
1 Kiến thức cơ bản
II Các bài toán
Các bài toán mình họa phương pháp giải B Các bài toán chọn lọc tronz bộ để
> Các bài toán trong dễ thị tuyển sinh của
Trang 7CHU viet TAT VA CAC KY HIEU
DUNG TRONG SACH
— BDT (B.C.S): Bat dang thite (Bu nhi-a— cép—xki)
~ BBth: Bang bién thién
~ CMR: Chứng minh rang
= ĐK: Điều kiện
~ Đpem: Điều phải chứng minh
~— DS, HD: Dap sé, hudng dan
Trang 8LOI NOI DAU
Trong những đợt ôn luyện thì mơn Tốn để tham dự các
ky thi tốt nghiệp THPT và thì vào các trường Đại học, Cao đăng, mỗi thí sinh đếu mong muôn có một tài liệu được biên soạn đầy đủ về nội dụng, phong phú về phương pháp giải và
định ra được hướng ôn luyện sát với chương trình đòi hỏi
cho từng kỷ thì tuyển Đáp ứng yêu cầu đó tập thể nhóm
n thì mơn Tốn của trường ĐHSP Hà Nội ách "ướng dẫn ôn luyện thì môn Toán theo tác giả dạy luyé
biển soạn bộ
chủ để", Bộ sách này được chia thành nhiều tập và đây là
tap 1- DAI SO
Nội dụng tập sách này bao gồm:
1 Một số sai sót của thí sinh thường mắc phải qua các
kỳ tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng do không
nắm vững kiến thức cơ bản của Toán học
2 Những kiến thức cơ bản, trọng tâm cần thiết nhất để hiểu và giải đúng để toán theo từng chủ để
3 Các dạng đề toán đại số được chọn lọc xếp theo từng chủ để Mỗi chủ đề gồm các bài toán minh hoạ phương pháp
giải; Các bài toán điển hình, hay được chọn lọc trong bộ để
luyện thi của Bộ Giáo dục - Đào tạo xuất bản; Các bài toán
thi tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đẳng trong cả
nước của những năm gần đây Tất cả các bài toán đều có
Trang 9cho đáp số, thí sinh tự giải để kiểm tra chính mình Phản
này được thể hiện ở cuối mỗi chủ đề
Với kinh nghiệm tích luỹ qua nhiều năm hướng dẫn học sinh luyện thi, chúng tôi soạn bộ sách này hy vọng sẽ giúp
ích nhiều cho bạn đọc, đặc biệt là học sinh luyện thi vào Đại học, Cao đẳng và các bạn đồng nghiệp cũng như phụ huynh
học sinh có khả năng kèm luyện con em mình Rất mong nhận được sự góp ý của bạn đọc
Trang 10MOT SO SAI SOT THUGNG MAC PHẢI CỦA HỌC
SINH QUA CAC KY THI TUYEN SINH
Những năm ôn luyện thi và chấm thí vào các trường
ĐH và CÐ mơn Tốn phần đại số, đã thấy một số thí sinh
bdc lộ những sai lầm sau đây, xin nêu lên để bạn đọc lưu ý
1 Biện luận số nghiệm của phương trình: (x + 2)(x? + 1) = 2 - x) * Thí sinh đã biện luận như sau s Vế trái phương trình có vị =x+ 2 là hàm số đồng biến trên R V¿ = x” + 1 là hàm số đồng biến trên R
Vậy y¡.y¿ = (x + 2)(x* + 1) 1a ham số đồng biến trên R s Vế phải phương trình là hàm số nghịch biến trên R
s Rõ ràng x = 0 thoả mãn phương trình ® Vậy: x = 0 là nghiệm duy nhất
* Sai lam ở chỗ: “Tích hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến”, Điều đó chưa hẳn như vậy
Vi du: y, = x, y = 2x là các hàm đồng biến trên R Nhung y = y,.y,= 2x" chỉ đồng biến trên (0, +22)
* Phương trình đã cho được giải như sau:
Trang 11x=0 f(x) = x° +2x? +3=0 Xét f(x) trên R có f(x)=3x? + 4x = 0 ©x=0,x= ¬š Lập bảng biến thiên x _Ằ _# 0 + 3 Ệ + 0 là 0 f 113 +
Căn cứ bảng biến thiên trên đây có:
Vì limf(x) = - = trong khoảng (—~, 3), f(x) = 0 còn có
một nghiệm xạ duy nhất nữa (Thu gọn hơn, chẳng hạn có
113 f(-8) = ~6, {-2) = ar
= f(x) = 0 có duy nhất nghiệm xạ thuộc (- 3, ~8).):
Vậy: phương trình có 2 nghiệm:
x;€C 3,2) và x,=0
9 Tìm m để phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt
(m — 2)x? + 2(m + 3)x+m+5=0 @)
Trang 12* Gó thí sinh gi: (1) có 2 nghiêm phân biệt khi a.e <0 &© (m- 3)(m +ð) <( @ - 5<m <« 2 * Cũng lại có thí sinh gui: (1) eó 3 nghiệm phân biệt khi Ay> 0 © (m +)” - (m - 2)(m +5) = 38m + 19 >0 m1 * Cả 9 thí sinh có kết quả bài giải khác nhau, nhưng đều sai Cách giải phải là: (1) có 2 nghiệm phân biệt Ím-2#0 19 oy, ®-—<m#2 la, >0 3
Nguyên nhân dẫn đến sai sót trên do thí sinh hiểu:
~ Tích a.e < 0 là điều kiện cần và đủ để ax? + bx +e= 0
có 2 nghiệm phân biệt Thực ra đó chỉ là một điều kiện đủ
€ó vô số trường hợp a.c >0 vẫn cho A(A) >0, do đó phương trình ax? + bx +c = 0 cõ 2 nghiệm phần biệt Hoặc lại quên điều rất quan trọng là: "Khi gặp hệ số của số hạng luỹ thừa cao nhất trong phương trình thì việc đầu tiên phải đặt điều
kiện hệ số đó # 0, sau đó mới giải tiếp ” Do đó lời giải đã thừa kết quả m = 2 trong tập ce , too),
‘ < š 7
Với m = 3, phương trình chỉ có 1 nghiệm x = “TR
3 Gọi xị, x; là các nghiệm của
Trang 13f(x) = 2x* + 2(m +1)x + m? + 4m +3 Q)
Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A= |x,x, — 2x, - 2x,|
* Thi sinh giai:
Theo địnhlý Viét đối với (1) ta có: Az po t4mt3 2 ,a|~|m +8m+7|, 3 ; foe SOO and (7-1 | (2) Hi ca ôm irne [-,-1] 2+8 7 (3) « Xét (2) 6 limA= += A khong cé gia tri lén nhất x-»£ee Si so, a © Xét (3) có f(m)= —= <f(-4)= c4) 5 2 9 = Hosa be tại (-7- 2 m =~4 € (-7,-1)
* Cách giải này không chặt chẽ, do đó lời giải trổ nên phức tạp và kết quả thừa Vì đã quên rằng định lý Viét áp
dụng cho phương trình bậc 2 chỉ khi phương trình (tam
thức) bậc hai đó có nghiệm Vậy việc đầu tiên phải đặt điều
kiện có nghiệm xạ, x; cho (1) Cụ thể như sau:
(1) có nghiệm x¿, x; khi và chỉ khi A¿ >0 = (m+ 1)(m + 5) <0 = -5<m <-1
Trang 15Phải giải như sau: Đặt Ñ=x+v.P=xy
- S=m (S=m
= hệ © { „ Ÿ = 4 ss §?~9P=-m?+6 |P=m?-3
= (x,y) là nghiệm của phương trình t? ~ mt + m”~ 3= 0
với điều kiện §? - 4P >0
© -3m? + 12 >0 œ |m|< 9
Vậy xét F(x,y) trên [-2.2]
2 minƑ =f(—1) may = -4; t5) axF = F@) =5 õ CMR nếu có 0 < ai <a; thì có 2007 „ „2002 ay? + a5 SM es ae fy 82 ane +a," * Thi sinh giai nhu sau: oa 2002 at? 4 as > 2V(a,a,) 2001 dan cạn >2 V(a,.8;} Vì 2 vế của 9 BĐT trên đều dương nên chia vế với viế 5ó: a tal 1 2 2002-2001 ne =.la a arr 2 Var a2) = a, a, Bị +a; moca sn= |
* Ở đây, thí sinh trên đã phạm sai lầm nghiêm treng khi sử dụng "điều tương tự" của tính chất bất đẳng thức:
tease
NT cu
Trang 16fa>b>0O a b Vận dụng sang cho phép chia: le>d>0 =—> a >O! CS c 7 » [2>1 Không thể 5 =—=- J0>1 10 5
* Cách giải đúng như sau;
(0<a<b_ a+b c+d ac+bd J loccsd 2 2 ẽ 2 Ww 1 Dé thay That vay: (1) @ 9(ae + bđ) > (a + b)(c + đ) = ac + bd + be + ad «3 ac + bđ> be + ad © a(e - d) + b(d —- e) >0
« (b ~ a)(d ~ e) >0 đúng do giả thiết Kết quả này có thể mở rộng cho n số hạng:
Trang 17sinh khi giải toán liên quan đến các chủ để trong tập đầu
của bộ sách "Hướng dẫn ơn luyện thì mơn Tốn theo chủ
để", tập I— Đại số để các bạn cùng ghỉ nhớ
Trang 19A»B»0 1 1 7) => —<— B<A<0 A B 0 8) k _ „ = A">B? n nguyên dương B»0 9) ie 2 7 = WA>B n nguyên dương
3 Phương pháp thường dùng để chứng minh BĐT 1) Biến đổi tương đương
9) Định nghĩa, tính chất cơ bản của BĐT
Trang 206A +BỊ <IAI te tBí Dấu *=” xảy ra khy A, B cùng đấu e {A — B) > JA] — JB) Dau “=" xay ra khy A, B cing dấu và |AI > [BỊ «|A.BỊ = Af [BI \ «(4 „IẢl với Bz0 Bl (BI 4 Phản chứng
Giả sử BĐT phải chứng mình là không đúng Bằng
các phép biến đổi tương đương đưa đến điều trái với giả thiết hoặc trái với chân lý, hoặc mâu thuẫn ngay với kết quả đã chứng mình được trong bước trước đó
5 Quy nap
Phải chứng minh “mệnh để M có tính chất T liên quan đến số tự nhiên n >n,° (n,= 0, 1, ), tiến hành theo các bước,
~ Bước 1: Chứng minh (CM) điều đó đúng với n = n,
~ Bước 3
+ Giả sử điều đó đúng với n = k > n, (giả thiết quy nạp)
+ Chứng minh điều đó đúng với n= k + 1
~ Bước 3: Kết luận “Mệnh để M có tính chất T đúng
với Vn”
6 BDT trong tam giác
Tam giác có số đo các cạnh a, b, e thì:
la =b|<œ<a+b,
Trang 217 Tam thức bậc 2 e CM: f(x) = ax? tbx+e20vdivVxe R = CM: A (hoặc A) < 0 và a>0 S«CM:b”- 4aec<0= Dat f(x) = ax? + bx +c va CM: af(x) = 0 vdi Vx € R
¢ CM: b?— 4ac > 0 = Dat f(x) = ax? t bx +c, ea be œc R sao cho af(a) <0
Tim œ.Be R sao cho f(œ)f(B) <0
s Nếu coi xị, x; là 2 nghiệm của phương trình f(x) = X? — (x,+:%,) X + xx, = 0 và tổn tại số ơ sao cho Xị SŒ< x; © (Xi — Ø) (xạ T— 0) <0 thitacd f(a) = 0 — (x, + x,)a+ xx $0 8 Giải tích ¢ Tinh don điệu của hàm số ® Định lý Lagorang s Định lý về cực trị của hàm số 9 Lượng giác hóa
s Biến số có điều kiện |x| < K & >0) =
bạt |XT Keint với It sẽ
x=keost với 0<t<m
« Biến số có điều kiện xỶ + yŸ = k?=
Trang 22x=ksint voi OC LS Qn Ị Dat | lv =keost ® Biển số có điều kiện |x|>k(k>0) & x -kˆ>0 TL hoặc noac [ [m 3—) 5 hay x*~ k* = k*tg*a « Bài toán có biểu thức dạng x” + kỀ thì có thể đặt: si nt x= ktgt với te (— rot, 43 48 3 k lúc đó x*+ k* = k* (1 + tự?) = ——— (cost >0) €os” L
10, Phương pháp véc tơ, tọa độ, hình học
© Chú ý: Trong một bàitoán có thể sử dụng riêng rẽ
một phương pháp trên đây, song cũng có nhiều bài toán phải sử dụng phối hợp nhiều phương pháp một lúc
II CÁC BÀI TOÁN
Trang 24b) >> b b a,b,ed >0 | Bài 5: a) CMR: với V a,b,e> 0 thì có ices Ế ate thì có —< < 3) Với b bed d < =, fet atb bte c+a gt ee, qd) b) CMR: với Vai, +sÐy,bạ,by >0 có BĐT: ay ấy (2) bb, +b, +b, by Bai6: a) Gia st a,b,c > 0 va a+b=c, CMR: 2 208 ai+b?>c! qd) b) CMR: Tam giác vuông có a, b là 2 cạnh góc vuông, e là cạnh huyền thì ta có:
a" + b"< e° với Vn nguyên dương > 2 (2) Bai 7: a) CMR: Véi V aj, ay , , a,; bị bạ, ., bạ> 0, và
Trang 25Bài 8: a) CMR: Với V ay, a, thì có BĐT: m<T=+'—s<M q) < tga, (2) vdi O< a, <q, „ 8, >0 thì có: Ss) °
Dấu “=' khya,=a;=.:.= 8y
b) CMR: Với V xạ, Xo, X,> OvAaS =x, +x t+ +x, a Ss nŸ >—— 2 ¬ n-1 @) c) CMR: Véi V a, b,c > 0 et ee ea ge eee (3)
4a 4b 4e 2a+b+c 2bt+e+a 2cta+b d) CMR: Với V ay, a;, , a„ >0 thỏa mãn điều kiện
a,t ayt +a,=1 thi cd:
Trang 26Bai 9: Cho hinh chop 8 ABC c6 vor tam điện đỉnh 8 vuông Goi $, 8), 8.14 dién teh 3 mat ben va h la chiéu cao SH
cua hinh chop
Am h t - b
b) CMR: S,+ 8, + 8,2 2h? 2 ()
(a, b, ¢ 1a dé dai 3 canh bên cua hình chóp)
Trang 27ab+be+ca>0 (1) và -L+-L +-L »ọ, (2) ab be ca Bài 15: CMR: Với Vn nguyên dương thì có Isin(n x)| < n|sinx| Q) Bài 16: CMR: Với mọi a, b thỏa mãn điều kiện a +b> 0 thì có (*}:#‡= 9 5
Bài 17: Cho dãy số {a„} thỏa mãn điều kiện:
Aạ † Ana 2 28«i qa) với mọi n = 1, 2 CMR: a, tay tot Arms 5 Ay tay t- + Ay Vn=1, 2 (2) n+1 n Bài 18: Cho a, b, c là số đo 3 cạnh một tam giác CMR: a b ue b+c-a c+a-b a+b-e >3 () Bai 19: CMR: Néu a, b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác và có a +b+ec=l thì có BĐT để + bể + c”+ 4ahe < = qd)
(Thi Vơ địch Tốn Liên X6 — 1989)
Bài 20: CMR: Nếu a, b, e là độ đài 3 cạnh một tam giác thì có
a’ +b? +c?
Trang 29
3 gfe DA od
c) cos — —sin— >— 2 2 8
Bài 28: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình
hành, K là trung điểm canh SC Mat phang (P) qua AK song song với BD, cắt SB, SD lan lugt tai M, N Dat V, là thể tích hình chóp §.AMNK, V là thể tích hình chóp S ABCD CMR: 1_V, 3 =XS<*<_ 1 8 8 @ Bai 29: CMR: |16(x° + y®) - 20(x° + y) +5 (x + ys V2 @)
với mọi x, y thỏa mãn điều kiện x” + v”= 1 (2) Bài 30: Trong các nghiệm (x, y, z, t) cua hé sau q) @) Xt+yz>12 (3) Hãy tìm nghiệm để cho tổng (x + z) dat gia tri lớn nhất (GTLN) Bài 31: CMR: ]Jd+x‡)+ ]]@-x‡)<3"), tả tạ với VO<x,<1, i= Ln
Bai 32: CMR: Va? —1+Vb?-1<Vab qd)
với Va, b thỏa mãn điều kiện lai, |b| > 1 Bài 33: CMR: Với Vx ta có:
—~1<Xx?+x+1—vx?—x+1<l1 qd)
Bai 34: Biét a, b, c, d thoa man diéu kiện:
Trang 30vtbeath q) c+d +e+dz0 (2) CMR: V(a-eƑ t(b-d} <2 PB Bài 35: CMR: Võ <a- 2Ù + võ - “nena = V8 QQ) với Va.b.e, d thỏa mãn điều kiện a?®+bf=ecf+df=ã (3)
B CÁC BÀI TOÁN TRONG BỘ ĐỀ
1 Sử dụng phương pháp biến đổi tương đương
Bai 36: Dé 7/Vb Chitng minh rang (CMR): Néu a +b 20 thi
(a + b) (a" + b’) (a® + b*) < 4 (a® + b’) Bài 37: Đề 35/11I, CMR: Với 3 số dương bất kỳ luôn có:
ae + bt ắc e > a+b+e
a“+ab+b° b°+be+c c+ca+a 3 q)
Bài 38: Dé 62/II, Cho a + b = 2 CMR: at + b’ > 2
Trang 311 ti 3 @ ? 1+abe ) Ite Bài 41: Đề 112/11, Cho a, b, ¢ 1a dé dài 3 cạnh một tam giác với a <b<c CMR:
a?(®Ẻ - c°®) + b°(c? =a?) + e°(a?~ b?) < 0 Qa)
Trang 32điều kiện XyXy> O, Ky) ZY ye Naty CMR: (x, + x,)(4,+ Z,) > (y,+ v2, Bài 47: Đề 55/TH, CMR: Với Vn nguyên dương thì có: 1 1 1 ate tet —=<2 Q) 3 3/2 (n+1)ýn Bai 48: Dé 65/1I CMR: véi Vx € [-1,1] ta có lax? + bx +e] <h qd)
thi la] + |b] + |e} $ 4h (2)
Bài 49: Dé 85/III, Goi a, b c 1a dé dai 3 canh, x, y, 2 1a dé đài các đường phan giac trong cua AABC CMR:
Cs yg Ca, be | a
Bai 50: Dé 128/T, a, b, ¢ 1A 3 86 thy y thudc đoạn [0, 2], thỏa
Trang 333 Sử dụng BĐT cổ điển, BDT về TSTĐ Bài 53: Để 19/11, Gọi a, b, c là độ đài 3 cạnh một tam giác p là nửa chu vi tam giác đó, CMR: vp <vVp-a+ Jp-b+Vp-es 3p Bai 54: Dé 62/11) Cho a + b = 2 CMR: a‘ + b'> 2 Bài 55: Đề 81 /1H,
Cho a, b, e là 3 cạnh một tam giác, 8S là điện tích tam
giác đó Hãy tìm số thực p nhỏ nhất thỏa mãn: §?*<p(a'+b'+c} Bài 56: Đề 87/Vb Cho a, b, c, d > 0 thỏa mãn 1 —+— 1 1 1 23 1 l+a 1+b l+c l+d &® 1 CMR: abcd< §ï (2) Bai 57: Dé 94/TII,
Gọi r, R và a, b, e là bán kính đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp và số đo các cạnh của AABC CMR:
a) (a+b—c) (b+c~—a) (c+ a—b) < abe; b) R2 2r
Trang 34Bai 58: De 108/11 Gora, hoe la dé day 3 canb va 2p la chu vi mot tam giác, CMH a) (p- a) (pb) (p Bai 59: Dé 109/1Va Cho 2n s6 duong: ay, ay, ay, by, by b, CMR:
a ay +h, Ma, 4 b, ) [A, +b,) 2 Yay.ay.a, +9 bu, bị
Trang 35CMR: a?+b°+c°>4SV3
Khi nào thì có dấu “=" ?
Bài 64: Đề 146/1, CMR: Với Va, b đều có:
1 (a+Ù)q-ab) - 1 ổ
3`d+a)+b2) 9 „
Bài 6ã: Đề 148/11; CMR: Với Va, b không âm ta có:
3a” + 7b* > 9ab? (i)
Trang 366 Sử dụng BĐT trong tam giác
Bài 69: Để 57/TIT, CMI: Nếu a b,e là độ đài 3 cạnh một tam giác, với a<b<e thì:(a+b+e)°< 9be (1)
Bài 70: Để 92/111 AABC cé A > B > C, hy hy hy la dé dai
các đường cao xuất phat tir A, B, C CMR: h, ade Bey Be ye h, h, h, h € QQ) h, ho h, bh, bh, hy” Bài 71: Để 130/11, CMR: tam giác thì có: a” + bŸ + c? < 2 (ab + be + ca) ếu a, b, e là độ đài 3 cạnh một Bài 79: Đề 140/111, a b, c là độ dài 3 cạnh một tam giác CMR: able ae boy @) D c a 2 a 7 Sử dụng tam thức bậc 2 Bài 78: Đề 15/1I, CMR: với 5 số a, b, e, d, e bất kỳ luôn có: a?+bf+c?+d?+e?>a(b+e+d+e) () Bài 74: Đề 46/11 Xác định k để BĐT 98x? + 2ãy? + kxy =x—y + = >0, qd) 100
đúng với mọi cặp số (x, y) là tọa độ điểm M nằm trên mỗi đường thẳng y=x và y=—X
Bài 75: Đề 53/1I1, Các số a, b, c, d, p, q thỏa mãn:
Trang 37pˆ+q?~a?—~b?®—c?~ dđ?> 0 qd) CMR: (p? — a? — b’) (q?- ¢* — d?) < (pq ~ ac — bd)* (2) Bai 76: Dé 132/111 Goi a, b,c 1a dé đài 3 cạnh một tam giác
CMH: pa® + qb* > pqe* a)
với mọi số p, q thỏa mãn p+q=1 (2)
ằng nếu a, b, e là 3 độ đài thỏa
Ngược lại chứng tỏ
mãn (1) với điều kiện (2) thì a, b, e phải là độ dài 3 cạnh
một Lam giác nào đó,
Bai 77: Dé 140/III, Các số a b, c, đ theo thứ tự đó lập thành
một cấp số cộng CMR: nếu lấy số m sao cho
3m >| ad — be |
thì ta có (x— a) (x— b) (x— e) (x-d) + m*20 (1) vdi Vx
8 Phuong phap giải tích
Trang 38ve bee I qd) CMR Me ieee es Q) hệt i ì 1 +b Bai 82: De BO /TIT, Way sox, y thoa man oye ® qd) V Un +3N CMR: xi+y <2 (2) T1 1 Bài 83: 2e 69/1Va, CMH: Với VX€ | 3 | ta có: T 2 aretgx — a >ln(x” + 1) — In2 (qd) Bai 84: Dé 72/1Va, CMR: Néu 0 <b <a thi: Boh eae a b b @)
Bài 8ã: Để 77/1 1) CMR: Bất phương trình x'+ px + q> 0 thỏa
màn với V x khi và chỉ khi: 256q” > 37p" (1)
Trang 39của một hình nón tròn xoay tùy ý luôn luôn thỏa mãn
6VỶ (28 )
BĐT: |——|< a)
(Š] ie
Khi nào đẳng thức xảy ra ?
Bai 89: Dé 143/V,, CMR: Véi t > 0, ta cé Int <vt Bai 90: Dé 8/1Va CMR: x" N1l-x < () Vx€ (0, 1) và n là 1 số nguyên dương Bài 91: Đề 137/11 Tìm a, b, c để | 4x? + ax? + bx + c| < 1, với Vx e[—1, 1]
9 Sử dụng phương pháp lượng giác hóa
Bài 92: Đề 122/111, CMR: Nếu |x| < 1 và n là số nguyên
dương lớn hơn 1 thì có:
H++?+0-xy <8 đq)
Trang 40Vxf+xv+v +Vx”+xz +77 >Vdy °+yz+z2 (1) Bú 95: Để 21/THI, a, b,e, d và S là độ đài 4 cạnh và diện tích
7 Re ip ete nh ¥: sd
của một tứ giác lồi CMR: 8s ;iab+cd),
Fai 96: Đề 22/11, CMR: Nếu AABC có các cạnh là a, b, e và điện tích bằng 1 thì có: a! + bỲ + ef> 16 đq)
€ CÁC BÀI TOÁN GTLN, GTNN TRONG TUYỂN SINH CỦA CÁC TRƯỜNG ĐẠI HỌC TỪ NĂM 1999 ĐẾN 2001
Fai 97: I], - ĐH Hàng Hải CS2 — 1999 Cho Íx.y.z>0 (1) Ì|x+y+z<3 (2) CMR: —Š oe : << 1 + 1 a te|
1‡+x` l+y 1+z l+x l+y Itz
Tai 98: III; - ĐHAN - Khối D, G - 1999 CMR: 2(x"+ y "+ 22) ~ (x*y + v22 + Z3x) <3 Œ) với Vx, y,z€ |0, 1] đài 99: l; - ĐH Nông Nghiệp 1 - Khối A - 1999 CMR: qa) 1+|a + | i+la +[D|
với Va, b Dấu *=" xảy ra khí nào?
lài 100: IV, — ĐHQGHN - Khối D - 1999 CMR: