NHOM GIANG VIEN TOAN - DHSP HA NOI
Trang 3Chiu trách nhiệm xuat ban:
Giám đốc NGUYEN VĂN THOA
Tổng biên tập NGUYÊN THIỆN GIÁP
Bien tap:
TRUONG GIANG
Suwa ban in va trinh bay bia:
DINH QUANG HUNG
— — — ona —
HUONG DAN ƠN LUYÊN THỊ MƠN TỐN - TẬP H - ĐẠI SỐ
Mã số: 01.152 ĐH2002
In 1500 cuốn, tại Xí nghiệp In Bàc Thái
Đơ mấy phép xuất bản: 51/488/CXH Số trích ngang: 369 - KHÍ
Trang 4MỤC LUC
Lời nĩi đầu
Một số sai sĩt thường mặc của thí sinh qua các kỳ thi tuyển sinh
Chủ đề 1 Bất đẳng thức
L Kiên thức cơ ban
Il Cac bài toan
A Bài tốn mình họa phương pháp giải B Các bài tốn chọn lọc trong bộ đề
C Các bài tốn trong để thì tuyển sinh các
trường ĐH, ŒÐ từ 1999 đến 3001
HI Hướng dân giải các bài tốn cua chu dé 1
Chủ để 9 Giá trị lớn nhât, giá trị nhỏ nhất của biểu thức đại sơ
L Kiên thức cơ bản
II Các bài tốn
A Bài tốn mình họa phương pháp tìm
GTLN, GTNN của biếu thức đại số
B Các bài tốn GTLN, GTNN của biểu thức
đại số trong bộ để
C Các bài tốn GTLN, GTNN của biểu thức
Trang 5LHI Hướng dan giai cac bai toan cua ehu dé I
Chu dé 3 Phuong trinh, bat phuong trinh bac
nhat
I Kiên thức cơ bản Il Cae bai toan
A Bai toan minh hoa phương pháp giai
B Các bài tốn chọn lọc trong bộ để
ŒC Các bài tốn trong để thị tuyển sinh của
các trương ĐH CĐ từ 1999 dén 2001
LII Hướng dân giải các bài tốn cua chủ đề TH
Chủ để 4 Phương trình, bất phương trình bac 2
§1 Phương trình bạc 3
I Kién thie co ban
ll Cac bai toan
A Bài tốn mình họa phương pháp giải B Các bài tốn chọn lọc trong bộ đề
C Các bài tốn trong để thì tuyên sinh của các trưởng ĐH CĐ từ năm 1999 đến 2001 HIĨ Hướng dân giải §2 Hệ phương trình hữu tý bạc 2 cĩ 9 ẩn số L Kiên thức cơ bản II Các bài tốn
Các bài tốn mình họa phương pháp gia
lì Các bai toan chon loc Lrone bo dé
Trang 6các trưởng ĐỊT Ce) ta Pod den 2007 349
lll Huong dan via: 357
§3 Bat phuong trink he hot phueng trình bác 2 423
i Kien thie co han 423
Il Cae bat toan 427
Trang 7CHU VIET TAT VA CAC KY HIEU
DUNG TRONG SACH
— BĐT (B.C.S): Bất đẳng thie (Bu nhi—a— cép—xk1)
— BBth: Bang biến thiên
Trang 8LOI NOI DAU
Trong những đợt ơn luyện thì mơn Tốn đề tham dự các
ky thi tot nghiép THPT va thì vào các trưởng Đại học, Cao
đang, mỗi thí sinh đểu mong muơn cĩ một tài liệu được biên soạn đầy đủ về nội dung, phong phú về phương pháp giai và
định ra được hướng ơn luyện sát với chương trình địi hỏi cho từng kỷ thi tuyên Đáp ứng yêu cầu đĩ tập thể nhĩm
tac gia day luyện thì mơn Tốn của trưởng ĐHSP Hà Nội
biện soạn bộ sách "Hướng dân ơn luyện thì mơn Tốn theo
chứ để”, Bộ sách này dược chia thành nhiều tập và đây là
tap 1 - DAI SO
Nội dụng tập sách này bao gồm:
1 Một số sai sĩt của thí sinh thường mắc phải qua các
kỳ tuyển sinh vào các trường Đại học và Cao đẳng do khơng
năm vững kiến thức cơ bản của Tốn học
2 Những kiến thức cơ bản, trọng tâm cần thiết nhất để
hiểu và giải đúng để tốn theo từng chủ đề
3 Các dạng đề tốn đại số được chọn lọc xếp theo từng
chủ đề Mỗi chủ đề gồm các bài tốn mình hoạ phương pháp giải; Các bài tốn điển hình, hay được chọn lọc trong bộ đề
luyện thi của Bộ Giáo dục - Đào tạo xuất bản; Các bài tốn
thi tuyển sinh vào các trường Đại học Cao đăng trong cả
nước của những năm gần đây Tất cả các bài tốn đều cĩ
phương pháp giải hoặc hướng dẫn cách giải tĩm tắt hoặc
Trang 9cho đáp số, thí sinh tự giải để kiểm tra chính mình Phản
này được thể hiện ở cuối mỗi chủ dé
Với kinh nghiệm tích luỹ qua nhiều năm hướng dẫn học
sinh luyện thị, chúng tơi soạn bộ sách này hy vọng sẽ giúp
ích nhiều cho bạn đọc, đặc biệt là học sinh luyện thi vào Đại
học, Cao đẳng và các bạn đồng nghiệp cũng như phụ huynh
học sinh cĩ khả năng kèm luyện con em mình Rất mong nhận được sự gĩp ý của bạn đọc
Trang 10MOT SO SAI SOT THUONG MAC PHAI CUA HOC
SINH QUA CAC KY THI TUYEN SINH
Những năm ơn luyện thi và chấm thi vào các trường
ĐH và CÐ mơn Tốn phân đại số, đã thấy một số thí sinh bộc lộ những sai lầm sau đây, xin nêu lên để bạn đọc lưu ý
1 Biện luận số nghiệm của phương trình: (x + 2)(x? + 1) = 2(1 - x) * Thí sinh đã biện luận như sau ® Về trái phương trình cĩ v.,=x+ 9 là hàm số đồng biến trên R V¿ = XỶ + 1 là hàm số đồng biến trên R
Vay y,.¥o = (x + 2)(x* + 1) lA ham số đồng biến trên R
s Vế phải phương trình là hàm số nghịch biến trên R
se Rõ ràng x = 0 thộ mãn phương trình e Vay: x = 0 là nghiệm duy nhất
* Sai lầm ở chỗ: “Tích hai hàm đồng biến là một hàm đồng biến” Điều đĩ chưa hản như vậy
Ví dụ: y¡ = x, vs = 2x là các hàm đồng biến trên R
Nhưng y = y¡.v„= 9x” chỉ đồng biến trên (0, +)
® Phương trình đã cho được giải như sau:
Trang 11x =.0 f(x) = x° + 2x? +3=0 Xét f(x) trén R cé f'(x)=3x* + 4x =O@x=0,x= -= Lap bang bién thién X — co a 0 + <o 3 Ề + 0 — 0 113 te
Căn cứ bảng biến thiên trên đây cĩ:
Vi limf(x) = - œ = trong khoảng (- œ, 3), f(x) = 0 cịn cĩ
một nghiệm xạ duy nhất nữa (Thu gọn hơn, chẳng hạn cĩ
113 f(~8) = ~6, (-2) = wee
= Í(x) = 0 cĩ duy nhất nghiệm x„ thuộc (- 3, =g)~.)
Vậy: phương trình cĩ 2 nghiệm:
X, €(— 3, ->) va x, = 0
2 Tìm m để phương trình sau cĩ 2 nghiệm phân biệt
(m - 9)xỶ + 3(m + 3)x + m+ð= 0 (1)
Trang 12* Co thi sinh gar (1) 66 2 ngmém phan bet khi a.c <0 <> (m — 2)(m +ð) <U © - 5<m < 2 * Cũ Cũng lại cĩ thí sình gia (1) eĩ 3 nghiệm phân biệt Ini cd tl Ne, cits eh 2 nehid shan bie ' khi Ay > 0 © (m +3)” - (m - 3)(m +5) = ẩm + 19 >0 19 = ms-— * Ca 2 thi sinh cé két qua bai giai khac nhau, nhưng déu sai Cách giải phải là: (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt Im-2#0 1% <> = —-—< mz Z 2 lay >0 My
Nguyên nhân dẫn đến sai sĩt trên đo thí sinh hiểu:
- Tích a.c < 0 là điều kiện cần và đủ để ax? + bx +¢ = 0 cĩ 2 nghiệm phân biệt Thực ra đĩ chỉ là một điều kiện đủ Cĩ vơ số trường hợp a.c >0 vân cho A(A) >0, do đĩ phương
trình ax” + bx +e= 0 cõ 2 nghiệm phân biệt Hoặc lại quên điều rất quan trọng là: “Khi gặp hệ số của số hạng luỹ thừa
cao nhất trong phương trình thì việc đầu tiên phải đặt điều
kiện hệ số đĩ # 0, sau đĩ mới giải tiếp ” Do đĩ lời giải đã
thừa kết quả m = 2 trong tap (- a , + ©),
› ˆ ‘A 7
Với m = 2, phương trình chi cĩ 1 nghiệm x = “a
3 GỌI Xị, X¿ Ìà các nghiệm của
Trang 13f(x) = 2x* + 2(m +1)x + m* + 4m + 3 (1) Hãy tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = |x,x, — 2x, —2x,|
* Thi sinh giai:
Theo địnhlý Viét đối với (1) ta cĩ: TC m+4m+3 2ø _|m”+8m+7 a 2 N 2 As = TƠ TT nốt é [—7,^1] (2) ae “+8m+7 HA can vdim € [-7,-1] (3) e Xét (2) c6 limA=+ ©= A khơng cĩ giá trị lớn nhất x=>+œ _— To, “nh s Xét G) cĩ Nm)= —G —3H— cac Ý 2 2 ae => maxA =— tại m =-4€ (-7,-]) (7-1) 2
* Cách giải này khơng chặt chẽ, do đĩ lời giải trở nên
phức tạp và kết quả thừa Vì đã quên rằng định lý Viết áp dụng cho phương trình bậc 2 chỉ khi phương trình (tam
thức) bậc hai đĩ cĩ nghiệm Vậy việc đầu tiên phải đặt điều
kiện cĩ nghiệm xạ, x; cho (1) Cụ thể như sau:
(1) cĩ nghiệm x;, x; khi và chỉ khi A,`> 0
= (m+ 1)(m+ 5) <4Ư= —-B<m <- ]
Trang 14Xx, +x, = -(m+?+l) mn’ +4m+3 `”: TU DƯ TA o- | 2 \„ˆ +4m +3 +) et On T \ ) - [ ~ - Im' +8m +7 + A= Với - <m<-l3m +8m+7<0 5 TE 1-8) ~m' - Äm ~ 7 Vậy A: — 9 ` mạx (5-1) Á =y với m =~4 e[-ð.—1] 4 4 Biết rằng (x y) là nghiêm của hệ phương trình: x+yv=m q) x*+y“ =68—ni” (2)
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu
thic F(x,y) = xy †+ 2(x †y)
* Cĩ thí sinh giải như sau: (2) <> (x + y)° - 2xy = 6 — mˆ =Xy=m -3 => Ta c6é F(x, y) = m* + 2m - 3 = minF(x,y) = F(-1) = —4, cịn lim F(x,y)= + = khong cé maxF(x,y) Inì==»‡s
* Do quên chưa đặt điều kiện cĩ nghiệm (x,y) cua hé
(1, (2) cho nên kết quả sai:
Trang 15Phai giai nhu sau: Dat S=x+v P= xv
S=m ‘S=m
=> hệ «+ sat
S* -2P =-m* +6 P=m? -3
=> (x,y) lA nghiém của phương trình t— mt + m”- 3= 0
với điều kiện S” - 4P > 0 -3m? + 12 > 0 œ |m| < 2 Vậy xét F(x.,v) trên [-3.3] => = f(—1) = -4; xE=F(2)=5 TW E395 5 CMR néu c6 0 < a, <a, thi cé gg 08 + gre ae xa > Ja,.a, * Thi sinh giai nhu sau: ar ‘ac > 9 (aya, ee — + a > 2 (a, Ay o Vì 2 vế của 9 BĐT trên đều dương nên chia vế với viế sĩ: Vì 0 < ai; Sa; 2002 _ a» la, pm” Pago am 22001 „ 22001 + a,
*Ở đây, thí sinh trên đã phạm sai lầm nghiêm treng
khi sử dụng “điều tương tự” của tính chất bất dang thức:
es
bd
c*so > 0
Trang 16pee SO a Bogs Van dung sang cho phep chia: le>d>0 ¢ * A a [2>1 Z 1 Khơng thê {4 = —— =>] (10> 1 10 6
* Cách giải đúng như sau:
(0<a<b_ — a+b c+d, ac+bd —= / < (1) Il0<ec<d 2 2 2 Dé thay Thật vậy: (1) <> 9(ac + bđ) > (a + b)(c + đ) = ac + bd + be + ad <> ac + bđ > be + ad © a(c - đ) + b(d — c) > 0Ơ
«+ (bồ - a)(d -e)>0 dung do giả thiết
Trang 17sinh khi giải tốn liên quan đến các chủ dé trong tap dau
của bộ sách Nướng dân ơn luyện thì mơn Tốn theo chủ để", tập I — Dai số để các bạn cùng ghi nhớ
Trang 19A>B>0O 1 1 7) mị —&=— B< A <0 A B A>B>0O 8) - => Á"> n nguyên dương A>B>0O 9) - : = WA >B n nguyên đương
3 Phương pháp thường dùng để chứng minh BĐT
1) Biến đổi tương đương
2) Định nghĩa, tính chất cơ bản của BĐT
3) Bất đăng thức cổ điển, BĐT về trị số tuyệt đối (TSTĐ) ® BĐT Cơ-si: "VỚI, 8ø, s20 = 2, >n đũa Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (khy) 8y = 8a= = 8n” e BĐT Bu-nhi-a-cốp-xki (B.C.8):
“Với 2 bộ n số {a:, a¿, , a„} và {bạ, b„ , b„}
Trang 20FA >
` N >Ù |
LA <-B
e JA +B) < JA} + 1B) Dau “=” xav ra khv A, B cùng dau se |A - BỊ > |AI - !BỊ Đấu “=" xav ra khv A, B cùng dau và |AI 3 [BI ®|A.HỊ = |AI |HI A B Al s is IA| với l z 0) 4 Phản chứng
Giả sử BĐT phải chứng mình là khơng đúng Băng
các phép biến đổi tương đương đưa đến điều trái với giả
thiết hoặc trái với chân lý, hoặc mâu thuẫn ngay với kết
qua đã chứng mình được trong bước trước đĩ 5 Quy nạp
Phải chứng minh “mệnh để M cĩ tính chất T liên quan đến số tự nhiên n >n,° (n, =0, 1, ), tiến hành theo
các bước,
- Bước 1: Chứng mình (CM) điều đĩ đúng với n = n„
- Bước 3:
+ Giả sử điều đĩ đúng với n = k > n, (giả thiết quy nạp)
+ Chứng minh điều đĩ đúng với n = k + 1
- Bước 3: Kết luận “Mệnh để M cĩ tính chất T đúng với Vn`
6 BDT trong tam giác
Tam giác cĩ số đo các cạnh a, b, c thì:
la —b| <Xc<a +b,