VI xI x, nen xI ab = x Theo b) xIa hoac xI b Ned
114 qua Old sr[ f(x) la ntOt da thac co ba cn > 1 caa vanh da that Thd thi bap gib cling co mat &Jiang chi& K rilut
met trubng con aao cho f(x) c6 dung n nghiem trong do, cho nghiem c6 the phan biet hay kitbag.
Chang mink. Gui p(x) IA met nista' tit Mt kha quy Ma f(x)
cd bac Ibn han 1 (nen the nhan tit Mt kha quy dm fix) dell Me 1 thI f(x) c6 cac nghiem trong K va van de titian giai guy& xong). Ta fly clang trotting E nho trong dinh II 3, da thile p(x) cd nghiem trong E, do do f(x) cang fly. Ngu f(x) co it nghiem
trong E thi van de dune giai guy& xong, nalu MOO-1g f(x) phai.
S clang
f(x) = (x — c)m 1 ... (x — ti(x)
via e1 E E, i = 1, ..., k, va f1 (x) e E[x] vet 1 < bac f1 (4 < bac f(x). Ta lai me rang trubng E thAnh trubng E1 f1 (x) co- nghiem trong E l . VI bac dm the da thile la hitu han nen eau met sS bubo heti han me rang to phai dude met trubng E1 trong do f(x) rb it nghiem. n
Chu 9. Gia sit f(x) E K[x] la met da thdc ca bk rt Ibn bon
1 Ira E la met trubng mb rang So. trubng K (nghia la K la trtiting con eita E) sao cho f(x) cd n. nghiem, phan biet hay khOng, trong E. Cac nghiem a l , thueic E, nhung theo
oiling tilde Viet°, citc da thde dfii 'cling co ban dm eac Olen tit a1 , an bao gib el-Mg thuee K. Vi My nen g(a 1 ,..., an) la met da that° &Si ming etla cite" Olin tit a l , . . , an , thi
g(a 1 ,..., an) 11 met phan tit thuec K theo dinh 4 dm (oh
IV, §2, 3).
Vi du. da thfie f(x) E Q[x], Q la trubng so hal.' ti. f(x) = x4 — x2 — 2 = (x2 + 1)(x2 — 2).
Ede da Unite x2 + 1 M. x2 -‘ 2 IA nhung da-thate Mt MIA quy. cua Q[x]. Ta hay ma rang Q theo phuong phap aim dinh 11 3 de x2 + 1 cd nghiem. Goi Q(i) la trubng ma Ong dd via i la
met nghiem eim x2 + 1. VI e Q (i), nen Q (i) chtla hai nghiem
aim x2 + 1. Bay gib ta lai ma rOng Q(i) de' x 2 . — 2 cd nghiam.
Goi 4 la mOt nghiam ctla x 2 — 2 Va ki hieu bang Q (i) (G)
tniting ma rang d6, ta ducic hai nghiam cim x2 — 2 trong Q (i) (a). Nhu vay trong trvong Q(i) (a), f(x) co ban nghiam
la k —i, a, -a
BM TAP
1. ChUng minh rang vanh gam C£1C s6 plulc cd dang
a + bid vai a, b E Z la mOt vanh Oclit.
2. Chung minh mOt trubng la mOt vim]) Oclit,
3. Gia sit A la mat vanh Oclit. Chang minh A la mOt trtlang khi Ira chi khi 6(x) la hang via moi x e A.
4. Gia sit A la mat vanh Oclit vai anh xa Oclit
: A` —n• N. Chung minh tan tai mOt anh xa Oclit 5'
sao cho (5'(A) = 0, it) , n 0
hay d'(A) = N.
5. Gib. sit A la mat vanh Oclit via anh xa Oclit . Chang minh a(u) plain to be nhat cua a(A) khi va chi khi u kha
nghich trong A.
6. Gib. sit A la mOt mian nguyen. Chung minh dial) kian can da A Oclit la tan tai mOt phan t8 khOng kha nghich x E A
sao cho mai lop dm A/(x) cd mOt dal dial) hoac kha nghich hoac bang 0 (dua anh /la Oclit d ciat A ye anh xa Oclit 5' trong bai tap 4 va kat hop vai bat tap 5).
7. Chung minh vanh
Z [1 + a + b ( 1 + 2 ) I a, b E Z
khong phai la vitnh dclit bang each 4 dung bid tap 6. (Ngadi 1 + iir9
] to c6 thg Chung minh Z [
2 la vaaa chinh, nhangday thong ta khOng lam vi thigu qua nhigu khan Main caa dal s6).
8. Gia sit fix) = x5 + x3 + x2 + x + 1 g(x) = x3 ÷ 2X2 + x ÷ 1
a) Tim tide chung Idn nhgt cost f(x) ud g(x) trong Q/x1
b) Tim udc Chung IOn nhat magi f(x) va g(x) trong Z/3Z[xJ
trong do Q la truang so` hint ti Z/3Z lit trmang cat so' nguygn mod 3.
9 Gia sit
R(Ir3) = a bli-251 a, b E
Q(1=3-) ={a + b1,1 I rz,b e Q} Q(a) = {a bm a,b E Q}
trong dd R la truZing cat s6 thac, Q la trotting Sc so hilu ti. Chung minh thug :
a) R(rS3), Q(,), Qom la nhang trudng voi (Map Ong
ta phdp nhan thong thuong cat s6.
b) = R[x]/(x2 + 3) v61 (x2 + 3) la idean sinh ra bat
X2 + 3 trong KW.
Qom = Q[x]/(x2 - 2) vdi (x2 — 2) la idean sinh ra bat x2 — 2 trong Q[x].
10. GM sit E la mot halting and rang dm tntOng K, u la mat phgn to thuac E, f(x) mat da thtic bgt kha quy trong
K[x] nhan u lam nghlam vit gia sit rang g(x) E K[x] tong nhan it lam nghiam. Cluing minh rang trong K[x]
a) f(x) la da attic cd bac th6p nhgt nhan u lam nghiam ;
b) g(x) chia hgt cho f(x)
11. Gia sit X = Q2 . Trong X ta xac dinh cac phap than Ong
vh nhan nhu sau •
(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) (a, b) . (c , d) = (etc + 2bd, ad + bc) (a, b) . (c , d) = (etc + 2bd, ad + bc)